2021-2022学年新教材高中数学 第8章 立体几何初步过关检测训练（含解析）新人教A版必修第二册.docx

1、第八章过关检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法正确的个数为()存在斜四棱柱,其底面为正方形;存在棱锥,其所有面均为直角三角形;任意的圆锥都存在两条母线互相垂直;矩形绕任意一条边所在的直线旋转一周都可以形成圆柱.A.1B.2C.3D.4解析正确.正确,如图所示.不正确,当圆锥轴截面的顶角小于90时不存在.正确.答案C2.已知一个四边形的直观图如图所示,AB=2,AD=2BC=4,则原四边形的面积为()A.43B.83C.12D.10解析由题意可知,在原四边形中,AD=4,AB=4

2、,BC=2,故原四边形的面积为S=AD+BC2AB=12.答案C3.已知圆锥的底面半径为1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为()A.33B.3C.53D.5解析设圆锥的底面半径为r,母线长为R,高为h,则2r=R,因为r=1,所以R=2,所以h=R2-r2=3,所以圆锥的体积V=13123=33.答案A4.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122B.12C.82D.10解析过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以

3、2r=l=22,即r=2,所以圆柱的表面积为2rl+2r2=8+4=12.答案B5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积为()A.8B.62C.82D.83解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB平面BCC1B1,连接BC1,则AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,AC1B=30,所以在RtABC1中,BC1=ABtanAC1B=23,又BC=2,所以在RtBCC1中,CC1=(23)2-22=22,所以该长方体体积V=BCCC1AB=82.答案C6.若球的表面积为16,则用与球心距离为3的平面截球所得

4、的圆的面积为()A.4B.3C.2D.解析如图,由球的表面积为16,可得球的半径R=2.设截面圆的半径为r,球心到截面的距离为h,则r2=R2-h2=4-3=1.故截面圆的面积为S=r2=.答案D7.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,则下列结论正确的是()A.若,则B.若mn,m,n,则C.若mn,m,则nD.若mn,m,n,则解析对于A,与也可能相交,故A错误.对于B,与也可能相交,故B错误.对于C,n也可能在内,故C错误.对于D,mn,m,n,又n,故D正确.答案D8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的

5、中点,则下列结论正确的是()A.CC1与B1E是异面直线B.AC平面ABB1A1C.AE与B1C1是异面直线,且AEB1C1D.A1C1平面AB1E解析对于A,显然CC1与B1E都在平面BCC1B1内,故CC1与B1E不是异面直线,故A错误.对于B,若AC平面ABB1A1,则ACAB,而由题意可知,ABC是正三角形,矛盾,故AC不可能垂直于平面ABB1A1,故B错误.对于C,显然AE与B1C1不同在任一平面内,故AE与B1C1是异面直线,又易知AE平面BCC1B1,故AEB1C1,故C正确.对于D,延长C1A1到点D,使C1A1=A1D,连接B1D,AD(图略),易证AEB1D,则平面AB1E

6、即是平面ADB1E,而C1D与平面ADB1E相交于点D,故A1C1与平面AB1E不平行,故D错误.答案C9.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1上的一点,则直线CE一定垂直于()A.ACB.BDC.A1DD.A1D1解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易知BDAC,BDAA1,故BD平面A1ACC1,而CE平面A1ACC1,故BDCE.答案B10.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等长的正四棱柱分成三组

7、,经90榫卯起来.如图,若正四棱柱的高为6,底面正方形的边长为1,现将该鲁班锁放进一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器的表面积的最小值为()A.36B.40C.41D.44解析由题意知,当该球为长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球时,球的半径取最小值,即该球形容器的半径的最小值为124+1+36=412,故该球形容器的表面积的最小值为4414=41.答案C二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为163,则a=,正三棱柱的表面积为.答案448+8312.已知一个圆柱和一个圆锥的底面直径及高都与一个球的

8、直径相等,则该圆柱,圆锥,球的体积之比为.解析设圆柱和圆锥的底面半径为r,则圆柱和圆锥的高h=2r,球的半径为r,故V圆柱=r22r=2r3,V圆锥=13r22r=23r3,V球=43r3,故V圆柱V圆锥V球=312.答案31213.学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.解析由题意得,四棱锥O-EFGH的底面积为46-41

9、223=12(cm2),点O到平面BB1C1C的距离为3 cm,则此四棱锥的体积为V1=13123=12(cm3).又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V2=466=144(cm3),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm3).故其质量为0.9132=118.8(g).答案118.814.已知三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为,体积为.解析如图,因为三棱柱的棱长都为a,所以ABC与ABC都为正三角形,设O1,O分别为ABC,ABC的中心,则O1O的中点O即为所求球的球心.连接OB,O1B,设所求球的半径为R,则OB=R,OO1

10、=a2,O1B=33a.又OB2=OO12+O1B2,故R2=a22+33a2=712a2.故所求球的表面积为S球=4R2=4712a2=73a2,体积为V球=43R3=72154a3.答案73a272154a315.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=12,AC与BE的位置关系为,三棱锥A-BEF的体积为.解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B平面ABCD,ACB1B,又ACBD,BDB1B=B,AC平面BDD1B1,又BE平面BDD1B1,ACBE.V三棱锥A-BEF=1312EFBB112AC=224.答案垂直22416.如

11、图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是.(填序号)PBAD;平面PAB平面PAE;BC平面PAE;直线PD与平面ABC所成的角为45.解析对于,若PBAD,而PAAD,则AD平面PAB,从而ADAB,显然不成立,故错误.对于,易证ABAE,ABPA,从而AB平面PAE,又因为AB平面PAB,所以平面PAB平面PAE,故正确.对于,若BC平面PAE,则BCAE,显然不成立,故错误.对于,易知PDA为直线PD与平面ABC所成的角,在RtPAD中,因为PA=2AB,AD=2BC=2AB,所以PA=AD,所以PDA=45,即直线PD与平面ABC

12、所成的角为45,故正确.答案17.如图(单位:cm),图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积为cm2,体积为cm3.解析由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面.S半球=8,S圆台侧=35,S圆台底=25.故所求几何体的表面积为68 cm2.由V圆台=13(22+2252+52)4=52,V半球=432312=163,故所求几何体的体积为V圆台-V半球=52-163=1403(cm3).答案681403三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(14分)在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=A

13、B.过点A作AFSB,垂足为F,E,G分别为棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.证明(1)AS=AB,AFSB,F为SB的中点.又E,G分别为棱SA,SC的中点,EFAB,FGBC.又EF平面ABC,FG平面ABC,AB平面ABC,BC平面ABC,EF平面ABC,FG平面ABC,又EFFG=F,平面EFG平面ABC.(2)平面SAB平面SBC,AFSB,平面SAB平面SBC=SB,AF平面SBC,AFBC.又BCAB,AFAB=A,BC平面SAB.又SA平面SAB,BCSA.19.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=

14、AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)求证:MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.(1)证明由已知得AM=23AD=2.如图,取BP的中点T,连接AT,TN.N为PC的中点,TNBC,TN=12BC=2.又ADBC,TNAM,四边形AMNT为平行四边形,MNAT.又AT平面PAB,MN平面PAB,MN平面PAB.(2)解PA平面ABCD,N为PC的中点,点N到平面ABCD的距离为12PA=2.如图,取BC的中点E,连接AE.AB=AC=3,AEBC,AE=AB2-BE2=5.又AMBC,点M到BC的距离为5,SBCM=1245=25.VN-

15、BCM=13252=453.20.(15分)如图,在直角梯形PBCD中,PBCD,CDBC,BC=PB=2CD,A是PB的中点.现沿AD将平面PAD折起,使得PAAB,如图,E,F分别为BC,AB的中点.(1)求证:PA平面ABCD;(2)求证:平面PAE平面PDE;(3)试在PA上找一点G,使得FG平面PDE,并证明你的结论.(1)证明在直角梯形PBCD中,PBCD,CDBC,PB=2CD,A是PB的中点,四边形ABCD是矩形,ADPA.又PAAB,ABAD=A,PA平面ABCD.(2)证明PA平面ABCD,ED平面ABCD,PAED.在矩形ABCD中,BC=2CD=2AB=2BE=2EC,

16、BEA=45,CED=45,AED=90,即AEED.又PAAE=A,ED平面PAE.又ED平面PDE,平面PAE平面PDE.(3)解在PA上取一点G,使PG=3GA,则FG平面PDE.证明如下:取ED的中点M,在PD上取一点N,使PN=3ND,连接FM,MN,GN(图略),则FMAD,GNAD,FM=12(BE+AD)=34AD,GN=34AD,FMGN,四边形FMNG为平行四边形,FGMN.又MN平面PDE,FG平面PDE.FG平面PDE.21.(15分)如图所示,正方体的棱长为1,BCBC=O,求:(1)AO与AC所成角的度数;(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB与平

17、面AOC所成角的度数.解(1)ACAC,AO与AC所成的角就是OAC.在正方体中,AB平面BC,OC平面BC,OCAB.又OCOB,且ABOB=B,OC平面ABO.OA平面ABO,OCOA.在RtAOC中,OC=22,AC=2,sinOAC=OCAC=12,OAC=30.即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图所示,作OEBC于点E,连接AE.平面BC平面ABCD,OE平面ABCD,OAE为OA与平面ABCD所成的角.在RtOAE中,OE=12,AE=12+(12)2=52,tanOAE=OEAE=55.(3)OCOA,OCOB,OAOB=O,OC平面AOB.又OC平面AOC,平面AOB平面

18、AOC.即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.22.(15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90.(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM平面PBE,并说明理由;(2)若二面角P-CD-A的大小为45,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.解(1)在梯形ABCD中,AB与CD不平行.延长AB,DC,相交于点M(M平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下:由题意知,BCED,且BC=ED,所以四边形BCDE是平行四边形,从而CMEB.又因为EB平面PBE,CM平面PBE,所以CM平面P

19、BE.(2)已知CDPA,CDAD,PAAD=A,所以CD平面PAD.因为PD平面PAD,所以CDPD,又因为ADCD,所以PDA是二面角P-CD-A的平面角,所以PDA=45.设BC=1,则在RtPAD中,PA=AD=2.由题意知,AE=ED=CD=1,在RtPAE中,PE=5,在RtCDE中,CE=2,在RtPAD中,PD=22,在RtPDC中,PC=3.设点A到平面PCE的距离为m,PA与平面PCE所成角为,所以VA-PEC=VP-AEC.已知PEC的三边,根据余弦定理,三角形面积计算公式得SPEC=32.SAEC=12AECD=12.代入得1332m=1312PA,已知PA=2,解得m=23,故sin =mPA=13.