广东省汕头市苏北中学2007年高考复习专题8-应用问题（数学）.doc

1、高三数学应用题练习卷一 选择题： 1某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A）克 （B）(10.5%)3克 （C）0.925克 （D）克 21980年我国工农业总产值为a亿元，到2000年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少达到（ ）。 （A）1 （B）1 （C）1 （D）1 3某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。 （A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种 4已知函数y=2cosx (0x2)的图象和直线y

2、=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）。 （A）4 （B）8 （C）2 （D）4 5若干升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是 （ ）。 （A）6cm （B）6cm （C）2cm （D）3cm 6有一块“缺角矩形”地皮ABCDE，其尺寸如图，欲用此块地建一座地基为长方形的建筑物，以下四个方案中，哪一种地基面积最大（ ）。 （A） （B） （C） （D） 7由甲城市到乙城市t分钟的电话费由函数g(t)=1.06(0.75t+1)给出，其中t0，t表示大于或等于t的最小整数，则从甲城市到乙城市

3、5.5分钟的电话费为（ ）。 （A）5.83元 （B）5.25元 （C）5.56元 （D）5.04元 8某商场卖甲、乙两种价格不同的商品，由于商品甲连续两次提价20%，同时商品乙连续两次季节性降价20%，结果都以每件23.04元售出，若商场同时售出这两种商品各一件，则与价格不升不降的情况比较，商场盈利的情况是（ ）。 （A）多赚5.92元 （B）多赚28.92元 （C）少赚5.92元 （D）盈利不变 9有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管有（ ）。 （A）9根 （B）10根 （C）19根 （D）20根 10某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率

4、为（ ）。 （A）p （B）12p （C）(1+p)12 （D）(1+p)121 11甲、乙两人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步，到中点后改为骑自行车，最后两人同时到达B地，已知甲骑自行车比乙骑自行车快，若每人离开甲地的距离s与所用时间t的函数用图象表示，则甲、乙两人的图像分别是（ ）。 （A）甲是(1), 乙是(2) （B）甲是(1), 乙是(4) （C）甲是(3), 乙是(2) （D）甲是(3), 乙是(4) 12某工厂在1990年底制订生产计划，要使得2000年底的总产值在原有基础上翻两番，则总产值的年平均增长率为（ ）。 （A）1 （B）1 （C）1 （D

5、）1 二填空题： 131999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，即储蓄利息的20%由各银行储蓄点代扣代缴，某人在1999年11月1日存入人民币1万元，存期1年，年利率为2.25%，则到期可净得本金和利息总计 元。 14某商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价的百分数是 。 15建造一个容积为8米3，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别是每平方米120元和80元，那么水池的最低造价是 。 16把一个小金属球表面涂漆，需要油漆0.15kg，将64个半径相同的小球熔化后，制成一个大金属球(设损耗为零)，若对这个大金属球表面涂漆，需要油漆 kg. 三解答题：

6、17某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：R=f(Q)=，求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？ 18在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离d(米)与车速v(千米/小时)需遵循的关系是d(其中a(米)是车身长，a为常量)，同时规定d，（1）当d=时，求机动车车速的变化范围； （2）设机动车每小时流量Q=，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量Q最大？ 19某地区原有森林木材存量为a，且每年的增长率为25%，因生

7、产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区的森林木材存量， （1）求an的表达式； （2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于，如果b=a，那么该地区今后会发生水体流失吗？若会要经过几年？(取lg2=0.30) 20设某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品，已知经销甲商品与乙商品所获纯利润分别为P和Q(万元)，且它们与投入资金x(万元)的关系是P=，Q=(a2)，若不管如何投入，经销这两种商品或经销其中一种商品，所获纯利润总不少于5万元，试问a的最小值应是多少？ 21某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑，挖出的土只能沿AP、BP运到P处，

8、其中AP=100米，BP=150米，APB=60，请问怎样挖土才能最省工？ 22银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利，现在某企业进行技术改造，有两种方案；甲方案：一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元。两种方案的贷款使用期都是10年，到期一次性还本付息，若银行贷款利率是按年息10%的复利计算，试比较两种方案的优劣(计算时精确到千元，并取1.1102.594，1.31013.79). 参 考 答 案一选择题：题号123456789101112答案DA

9、CDBAACBDBB二填空题：131018014151760164 三解答题：17y=R100Q20000=(QZ),每年生产300件时利润最大，最大值为25000元。18 (1) =av2, v=25, 025时, Q=, 当v=50时Q最大为.19(1) an=()na4()n1b, (2) 8年后开始水土流失.20总利润y=, y5, 则5, 10, a, 该式对0x20恒成立，的最大值为，此时x=0, a的最小值为.21设M是分界线上任意一点， |MA|+|AP|=|MB|+|PB|, |MA|MB|=|PB|AP|=50, 点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上， |AB|2=1750

10、0， 双曲线的方程是, 运土时在双曲线弧左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处。22甲方案：10年共获利42.63万元，银行贷款本息共25.94万元，净收益为16.7万元； 乙方案：10年共获利32.5万元，银行贷款本息共15.94万元，净收益为16.6万元； 所以，甲方案优于乙方案。二、解答题1、某医院为了提高服务质量，进行了下面的调查发现：当还未开始挂号时，有N个人已经在排队等候挂号开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M人假定挂号的速度是每窗口每分钟K个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象根据以上信息，请你解决以

11、下问题：（）若要求8分钟后不出现排队现象，则至少需要同时开放几个窗口？（）若医院做出承诺，开始挂号后每人等待的时间不超过25分钟，问：若N60，当只开放一个窗口时，能否实现做出的承诺？解：（）设要同时开放x个窗口才能满足要求，则 由（1）、（2）得代入（3）得60M8M 82.5Mx，解得x3.4故至少同时开放4 个窗口才能满足要求（）N60时，K2.5，M1，设第n个人的等待时间为当n60时，第n个人的等待时间为他前面的n1个人挂号完用去的时间；当n60时，第n个人的等待时间为他前面的n1个人挂号用去的时间减去他在开始挂号后到来挂号用去的时间 ，即当n60时，则当n60时，取最大值为23.6

12、分钟当n60时，则当n61时，取最大值为23分钟故等待时间最长为23.6分钟，说明能够实现承诺2、已知26列货车以相同速度 v 由 A 地驶向400千米处的 B 地，每两列货车间距离为 d 千米，现知 d 与速度 v 的平方成正比，且当 v20（千米/时）时，d1（千米） （1）写出d关于v的函数关系式； （2）若不计货车的长度，则26列货车都到达 B 地最少需要多少小时？此时货车速度为多少？ 分析 本题的取材背景很公平，每个人都接触到这样的运输问题，实际中也是这样，比如100辆运输车辆若起程，不可能同时出发，最后一辆车，要等待多久？每两辆车之间要保持多大的车距？这是读者要弄清的问题另外，整批

13、货物运到目的地，需要从第一辆车出发开始记时，到最后一辆车到达为止（1） 解：由题意可设dkv2，其中k为比例系数，k0 当v20时，d1，1k202，即k d v2（v0）（2） 解： 每两列货车间距离是d（千米）， 最后一列货车出发时已等待的时间为 （小时），于是全部货车到达B地的时间为 由（1）可知d v2，代入上式整理得 ，（v0）惯于 当且仅当，即v80（千米/时）时，等号成立26列货车都到达B地最少用10小时，此时货车速度为80千米/时3、在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15角，速度为2.5km/h，同时岸边有一人,从同

14、一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h，在水中游的速度为2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.OABvt2(1k)t4kt15设船速为v，显然时人是不可能追上小船，当km/h时，人不必在岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上小船。设船速为v，人追上船所用时间为t，人在岸上跑的

15、时间为，则人在水中游的时间为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.由余弦是理得即整理得.要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且解得. 故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追上的最大速度为，由此可见当船速为2.5km/h时, 人可以追上小船.涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复习时值得关注.4 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比. （1）将此枕木翻转90（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？ （2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材

16、，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？adl 讲解:（1）安全负荷为正常数） 翻转，安全负荷变大.4分当 ，安全负荷变小.（2）如图，设截取的宽为a，高为d，则. 枕木长度不变，u=ad2最大时，安全负荷最大. ，当且仅当，即取，取时，u最大， 即安全负荷最大.三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.7、 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人（140420，且为偶数），每人每年可创利万元.据评估，在经营条件不变的前提下，

17、每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利万元，但公司需付下岗职员每人每年万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？ 讲解 设裁员人，可获得的经济效益为万元,则 =依题意 0.又140420, 70210.(1)当0,即70,即140210时， , 取到最大值; 综上所述，当70140时，应裁员人；当140210时，应裁员人.在多字母的数学问题当中，分类求解时需要搞清：为什么分类？对谁分类？如何分类？8、为防止某突发事件发生，有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率（记为P）和所

18、需费用如下表：预防措施甲乙丙丁P0.90.80.70.6费用（万元）90603010预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施，在总费用不超过120万元的前提下，请确定一个预防方案，使得此突发事件不发生的概率最大.8 解：方案1：单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知，采用甲措施，可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为0.9.方案2：联合采用两种预防措施，费用不超过120万元，由表可知.联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大，其概率为1(10.9)(10.7)=0.97.方法3：联合采用三种预防措施，费用不超过120万元，故只能联合乙、丙、丁三种预防措

19、施，此时突发事件不发生的概率为1（10.8）(10.7)(10.6)=10.024=0.976.综合上述三种预防方案可知，在总费用不超过120万元的前提下，联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.9、某企业2006年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后

20、的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？9解：（）依题设，An=(50020)+(50040)+(50020n)=490n10n2；Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y=x(x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润

21、超过不进行技术改造的累计纯利润.10、某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4v20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30w100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；(2)如果已知所需的经费p=100+3(5x)+2(8y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？10. 解：(1) 由题意得：v=,w=,4v20,30w100,3x10,y.由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9x+y14,因此满足的点(x,y)的

22、存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p=100+3(5x)+2(8y),所以3x+2y=131p,设131p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 11如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地.现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场面积的最大值与最小值 解：连结AP，延长RP交AB于E.设PAE=

23、. （0） PQCR为长方形，PEAB. AP=90，AE=90cos,PE=90sin. ABCD为边长100米的正方形，PR=RE-PE=100-90 sin，PQ=EB=100-90cos SPQCR=PRPQ=（100-90 sin）（100-90cos）=100100-90（sin+cos）+81 sincos令t= sin+cos,则t2=1+2 sincos, sincos= 0,1tSPQCR=100100-90t+81=50（81t2-180t+119） 当t=时，SPQCRmax=14050-9000（米2）；当t=时，SPQCRmin=950（米2） 故长方形停车场面积的

24、最大值是14050-9000米2，最小值是950米2. 12某市粮食储备库的设计容量为30万吨，年初库存粮食10万吨，从元月份起，计划每月收购M万吨，每月内供市面粉厂粮食1万吨，另外每月还有大量的粮食外调任务。已知n个月内，外调粮食的总量W万吨与n的函数关系为W=10，要使在16个月内粮食收购后，能满足内用、外调的需要，且每月粮食调出后，粮库骨人不超过设计容量的储备粮，求M的范围。解：设第n个月库内储粮为y万吨，则令依题意： 当时恒成立。的最大值为 的最小值为。13、学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费用为元，用电炉烧开水每吨开水费用

25、为元 ， 其中为每吨煤的价格，为每百度电的价格. 如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则用煤烧水，否则就用电炉烧水. （本题14分）（1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数；（2）如果每百度电价不低于60元，则用煤烧时每吨煤的最高价是多少？解：（1）由题意得：，即.（2）由SP得60 n76，04当=1时，此时n=75. 答：每吨煤的最高价为153元.14、某私营企业老板对企业有突出贡献的某员工加薪，有两种加薪方案供员工选择：方案一：每年年末加薪1000元；方案二：每半年加薪300元。（注：每年年末加薪元，即是：原薪金为元，则加薪第一年总薪金应为元，第二年薪金应为元，第三年薪金应为元。）设该员工在此私企继续工作年，试问该员工根据自己需继续工作的年限选择哪种加薪方案较实惠，说明理由。解：选择方案一的加薪总额为选择方案二的加薪总额为0x2（工作3年以上）时选择方案二。