2021版高考数学（人教A版理科）一轮复习攻略核心素养测评 五十一　利用空间向量求二面角与空间距离 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评 五十一利用空间向量求二面角与空间距离(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的一个法向量为n=(2,-2,1),已知点P(-1,3,2),则点P到平面OAB的距离d等于()A.4B.2 C.3D.1【解析】选B.P点到平面OAB的距离为d=2.2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若=,则二面角A-BD-C的大小为()A. B.C.或D.或【解析】选C.如图所示,当二面

2、角A-BD-C为锐角时,它就等于=;当二面角A-BD-C为钝角时,它应等于-=-=.3.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为 ()A.2B.C.D.1【解析】选D.以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0), C1(0,2,2),E(0,2,),易知AC1平面BDE.设n=(x,y,z)是平面BDE的法向量.则取y=1,则n=(-1,1,-)为平面BDE的一个法向量.又=(2,0,0),所以点A到平面

3、BDE的距离是d=1.故直线AC1到平面BED的距离为1.4.如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,BAC=30,圆锥的母线与底面成的角为60,则点A到平面PBC的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则所以所以y=z=-x,所以取m=(-1,1),因为=(0,4,4),所以d=,所以点A到平面PBC的距离为. 5.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均

4、相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2,二面角S-AB-C的平面角为3,则()A.123B.321C.132D.231【解析】选D.如图所示,作S的投影点O,取AB的中点F,连接SO,SF,OF,作GE平行于BC,且GE=BC,连接SG,OG,SE,OE.因为S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,所以SOF=SOE=SGE=90,因为SE与BC所成的角为1,所以cos 1=,因为SE与平面ABCD所成的角为2,所以sin 2=,因为二面角S-AB-C的平面角为3,所以sin 3=,cos 3=.因为GE=OF,SFSE,所以cos 1

5、cos 3,sin 2sin 3,即13, 23,所以231.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图所示,P是二面角-AB-棱上一点,分别在,内引射线PM,PN,若BPM=BPN=45,MPN=60,则二面角-AB-大小为_.【解析】如图,过M在内作MFAB,过F在内作FNAB交PN于点N,连接MN.因为MPB=NPB=45,所以PMFPNF.设PM=1,则MF=NF=,PM=PN=1,又因为MPN=60,所以MN=PM=PN=1,所以MN2=MF2+NF2,所以MFN=90.答案:907.在四面体P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,设PA=PB=PC=a,则点P到平面ABC的距离为_

6、.【解析】根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz,则P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点P作PH平面ABC,交平面ABC于点H,则PH的长即为点P到平面ABC的距离.因为PA=PB=PC,所以H为ABC的外心.又因为ABC为正三角形,所以H为ABC的重心,可得H点的坐标为,.所以PH=a.所以点P到平面ABC的距离为a.答案:a8.如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,则点M到直线AD1距离的最小值为_.【解析】设M(0,m,m)(0ma),=(-a,0,a),直线AD1的一个单位方向

7、向量s0=-,0,由=(0,-m,a-m),故点M到直线AD1的距离d=,根式内的二次函数当m=-=时取最小值2-a+a2=a2,故d的最小值为a.答案:a 三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC=AA1=1,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点,且PB1平面BDA1.(1)求证:CD=C1D.(2)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值.(3)求点C到平面B1DP的距离.【解析】(1)连接AB1,交BA1于点O,连接OD.因为B1P平面BDA1,B1P平面AB1P,平面AB1P平面BA1D=OD,

8、所以B1POD.又因为O为B1A的中点,所以D为AP的中点.因为C1DAA1,所以C1为A1P的中点.所以DC1=AA1=CC1,所以C1D=CD.(2)建立如图所示的空间直角坐标系A1-xyz,则B1(1,0,0),B(1,0,1),D0,1,所以=(1,0,0),=(1,0,1),=0,1,.设平面BA1D的一个法向量为n=(x1,y1,z1).由得令z1=2,则x1=-2,y1=-1,所以n=(-2,-1,2).又=(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量,所以cos=-.由图形可知二面角A-A1D-B为锐角,所以二面角A-A1D-B的平面角的余弦值为.(3)因为C(0,1,1),D0,

9、1,B1(1,0,0),P(0,2,0),所以=0,0,-,=1,-1,-,=0,1,-.设平面B1DP的一个法向量为m=(x2,y2,z2).由得令z2=2,则x2=2,y2=1,所以m=(2,1,2).所以点C到平面B1DP的距离d=.10.(2018全国卷)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC.(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0),设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,则即可取n=(1,0,2).是平面MCD的法向量,因此cos=,sin=,所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.关闭Word文档返回原板块