广东省韶关市北江中学2015-2016学年高二下学期期中数学试卷（理科） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年广东省韶关市北江中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12道题，每题5分共60分）1设集合M=1，0，1，N=x|x2x，MN=（）A0B0，1C1，1D1，02已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i3给出下列四个结论，其中正确的是（）A若，则abB“a=3“是“直线l1：a2x+3y1=0与直线l2：x3y+2=0垂直”的充要条件C在区间0，1上随机取一个数x，sin的值介于0到之间的概率是D对于命题P：xR使得x2+x+10，则P：xR均有x2+x+104在ABC中，若（2）=0，则ABC的形状为 （）A直角三角形B等腰三角形C

2、等边三角形D等腰直角三角形5执行如图所示的程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件可以是（）Ak7Bk7Ck8Dk86设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）A4BC1D27函数f（x）=Asin（x+）（A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+）的图象，则只需将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度8现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张则不同的取法的共有（）A135B172C

3、189D2169已知为锐角，且sin（）=，则tan2=（）ABCD10一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）ABCD11设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A0g（a）f（b）Bf（b）g（a）0Cf（b）0g（a）Dg（a）0f（b）12若函数有唯一零点x0，且mx0n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A1B3C5D7二、填空题（每题5分，共20分）13二项式的展开式中的常数项为_14圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为_15若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双

4、曲线的渐近线方程是_16已知从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，n，mN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和（m1）个白球，共有C10Cnm+C11Cnm1种取法，即有等式Cnm+Cnm1=Cn+1m成立试根据上述思想，化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk=_（1kmn，k，m，nN）三、解答题17数列an的前n项和为Sn=2an2，数列bn是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列

5、cn满足cn=，前n项和为Pn，对于nN*不等式 Pnt恒成立，求实数t的取值范围18在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（16）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名（）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望19已知四棱锥中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，BAD

6、=120，PA=b（）求证：平面PBD平面PAC；（）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为，求a：b的值20设椭圆E： +=1（ab0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=alnx+（xc）|xc|，a0，c0（1）当a=，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）对x

7、（c，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2）两处的切线分别为l1、l2若x1=，x2=c，且l1l2，求实数c的最小值选修4-5：不等式选讲22已知函数f（x）=|x|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+2m0；（）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围2015-2016学年广东省韶关市北江中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12道题，每题5分共60分）1设集合M=1，0，1，N=x|x2x，MN=（）A0B0，1C1，1D1，0【考点】交集及其运算【

8、分析】求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可【解答】解：由N中不等式变形得：x（x1）0，解得：0x1，即N=0，1，M=1，0，1，MN=0，1，故选：B2已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A1iB1+iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：，复数的共轭复数是1i故选：A3给出下列四个结论，其中正确的是（）A若，则abB“a=3“是“直线l1：a2x+3y1=0与直线l2：x3y+2=0垂直”的充要条件C在区间0，1上随机取一个数x，sin的值介于0到之间的概率是D对于命题P：xR使得x2+x+10，则P：xR均

9、有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用【分析】此题可以用排除法，排除常做题型A，B，D，从而确定答案C【解答】解：A：成立的条件是ab0B：充要条件是=1，得a=3D：P：xR均有x2+x+10C：x0，1，则0，P（sin的值介于0到之间）=故选：C4在ABC中，若（2）=0，则ABC的形状为 （）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【分析】取边AB的中点D，可得=，利用（2）=0，可得=0，即得到CA=CB即可判断出【解答】解：取边AB的中点D，则=，（2）=0，=0，CA=CBABC是等腰三角形故选：B5执行如图所示的程序框图，若输出的，则判

10、断框内填入的条件可以是（）Ak7Bk7Ck8Dk8【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k8【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=+=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k8故选：D6设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为12，则+的最小值为（）A4BC1D2【考点】简单线性规划的应用【分析】作出题中不等式组表示的

11、平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12再利用基本不等式求最值，即可算出+的最小值【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，其中A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点设z=F（x，y）=ax+by（a0，b0），将直线l：z=ax+by进行平移，观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12因此， +=（+）（4a+6b）=2+（），a0，b0，可得=12，当且仅当即2a=3b=3时，的

12、最小值为12，相应地， +=2+（）有最小值为4故选：A7函数f（x）=Asin（x+）（A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+）的图象，则只需将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：由函数f（x）=Asin（x+）的图象可得A=1，根据=，求得=2，再根据五点法作图可得2+=，求得=，f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），g

13、（x）=sin（2x+）=sin2（x+）=sin2（x+）=f（x+），把f（x）的图象向左平移个单位长度，可得g（x）的图象，故选：D8现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张则不同的取法的共有（）A135B172C189D216【考点】计数原理的应用【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有4=189种故选：C9已

14、知为锐角，且sin（）=，则tan2=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数；二倍角的正切【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（），可得tan（），解方程求得tan，可得tan2= 的值【解答】解：为锐角，且sin（）=，cos（）=，tan（）=，tan=，tan2=，故选：C10一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体据此即可得到体积【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体=故选B1

15、1设函数f（x）=ex+x2，g（x）=lnx+x23，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A0g（a）f（b）Bf（b）g（a）0Cf（b）0g（a）Dg（a）0f（b）【考点】函数单调性的性质【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案【解答】解：y=ex和y=x2是关于x的单调递增函数，函数f（x）=ex+x2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2x的图象如右图所示，f（0）=1+020，f（1）=e10，又f（a）=0，0a1，同理，g（x）=lnx+x23在R+上单调递增，g（1）=ln1+

16、13=20，g（）=+（）23=0，又g（b）=0，1，g（a）=lna+a23g（1）=ln1+13=20，f（b）=eb+b2f（1）=e+12=e10，g（a）0f（b）故选：D12若函数有唯一零点x0，且mx0n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A1B3C5D7【考点】函数零点的判定定理【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；函数有唯一零点x0，y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+2（）lnx0=0

17、；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，e527，g（2）0，x（2，e）；m=2，n=3，m+n=5二、填空题（每题5分，共20分）13二项式的展开式中的常数项为24【考点】二项式定理【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=x4r2rxr=x42r令x的幂指数42r=0，解得 r=2，故展开式中的常数项为=46=24，故答案为 2414圆心坐标为（1，2），且与直线2x+y+1=0相切的圆的方程为（x1）2+（y2）2=5【考点】直线与圆的位置关系【分

18、析】根据题意以及点到直线的距离公式求得圆的半径，从而求得圆的方程【解答】解：圆的半径为圆心（1，2）到切线2x+y+1=0的距离，即r=，故要求的圆的方程为（x1）2+（y2）2=5，故答案为：（x1）2+（y2）2=515若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是【考点】双曲线的简单性质【分析】由题设知，因此，所以，由此可求出其渐近线方程【解答】解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为=b，所以，因此，因此其渐近线方程为故答案为：16已知从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，n，mN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法

19、中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是取出一个黑球和（m1）个白球，共有C10Cnm+C11Cnm1种取法，即有等式Cnm+Cnm1=Cn+1m成立试根据上述思想，化简下列式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk=Cn+km（1kmn，k，m，nN）【考点】归纳推理【分析】从装有n+1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m，nN），共有Cn+1m种取法在这Cn+1m种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，另一类是，取出1个黑球，m1个白球，则Cnm+Cnm1=Cn+1m根据上述思想，在式子：Cnm+Ck1Cnm1+Ck2

20、Cnm2+CkkCnmk中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，根据排列组合公式，易得答案【解答】解：在Cnm+Ck1Cnm1+Ck2Cnm2+CkkCnmk中，从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故答案应为：从从装有n+k球中取出m个球的不同取法数Cn+km故答案为：Cn+km三、解答题17数列an的前n项和为Sn=2an2，数列bn是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列（1）求数列an与bn

21、的通项公式；（2）设数列cn满足cn=，前n项和为Pn，对于nN*不等式 Pnt恒成立，求实数t的取值范围【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）根据当n=1时a1=S1，当n2时an=SnSn1，判断出数列an是以2为首项，公比为2的等比数列，并求出an，由等比中项的性质、等差数列的通项公式求出bn；（2）由（1）和题意求出cn，利用裂项相消法求出前n项和Pn，化简后求出Pn的范围，由恒成立求出实数t的取值范围【解答】解：（1）当n=1时，a1=S1=2a12，a1=2，当n2时，an=SnSn1=（2an2）（2an12）=2an2an1，得an=2an1，数列an是以2为首项

22、，公比为2的等比数列，数列an的通项公式为an=2n则b1=a1=2，设公差为d，则b1，b3，b11成等比数列，得（2+2d）2=2（2+10d），解得d=0（舍去）或d=3数列bn的通项公式为bn=3n1（2）cn=（）则pn=（+）=（），又对于nN*不等式 Pnt恒成立，所以实数t的取值范围是t18在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（16）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此

23、在1至6号歌手中随机的选出3名（）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率（）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数

24、学期望【解答】解：（）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）=，P（B）=，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1P（B）=（）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1）（1）（1）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1）=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1）=，P（X=3）=P（ABC）=，X的分布列为： X 0 1 23 PEX=19已知四棱锥中，PA平面ABCD，底面ABCD是边长为a的菱形，BAD=120，PA=b（）

25、求证：平面PBD平面PAC；（）设AC与BD交于点O，M为OC中点，若二面角OPMD的正切值为，求a：b的值【考点】平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（I）根据线面垂直的判定，证明BD平面PAC，利用面面垂直的判定，证明平面PBD平面PAC（II）过O作OHPM交PM于H，连HD，则OHD为APMD的平面角，利用二面角OPMD的正切值为，即可求a：b的值【解答】解：（I）证明：因为PA平面ABCD，所以PABD，又ABCD为菱形，所以ACBD，因为PAAC=A，所以BD平面PAC，因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC（II）解：过O作OHPM交PM于H，连HD，

26、因为DO平面PAC，由三垂线定理可得DHPM，所以OHD为APMD的平面角又，且从而所以9a2=16b2，即20设椭圆E： +=1（ab0），其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2（1）求椭圆E的方程；（2）设过右焦点F2且与x轴不垂直的直线l交椭圆E于P，Q两点，在线段OF2（O为坐标原点）上是否存在点M（m，0），使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意先求出直线与椭圆的交点坐标，再列出方程求出a、b的值，代入椭圆方程即可；（2）先假设存在点M（m，0）（）满足条件，由点斜

27、式设出直线l的方程，以及P、Q的坐标，将直线方程代入椭圆方程化简后，利用韦达定理、菱形的等价条件、向量知识，可求出m的范围，再进行判断【解答】解：（1）不妨设焦点的坐标是（c，0），则过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点坐标为（c，y0），代入+=1可得，y0=，因为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的弦长为2，所以，由题意得，a=b，代入上式解得：a=、b=，故所求椭圆方程为（2）假设在线段OF2上存在点M（m，0）（）满足条件，直线与x轴不垂直，设直线l的方程为设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，可得则，其中x2x10，以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，（x1+x22m）（x2x

28、1）+（y1+y2）（y2y1）=0x1+x22m+k（y1+y2）=0化简得=（k0），则在线段OF2上存在点M（m，0）符合条件，且21已知函数f（x）=alnx+（xc）|xc|，a0，c0（1）当a=，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）对x（c，+）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1）、Q（x2，f（x2）两处的切线分别为l1、l2若x1=，x2=c，且l1l2，求实数c的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区

29、间；（2）若f（x）对x（c，+）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1l2知，得到，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值【解答】解：函数，求导得（1）当，时，若，则恒成立，所以f（x）在上单调减；若，则，令f（x）=0，解得或（舍），当时，f（x）0，f（x）在上单调减；当时，f（x）0，f（x）在上单调增所以函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是（2）当xc，时，而，所以当cx1时，f（x）0，f（x）在（c，1）上单调减；当x1时，f（x）0，f（x）在（1，+）上单调增所以函数f（x）在（c，+）上的最小值为，所以恒成立，解得a1或a1，又由，得a2

30、，所以实数a的取值范围是（2，1（3）由l1l2知，而，则，若，则，所以，解得，不符合题意；故，则，整理得，由c0得，令，则，t2，所以，设，则，当时，g（t）0，g（t）在上单调减；当时，g（t）0，g（t）在上单调增所以，函数g（t）的最小值为，故实数c的最小值为选修4-5：不等式选讲22已知函数f（x）=|x|，g（x）=|x4|+m（）解关于x的不等式gf（x）+2m0；（）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求实数m的取值范围【考点】函数的图象；绝对值不等式的解法【分析】（）把函数f（x）=|x|代入gf（x）+2m0可得不等式|x|4|2，解此不等式可得解集；（）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，则f（x）g（x）恒成立，即m|x4|+|x|恒成立，只要求|x4|+|x|的最小值即可【解答】解：（）把函数f（x）=|x|代入gf（x）+2m0并化简得|x|4|2，2|x|42，2|x|6，故不等式的解集为（6，2）（2，6）；（）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，f（x）g（x）恒成立，即m|x4|+|x|恒成立，|x4|+|x|（x4）x|=4，m的取值范围为m42016年9月10日