2022年高中数学 第二章 数列 4.docx

1、课时训练12等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若an是等比数列,那么()A.数列1an是等比数列B.数列an是等比数列C.数列2an是等比数列D.数列nan是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列an中,a2 013=8a2 010,则公比q的值为()A.2B.3C.4D.8答案:A解析:a2013=8a2010,a2010q3=8a2010.q3=8.q=2.3.已知项数相同的等比数列an和bn,公比分别为q1,q2(q1,q21),则数列3an;2an;3an;2an-3bn;2an3bn中等比数列的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:在中,3an

2、+13an=q1,是等比数列;在中,2an+12an=1q1,是等比数列;在中,令an=2n-1,则数列3an为3,32,34,因为3233432,故不是等比数列;在中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在中,2an+13bn+12an3bn=q1q2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列an,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.52B.7C.6D.42答案:A解析:a1a2a3=5a23=5;a7a8a9=10a83=10.a52=a2a8,a56=a23a83=50,a4a5a6=a53=52.故选A.5.(2015河南郑

3、州高二期末,10)已知各项为正的等比数列an中,a4与a14的等比中项为22,则2a7+a11的最小值为()A.16B.8C.22D.4答案:B解析:各项为正的等比数列an中,a4与a14的等比中项为22,a4a14=(22)2=8,a7a11=8,a70,a110,2a7+a1122a7a11=228=8.故选B.二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案:A解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以a42=a2a8,所以(a1+6)2=(a1+2)(

4、a1+14),解得a1=2.所以Sn=na1+n(n-1)2d=n(n+1).7.数列an是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案:1解析:设等差数列的公差为d,则a3=a1+2d,a5=a1+4d,所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5),解得d=-1,故q=a3+3a1+1=a1-2+3a1+1=1.8.已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则a1+a2b2的值为.答案:2.5解析:a1+a2=1+4=5,b22=14=4,且b2与1,4同号,b2=2,a1+a2b2=52=2.5.9.在四个正数中,前三

5、个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数.解:设前三个数分别为a-d,a,a+d,(a-d)+a+(a+d)=48,即a=16.再设后三个数分别为bq,b,bq,则有bqbbq=b3=8000,即b=20.四个数分别为m,16,20,n.m=216-20=12,n=20216=25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d(d1),且a1=b1,a4=b4,a10=b10.(1)求a1和d的值;(2)b16是不是数列an中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.解:(1)由题意得a1+3d=a1d3,a1+

6、9d=a1d9,所以3d=a1(d3-1),9d=a1(d9-1).两式相除,得3=d9-1d3-1=d6+d3+1,解得d3=-2或d3=1(舍去).所以d=-32,代入得a1=-d=32.(2)b16=a1d15=32(-32)15=-3232,an=a1+(n-1)d=32+(n-1)(-32)=-32n+232.令an=-3232,得-32n+232=-3232,解得n=34N*,故b16是数列an中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列an中,a3a4a5=3,a6a7a8=24,则a9a10a11的值为()A.48B.72C.144D.192答案:D解析:a6a7a8a3

7、a4a5=q9=8(q为公比),a9a10a11=a6a7a8q9=248=192.2.公比为2的等比数列an的各项都是正数,且a3a11=16,则a5=()A.1B.2C.4D.8答案:A解析:a3a11=a72=16,且an0,a7=4.又a7=a5q2=4a5,a5=1.3.已知等比数列an满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a4+a5等于()A.33B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a1+(a1q2)=2(2a1q),即(q-2)2=0,q=2.a3+a4+a5=3(22+23+24)=84.4.等比数列an中,已知a9=-2,则此数列的前17项之

8、积为()A.216B.-216C.217D.-217答案:D解析:数列an为等比数列,a1a2a3a17=a917.又a9=-2,a1a2a3a17=(-2)17=-217.5.已知1ab1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a11a6=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又a1+a6=8.当q1时,解得a1=2,a6=6.又a1a11=a62,a11a6=a6a1=3.7.在等比数列an中,若an0,a1a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+lg a100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1a100=a2a99=a50a51=100.lga1+l

9、ga2+lga3+lga100=lg(a1a2a3a100)=lg(a1a100)50=lg10050=lg10100=100.8.公差不为零的等差数列an中,2a3-a72+2a11=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,b7=a70,b7=a7=4.b6b8=b72=16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d

10、,4,4+d.若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.若4为等比中项,则有42=(4-d)(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列an,bn,满足a1=a(a0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列an的通项公式;(2)若数列an唯一,求a的值.解:(1)设an的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+2,q2=2-2.an的通项公式为an=(2+2)n-1或an=(2-2)n-1.(2)设an的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a0得=4a2+4a0,故方程(*)有两个不同的实根.由an唯一,知方程(*)必有一根为0,代入(*)得a=13.