2022版新教材数学人教A版选择性必修第一册学案：第三章 加练课5 点、直线与椭圆的位置关系 WORD版含答案.docx

1、加练课5 点、直线与椭圆的位置关系学习目标1.掌握点、直线与椭圆的位置关系.2.掌握求弦长的方法.3.掌握中点弦问题.自主检测必备知识一、概念辨析，判断正误1.已知点(3，2) 在椭圆x2m2+y2n2=1 上，则点(-3，2) 也在该椭圆上.( )2.椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.( )3.直线y=kx+1 与椭圆x27+y2m=1 相交.( )4.直线y=kx+m 与椭圆交于A(x1,y1) 、B(x2,y2) 两点，则弦长|AB|=1+k2|y1-y2| .( )二、夯实基础，自我检测5.若直线y=x+2 与椭圆x2m+y23=1 有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1,

2、+) B.(1,3)(3,+)C.(3,+) D.(0,3)(3,+)答案：B6.设直线y=kx(k0) 与椭圆x24+y23=1 相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( )A.32 B.23C.12 D.2答案：A7.已知椭圆y2a2+x2b2=1(ab0) 的右顶点为A(1,0) ，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆的标准方程为 .答案： y24+x2=1解析：因为椭圆y2a2+x2b2=1(ab0) 的右顶点为A(1,0) ，所以b=1 ，焦点坐标为(0,c) ，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b2a=1 ，所以a=2

3、 ，所以椭圆的标准方程为y24+x2=1 .8.已知椭圆C 的两个焦点分别为F1(-1,0) ，F2(1,0) ，且椭圆C 经过点E(3,32) .（1）求椭圆C 的方程;（2）过F1 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若AF1=2F1B ，求直线l 的斜率k 的值.答案：（1）由2a=EF1+EF2=4,a2=b2+c2, c=1, 解得a=2, c=1, b=3,所以椭圆C 的方程为x24+y23=1 .（2）由题意得直线l的方程为y=k(x+1)(k0) ，联立得y=k(x+1),x24+y23=1, 整理得(3k2+4)y2-6ky-9=0 ，其中=144

4、k2+1440 .设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则y1+y2=6k3+4k2 ，y1y2=-9k23+4k2 ，又AF1=2F1B ，所以y1=-2y2 ，所以y1y2=-2(y1+y2)2 ，则3+4k2=8 ，解得k=52 ，又k0 ，所以k=52 .互动探究关键能力探究点一 点与椭圆的位置关系精讲精练 例 （1）（2021吉林长春高二月考）点P(4cos,23sin)(R) 与椭圆C：x24+y23=14x2+3y2=1 的位置关系是( )A.点P 在椭圆C 上B.点P 与椭圆C 的位置关系不能确定，与 的取值有关C.点P 在椭圆C 内D.点P 在椭圆C 外（2）若点A(a,

5、1) 在椭圆x24+y22=1 的内部，则a 的取值范围是 .答案：（1）D（2）-2a2解析：（1）把点P(4cos,23sin)(R) 代入椭圆方程的左边，得(4cos)24+(23sin)23=4(cos2+sin2)=41 ，因此点P 在椭圆C 外.（2）由题意知a24+121 ，解得-2a2 .解题感悟判断点与椭圆的位置关系，可将点的坐标代入椭圆方程进行判断;根据点与椭圆的位置关系求参数的取值范围，可依据位置关系建立不等式求解.迁移应用 （2021宁夏银川二中高二月考）若点A(1,m) 在椭圆C:x24+y22=1 的内部，则实数m 的取值范围是( )A.(-6,6)B.(-62,6

6、2)C.(-,-62)(62,+)D.(-32,32)答案：B解析：由已知得124+m221 ，解得m(-62,62) .探究点二 直线与椭圆的位置关系精讲精练类型1 直线与椭圆位置关系的判断例1 已知椭圆C：4x2+y2=1 及直线l:y=x+m ，mR .（1）当m 为何值时，直线l 与椭圆C 有公共点？（2）若直线l 与椭圆C 交于P、Q 两点，且OPOQ ，O 为坐标原点，求直线l 的方程.答案：（1）联立直线l 的方程与椭圆C 的方程得y=x+m,4x2+y2=1, 消去y 得5x2+2mx+m2-1=0 ，若直线l 与椭圆C 有公共点，则=4m2-20(m2-1)=20-16m20

7、 ，解得-52m52 ，因此实数m 的取值范围是-52,52 .（2）设点P(x1,y1) 、Q(x2,y2) ，由根与系数的关系可得x1+x2=-2m5,x1x2=m2-15 ，OPOQ ，OPOQ=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+m)(x2+m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=2(m2-1)5-2m25+m2=5m2-25=0 ，解得m=105 ，因此直线l 的方程为y=x105 .解题感悟判断直线与椭圆的位置关系时，可通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则：0 直线与椭圆相交；=0 直线与椭圆相切，则：0 直线与椭圆

8、相离，注意方程组的解与交点个数之间的等价关系. 类型2 求弦长例2 （2021黑龙江高二学业水平考试）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0) 的长轴长为6，离心率为23 .（1）求椭圆C 的方程;（2）直线y=x+m 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|AB| 的最大值.答案：（1）由题意可得2a=6,ca=23, 解得a=3 ，c=2 ，b2=a2-c2=5 椭圆C 的方程为x29+y25=1 .（2）设A(x1,y1) ，B(x2,y2)由y=x+m,x29+y25=114x2+18mx+9m2-45=0由=(18m)2-414(9m2-45)0 ，得m2-140 ，x1+x2=-9m

9、7 ，x1x2=9m2-4514|AB|=1+12(x1+x2)2-4x1x2=3270-5m276357 ，当且仅当m=0 时，等号成立，|AB|max=6357 .解题感悟直线与椭圆相交时弦长的求法：直接利用两点间的距离公式：当弦的两端点的坐标易求时，可先直接求出交点坐标，再用两点间的距离公式求弦长.利用弦长公式：设斜率为k 的直线l 与椭圆交于A(x1,y1) ，B(x2,y2) 两点，则|AB|=1+k2x1-x2=1+k2(x1+x2)2-4x1x2 或|AB|=1+1k2|y1-y2|=1+1k2(y1+y2)2-4y1y2(k0) .迁移应用（2021天津二十五中高二期中）已知椭

10、圆的焦点在x 轴上，一个顶点坐标为(0，1) ，离心率e=255 ，过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点.（1）求椭圆的标准方程;（2）当直线l 的斜率为12 时，求|AB| 的值.答案：（1）依题意设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0) ，则b=1,ca=255 ，所以a2=b2+c2=1+(255a)2 ，解得a2=5 ，所以椭圆的标准方程为x25+y2=1 .（2）由（1）知F(2,0) ，则直线l:y=12(x-2) ，联立得y=12(x-2),x25+y2=1,消去y 后整理得9x2-20x=0 ，设A(x1,y1) ，B(x2,y2) ，则x1+x2=20

11、9 ，x1x2=0所以|AB|=1+(12)2(x1+x2)2-4x1x2=1+14(209)2=52209=1059 .探究点三 中点弦问题精讲精练例 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0) 的右焦点为(1,0)，且离心率e=22 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且线段PQ 的中点为M(m,12) ，直线l 是线段PQ 的垂直平分线，若l 与x 轴交于点N(n,0) ，求n 的取值范围.答案：（1）因为椭圆的右焦点为(1，0) ，所以c=1 ，又椭圆的离心率e=ca=22 ，所以a=2 ，所以b2=a2-c2=2-1=1 ，所以椭圆C 的

12、标准方程为x22+y2=1 .（2）由题意，将y=12 代入椭圆方程得x22+14=1 ，解得x=62 ，所以-62m62 .当直线l 的斜率存在且不为0时，设斜率为k ，P(x1,y1) ，Q(x2,y2) ，则x122+y12=1,x222+y22=1,两式相减得，x12-x222=-(y12-y22) ，即-12=y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2 ，因为y1-y2x1-x2=k ，y1+y2x1+x2=2122m=12m所以-12=y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=k2m ，所以k=-m(m0) ，则直线l 的斜率为-1k=1m ，所以直线l 的方程为y-12=1m(x-

13、m) ，将y=0 代入，可得0-12=1m(x-m) ，解得x=m2 ，则N(m2,0) ，因为-62m62且m0 ，所以-64n64且n0 ；当直线l 的斜率为0时，直线l 的方程为y=12 ，直线l 的方程为x=0 ，l 与x 轴的交点为(0，0) ，即n=0 ；当直线l 的斜率不存在时，设P(x1,y1) ，Q(x2,y2) 可得y1+y2=0 ，不符合题意，舍去.综上所述，n 的取值范围为(-64,64) .迁移应用1.（2021安徽淮南一中高二期中）已知椭圆:x2a2+y2b2=1(ab0) 的焦距为4，短半轴长为2.（1）求椭圆 的方程；（2）若直线l 与椭圆 相交于A ，B 两点

14、，点P(-2,1) 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）由题意可知2c=4 ，b=2 ，所以b2=4 ，c2=4 ，a2=b2+c2=8 .所以椭圆 的方程为x28+y24=1 .（2）设A(x1,y1) ，B(x2,y2) 由题意得x128+y124=1,x228+y224=1,两式相减得x12-x228+y12-y224=0 ，即(x1+x2)(x1-x2)8+(y1+y2)(y1-y2)4=0 ，所以直线l 的斜率k=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2) .因为点P(-2,1) 是线段AB 的中点，所以x1+x2=-4 ，y1+y2=2 ，所以k=1 ，所以直

15、线l 的方程为y-1=x+2 ，即x-y+3=0 .2.（2021广东珠海斗门一中高二质检）椭圆x2a2+y2b2=1(ab0) 的离心率为12 ，P(3,32) 是椭圆上一点.（1）求椭圆的方程；（2）F1 ，F2 是椭圆的左、右焦点，过焦点F1 的弦AB 的中点为E(-12,t) ，求线段EF2 的长.答案：（1）由题意可得ca=12, 3a2+34b2=1,a2=b2+c2,解得a2=4 ，b2=3 ，c2=1 ，故椭圆的方程为x24+y23=1 .（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB 的方程为y=k(x+1) ，A(x1,y1) ，B(x2,y2)联立椭圆与直线AB 的方程得y=k(x+1),x24+y23=1,消去y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0 ，故=(8k2)2-4(3+4k2)(4k2-12)0 ，x1+x2=-8k23+4k2=-1 ，解得k2=34 ，将x=-12 代入y=k(x+1) 得y=k2 ，故E(-12,k2) ，又F2(1,0) ，|EF2|=(-12-1)2+(k2)2=94+k24=94+316=394 .