2021版高考数学导与练一轮复习（浙江版）课时跟踪检测：第十章 第三节空间图形的基本关系与公理 WORD版含解析.doc

1、第三节空间图形的基本关系与公理 选题明细表知识点、方法题号平面的基本性质1,4,5点线面的位置关系2,3,10,15异面直线所成的角6,9,11,12综合问题7,8,13,14一、选择题1.平面的斜线AB交于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交于点C,则动点C的轨迹是(A)(A)一条直线 (B)一个圆(C)一个椭圆 (D)双曲线的一支解析:设l与l是过定点A的两条任意的直线,则这两条直线确定一个平面,且斜线AB垂直这个平面,由过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直的所有直线都在这个平面内,故动点C都在这个平面与平面的交线上,故选A.2.已知l1,l2,l3是空间中

2、三条不同的直线,则下列命题正确的是(B)(A)l1l2,l2l3l1l3(B)l1l2,l2l3l1l3(C)l1l2l3l1,l2,l3共面(D)l1,l2,l3共点l1,l2,l3共面解析:在空间中,垂直于同一直线的两条直线不一定平行,故A错;两条平行直线中的一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线,B正确;相互平行的三条直线不一定共面,如三棱柱的三条侧棱,故C错;共点的三条直线不一定共面,如三棱锥的三条侧棱,故D错.故选B.3.已知平面和直线l,则在平面内至少有一条直线与直线l (B)(A)平行 (B)垂直(C)相交 (D)以上都有可能解析:若直线l与平面相交,则在平面内不存在直

3、线与直线l平行,故A错误;若直线l平面,则在平面内不存在直线与l相交,故C错误;对于直线l与平面相交,直线l与平面平行,直线l在平面内三种位置关系,在平面内至少有一条直线与直线l垂直,故选B.4.给出下列命题,其中正确命题的个数是(B)如果线段AB在平面内,那么直线AB在平面内;两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A,B,C;若三条直线a,b,c互相平行且分别交直线l于A,B,C三点,则这四条直线共面;若三条直线两两相交,则这三条直线共面;两组对边相等的四边形是平行四边形.(A)1(B)2(C)3(D)4解析:显然正确.若两平面有三个不共线的公共点,则这两平面重合,故不正确.三条直线

4、两两相交于同一点时,三条直线不一定共面,故不正确;两组对边相等的四边形可能是空间四边形,不正确.故选B.5.如图所示,在空间四边形ABCD中,点E,H分别是边AB,AD的中点,点F,G分别是边BC,CD上的点,且=,则(D)(A)EF与GH平行(B)EF与GH异面(C)EF与GH的交点可能在直线AC上,也可能不在直线AC上(D)EF与GH的交点一定在直线AC上解析:依题意,可得EHBD,FGBD,故EHFG,所以E,F,G,H共面.因为EH=BD,FG=BD,故EHFG,所以四边形EFGH是梯形,EF与GH必相交,设交点为M.因为点M在EF上,故点M在平面ACB上.同理,点M在平面ACD上,即

5、点M是平面ACB与平面ACD的交点,而AC是这两个平面的交线,所以点M一定在直线AC上.6.直三棱柱ABC-A1B1C1中,若BAC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:如图,延长CA到点D,使得AD=AC,连接DA1,BD,则四边形ADA1C1为平行四边形,所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角(或其补角).又A1D=A1B=DB,所以A1DB为等边三角形,所以DA1B=60.故选C.7.如图,三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列

6、叙述正确的是(A)(A)AE,B1C1为异面直线,且AEB1C1(B)AC平面A1B1BA(C)CC1与B1E是异面直线(D)A1C1平面AB1E解析:底面是正三角形,E为中点,所以AEBC,因为BCB1C1,所以AEB1C1,所以A项正确.故选A.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为,以顶点A为球心,2为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于(A) (A) (B) (C) (D)解析:如题图,球面与正方体的六个面都相交,所得的交线分为两类,一类在顶点A所在的三个面上,即平面ABCD、平面AA1D1D和平面AA1B1B上,另一类在不过顶点A的三个面上,

7、即平面BB1C1C、平面CC1D1D和平面A1B1C1D1上,在平面AA1B1B上,交线为弧EF且在过球心A的大圆上,因为AE=2,AA1=,则A1AE=,同理,BAF=,所以EAF=,故EF弧长为2=,而这样的弧共有3条,在平面BB1C1C上,交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上,此时,小圆的半径为1,FBG=,所以弧FG的长为1=,于是,所得曲线长为+=,故选A.二、填空题9.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,D是PC的中点.已知BAC=90,AB=2,AC=2,PA=2.则三棱锥P-ABC的体积为;异面直线BC与AD所成角的余弦值为.解析:SABC=22=

8、2,故三棱锥P-ABC的体积为V=SABCPA=22=.如图所示,取PB的中点E,连接DE,AE,则DEBC,所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在ADE中,DE=BC=2,AE=,AD=2,则cosADE=.即异面直线BC与AD所成角的余弦值为.答案:10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:直线AM与BC1;直线AM与BN;直线BN与B1C1;直线AM与DD1.其中异面直线的序号为 ;共面直线的序号为.解析:直线AM在平面ABC1D1内与BC1不是异面直线,是共面直线,直线BN与B1C1是共面直线,直线AM与BN

9、是异面直线,AM与DD1也是异面直线.答案:11.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,则当直线AB与a成60角时,AB与b所成角的大小为;直线AB与a所成角的最小值为.解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,又ACa,ACb,AC圆锥底面,所以在底面内可以过点B,作BDa,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DEBD,所以DEb,连接AD,设BC=1,在等腰ABD中,AB=AD=,当直线AB与a成60角时,ABD=60,故BD=,又在RtBDE中,BE=2,所以DE=,过点B作BFDE

10、,交圆C于点F,连接AF,EF,所以BF=DE=,所以ABF为等边三角形,所以ABF=60,即AB与b所成的角为60,由最小角定理可知直线AB与a所成角的最小值为45答案:604512.在正四面体ABCD中,M是AB中点,N是CD上的动点,若直线MN与BD所成的角为,则cos 的取值范围是.解析:取AD的中点E,连接ME,则MEBD,直线MN与BD所成的角为EMN(或其补角),N在CD上运动过程中可知,EMN连续变化.设正四面体的棱长为2,则N位于D点时,cos EMN=,当点N位于C点时,ME=1,CM=EC=,cos EMN=.答案:,13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1

11、,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为.解析:利用平面的基本性质结合特殊四边形的判定与性质求解.当0CQ时,如图(1).在平面AA1D1D内,作AEPQ,显然E在棱DD1上,连接EQ,则S是四边形APQE.当CQ=时,如图(2).显然PQBC1AD1,连接D1Q,则S是等腰梯形.当CQ=时,如图(3).作BFPQ交CC1的延长线于点F,则C1F=.作AE

12、BF,交DD1的延长线于点E,D1E=,AEPQ,连接EQ交C1D1于点R,由于RtRC1QRtRD1E,所以C1QD1E=C1RRD1=12,所以C1R=.当CQ1时,如图(3),连接RM(点M为AE与A1D1的交点),显然S为五边形APQRM.当CQ=1时,如图(4).同可作AEPQ交DD1的延长线于点E,交A1D1于点M,显然点M为A1D1的中点,所以S为菱形APQM,其面积为MPAQ=.答案:三、解答题14.在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC-A1B1C1中,AB=AC=1,BAC=90,且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60.(1)求棱柱的高;(2)求B1C1与平面A1BC1所成

13、的角的大小.解:(1)由三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱可知,AA1即为其高.如图,因为BCB1C1,所以A1BC是异面直线A1B与B1C1所成的角或其补角.连接A1C,因为AB=AC,所以A1B=A1C=.在RtABC中,由AB=AC=1,BAC=90,可得BC=.又异面直线A1B与B1C1所成的角为60,所以A1BC=60,即A1BC为正三角形.于是A1B=BC=.在RtA1AB中,由=A1B=,得AA1=1,即棱柱的高为1.(2)连接B1A,设B1ABA1=E,连接C1E,由(1)知,B1A1=AA1=1,所以矩形BAA1B1是正方形,所以B1EA1B.又由A1C1平面A1B1BA得

14、A1C1B1E,于是得B1E平面A1BC1.故B1C1E就是B1C1与平面A1BC1所成的角.在RtA1B1C1中,由A1B1=A1C1=1,B1A1C1=90,可得B1C1=.在RtB1EC1中,由B1E=A1B=,B1C1=,得sinB1C1E=,故B1C1E=30.因此B1C1与平面A1BC1所成的角为30.15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C与截面DBC1交于O点,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线.证明:因为C1平面A1ACC1,且C1平面DBC1,所以C1是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点.又因为MAC,所以M平面A1ACC1.因为MBD,所以M平面DBC1,所以M也是平面A1ACC1与平面DBC1的公共点,所以C1M是平面A1ACC1与平面DBC1的交线.因为O为A1C与截面DBC1的交点,所以O平面A1ACC1且O平面DBC1,即O也是两平面的公共点,所以O直线C1M,即C1,O,M三点共线.