2022版数学人教A版必修二基础训练：第一章 空间几何体 本章复习提升 WORD版含解析.docx

1、本章复习提升易混易错练易错点1三视图问题中忽视长度关系与实虚线或几何体的摆放位置而致错1.()某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于()A.13B.23C.12D.342.()若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图是()易错点2几何体的表面积或体积公式记混致错3.(2021新高考八省(市)1月联考,)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为.4.(2020河北邯郸第一中学高一下月考,)如图所示,在边长为8的正三角形ABC中,E,F分别是AB,AC的中点,ADBC,EHBC,FGBC,垂足分别为D,H,G,若将ABC绕AD所

2、在直线旋转180,求阴影部分形成的几何体的表面积.易错点3对几何体分类讨论不全致错5.(2020江苏南京江宁高二上期末,)等腰直角三角形直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积为.6.(2020天津静海第一中学高二下月考,)圆柱的侧面展开图是边长分别为2a,a的矩形,则圆柱的体积为.7.()球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,求该圆锥的体积和此球体积的比值.8.()已知半径为5的球O被两平行平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,求分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积.思想方法练一、函数与方程思想在空间几何体中的应用1.(2021浙

3、江绍兴高二上期末,)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.2.()一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在其内部有一个高为x cm的内接圆柱.(1)求圆锥的侧面积;(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?并求出侧面积的最大值.3.()如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点,将ADE与BEC分别沿ED,EC向上折起,使A,B重合于点P,求三棱锥P-DCE的外接球的体积.二、转化与化归思想在空间几何体中的应用4.(2020河南鹤壁高一月考,)在三棱台A1B1C1-ABC中,ABA1B1=12,则三棱锥

4、A1-ABC,B-A1B1C,C-A1B1C1的体积之比为()A.111B.112C.124D.1445.(2021黑龙江佳木斯一中高二期中,) 已知一圆锥底面圆的直径为3,高为332,在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体,并且正四面体在该几何体内可以任意转动,则a的最大值为()A.3B.2C.92(3-2)D.3226.()在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A到平面A1BD的距离d本章复习提升易混易错练1.A抠点法.在长方体ABCD-A1B1C1D1中抠点:(1)由正视图可知:C1D1上没有点;(2)由侧视图可知:B1C1上没有点;(3)由俯视图可知:CC1上没有点;(4)由

5、正(俯)视图可知:D,E处有点,由俯视图中虚线可知B,F处有点,A点排除.由上述可还原出四棱锥A1-BEDF,如图所示.S四边形BEDF=11=1,VA1-BEDF=1311=13.故选A.易错警示1.由三视图还原直观图时,要注意实线与虚线的区别.2.要清楚几何体的结构特征,否则会导致漏算或者多算几何体的表面积或者体积.2.DA的正视图和俯视图不符合要求,B的正视图和侧视图不符合要求,C的侧视图和俯视图不符合要求.3.答案61解析解法一:由已知得球的半径为5,而圆台的下底面半径为5,下底面为球的大圆面,将圆台补为圆锥,如图,则O2B=O2C=5,O1C=4,O1O2=O2C2-O1C2=3,设

6、EO1=x,则xx+3=45,x=12,即O1E=12,O2E=15,V圆台=135215-134212=125-64=61.解法二:依题意可知圆台的下底面为球的大圆面,则圆台的高h=52-42=3,故圆台的体积V=133(52+42+54)=61.易错警示要熟记几何体的表面积、体积公式,尤其是不常考的台体的表面积及体积公式.4.解析由题意知,旋转后得到的几何体是一个挖去一个圆柱的圆锥,且圆锥的底面半径为4,高为43,圆柱的底面半径为2,高为23,圆锥的底面积为16,圆锥的侧面积为48=32,圆柱的侧面积为2223=83,所求几何体的表面积为16+32+83=48+83.易错警示挖去圆柱后的几

7、何体的表面积多了一个圆柱的侧面积,但圆锥的底面积并没有减少,因为圆柱的上底面面积对圆锥底面缺失的部分面积进行了等量补充,解题时要注意正确分析几何体的结构,避免计算错误.5.答案(1+2)或2解析若绕一条直角边所在直线旋转一周,则形成的几何体为圆锥,该圆锥的底面半径为1,高为1,所以母线长为2,其表面积为21+12=(1+2);若绕斜边所在直线旋转一周,则得到的是两个同底的圆锥组合在一起的几何体,圆锥底面半径为22,母线长为1,该几何体的表面积为2122=2.综上所述,该几何体的表面积为(1+2)或2.易错警示遇到带有分类讨论性质的题目时,要跳出定性思维的限制,将问题分析全面,防止漏解.6.答案

8、a3或a32解析当母线长为a时,圆柱的底面半径是a,此时圆柱的体积是a2a=a3;当母线长为2a时,圆柱的底面半径是a2,此时圆柱的体积是a222a=a32.综上,圆柱的体积是a3或a32.易错警示圆柱的侧面展开图是矩形,其每一条边都有可能是母线,不能简单地认为长的一边或短的一边是母线.7.解析设球的半径为r,则球的体积为43r3,球心到该圆锥底面的距离为r2,于是圆锥的底面半径为r2-r22=3r2,高为3r2或r2.若高为3r2,如图所示,则该圆锥的体积为133r223r2=38r3,该圆锥的体积和此球体积的比值为38r343r3=932.同理可得高为r2时,比值为332.8.解析当两截面

9、圆在球心O的同侧时,如图(1)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高O1O2=1,AC=2,所以S圆台侧=(3+4)2=72.图(1)当两截面圆在球心O的异侧时,如图(2)所示,AB为较大的截面圆的直径,O1为较大的截面圆的圆心,CD为较小的截面圆的直径,O2为较小的截面圆的圆心,梯形ABDC为圆台的轴截面,由题意,知OO1=3,OO2=4,则圆台的高O1O2=7,AC=52,所以S圆台侧=(3+4)52=352.图(2)思想方法练1.答案43解析三棱

10、锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,将此三棱锥放入一个面对角线长分别为5,5,6的长方体中,设长方体共顶点的三条棱长分别为x,y,z,则x2+y2=25,x2+z2=25,z2+y2=36,可得x2+y2+z2=43,设三棱锥的外接球的半径为R,则4R2=x2+y2+z2=43,所以R=432,经分析知长方体的外接球为该三棱锥的外接球,则长方体的体对角线的长度为该三棱锥的外接球的直径,利用方程的思想,构建外接球直径与长方体体对角线的等量关系,使问题顺利得到解决.故该三棱锥的外接球的表面积S=44322=43.故答案为43.思想方法方程思想是指从分析问题的数量关系入手,将

11、问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立方程(组),然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理构造方程(组).立体几何中常见的考题是利用题设中的等式求几何体的某一变量,进而求几何体的表面积、体积,或者利用几何体中的等量关系结合直角三角形并利用勾股定理求解球的半径等.2.解析(1)圆锥的母线长为62+22=210(cm),所以圆锥的侧面积S1=2210=410(cm2).(2)圆锥的轴截面如图所示.设圆柱的底面半径为r cm,高为x cm,则r2=6-x6,r=6-x3,圆柱的侧面积S2=2rx=23(-x2+6x)=-23(x-3)

12、2-9,构建关于x的二次函数,通过二次函数的最值解决问题.当x=3时,圆柱的侧面积最大,最大侧面积为6 cm2.思想方法函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.函数思想在立体几何中常见的考题是点的轨迹问题、距离的最值问题、几何体表面积或体积的最值问题.做题时,一定要注意根据题意,构建好有关几何量的函数关系式,然后利用函数的有关性质,结合函数的图象解决问题.3.解析由题意易知,三棱锥P-DCE为正三棱锥,各侧棱长均为1,P点在底面DCE的投影为等边DCE的中心,设中心为O,则OD=OE=OC=33,在RtPOD中,OP2=PD2-OD2=23,则OP=63.易知外接球的球

13、心必在OP上,设球心为O,则OP=OD,设OP=OD=R,则在RtOOD中,OO2+OD2=OD2,即(OP-OP)2+OD2=OD2,63-R2+332=R2,解得R=64,三棱锥P-DCE的外接球的体积为43R3=68.解决几何体的外接球问题,关键是找准球心的位置,将球心放在能够求解的三角形中,利用三角形已知的边角关系构建方程,从而解决问题.4.C设三棱台的高为h,SABC=S,则SA1B1C1=4S.VA1-ABC=13SABCh=S3,VC-A1B1C1=13SA1B1C1h=4S3,又V三棱台=13h(S+4S+S4S)=7S3,VB-A1B1C=V三棱台-VA1-ABC-VC-A1

14、B1C1=7S3-S3-4S3=2S3.直接计算三棱锥B-A1B1C的体积难度较大,可以采用“正难则反”的转化与化归思想使问题得到解决.所求体积之比为124.思想方法转化与化归思想就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换 使之转化,进而得到解决的一种方法.其核心就是把未知转化为已知,将未能解决的问题划归为已经解决的问题.在立体几何中常见的转化形式有正难则反,特殊与一般的转换,空间与平面的转换,等积转换等.5.B因为正四面体可以在圆锥内任意转动,所以该正四面体的棱长最大时内接于圆锥的内切球,直接研究正四面体内接于圆锥时,等式关系不容易建立,问题不便于解决,利用转化与化归思想将问题

15、转化为正四面体内接于球,球内切于圆锥,就可以实现复杂问题简单化.圆锥的轴截面如图(1)所示,设球心为P,球的半径为r,轴截面上球与圆锥母线的切点为Q,则OA=OB=32,OS=332,则tanSAO=3,即SAO=60,则SAB为等边三角形,故P是SAB的中心,连接BP,则BP平分SBA,所以PBO=30,所以tan 30=rOB,即r=33OB=32,即正四面体的外接球的半径为r=32,图(1)另正四面体可以从正方体中截得,如图(2),图(2)从图中可得,当正四面体的棱长为a时,截得它的正方体的棱长为22a,而正四面体的四个顶点为正方体的顶点,故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球,所以2r=322a=62a,r=64a,求解正四面体的外接球半径时,利用转化与化归思想将问题转化为求解正方体的体对角线,使问题得到了进一步的简化.又r=32,所以a=2.故选B.6.解析如图所示,在三棱锥A1-ABD中,AA1是三棱锥A1-ABD的高,AB=AD=AA1=a,A1B=BD=A1D=2a.VA1-ABD=VA-A1BD,SA1BD=122a322a=32a2,运用等体积法将其转化.1312a2a=1332a2d,d=33a.故A到平面A1BD的距离为33a.