2020-2021学年新教材高中数学 第十章 复数 10.docx

1、第十章复数*10.3复数的三角形式及其运算课后篇巩固提升基础达标练1.12(cos 30+isin 30)2(cos 60+isin 60)3(cos 45+isin 45)=()A.322+322iB.322-322iC.-322+322iD.-322-322i答案C解析12(cos30+isin30)2(cos60+isin60)3(cos45+isin45)=1223cos(30+60+45)+isin(30+60+45)=3(cos135+isin135)=3-22+22i=-322+322i.故选C.2.cos2+isin23cos6+isin6=()A.32+332iB.32-33

2、2iC.-32+332iD.-32-332i答案C解析cos2+isin23cos6+isin6=3cos2+6+isin2+6=3cos23+isin23=-32+332i.故选C.3.4(cos +isin )2cos3+isin3=()A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.-1-3i答案C解析4(cos+isin)2cos3+isin3=2cos-3+isin-3=2cos23+isin23=-1+3i.故选C.4.22(cos 60+isin 60)=()A.12+32iB.12-32iC.32+12iD.32-12i答案B解析22(cos60+isin60)=2(cos0+isi

3、n0)2(cos60+isin60)=cos(0-60)+isin(0-60)=cos(-60)+isin(-60)=12-32i.故选B.5.9(cos 3+isin 3)3(cos 2+isin 2)=()A.3B.-3C.3iD.-3i答案B解析9(cos3+isin3)3(cos2+isin2)=3cos(3-2)+isin(3-2)=3(cos+isin)=-3.故选B.6.复数z=(sin 25+icos 25)3的三角形式是()A.cos 195+isin 195B.sin 75+icos 75C.cos 15+isin 15D.cos 75+isin 75答案A解析z=(sin

4、25+icos25)3=(cos65+isin65)3=cos195+isin195.故选A.7.复数z=(cos 40+isin 40)6的结果是()A.12+32iB.12-32iC.-12+32iD.-12-32i答案D解析z=(cos40+isin40)6=cos240+isin240=-12-32i.故选D.8.2(cos 15+isin 15)532+12i=.答案52+52i解析2(cos15+isin15)532+12i=2(cos15+isin15)5(cos30+isin30)=10cos(15+30)+isin(15+30)=10(cos45+isin45)=1022+2

5、2i=52+52i.9.已知复数z=cos15+isin15是关于x的方程x5-=0的一个根,那么的值等于.答案12+32i解析因为复数z=cos15+isin15是方程x5-=0的一个根,所以=z5=cos15+isin155=cos3+isin3=12+32i.10.2(cos 210+isin 210)5(-sin 30+isin 60)=.答案53-5i解析2(cos210+isin210)5(-sin30+isin60)=10(cos210+isin210)(cos120+isin120)=10cos(210+120)+isin(210+120)=10(cos330+isin330)

6、=1032-12i=53-5i.11.在复平面内,把与复数-2+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转75,求与所得向量对应的复数.解所得向量对应的复数为(-2+2i)(cos75+isin75)=22(cos135+isin135)(cos75+isin75)=22cos(135+75)+isin(135+75)=22(cos210+isin210)=22-32-12i=-6-2i.能力提升练1.复数2+i和-3-i的辐角主值分别是,则tan(+)等于()A.3B.-33C.-1D.1答案D解析复数2+i和-3-i的辐角主值分别是,所以tan=12,tan=13,所以tan(+)=tan+t

7、an1-tantan=1.故选D.2.复数-i的一个立方根是i,它的另外两个立方根是()A.3212iB.-3212iC.32+12iD.32-12i答案D解析-i=cos32+isin32-i的立方根为cos32+2k3+isin32+2k3(其中,k=0,1,2).当k=0时,得cos2+isin2=i.当k=1时,得cos76+isin76=-32-12i.当k=2时,得cos116+isin116=32-12i.故选D.3.把复数z1与z2对应的向量OA,OB分别按逆时针方向旋转4和53后,重合于向量OM且模相等,已知z2=-1-3i,则复数z1的代数式和它的辐角主值分别是()A.-2

8、+2i,34B.-2-2i,34C.-2+2i,4D.-2-2i,4答案A解析由复数乘法的几何意义得,z1cos4+isin4=z2cos53+isin53.又z2=-1-3i=2cos43+isin43,z1=2cos43+isin43cos53+isin53cos4+isin4=2cos3-4+isin3-4=-2+2i,z1的辐角主值为34.故选A.4.在复平面内,复数z=a+bi(aR,bR)对应向量OZ(O为坐标原点),设|OZ|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边旋转的角为,则z=r(cos +isin ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos 1+isin 1),z2

9、=r2(cos 2+isin 2),则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2),由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=r(cos +isin )n=rn(cos n+isin n),则(-1+3i)10=()A.1 024-1 0243iB.-1 024+1 0243iC.512-5123iD.-512+5123i答案D解析根据复数乘方公式:zn=r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn),得(-1+3i)10=210cos1023+isin1023=1024cos203+isin203=1024-12+32i=-512+5123i.故选D.5.设复数z=cos23+

10、isin23,则11-z+11-z2=()A.0B.1C.12D.32答案B6.设32+x2i2020=f(x)+ig(x),其中f(x),g(x)均为实系数多项式,则f(x)的系数之和是()A.-32B.1C.-12D.12答案C解析因为32+x2i2020=f(x)+ig(x),取x=1,所以cos6+isin62020=f(1)+ig(1),所以cos23+isin23=f(1)+ig(1)=-12+32i.则f(1)=-12,故选C.7.63(cos 135+isin 135)=.答案-22-22i解析63(cos135+isin135)=6(cos0+isin0)3(cos135+i

11、sin135)=2cos(0-135)+isin(0-135)=4cos(-135)+isin(-135)=-22-22i.8.已知复数z=cos23+isin23,则z3+z2z2+z+2=.答案12-32i解析根据题意,有z3+z2z2+z+2=1+z2=-z=12-32i.9.复数z=16(cos 40+isin 40)的四次方根分别是.答案2(cos 10+isin 10),2(cos 100+isin 100),2(cos 190+isin 190),2(cos 280+isin 280)解析z=16(cos40+isin40)的四次方根分别是416cos40+k3604+isin4

12、0+k3604(k=0,1,2,3),当k=0时,结果为2(cos10+isin10);当k=1时,结果为2(cos100+isin100);当k=2时,结果为2(cos190+isin190);当k=3时,结果为2(cos280+isin280).10.设复数z1=3+i,复数z2满足|z2|=2,已知z1z22的对应点在虚轴的负半轴上,且arg z2(0,),求z2的代数形式.解因为z1=2cos6+isin6,设z2=2(cos+isin),(0,),所以z1z22=8cos2+6+isin2+6.由题设知2+6=2k+32(kZ),所以=k+23(kZ).又(0,),所以=23.所以z2=2cos23+isin23=-1+3i.