数学百大经典例题——不等式性质（新课标）.doc

1、典型例题一例1 比较与的大小，其中解：， 说明：由例1可以看出实数比较大小的依据是：；典型例题二例2 比较与的大小，其中解：， 当时，；当时，说明：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步骤是：第一步：作差；第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段；第三步：定号，贵州省是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0最后得结论概括为“三步，结论”，这里的“变形”一步最为关键典型例题三例3 ，比较与（）的大小分析：直接作差需要将与（）展开，过程复杂，式子冗长，可否考虑根据两个式子特点，予以变形，再作差解：=（）， 则有时，（）恒成立说明：有的确问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的

2、特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较，如此例就是先变形后，再作差典型例题四例4 设，比较与的大小解：作差，1）当时，即， ；2）当，即时，；3）当但，即或时，说明：如本题作差，变形，变形到最简形式时，由于式中含有字母，不能定号，必须对字母根据式子具体特点分类讨论才能定号此时要注意分类合理恰当典型例题五例5 比较与的大小分析：两个数是幂的形式，比较大小一般采用作商法。解：说明：求商法比大小的变形要围绕与1比大小进行典型例题六例6设，且，比较：与的大小。分析：比较大小一般方法是求差法或求商法，利用不等式的性质进行变形，然后确定大小。解：当时，当时，即，又，说明：求商法的基本步骤是

3、：求商，变形，与1比大小从而确定两个数的大小.典型例题七例7 实数满足条件：；，则有( )A B C D（天津市2001年南开中学期末试题）分析：先由条件分析出与的关系，根据条件利用用数轴数形结合比出大小解：，与同侧，与异侧把标在数轴上，只有下面一种情况由此得出，此题选D说明：比较大小时可以借助于数轴，利用推出的一些结论在数轴上标出它们的相对位置，这样容易看出几个数之间的大小关系，尤其是比较的个数较多时适用典型例题八例8已知；，求：的取值范围分析：此题是给代数式的字母的范围，求另外代数式的范围分为两步来进行：(1)利用待定系数法将代数式用和表示(2)利用不等式性质及题目条件确定的范围解：设：由

4、+2得：说明：此题的一种典型错误做法，如下：，即：此解法的错误原因是因为与是两个相互联系，相互制约的量，而不是各自独立的，当取到最大值或最小值时，不一定能取到最值，所以用以上方法可能扩大变量的范围避免出错的方法是通过待定系数法“整体代入”，见解题过程典型例题九例9判断下列各命题的真假，并说明理由（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则（5）若，则（6）若，则分析：利用不等式的性质来判断命题的真假解：（1），是真命题（2）可用赋值法：，有，是假命题也可这样说明：，只能确定，但的符号无法确定，从而的符号确定不了，所以无法得到，实际上有：（3）与（2）类似，由，从而是假命题（4）取特殊值：有

5、，是假命题定理3的推论是同向不等式可相加，但同向不等式相减不一定成立只有异向不等式可相减，即（5），是真命题（6）定理4成立的条件为必须是正数举反例：，则有说明：在利用不等式的性质解题时，一定要注意性质定理成立的条件要说明一个命题是假命题可通过举反例典型例题十例10求证：分析：把已知的大小关系转化为差数的正负，再利用不等式的性质完成推理证明：利用不等式的性质，得典型例题十一例11若，则下面不等式中成立的一个是（）（A）（B）（C）（D）解：由不等式的性质知：（A）、（B）、（C）成立的条件都不充分，所以选（D），其实（D）正是异向不等式相减的结果说明：本的解法都是不等式性质的基本应用，对于不等

6、式的基本性质要逐条掌握准确，以便灵活应用典型例题十二例12若，则下面各式中恒成立的是（）（A）（B）（C）（D）分析本题考查是否能正确使用不等式的性质来进行变形，应看到，已知条件中含有两个内容，即，和，根据不等式的性质，可得，继而得到且，故，因此选A典型例题十三例13 若，则一定成立的不等式是（）A B C D分析：A错，当时有；同样B错；D没有考虑各数取零和正负号的关系，所以也不对故选C，因为不等式两边同时加上一个任意数（此题是），原不等式成立说明：这类题可以采用特例法：令即得C成立典型例题十四例14已知：，求证：分析：要证明的式子中，左右均为二项差，其中都有一项是两字母积的形式，因此在证明

7、时，对两项积要注意性质的使用，对两项差的证明要注意使用同向加性或异向减性来处理证明：又由同向加性可得：说明：此题还可采用异向减性来处理：做这类题过程并不复杂，关键是记准性质，并能正确地应用典型例题十五例15已知集合求：分析：要求，需要先求集合和，从已知来看，的范围容易求，的元素由可以推算，但在推算过程中，要注意运用不等式的性质解：说明：本题中的条件，意在明确集合中的元素为，若去掉此条件，会出现不确定的情况比如，的实数和的整数显然是有区别的另外，这里集合的元素是通过集合的元素求出的，解题时，一定要看清典型例题十六例16 设和都是非零实数，求不等式和同时成立的充要条件分析：本题是求两个不等式同时成

8、立的充要条件，因此，这两个不等式不能分开来讨论如果分开讨论，则成立的条件就是本身；而成立的条件则是与同号，且，但这个条件只是的一个充分条件，并且与第一个不等式是矛盾的所以必须研究这两个不等式同时成立的条件显然，应该从求它们同时成立的必要条件入手解：先求，同时成立的必要条件，即当，同时成立时，与应具备什么条件由，得由可知，再由知，即与异号，因此是不等式与同时成立的必要条件再求，同时成立的充分条件事实上，当时，必有，且，因而成立从而是不等式，同时成立的充分条件因此，两个不等式，同时成立的充要条件是说明：本题结果表明，与同时成立，其充要条件是为正数，为负数这与成立的条件，不要混淆解本题是从必要条件入

9、手的，即若，同时成立，则要研究从不等式和看与的大小有什么关系，从中得出结论（），再把这个结论作为一个充分条件去验证及能否同时成立从而解决了本题典型例题十七例17已知函数满足：则应满足（）（A）（B）（C）（D）分析：如果能用与将“线性”表示出：，就可利用不等式的基本性质，由、的取值范围，推出满足的条件解：故由不等式的基本性质，得故选（C）.说明：（1）也可设，由代定系数法求得，（2）下面的错误是值得引以为戒的又故选（A）上述推理错误产生的原因是由于将条件化为使、的取值范围扩大所致事实上，作为点集与之间的关系是，如图点集N是图中乱世形OABD所围成的区域，点集M是由平行四边形MNBP所围成的区域，这样就直观地表现了，揭示了上述解法的错误