专题08 等高线问题（解析版）.docx

1、专题08 等高线问题 一、单选题1（2023全国高三专题练习）设函数若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是若方程有四个不同的实根，则的取值范围是方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A1B2C3D4【答案】B【解析】对于：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，是方程的两个不等的实数根，所以，所以，所以，所以，故正确；对于：由上可知，且，所以，所以，所以，所以，故错误；对于：方程的实数根的个数，即为函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相

2、切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故错误；对于：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，

3、即方程不同实数根1，2，3，6，故正确；故选：B2（2023全国高三专题练习）已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】.先作图象，由图象可得因此为，从而.故选：A3（2023秋四川泸州高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】作出函数的图象，如图所示： 方程有四个不同的实根，满足，则，即：，所以，所以，根据二次函数的对称性可得：，考虑函数单调递增，所以时的取值范围为.故选：A4（2023全国高三专题练习）已知函数f(x)，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）f（x2）f

4、（x3），则的取值范围是（）A（）B（1，4）C（，4）D（4，6）【答案】A【解析】画出分段函数f(x)的图像如图：令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）f（x2）f（x3）t，t（0，），则x1，x2（0，1），x3（1，2），则1+t+1t+22t22+22t2，又t（0，），（）故选：A5（2023全国高三专题练习）已知定义域为的函数的图象关于对称，当时，若方程有四个不等实根，时，都有成立，则实数的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】作出函数的图象，如图，作直线，它与图象的四个交点的横坐标依次为，因为函数的图象关于对称，所以，即，且，显然，不等式变形为，所以，由勾形函数性质知

5、在时是增函数，所以，令，则，当时，单调递减，所以，所以，即的最小值是故选：A6（2023全国高三专题练习）已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，且，则的最小值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个不相等的实根，不妨设，则，作出的图象，函数与三个不等实根，且，那么，可得，所以，构造新函数当时，在单调递减；当时，在单调递增；当时，取得最小值为，即的最小值为；故选：A7（2023吉林长春东北师大附中校考模拟预测）已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（）ABCD【答案】A【解析】由解析

6、式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为，函数图象如下：所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应，要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上，由开口向下且对称轴为，由上图知：，此时且，结合图象及有，则，所以，且，令且，则，当时，递增；当时，递减；所以，故最大值为.故选：A8（2023全国高三专题练习）已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】因为，所以的大致图象，如图所示：当时，因为存在实数，使得关于的方程恰有三个互异的实数解，所以，又，解得，故选：D9（

7、2023全国高三专题练习）已知函数，若关于的方程有四个不等根，则的值是（）A0B2C4D8【答案】A【解析】由方程可得，因为函数，设，则，则，所以为奇函数且，是的根，所以，不妨有，所以故的值是0故选：10（2023秋宁夏高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数，若关于x的方程有四个不同实数解，且，则的取值范围为 （）ABCD【答案】A【解析】作出函数的图象，如图，作直线，当时，直线与函数图象有四个交点，由图象知，即，所以，所以，由对勾函数性质知函数在上是减函数，所以时，故选：A11（2023秋湖北武汉高一期末）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且，则的最小值为（）AB8CD【答案】D

8、【解析】函数图像如图所示，由，当且仅当时，等号成立，此时；，当且仅当时等号成立，此时.所以的最小值为.故选：D12（2023秋河南郑州高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解，且满足，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】D【解析】作函数和的图象，如图所示：当时，即，解得，此时，故A错误；结合图象知，当时，可知是方程，即的二根，故，端点取不到，故BC错误；当时，即，故，即，所以，故，即，所以，故D正确.故选：D.13（2023秋江西上饶高一统考期末）已知函数，若方程有四个不同的实数解，且，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【解析】作出函数的图象如下：因为方

9、程有四个不同的解，且，所以有，故，再由可得或，即，令，（），任取，则，所以，即，所以函数在上单调递减，又，所以.即的取值范围是.故选：B.14（2023春全国高三校联考专题练习）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为（）ABCD【答案】C【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，设五个零点分别为，且，则，所以,所以，则，由，可得，则.故选：C.二、多选题15（2023秋云南昆明高一统考期末）已知函数，函数有四个不同的零点，且从小到大依次为，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】BCD【解析】因为，所以当时，当时，所以时，所以，作出的图象如图所示，若有4个解，则与的图象有4个交

10、点，如图，所以，由，得，即，所以，所以，所以，当时，；当时，由基本不等式可得，所以，解得或（舍）；所以，所以A错误，B正确，对于C，因为，所以，所以，即，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以D正确.故选：BCD16（2023全国高三专题练习）已知函数，若有6个不同的零点分别为，且，则下列说法正确的是（）A当时，B的取值范围为C当时，的取值范围为D当时，的取值范围为【答案】AC【解析】当时，此时，令，解得，令，解得，可得在上单调递减，在上单调递增，且，当时，故A正确；作出如图所示图像：由有6个不同的零点，等价于有6个不同的实数根，解得或，若，可得，而当时，可得，而；当时，可得而，故的范围

11、为的子集，的取值范围不可能为，故B选项错误；该方程有6个根，且，知且，当时，联立解得，故C正确；当时，联立解得，故D错误.故选：AC.17（2023全国高三专题练习）设函数，则下列命题中正确的是（）A若方程有四个不同的实根，则的取值范围是B若方程有四个不同的实根，则的取值范围是C若方程有四个不同的实根，则的取值范围是D方程的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【解析】对于A：作出的图像如下：若方程有四个不同的实根，则，不妨设，则，是方程的两个不等的实数根，是方程的两个不等的实数根，所以，所以，所以，所以，故A正确；对于B：由上可知，且，所以，所以，所以，所以，故B错误；对于C：方程的

12、实数根的个数，即可函数与的交点个数，因为恒过坐标原点，当时，有3个交点，当时最多2个交点，所以，当与相切时，设切点为，即，所以，解得，所以，所以，所以当与相切时， 即时，此时有4个交点，若有4个实数根，即有4个交点，当时由图可知只有3个交点，当时，令，则，则当时，即单调递增，当时，即单调递减，所以当时，函数取得极大值即最大值，又及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当无限大时，即在和内各有一个零点，即有5个实数根，故C错误；对于D：，所以，所以或，由图可知，当时，的交点个数为2，当，0时，的交点个数为3，当时，的交点个数为4，当时，的交点个数为1，所以若时，则，交点的个数为个，若时，则，交点的个

13、数为3个，若，则，交点有个，若且时，则且，交点有个，若，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D正确；故选：AD18（2023秋辽宁大连高一育明高中校考期末）已知函数，若方程有四个不同的实根，满足，则下列说法正确的是（）ABCD函数的零点为【答案】BCD【解析】由解析式可得图象如下图所示：若有四个不同的实数根，则与有四个不同的交点，由图象可知：，；对于A，即，整理可得：，A错误；对于B，与关于直线对称，B正确；对于C，与是方程的两根，又，C正确；对于D，由得：或，的根为；的根为，的零点为，D正确.故选：BCD.19（2023秋山西太原高一古交市第一

14、中学校校考阶段练习）已知函数，若f(x)=a有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4，且满足x1x2x3x4，则下列命题正确的是（）A0a1BCD【答案】ACD【解析】函数的图象如上所示，方程的解可以转化为函数与图象交点的横坐标，由图可知，故A正确；由题意可知，即，解得，由图可知，所以，令，则函数在上单调递增，当时，时，所以的范围为，故B错；函数的对称轴为，所以，又，所以，函数在上单调递增，所以，故C正确；，函数在上单调递减，上单调递增，所以，故D正确.故选：ACD.20（2023秋重庆铜梁高一校考期中）已知奇函数的定义域为，为偶函数，且在上单调递减若关于x的方程在区间上有4个不同的根，则（）

15、AB的图象关于直线对称C的值可能为D的值可能为12【答案】BCD【解析】.所以，A错误因为，所以的图象关于直线对称，B正确画出的一种可能图象，如图所示，不妨假设根据对称性有：当时，C正确当时，D正确故选：BCD21（2023全国高三专题练习）设函数，若关于的方程有四个实数解，且，则的值可能是（）A0B1C99D100【答案】BC【解析】如图所示：因为关于的方程有四个实数解，且，所以.的对称轴为，所以.因为，所以，即，.因为，所以.所以，因为，为减函数，所以.故选：BC三、填空题22（2023秋石河子一中校考阶段练习）已知函数，若函数有四个不同的零点、，且，则以下结论正确的是_.；.【答案】【解

16、析】设，其中，则，当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为，且当时，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，对；因为，则，由图可知，则，所以，对；令，其中，由图可知，当时，则，此时函数单调递减，所以，即，因为，且函数在上单调递减，所以，则，故，错对.故答案为：.23（2023贵州贵阳校联考模拟预测）已知函数若方程有四个不同的实根，满足，则的取值范围是_.【答案】【解析】由图可知，且，所以，又因为，由二次函数的对称性可知，则，令，所以函数单调递增，由二次函数求值域可知.故答案为：24（2023秋河南郑州高一郑州市第七中学校考期末）已知函

17、数，若方程有四个不相等的实数根，则的取值范围为_.【答案】【解析】当x1时，在和上的图象关于对称，画出函数的图象，如图所示，不妨设，由对称性可知， 即的取值范围为. 故答案为：25（2023春广东揭阳高一校考阶段练习）已知函数，若当方程有四个不等实根时，不等式恒成立，则实数的最大值为_.【答案】【解析】当时，所以，由此画出函数的图象，由于，且，.所以，由分离参数得：令，在上单调递增，则上式化为故答案为：26（2023秋江西宜春高一江西省丰城中学校考阶段练习）设若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为_.【答案】【解析】时，在上的图象与上的图象关于对称，不妨设，如图：可得，.，.令，则原式化

18、为，其对称轴为，开口向上，在上单调递增.的取值范围为.故答案为：.27（2023秋湖北高一赤壁一中校联考阶段练习），若关于的方程有且仅有四个不相等的实数根、，则的取值范围为_.【答案】【解析】令，由可得，可得或，作出函数的图象如下图所示：若，则直线与函数的图象有个公共点，直线与函数的图象有个公共点，此时，关于的方程有个不同的实数根，不合乎题意，所以，则直线与函数的图象有个公共点，则，得，由图可知，由，得，即，由图可知点与点关于直线对称，则，所以，.故答案为：.28（2023江苏高一期末）已知函数，若关于x的方程 f（x） = a有四个不同的解，且，则的取值范围是 _【答案】(-3，3【解析】作

19、出函数的图象，由图可知，当时，或，则，所以，令，则函数在上为增函数，所以，即的取值范围为.故答案为：29（2023秋河南濮阳高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为_【答案】【解析】函数，将换为，可得，则的图象关于直线对称，则中间的一个零点为由所有零点之和为，则可得，解得，则，由的图象关于直线对称，可得有个一零点为，即，得，解得.故答案为：30（2023秋福建福州高一福州四中校考期末）已知函数，若有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是_【答案】【解析】作出函数的图象，则的零点相当于直线与的交点的横坐标，欲使有五个零点，则，设此五个零点从小到大依次

20、为，由和的对称性可知，而，因此这五个零点之和取值范围是，故答案为：.四、双空题31（2023秋江西抚州高二校联考阶段练习）已知函数，若当方程有四个不等实根、，() 时，不等式恒成立，则x1x2=_，实数的最小值为_【答案】 1 【解析】当时，如下图示：、对应A、B、C、D的横坐标，由，故，因为，又得故答题空1的答案为：.由对称性同理可得：，又因为得：，分离参数得：，设，令，则，则，再令（）则，（当且仅当时取“=”），即，即实数的最小值为.故答题空2的答案为：.32（2023秋天津和平高三耀华中学校考阶段练习）设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为_；若方程有四个不相等的实根，则的取值

21、范围为_.【答案】 6 【解析】作出图象如下：可知当时，与函数有三个不同的交点，且；时，在与上的图象关于对称，不妨令，可得，.，令，则原式化为：，其对称轴，开口向上，故在递增，的取值范围是.故答案为：（1）6；（2）.33（2023全国高三专题练习）已知函数 ，若函数有4个零点，则_；若关于的方程有个不相等的实数根，则的取值范围是_【答案】 【解析】由题意，函数，根函数的图象变换，函数的图象关于对称，根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称，在坐标系中作出函数的图象，如图所示，函数有4个零点，可得，所以；令，则方程可化为，因为有8个不等的实数根，则方程必有4个实数根，所以，所以在有2个不同的实数根，令，可得其对称轴的方程为，则满足，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：；.34（2023秋广东汕头高一统考期末）设函数，若关于x的方程有四个不同的解，且，则m的取值范围是_，的取值范围是_【答案】 【解析】的图象如下图所示，当时，直线与的图象有四个不同的交点，即关于x的方程有四个不同的解，结合图象，不难得即又，得即，且，所以，设，易知道在上单调递增，所以，即的取值范围是故答案为：，.