2020-2021学年高中数学北师大版必修2课后练习：第二章　解析几何初步 测评 WORD版含解析.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过两点A(-2,m),B(m,4)的直线倾斜角是45,则m的值是()A.-1B.3C.1D.-3解析由kAB=m-4-2-m=tan 45=1,得m=1.答案C2.点A2,32,3到点B32,2,12的距离为()A.14B.33C.142D.332解析|AB|=2-322+32-22+3-122=272=332.答案D3.已知点A(1,2),B(-2,3),C(4,y)在同一直线上,则y的值为()A.-1B.12C.1D.32解析由A,B,C三

2、点共线,得kAB=kAC,即3-2-2-1=y-24-1,解得y=1,故选C.答案C4.如果AC0,且BC0,在y轴上的截距-CB0,故直线经过第一、第二、第四象限,不经过第三象限.答案C 5.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是()A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0解析已知圆的圆心为(0,3),直线x+y+1=0的斜率为-1,则所求直线的斜率为1,故所求直线的方程为y=x+3,即x-y+3=0.故选D.答案D6.若直线(a+2)x+(1-a)y=a2(a0)与直线(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直

3、,则a的值是()A.1B.-1C.1D.-2解析因为两直线垂直,所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=1,又a0,所以a=1,故选A.答案A7.已知点P(2,-1)是圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则弦AB所在直线的方程是()A.x-y-3=0B.x+y-1=0C.2x+y-3=0D.2x-y-5=0解析由圆心O(1,0),P(2,-1),得kPO=-1,由圆的性质可知AB与OP垂直,所以AB的斜率为1,所以AB的方程为x-y-3=0,故选A.答案A8.已知P是圆O:x2+y2=1上的动点,则点P到直线l:x+y-22=0的距离的最小值为()A.1B.2C.2

4、D.22解析圆心O(0,0)到直线x+y-22=0的距离d=|0+0-22|2=2,又圆的半径r=1,所以点P到直线距离的最小值为2-1=1.答案A9.过点P(-2,4)作圆O:(x-2)2+(y-1)2=25的切线l,直线m:ax-3y=0与直线l平行,则直线l与m的距离为()A.4B.2C.85D.125解析因为点P(-2,4)在圆上,圆心O为(2,1),则kOP=1-42-(-2)=-34.所以切线l的斜率k=-1kOP=43.即直线l的方程为y-4=43(x+2),整理得4x-3y+20=0.又直线m与l平行,所以直线m的方程为4x-3y=0.故两平行直线的距离为d=|0-20|42+

5、(-3)2=4.答案A10.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.-2B.-4C.-6D.-8解析圆的方程可化为(x+1)2+(y-1)2=2-a,因此圆心为(-1,1),半径r=2-a.圆心到直线x+y+2=0的距离d=|-1+1+2|2=2,又弦长为4,因此,由勾股定理可得(2)2+422=(2-a)2,解得a=-4.故选B.答案B11.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4解析因为A(-m,0),B(m,0)

6、(m0),所以使APB=90的点P在以线段AB为直径的圆上,该圆的圆心为O(0,0),半径为m.而圆C的圆心为C(3,4),半径为1.由题意知点P在圆C上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故m-1|CO|m+1,即m-15m+1,解得4m6.所以m的最大值为6.故选B.答案B12.导学号91134073过点P(-3,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0,6B.0,3C.0,6D.0,3解析如图,直线l1,l2过点P分别与圆O相切于点A、点B.连接OP,OA,在RtOAP中,|OP|=2,|OA|=1,所以OPA=6,同理OPB=

7、6.所以APB=3.所以直线l1的倾斜角为3,显然直线l2的倾斜角为0,所以直线l的倾斜角的取值范围是0,3.故直线l的倾斜角范围为0,3.答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影为点M,则点M关于原点对称的点的坐标是.解析点M在平面xOz上的射影为(-2,0,-3),其关于原点对称点的坐标为(2,0,3).答案(2,0,3)14.过点P(1,2),且与原点的距离最大的直线方程是.解析当过点P且与OP(O为坐标原点)垂直时,直线与原点距离最大,由题意知,kOP=2,则直线l的斜率为-12

8、.此时,直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.答案x+2y-5=015.经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的倾斜角的范围是.解析如图所示,kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=1-(-1)2-0=1,由图可观察出,直线l倾斜角的范围是0,434,.答案0,434,16.导学号91134074已知方程x2+y2+2mx-2my-2=0表示的曲线恒过第三象限内的一个定点A,若点A又在直线l:mx+ny+1=0上,则m+n=.解析由方程x2+y2-2+2m(x-y)=0知,该曲线系恒经过圆x2+y2-2=0与直线

9、x-y=0的交点,由x2+y2-2=0,x-y=0,得所过定点为(-1,-1),(1,1),点A为第三象限内的点,A点的坐标为(-1,-1),将其代入直线l的方程得(-1)m+(-1)n+1=0,即m+n=1.答案1三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),求:(1)BC边所在直线的方程;(2)BC边上中线AD所在直线的方程;(3)BC边的垂直平分线DE的方程.解(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(-2,3)两点,得BC的方程为y-13-1=x-2-2-2

10、,即x+2y-4=0.(2)设BC边的中点D(x,y),则x=2-22=0,y=1+32=2.BC边的中线AD过A(-3,0),D(0,2)两点,所在直线方程为x-3+y2=1,即2x-3y+6=0.(3)由(1)知,直线BC的斜率k1=-12,则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2=2.所求直线方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.18.(本小题满分12分)已知直线l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)试判断l1与l2是否平行;(2)当l1l2时,求a的值.解(1)(方法1)当a=1时,直线l1的方程为x+2y+6=0,直线l2的方程为x=0,l1不平

11、行于l2;当a=0时,直线l1的方程为y=-3,直线l2的方程为x-y-1=0,l1不平行于l2;当a1,且a0时,两条直线的方程可化为l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),由l1l2-a2=11-a,-3-(a+1),解得a=-1.综上可知,当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(方法2)由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-12=0;由A1C2-A2C10,得a(a2-1)-160.因此l1l2,可有a(a-1)-12=0,a(a2-1)-160,a2-a-2=0,a(a2-1)6,解得a=-1,故当a=-1时,l1l2,否则l1与l2不平行.(2)由A1A

12、2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,故a=23.19.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).(1)P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率;(2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.解(1)点P(a,a+1)在圆上,a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0.a=4.P(4,5).|PQ|=(4+2)2+(5-3)2=210,kPQ=3-5-2-4=13.(2)圆心C的坐标为(2,7),|QC|=(2+2)2+(7-3)2=42.又圆的半径是22,点Q在圆外.|MQ|max=42+22=62,|MQ|min=

13、42-22=22.20.(本小题满分12分)自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线方程.解设反射光线为l,由于l和l关于x轴对称,l过点A(-3,3),点A关于x轴的对称点为A(-3,-3),因此反射光线所在直线过A(-3,-3).设反射光线所在直线的斜率为k,则反射光线所在直线的方程为y-(-3)=kx-(-3),即kx-y+3k-3=0,圆方程可化为(x-2)2+(y-2)2=1,圆心M的坐标为(2,2),半径r=1.因为反射光线所在直线和已知圆相切,所以M到反射光线所在直线的距离等于半径,即|2k

14、-2+3k-3|k2+1=1,整理得12k2-25k+12=0.解得k=43或k=34.所以反射光线所在直线的方程为y+3=43(x+3)或y+3=34(x+3),即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0,因为l与l关于x轴对称,所以光线l所在直线的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.21.导学号91134075(本小题满分12分)设圆心在直线2x+y=0上的圆C,经过点A(2,-1),并且与直线x+y-1=0相切.(1)求圆C的方程;(2)圆C被直线l:y=k(x-2)分割成弧长的比值为12的两段弧,求直线l的方程.解(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).

15、由题意知2a+b=0(2-a)2+(-1-b)2=r2,解得a=1,b=-2,r=2,故圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.(2)设直线l与圆C交于B,D两点.圆C被直线l分成弧长的比值为12的两段,BCD=120,CBD=30.圆心C到直线l的距离为12r=22.又直线l的方程为kx-y-2k=0,圆心C的坐标为(1,-2),由点到直线的距离公式,得|-k+2|k2+1=22,解得k=1或k=7,故所求直线方程为y=x-2或y=7x-14.22.导学号91134076(本小题满分12分)如图,已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=219时,求直线l的方程.解(1)设圆A的半径为R,由于圆A与直线l1:x+2y+7=0相切,R=|-1+4+7|5=25.圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)当直线l与x轴垂直时,易知x=-2符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+2),即kx-y+2k=0.如图,连接AQ,则AQMN.|MN|=219,|AQ|=20-19=1.则由|AQ|=|k-2|k2+1=1,得k=34,直线l为3x-4y+6=0.故直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.