2021年高考数学 考点38 直接证明与间接证明必刷题 理（含解析）.doc

1、考点38 直接证明与间接证明1用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设，否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )A 自然数都是奇数 B 自然数都是偶数C 自然数至少有两个偶数或都是奇数 D 自然数至少有两个偶数【答案】C【解析】命题的否定是命题本题反面的所有情况，所以“自然数中恰有一个偶数”的否定是“自然数至少有两个偶数或都是奇数”，选C.2用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A 假设，都是偶数B 假设，都不是偶数C 假设，至多有一个是偶数D 假设，至多有两个是偶数【答案】B 3用反证法证明命题“等腰

2、三角形的底角必是锐角”,下列假设正确的是（ ）A 等腰三角形的顶角不是锐角 B 等腰三角形的底角为直角C 等腰三角形的底角为钝角 D 等腰三角形的底角为直角或钝角【答案】D【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.详解：反证法的假设需要写出命题的反面.“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角”，即底角为直角或钝角.本题选择D选项.4用反证法证明命题“若都是正数，则三数中至少有一个不小于2”，提出的假设是（ ）A 不全是正数 B 至少有一个小于2C 都是负数 D 都小于2【答案】D 5用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于”时，假设正确的是（ ）A

3、假设三内角都不大于 B 假设三内角都大于C 假设三内角至多有一个大于 D 假设三内角至多有两个大于【答案】B【解析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”；即“三内角都大于60度”.故选B.6已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；设为实数，求证与中至少有一个不小于，用反证法证明时，可假设，且.则A 的假设正确，的假设错误 B 的假设错误，的假设正确C 与的假设都错误 D 与的假设都正确【答案】B 7用反证法证明“三角形中至少有两个锐角”，下列假设正确的是（ ）A 三角形中至多有两个锐角 B 三角形中至多只有一个锐角C 三角形中三个角都是锐角

4、 D 三角形中没有一个角是锐角【答案】B【解析】用反证法证明“一个三角形中至少有两个锐角”时，应先假设“一个三角形中最多有一个锐角”.故选：B.8用反证法证明命题“已知为整数，若不是偶数，则都不是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）A 假设都是偶数 B 假设中至多有一个偶数C 假设都不是奇数 D 假设中至少有一个偶数【答案】D【解析】由于“都不是”的否定是“不都是”，即“至少有一个”，所以应该假设中至少有一个偶数，故选D.9已知实数满足，用反证法证明：中至少有一个小于0下列假设正确的是 （ ）A 假设至多有一个小于0B 假设中至多有两个大于0C 假设都大于0D 假设都是非负数【答案】D【解析】由

5、于命题“若a，b，c，d中至少有一个小于0”的反面是“a，b，c，d都是非负数”，故用反证法证明时假设应为“a，b，c，d都是非负数”故选D10对于命题：，若用反证法证明该命题，下列假设正确的是（ ）A 假设，都不为0 B 假设，至少有一个不为0C 假设，都为0 D 假设，中至多有一个为0【答案】A 11用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设( )A B C 且 D 或 【答案】D【解析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而的否定为“不都为零”，故选D.12用反证法证明命题“已知为非零实数，且，求证中至少有两个为正数”时，要做的假设是（ ）A 中至少有两个为负数 B

6、中至多有一个为负数C 中至多有两个为正数 D 中至多有两个为负数【答案】A【解析】用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而：“中至少有二个为正数”的否定为：“中至少有二个为负数”故选A13设函数，.()讨论函数的单调性；()当时，函数恰有两个零点，证明：【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.(2)证明见解析. 14若无穷数列满足：是正实数，当时，则称是“-数列”.已知数列是“-数列”.（）若，写出的所有可能值；（）证明：是等差数列当且仅当单调递减；（）若存在正整数，对任意正整数，都有，证明：是数列的最大项.【答案】（1）-2，0，2，8.（

7、2）见解析（3）见解析 15已知集合是集合 的一个含有个元素的子集.（）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（）证明:对任意一个,存在正整数使得方程 至少有三组不同的解.【答案】（）（）,（）；（）证明见解析.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而 又这与矛盾,所以结论成立.16（1）（用综合法证明）已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列，a，b，c成等比数列，证明：ABC为等边三角形。（2）（用分析法证明）设a，b，c为一个三角形的三边，s(abc)，且s22ab，试证：s

8、2a.【答案】(1)见解析;(2)见解析.（2）要证s2a，由于s22ab，所以只需证s，即证bs. 因为s (abc)，所以只需证2babc，即证bac. 由于a，b，c为一个三角形的三条边，所以上式成立于是原命题成立【点睛】所谓综合法，是指“由因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；若要证明B，则先证明C，”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，”。17已知ABC的三边长为a，

9、b，c，三边互不相等且满足b2ac(1)比较与的大小，并证明你的结论；(2)求证：B不可能是钝角【答案】(1)见解析;(2)见解析.学们的解题能力大有裨益一、反证法的基本内容1步骤：假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立（反设）；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾（归谬）；由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立（结论）其中推出矛盾主要有下列情形：与已知条件矛盾；与公理、定理、定义及性质矛盾；与假设矛盾；推出自相矛盾的结论2宜用反证法证明的题型：易导出与已知矛盾的命题；否定性命题；惟一性命题；至少至多型命题；一些基本定理；必然性命题等18在各项均为正数的数列中， 且. （）当时，求的

10、值；（）求证：当时，.【答案】()见解析；（）见解析.只需证 ，只需证 .只需证 ， 只需证 ， 根据均值定理，所以原命题成立. 19（1）证明：当时，；（2）已知，且，求证：与中至少有一个小于2【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 20（）求证：（）已知，且，求证：和中至少有一个小于2.【答案】（）见解析；（）见解析. 21若均为实数，且， ， ，求证：中至少有一个大于.【答案】证明见解析.【解析】证明：设都不大于，即又 , 与矛盾.假设错误，原命题正确，即中至少有一个大于. 22设实数成等差数列，实数成等比数列，非零实数是与的等差中项.求证：【答案】见解析点睛：所谓综合法，是指“由

11、因导果”的思维方法，即从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论的方法所谓分析法，是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法应用分析法证题时，语气总是假定的，通常的语气有：“若要证明A，则先证明B；若要证明B，则先证明C，”或“若要A成立，必先B成立；若要B成立，必先C成立，”。23（1）在中，内角的对边分别为，且证明： ；（2）已知结论：在直角三角形中，若两直角边长分别为，斜边长为 ，则斜边上的高 .若把该结论推广到空间：在侧棱互相垂直的四面体中，若三个侧面的面积分别为，底面面积为，则该四面体的高与之间的关系是什么？（用表示）【答案】(1)证明见解析.(2).面，显然成立，故（2）解：记该四面体的三条侧棱长分别为，不妨设，由，得，于是即. 24求证：（1）；（2）【答案】(1)见解析.(2)见解析.只要证，只要证，显然成立，故 25比较大小：_ （用连接）【答案】