山东省济南市2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 WORD版含解析 .doc

1、2019-2020学年山东省济南市高二第二学期期中数学试卷一、单择题（共8小题）.1.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：由题意可得： .本题选择A选项2.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简得到，得到，得到答案.【详解】，故，.故选：.【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.3.函数的最大值是( )A. 1B. C. 0D. 【答案】A【解析】【分析】求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.【详解】，令解得 在上单增，在单减故选：A【点睛

2、】解决函数极值、最值问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值4.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于4”；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件概率为5.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案

3、.【详解】由图象可知，函数的定义域为R，而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，使得，所以函数不是奇函数，所以选项D不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项B，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意；由图象可知函数是增函数，选项C，所以函数是增函数，所以选项C符合题意.故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6.已知下表所示数据的回归直线方程为，则实数a的值为( )A. 16B. 18C. 20D. 22【答案】B【解析】【分析】根据回归直线经过样本中心点可求得

4、结果.【详解】由表中数据知，样本中心点的横坐标为：（2+3+4+5+6）=4，由回归直线经过样本中心点，得444=12，即（3+7+11+a+21）=12，解得a=18.故选：B.【点睛】本题考查了回归直线经过样本中心点，属于基础题.7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，求导得到，再根据函数的图象在点处的切线的斜率为3，由求解，从而得到，则，再利用裂项相消法求解.【详解】因为，所以，因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，所以，解得，所以，数列，所以，.故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项

5、法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.【详解】设这个球落入号球槽为事件，落入号球槽两次向右，三次向左，所以.故选：D.【点睛】本

6、题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差也变为原来的a倍B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D. 某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），则P（1）=0.5【答案】BD【解析】【分析】对A，方差应变为原来的a2倍；对B，

7、x增加1个单位时计算y值与原y值比较可得结论；线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱；根据正态曲线关于x=1对称即可判断.【详解】对于选项A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a后，方差变为原来的a2倍，故错误.对于选项B：若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，故y平均减少5个单位，正确.对于选项C：线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误.对于选项D：在某项测量中，测量结果服从正态分布N（1，2）（0），由于正态曲线关于x=1对称，则P（1）=0.5，正确.故选：BD【点睛】本题考查样本数据方差的计算、线性回归方程

8、的相关计算、正态分布的概率问题，属于基础题.10.在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，则下列说法正确的是( )A. BC1/平面AQPB. 平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形C. A1D平面AQPD. 异面直线QP与A1C1所成的角为60【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可判断；对于B，连接AP，AD1，D1Q即可求解.对于C，利用线面垂直的性质定理即可判断；对于D，根据异面直线所成角的定义即可求解.【详解】在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为棱BC和棱CC1的中点，如图所示：对于选项A：P，Q分别为棱BC和棱CC1

9、的中点，所以PQ/BC1，由于PQ平面APQ，BC1不在平面APQ内，所以BC1/平面APQ，故选项A正确.对于选项B：连接AP，AD1，D1Q，由于AD1/PQ，D1Q=AP，所以平面APQ截正方体所得截面为等腰梯形，故选项B正确.对于选项C：由于A1D平面ABC1D1，平面ABC1D1和平面APQD1为相交平面，所以A1D平面AQP是错误的，故选项C错误.对于选项D：PQ/BC1，A1BC1为等边三角形，所以A1C1B=60，即异面直线QP与A1C1所成的角为60，故选项D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、多面体的截面图形、线面垂直的性质定理、异面直线所成的角，属于基

10、础题.11.若则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】A.利用通项公式求第三项的系数即可.B.根据，令求解.C.先令，得，再令求解.D.令求解.【详解】因为，所以，所以，故A正确.因为，令，得，故B正确.令，得，令得：，所以，故C错误.令，得，所以，故D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题.12.已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】采用逐一验证的方法，通过构造函数，根据这些函数在的单调性可得结果.【详解】设，则在上恒成立，故函数单调递增，故

11、，即，A正确；设，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，即，故，B错误；设，则在上恒成立，故函数单调递增，即，C正确；设，则在上恒成立，故函数单调递增，故，即，故，D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13.在某市举行的数学竞赛中，A，B，C三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有_种不同的排法（用数字作答）【答案】【解析】【分析】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，计算得到答案.【详解】利用捆绑法将每个学校的同学看成一

12、个整体，则共有种排法.故答案为：.【点睛】本题考查了排列的应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.14.设的展开式中的系数为，二项式系数为，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.【详解】展开式通项公式为：当，即时， 【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题.15.易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_.【答案】【解析】【

13、分析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。16

14、.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数，则的对称中心为_；计算=_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】求导得到，故得到对称中心，故，计算得到答案.【详解】，则，则.，故的对称中心为.故，则.故答案为：；.【点睛】本题考查了求函数的导数，新定义问题，利用函数的对称性求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.四、解答题（本大题共6个小题，满分70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）17.在等差数列中

15、，（1）求数列的通项公式；（2）现从的前10项中随机取数， ，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答条件：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响条件：若从10个数中一次取出三个数【答案】（1）；（2）若选择条件，若选择条件，【解析】【分析】（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.（2）若选择条件，；若选择条件，计算得到答案.【详解】（1），故，故.（2）若选择条件：的前10项为.则.若选择条件：的前10项为.则.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，概率的计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.在如图所示的几

16、何体中，平面，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.详解：(1)在中，.所以，所以为直角三角形，.又因为平面，所以.而，所以平面.(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，则平面平面.二面角就是平面与平面所成二面角.因为，所以是的

17、中位线.，这样是等边三角形.取的中点为，连接，因为平面.所以就是二面角的平面角.在，所以.(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.设是平面的法向量，则令得.取平面的法向量为.设平面与平面所成二面角的平面角为，则，从而.点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知a为实数当，时，求在上的最大值；当时，若在R上单调递增，求a的取值范围【答案】 ； .【解析】【分析】求导后，列表得x，的变化情况，进而求得最大值；依题意，恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解【详解】解：当，时，则x，的变化情况如下：x0增函数极大

18、值减函数；在R上单调递增，则对恒成立，得，设，则在上恒成立，则有，得【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查不等式的恒成立问题，考查转化思想及换元思想，属于基础题20.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数

19、学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】【分析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出， ， ， ，进而求出的数学期望 （2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果【详解】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中， 的所有可能取值为，则， ， ， 的分布列为： ，所以， 所以，的数学期望为 （2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测

20、试的概率为 ， 因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化21.推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”

21、（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解合计男性女性合计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望.附：，（n=a+b+c+d）.临界值表：【答案】（1）；（2）列联表见解析，有把握；（3）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）用得分不低于60分的频数除以样本容量可得答案；（2）根据频率分布表可得22列联表，计算，结合临界值表可得结论；（3）根据分

22、层抽样可知，男性抽6人，女性抽4人，所以的可能取值有0，1，2，3，再根据古典概型的概率公式计算的各个取值的概率即可得分布列，再用期望公式可得期望.【详解】（1）小区1000名居民中，得分不低于60分的人数为：130+110+60+30+110+100+40+20=600，故从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率为P.（2）22列联表如下：不太了解比较了解合计男性250330580女性150270420合计40060010005.54，5.543.841，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.（3）参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，男

23、性有90人，女性有60人，若按分层抽样的办法从中抽取10人，则男性人数为106，女性人数为104.故的可能取值有0，1，2，3.P（=0），P（=1），P（=2），P（=3）.的分布列为：0123PE（）=0123.【点睛】本题考查了由频率分布表求概率，考查了完善列联表，考查了独立性检验，考查了分层抽样，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题.22.已知函数（1）若在上恒成立，求的取值范围；（2）设，当时，若，求零点的个数【答案】（1）；（2）函数有两个零点【解析】【分析】（1）变换得到，设，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案.（2）求导得到，得到函数单调区间，得到，且当时，当时，得到答案.【详解】（1）在上恒成立，故，设，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，故.（2），则，则，当时，故，函数单调递增；当时，故，函数单调递减.，且当时，；当时，根据零点存在定理知：函数在和上各有一个零点，故函数有两个零点.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，函数的零点个数，意在考查学生的计算能力和应用能力，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.