2020版高考数学培优考前练文科通用版练习：5-3　立体几何解答题 WORD版含解析.docx

1、5.3立体几何解答题高考命题规律1.高考必考考题.主要以多面体为载体,考查空间位置关系的判定与性质、求几何体的体积、面积、距离等.2.解答题,12分,中等难度.3.全国高考有4种命题角度,分布如下表.2020年高考必备2015年2016年2017年2018年2019年卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷卷命题角度1空间中平行、垂直关系的证明命题角度2几何体的体积与距离问题181919181818191917命题角度3空间中的折叠问题191819命题角度4空间中的探究性问题1819命题角度1空间中平行、垂直关系的证明高考真题体验对方向1.(2019天津17)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行

2、四边形,PCD为等边三角形,平面PAC平面PCD,PACD,CD=2,AD=3.(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH平面PAD;(2)求证:PA平面PCD;(3)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明连接BD,易知ACBD=H,BH=DH.又由BG=PG,故GHPD.又因为GH平面PAD,PD平面PAD,所以GH平面PAD.(2)证明取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DNPC,又因为平面PAC平面PCD,平面PAC平面PCD=PC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA.又已知PACD,CDDN=D,所以PA平面PCD.(3)解连接AN,由(2)中DN平面P

3、AC,可知DAN为直线AD与平面PAC所成的角.因为PCD为等边三角形,CD=2且N为PC的中点,所以DN=3,又DNAN,在RtAND中,sinDAN=DNAD=33.所以,直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.2.(2017山东18)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A

4、1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD.所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.典题演练提能刷高分1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,点E,F分别在棱BB1,CC1上(均异于端点),且ABE=ACF,AEBB

5、1,AFCC1.求证:(1)平面AEF平面BB1C1C;(2)BC平面AEF.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1CC1.AFCC1,AFBB1.又AEBB1,AEAF=A,AE,AF平面AEF,BB1平面AEF,又BB1平面BB1C1C,平面AEF平面BB1C1C.(2)AEBB1,AFCC1,ABE=ACF,AB=AC,RtAEBRtAFC,BE=CF,又由(1)知,BECF.四边形BEFC是平行四边形,从而BCEF.又BC平面AEF,EF平面AEF,BC平面AEF.2.(2019四川成都一模)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,ABC=60,PA平面ABC

6、D,点M是棱PC的中点.(1)证明:PA平面BMD;(2)当PA=3时,求三棱锥M-PAD的体积.(1)证明如图,连接AC交BD于点O,连接MO.M,O分别为PC,AC的中点,PAMO.PA平面BMD,MO平面BMD,PA平面BMD.(2)解如图,取线段BC的中点H,连接AH.四边形ABCD是菱形,ABC=60,AHAD.PA平面ABCD,AHPA.又PAAD=A,所以AH平面PAD,点H到平面PAD的距离即为AH的长度.又BCAD,点C到平面PAD的距离即为AH的长度.M为PC的中点,点M到平面PAD的距离即为12AH的长度.VM-PAD=13SPAD12AH=121312323=12.3.

7、如图,在直角ABC中,ACB=90,BC=2AC=4,D,E分别是AB,BC边的中点,沿DE将BDE折起至FDE,且CEF=60.(1)求四棱锥F-ACED的体积;(2)求证:平面ADF平面ACF.(1)解D,E分别是AB,BC边的中点,DE平行且等于AC的一半,DEBC,DE=1.依题意,DEEF,BE=EF=2.于是有DEBCDEEFEFEC=EEF,EC平面CEFDE平面CEF.DE平面CEF,平面ACED平面CEF.过F点作FMEC于点M,则平面ACED平面CEF,且交线为CEFMECFM平面CEFFM平面ACED,CEF=60,FM=3,梯形ACED的面积S=12(AC+ED)EC=

8、12(1+2)2=3,四棱锥F-ACED的体积V=13Sh=1333=3.(2)证明如图,设线段AF,CF的中点分别为N,Q,连接DN,NQ,EQ,则NQ􀱀12AC,于是DE􀱀12ACNQ􀱀12ACDE􀱀NQDEQN是平行四边形DNEQ.又EC=EFCEF=60CEF是等边三角形.EQFC.由(1)知DE平面CEF,EQ平面CEF.DEEQ,ACEQ.于是ACEQFCEQACFC=CAC,FC平面ACFEQ平面ACF.DN平面ACF,又DN平面ADF,平面ADF平面ACF.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面A

9、BCD,ADBC,PAAB,CDAD,BC=CD=12AD,E为AD的中点.(1)求证:PACD.(2)求证:平面PBD平面PAB.(3)在平面PAB内是否存在M,使得直线CM平面PBE,请说明理由.(1)证明平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,PAAB,PA平面ABCD,又CD平面ABCD,PACD.(2)证明由已知,BCED,且BC=ED,四边形BCDE是平行四边形,又CDAD,BC=CD,四边形BCDE是正方形,连接CE,则BDCE.又BCAE,BC=AE,四边形ABCE是平行四边形,CEAB,BDAB,由(1)知PA平面ABCD,BD平面ABCD,PABD,又PAAB

10、=A,BD平面PAB,BD平面PBD,平面PBD平面PAB.(3)解当M为直线AB,CD的交点时,有CM平面PBE.理由如下:在四边形ABCD中,ADBC,BC=12AD,四边形ABCD为梯形,AB,CD必定相交,设交点为M.由(2)知四边形BCDE是正方形,CMBE,又CM平面PBE,BE平面PBE,CM平面PBE.故平面PAB内存在M,使得直线CM平面PBE,且M为直线AB,CD的交点.命题角度2几何体的体积与距离问题高考真题体验对方向1.(2019全国17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若

11、AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.2.(2019全国19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证

12、明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.(1)证明连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C

13、1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.3.(2018全国19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面PO

14、M.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.4.(2017全国18)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为27,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)解取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=B

15、C=12AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PNCD,所以PN=142x.因为PCD的面积为27,所以122x142x=27,解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=132(2+4)223=43.5.(2017全国19)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD

16、=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.(1)证明取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)解连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO=12AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E为BD的中

17、点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.典题演练提能刷高分1.(2019河北唐山三模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C底面ABC,ACB=90,AC=BC=4,M,N分别为AB,CC1的中点.(1)求证:CM平面AB1N;(2)若AB1与平面B1C1CB所成的角为30,求点M到平面AB1N的距离.(1)证明取AB1的中点O,连接OM,ON(图略),在ABB1中,O,M分别是AB1,AB的中点,则OMBB1,且OM=12BB1.又N为CC1的中点,CC1⤕

18、12;BB1,所以NCBB1,NC=12BB1,从而有OMNC且OM=NC,所以四边形OMCN为平行四边形,所以CMNO.又因为CM平面AB1N,NO平面AB1N,所以CM平面AB1N.(2)解由CC1平面ABC,得CC1AC.又因为ACBC,CC1BC=C,所以AC平面B1C1CB.连接CB1(图略),所以AB1C即为AB1与平面B1C1CB所成的角,从而有AB1C=30,所以B1C=43,B1B=42.由(1)可知CM平面AB1N,所以点C到平面AB1N的距离等于点M到平面AB1N的距离.在AB1N中,AN=NB1=26,AB1=8,SAB1N=82,在ACN中,AC=4,CN=22,SA

19、CN=42,设点C到平面AB1N的距离为d,由VB1-ACN=VC-AB1N得,13SAB1Nd=13SACNBC,所以d=2,即点M到平面AB1N的距离为2.2.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1=4,AB=BC=2,AC=22,点M是棱AA1上不同于A,A1的动点.(1)证明:BCB1M;(2)若CMB1=90,判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比.(1)证明在ABC中,AB2+BC2=8=AC2,ABC=90,BCAB.又BCBB1,BB1AB=B,BC平面ABB1A1,又B1M平面ABB1A1,BCB1M.(2)解当CMB1=90时,设AM

20、=t(0t0).(1)当=1时,求证:平面BEF平面A1DQ;(2)是否存在,使得BDFQ?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.解(1)当=1时,Q为BC中点,因为E是AD的中点,所以ED=BQ,EDBQ,则四边形BEDQ是平行四边形,所以BEQD.又BE平面A1DQ,DQ平面A1DQ,所以BE平面A1DQ.又F是A1A中点,所以EFA1D,因为EF平面A1DQ,A1D平面A1DQ,所以EF平面A1DQ.因为BEEF=E,EF平面BEF,BE平面BEF,所以平面BEF平面A1DQ.(2)连接AQ,BD与FQ,因为A1A平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1ABD.若BDFQ,A1A,F

21、Q平面A1AQ,所以BD平面A1AQ.因为AQ平面A1AQ,所以AQBD.在矩形ABCD中,由AQBD,得AQBDBA,所以AB2=ADBQ.又AB=1,AD=2,所以BQ=12,QC=32,则BQQC=13,即=13.4.如图,四边形ABCD中,ABAD,ADBC,AD=6,BC=2AB=4,E,F分别在BC,AD上,EFAB,现将四边形ABCD沿EF折起,使平面ABEF平面EFDC.(1)若BE=1,在折叠后的线段AD上是否存在一点P,且AP=PD,使得CP平面ABEF?若存在,求出的值;若不存在,说明理由;(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值.解(1)在折叠后的图中过C作CGFD,交F

22、D于G,过G作GPFD交AD于P,连接PC,在四边形ABCD中,EFAB,ABAD,所以EFAD.折起后AFEF,DFEF,又平面ABEF平面EFDC,平面ABEF平面EFDC=EF,所以FD平面ABEF.又AF平面ABEF,所以FDAF,所以CGEF,PGAF,APPD=FGGD=32,因为CGPG=G,EFAF=F,所以平面CPG平面ABEF,因为CP平面CPG,所以CP平面ABEF.所以在AD上存在一点P,且AP=32PD,使CP平面ABEF.(2)设BE=x,所以AF=x(0x4),FD=6-x,故VA-CDF=13122(6-x)x=13(-x2+6x)=139-(x-3)2.所以当

23、x=3时,VA-CDF取得最大值3.5.如图1,在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,O为DE的中点,AB=AC=25,BC=4.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使得平面A1DE平面BCED,F为A1C的中点,如图2.(1)求证:EF平面A1BD;(2)求证:平面A1OB平面A1OC;(3)线段OC上是否存在点G,使得OC平面EFG?说明理由.(1)证明取线段A1B的中点H,连接HD,HF.因为在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以DEBC,DE=12BC.因为H,F分别为A1B,A1C的中点,所以HFBC,HF=12BC,所以HFDE,HF=DE,所以四边形DEFH为平行四边

24、形,所以EFHD.因为EF平面A1BD,HD平面A1BD,所以EF平面A1BD.(2)证明因为在ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,所以AD=AE.所以A1D=A1E,又O为DE的中点,所以A1ODE.因为平面A1DE平面BCED,且A1O平面A1DE,所以A1O平面BCED,所以COA1O.在OBC中,BC=4,易知OB=OC=22,所以COBO,因为A1OBO=O,所以CO平面A1OB,因为CO平面A1OC,所以平面A1OB平面A1OC.(3)解线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.否则,假设线段OC上存在点G,使得OC平面EFG,连接GE,GF,则必有OCGF,且OCGE.在RtA1OC中,由F为A1C的中点,OCGF,得G为OC的中点.在EOC中,因为OCGE,所以EO=EC,这显然与EO=1,EC=5矛盾.所以线段OC上不存在点G,使得OC平面EFG.专题六统计与概率