2021-2022学年高中数学 第二章 数列 2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式课后巩固提升（含解析）新人教A版必修5.docx

1、第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式课后篇巩固提升基础巩固1.给出下列数列:(1)0,0,0,0,;(2)1,11,111,1 111,;(3)2,22,23,24,;(4)-5,-3,-1,1,3,;(5)1,2,3,5,8,.其中是等差数列的有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析根据等差数列的定义可知(1)(4)是等差数列,其余不是,所以等差数列有2个.答案B2.若ABC的三个内角A,B,C成等差数列,则cos(A+C)=()A.B.C.-D.-解析因为A,B,C成等差数列,所以A+C=2B.又因为A+B+C=,所以A+C=,故cos(A+C)=-.答案C3.在等差

2、数列an中,已知a1=,a4+a5=,ak=33,则k=()A.50B.49C.48D.47解析设等差数列an的公差为d,a1=,a4+a5=,2a1+7d=,解得d=,则an=+(n-1),则ak=33,解得k=50.答案A4.在等差数列an中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.B.-C.-D.-1解析设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-,因此新等差数列的公差为-.答案B5.等差数列20,17,14,11,中第一个负数项是()A.第7项B.第8项C.第9项D.第10项解析a1=20,d=-3,an=20+(n-1)(-

3、3)=23-3n,a7=20,a8=-10,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=.解析a,b0,2a=3b=m1,a=,b=.a,ab,b成等差数列,2ab=a+b,2.lgm=(lg2+lg3)=lg6=lg.则m=.答案8.正项数列an满足:a1=1,a2=2,2(nN*,n2),则a7=.解析因为2(nN*,n2),所以数列是以=1为首项,以d=4-1=3为公差的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=,n1.所以a7=.答案9.已知x,y,z成等差数列,求证:x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.证明因为x,y,z成等差数列,所以2y=x

4、+z,而x2(y+z)+z2(y+x)=x2y+x2z+z2y+z2x=x2y+z2y+xz(x+z)=x2y+z2y+2xyz=y(x+z)2=2y2(x+z),故x2(y+z),y2(x+z),z2(y+x)也成等差数列.10.已知数列an,a1=1,an+1=2an+2n.(1)设bn=,证明:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.(1)证明因为an+1=2an+2n,所以+1,所以=1,nN*.又因为bn=,所以bn+1-bn=1.所以数列bn是等差数列,其首项b1=a1=1,公差为1.(2)解由(1)知bn=1+(n-1)1=n,所以an=2n-1bn=n2n-1.能力提升

5、1.若数列an的通项公式是an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列解析由题知,an=2n+5,则an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,根据等差数列的定义知,数列an是公差为2的等差数列.答案A2.下列命题正确的是()A.若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2成等差数列B.若a,b,c成等差数列,则log2a,log2b,log2c成等差数列C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列D.若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2c成等差数列解析因为a,b,c为等差数列,所以2b

6、=a+c,所以2(b+2)=(a+2)+(c+2),故a+2,b+2,c+2成等差数列.答案C3.已知等差数列an满足4a3=3a2,则an中一定为零的项是()A.a6B.a8C.a10D.a12解析设等差数列an的公差为d.4a3=3a2,4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,a6=0,则an中一定为零的项是a6.答案A4.在等差数列an中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a6的值为()A.10B.9C.8D.7解析在等差数列an中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,a3+a6+a9=27,3a6=27,a6=9,故选B.答案B5.已知数列an

7、与均为等差数列(nN*),且a1=1,则a10=.解析设等差数列an的公差为d,则an=1+(n-1)d=dn+1-d,=d2n+2d(1-d)+为等差数列,根据等差数列的性质可知=0,即d=1,a10=10.答案106.已知数列an,a1=1,a2=,且(n2),则an=.解析,数列是等差数列,公差d=.+(n-1)d=1+(n-1)=.an=.答案7.已知等差数列an:3,7,11,15,.(1)求等差数列an的通项公式.(2)135,4b+19(bN*)是数列an中的项吗?若是,是第几项?(3)若am,at(m,tN*)是数列an中的项,则2am+3at是数列an中的项吗?若是,是第几项

8、?解(1)设等差数列an的公差为d.依题意,得a1=3,d=7-3=4,故an=3+4(n-1)=4n-1.(2)令an=4n-1=135,解得n=34,故135是数列an的第34项.4b+19=4(b+5)-1,且bN*,4b+19是数列an的第(b+5)项.(3)am,at是数列an中的项,am=4m-1,at=4t-1,2am+3at=2(4m-1)+3(4t-1)=4(2m+3t-1)-1.2m+3t-1N*,2am+3at是数列an的第(2m+3t-1)项.8.在数列an中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n2,nN*).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列an的通项公式;(3)若an+对任意的n2恒成立,求实数的取值范围.(1)证明由3anan-1+an-an-1=0(n2),整理得=3(n2),所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)解由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.(3)解an+对任意的n2恒成立,即+3n-2对任意的n2恒成立,整理,得对任意的n2恒成立.令f(n)=,则f(n+1)-f(n)=3-.因为n2,所以f(n+1)-f(n)0,即f(2)f(3)f(4),所以f(2)最小.又f(2)=,所以,所以实数的取值范围为.