数学北师大版必修4知识导航：1.1周期现象2角的概念的推广 WORD版含解析.doc

1、1 周期现象 2 角的概念的推广知识梳理1.周期现象某种动作或现象每隔“一段”就会重复出现，这种现象被称为周期现象.2.任意角（1）角的定义静态定义：具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边.动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，所旋转射线的端点叫做顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边.（2）在平面内，一条射线绕它的端点旋转时，有顺时针和逆时针两个相反的方向.习惯上规定：按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，也把它看成一个角，称为零角；旋转生

2、成的角又常称为转角.这样就形成了任意大小的角,即任意角.（3）角的记法用一个希腊字母；用三个大写的英文字母表示（字母前面要写“”).(4)角的分类按旋转方向分为正角、零角、负角;按终边所在位置分为象限角和轴线角.3.象限角、轴线角（1）定义：将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么就把角放在了平面直角坐标系中.如果角的终边（除原点外）在第几象限，则就说这个角是第几象限角；如果角的终边落在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称之为轴线角（或称为象限界角）.（2）表示方法第一象限角的集合：|k360k360+90,kZ；第二象限角的集合：|k360+90k360+180,kZ；第三象

3、限角的集合：|k360+180k360+270,kZ；第四象限角的集合：|k360+270k360+360,kZ；终边落在x轴的非负半轴上的角的集合：|=k360，kZ;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合：|=k360+180，kZ；终边落在x轴上的角的集合：|=k180，kZ；终边落在y轴的非负半轴上的角的集合：|=k360+90，kZ；终边落在y轴的非正半轴上的角的集合：|=k360+270，kZ；终边落在y轴上的角的集合：|=k180+90，kZ；终边落在坐标轴上的角的集合：|=k90，kZ；象限角与轴线角的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式，如：终边落在y轴的非正半轴上的角的集合也可

4、表示为x|x=k360-90，kZ.4.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)所有与终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S=|=+k360，kZ,即任一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.知识导学1.结合课本实例,理解生活中的“周而复始”“来回反复”等周期现象.2.复习初中学习过的角的定义、特点、范围.3.在学习过程中一定要用任意角的观点看待问题，防止“穿新鞋走老路”，虽然学了任意角，还是以锐角、直角、钝角来考虑问题.疑难突破1.当角与角的终边相同时，与相等吗？为什么与角终边相同的角的集合可以写成S=|=+k

5、360，kZ?剖析：角的定义有两种：静态定义和动态定义.受思维定势的影响，往往会先想到用角的静态定义来考虑这个问题，那样就会陷入迷茫.其突破的途径是用角的动态定义来分析.若、的终边相同，则它们的关系为：将角终边旋转（逆时针或顺时针）k(kZ)周即得，所以、的数量关系为=k360+(kZ)，即、的大小相差360的整数k倍.所以与不一定相等.例如：与30角的终边相同，但是不一定等于30.将30的终边按逆时针旋转1周即得角1360+30=390，按逆时针旋转2周即得角2360+30=750，所以390，750，都与30的终边相同.将30的终边按顺时针旋转1周即得角(-1)360+30=-330,按顺

6、时针旋转2周即得角(-2)360+30=-690，所以-330，-690, 都与30角的终边相同.由以上可看出与30角的终边相同，但是不一定等于30，它们的数量关系是=k360+30(kZ).因此所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=+k360,kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.理解集合S=|=+k360,kZ要注意以下几点：（1）式中角为任意角，它说明终边相同的角有无数个，它们相差30的整数倍；（2）kZ这一条件必不可少；（3）k360与之间是“+”,如k360-30应看成k360+(-30)，即与-30终边相同的角；（4）终边相同的角不一定相等

7、，但是相等的角，终边一定相同；（5）终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.在求终边相同的角的问题中关键是找到一个与其终边相同的某一角（一般找0360的角），然后用集合和符号语言表示出来.2.第一象限角、小于90的角、090的角、锐角这四类角有什么区别？剖析：受初中所学角的影响，看到这四种角,往往就说它们相同.其原因是虽然已经将角扩充到了任意角，但是解决问题时，考虑的角还是仅仅停留在锐角、直角、钝角，即初中所学角的范围上，没有按任意角来看待.其突破方法是把握住各自的取值范围.这四种角的范围用集合表示，分别是：锐角:|090，090的角：|090，小于90的角:|90，第一象限角是|k360k360+90，kZ.所以锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90的角包括锐角、零角、负角.如果用弧度制表示角，角的表示形式变为实数，其大小关系会更加明显.