2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 5-4 三角函数的图象与性质 学案 （4） WORD版含答案.docx

1、【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（人教A版）1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在0,2上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题. 1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义； 2.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的

2、性质； 难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性. 一、 预习导入阅读课本201-205页，填写。1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是_.2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是_.(2)最值正弦函数当且仅当_时,取得最大值当且仅当_时,取得最小值余弦函数当且仅当_时,取得最大值当且仅当_时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个_,使得当取定义域内的每一个值时,都有_,那么函数就叫做周期函数,非零常数_叫做这个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个_,那么这个_就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正

3、弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为_,其图象_对称()为_,其图象_对称5.对称性正弦函数的对称中心是_,对称轴是直线_;余弦函数的对称中心是_,对称轴是直线_.(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性正弦函数在每一个闭区间_上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间_上都是减函数,其值从减小到.余弦函数在每一个闭区间_上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间_上都是减函数,其值从减小到.1判断正误(1)存在xR满足sin x.()(2)函数ycos 2x在上是减函数()(3

4、)在区间0,2上，函数ycos x仅在x0时取得最大值1. ()2设函数f(x)sin，xR，则f(x)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数3函数ysin x和ycos x都是减函数的区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)4已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()A函数f(x)的最小正周期为B函数f(x)是偶函数C函数f(x)的图象关于直线x对称D函数f(x)在区间上是增函数题型一 正、余弦函数的周期性例1 求下列三角函数的最小正周期: (1)y=3cos x,xR; (2)y=sin 2x,xR; (3

5、)y=2sin(),xR; (4)y=|cos x|,xR.跟踪训练一1.（1）函数y=2sin (3x+),xR的最小正周期是()(A)(B)(C)(D)(2)函数y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为. 题型二 化简、求值例2判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.跟踪训练二1.下列函数中,最小正周期为的奇函数是()(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+)(C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)2.定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周

6、期为，且当x时，f(x)sin x，则f 等于 ()A B1 C D题型三 正、余弦函数的单调性例3 求函数y=sin(x+)的单调区间.跟踪训练三1求函数y2sin的单调增区间题型四 正弦函数、余弦函数单调性的应用例4 比较下列各组中函数值的大小： （1）cos与cos；(2)sin 194与cos 160.跟踪训练四1下列结论正确的是 ()Asin 400sin 50Bsin 220cos 200 Dcos(40)cos 310题型五 正、余弦函数的值域与最值问题例5 求下列函数的值域:(1)y=cos(x+),x0,;(2)y=cos2x-4cos x+5. 跟踪训练五1. 函数y=2c

7、os2x+5sin x-4的值域为. 2.设f(x)=acos x+b的最大值是1,最小值是-3,则g(x)=bsin(ax+)的最大值为.1若函数（）是上的偶函数，则的值是（ ）A.0B.C.D.2若函数（）的最小正周期为,则（ ）A.5B.10C.15D.203已知，关于的下列结论中错误的是（ ）A.的一个周期为B.在单调递减C.的一个零点为D.的图象关于直线对称4求下列函数的单调递增区间（1）；（2）5比较下列各组数的大小（1）与；（2）；（3）与答案小试牛刀1(1)(2)(3)2B.3A.4. C.自主探究例1 【答案】(1) 2；(2)；(3) 4；(4).【解析】:(1)因为3co

8、s(x+2)=3cos x,所以由周期函数的定义知,y=3cos x的最小正周期为2.(2)因为sin2(x+)=sin(2x+2)=sin2x,所以由周期函数的定义知,y=sin2x的最小正周期为.(3)因为,所以由周期函数的定义知,的最小正周期为4.(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知,y=|cos x|的最小正周期为. 跟踪训练一1.【答案】(1)B；(2) 【解析】(2)作出y=|sin 2x|(xR)的图象(如图所示).由图象可知,函数y=|sin 2x|(xR)的最小正周期为.例2【答案】(1) 奇函数;(2) 偶函数;(3) 偶函数;(4) 既是奇函数又

9、是偶函数.【解析】(1)显然xR,f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以f(x)=sin 2x是奇函数.(2)因为xR,f(x)=sin(+)=-cos,所以f(-x)=-cos(-)=-cos=f(x),所以函数f(x)=sin(+)是偶函数.(3)显然xR,f(-x)=sin |-x|=sin |x|=f(x),所以函数f(x)=sin |x|是偶函数. (4)由得cos x=1,所以x=2k(kZ),关于原点对称,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.跟踪训练二1.【答案】B【解析】A中,y=sin(2x+),即y=cos 2x,为偶函数;C,D中,函数

10、为非奇非偶函数;B中,y=cos(2x+)=-sin 2x,是奇函数,T=,故选B.2.【答案】D【解析】因为f(x)的最小正周期为T，所以f f f ，又yf(x)是偶函数，所以f(x)f(x)所以f f f sin.例3【答案】略.【解析】当-+2kx+2k(kZ)时函数单调递增,所以函数的单调递增区间为-+,+(kZ).当+2kx+2k(kZ)时函数单调递减,所以函数的单调递减区间为+,+(kZ).跟踪训练三1【答案】略.【解析】y2sin2sin，令zx，则y2sin z，求y2sin z的增区间，即求ysin z的减区间，所以2kz2k(kZ)，即2kx2k(kZ)，解得2kx2k(

11、kZ)，所以y2sin的单调增区间是(kZ)例4 【答案】（1）coscos；（2）sin 194cos 160.【解析】（1）coscoscos，coscoscos，2，且函数ycos x在，2上单调递增，coscos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，且函数ysin x在0x90时单调递增，sin 14sin 70.从而sin 14sin 70，即sin 194cos 160.跟踪训练四1【答案】C.【解析】由cos 130cos(18050)cos 50，cos 200cos(

12、18020)cos 20，因为当0x90时，函数ycos x是减函数，所以cos 50cos 20，即cos 130cos 200.例5 【答案】（1）-, ；（2）2,10.【解析】(1)由x0,可得x+,函数y=cos x在区间,上单调递减,所以函数的值域为-,. (2)y=cos2x-4cos x+5,令t=cos x,则-1t1.y=t2-4t+5=(, 当t=-1时,函数取得t-2)2+1最大值10;t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为2,10. 跟踪训练五1.【答案】-9,1.【解析】(1)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2si

13、n2x+5sin x-2=-2(sin x-)2+.故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cos2x+5sin x-4的值域为-9,1.2.【答案】1.【解析】由题意a0,当a0时,所以此时g(x)=-sin(2x+),其最大值为1.当a0时,所以此时g(x)=-sin(-2x+),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.当堂检测1-3CBB4【答案】（1）（）；（2）（）.【解析】（1）由题意可知函数的单调递减区间为函数的单调递增区间，由（），得（），所以函数的单调递增区间为（）（2）由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知，解得（），即（），故所求单调递增区间为（）.5【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，且函数在上单调递减，所以，所以（2），因为，函数在上单调递减，所以，即（3）因为，函数在上单调递增，所以，即，又函数在上单调递减，所以