2022届高中数学（理科）《统考版》一轮复习学案：2-8 函数与方程 WORD版含解析.docx

1、第八节函数与方程【知识重温】一、必记4个知识点1函数的零点的概念对于函数yf(x)，xD，我们把使_的实数x叫做函数yf(x)，xD的零点2方程的根与函数的零点的关系由函数的零点的概念可知，函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根，也就是函数yf(x)的图象与_的交点的横坐标所以方程f(x)0有实数根_函数yf(x)有零点3函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且_，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根4二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不

2、断把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二分法二、必明2个易误点1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，是函数图象与x轴交点的横坐标，是一个实数，易误认为是一个点而写成坐标形式2.由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示所以f(a)f(b)0是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)只

3、要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值()(4)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)f(b)0，则函数f(x)在a，b上有且只有一个零点()二、教材改编2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2) B(2,3)C(，1)和(3,4) D(4，)3若函数f(x)24ax24x1在区间(1,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是_三、易错易混4下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()5设f(x)在区间a，b上是连续的单调函数，且f(a)f(b)1,0b1，则函数f(x)axx

4、b的零点所在的区间是()A(2，1) B(1,0) C(0,1) D(1,2)3函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)悟技法确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数yf(x)必须在区间a，b上是连续的，当f(a)f(b)0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)g(x)h(x)，作出yg(x)和yh(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.考点二判断函数零点个数互动讲练型例1(1)函数f

5、(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3(2)2021广西宜州联考若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log3|x|的零点个数是()A5 B4 C3 D2悟技法判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同

6、的值，就有几个不同的零点.变式练(着眼于举一反三)12021山西临汾质检若函数yf(x)的图象是连续不断的，且部分数据的对应值如表所示x123456y52812510函数yf(x)在x1,6上的零点至少有()A0个 B1个 C2个 D3个2已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()A1 B2 C3 D4考点三函数零点的应用分层深化型考向一：根据函数零点个数或存在情况求参数范围例22020天津卷已知函数f(x)若函数g(x)f(x)|kx22x|(kR)恰有4个零点，则k的取值范围是()A.(2，)B.(0,2)C(，0)(0,2)D(，0)(2，)考向二：求函数各个零点(方程根)的和

7、(范围)例32021天津南开检测设函数f(x)若函数g(x)xaf(x)有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是_悟技法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3种方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 变式练(着眼于举一反三)32018全国卷已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()A1,0) B0，)C1，) D1，)42021河北衡水中学调考已知函数f(x)则函数F(x)f(x

8、)a2a1(aR)总有零点时，a的取值范围是()A(，0)(1，) B1,2)C1,0(1,2 D0,1第八节函数与方程【知识重温】f(x)0x轴函数yf(x)的图象与x轴有交点连续不断f(a)f(b)0f(c)0一分为二零点近似值【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)(5)2解析：f(2)ln 210，且函数f(x)的图象在(0，)上连续不断，f(x)为增函数，f(x)的零点在区间(2,3)内答案：B3解析：(1)当a0时，f(x)4x1.令f(x)0，得4x10，x(1,1)当a0时，f(x)在(1,1)内恰有一个零点(2)当a0时，42424a(1)1696a.若0，即a，则函数f

9、(x)的图象与x轴交于点(，0)，x是(1,1)内的唯一零点若0，即a，则a.综上可得，a的取值范围是.答案：4解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反，由图象可得，只有A不满足此条件故选A.答案：A5解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在a，b内与x轴只有一个交点，即方程f(x)0在a，b内只有一个实根答案：D6解析：由f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x(1cos x)0得sin x0或cos x1，xk，kZ，又x0,2，x0，2.即零点有3个故选B.答案：B课堂考点突破考点一1解析：令f(x)2ln x3x，

10、则函数f(x)在(0，)上单调递增，且f(1)20，所以函数f(x)在(1,2)内有零点，即a在区间(1,2)内答案：D2解析：因为a1,0b1，f(x)axxb，所以f(1)1b0，所以f(x)的零点在区间(1,0)内故选B项答案：B3解析：解法一(定理法)函数f(x)log3xx2的定义域为(0，)，并且f(x)在(0，)上单调递增，图象是一条连续曲线由题意知f(1)10，f(3)20，根据零点存在性定理可知，函数f(x)log3xx2有唯一零点，且零点在区间(1,2)内解法二(图象法)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)log3x，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围作出两个

11、函数的图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.答案：B例1解析：(1)当x0时，令f(x)0，即x22x0，解得x2，或x0(舍去)所以当x0时，只有一个零点；当x0时，f(x)exx2，而f(x)ex1，显然f(x)0，所以f(x)在0，)上单调递增，又f(0)e00210，所以当x0时，函数f(x)有且只有一个零点综上，函数f(x)只有两个零点(2)偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，函数的周期为2.当x0,1时，f(x)x，故当x1,0时，f(x)x.函数yf(x)log3|x|的零点的个数等于函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象的交点个数在同一个坐标

12、系中画出函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象，如图所示显然函数yf(x)的图象与函数ylog3|x|的图象有4个交点，故选B项答案：(1)C(2)B变式练1解析：由题中表格得f(1)f(2)0，f(4)f(5)0，因为函数的图象是连续不断的，所以函数在(1,2)内至少有一个零点，在(4,5)内至少有一个零点，所以函数yf(x)在x1,6上的零点至少有两个故选C项答案：C2解析：函数yf(x)x4的零点，即函数yx4与yf(x)的交点的横坐标如图所示，函数yx4与yf(x)的图象有两个交点，故函数yf(x)x4的零点有2个故选B项答案：B例2解析：由题意知函数g(x)f(x)|kx2

13、2x|恰有4个零点等价于方程f(x)|kx22x|0，即f(x)|kx22x|有4个不同的根，即函数yf(x)与y|kx22x|的图象有4个不同的公共点图1当k0时，在同一平面直角坐标系中，分别作出yf(x)与y|2x|的图象如图1所示，由图1知两图象只有2个不同的公共点，不满足题意当k0时，y|kx22x|，其图象的对称轴为直线x0时，函数y|kx22x|的图象与x轴的2个交点分别为原点(0,0)与，则当x时，由kx22xx3，得x2kx20，令k280，得k2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数yf(x)与y|kx22x|的图象如图3所示，由图3知两图象有3个不同的公共点，不满足题意

14、令k280，得k2，此时在同一平面直角坐标系中，分别作出函数yf(x)与y|kx22x|的图象如图4所示，由图4知两图象有4个不同的公共点，满足题意令k280，得0k2，易知此时不满足题意图3图4综上可知，实数k的取值范围是(，0)(2，)，故选D.答案：D例3解析：函数f(x)函数g(x)xaf(x)有三个零点，即方程af(x)x有三个根，f(x)x所以函数ya和yf(x)x的图象有三个交点在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示设三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3.易知x26x6的最小值为3，由3x43，得x，所以x1.根据二次函数图象的对称性得到x2x36，所以x1x2x3.答案：变式练3解析：令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x)在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)图象的示意图，如图所示若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0,1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意综上，a的取值范围为1，)故选C.答案：C4解析：由F(x)0，得f(x)a2a1，因为函数f(x)的值域为(1，)，故a2a11，解得a1.故选A项答案：A