2021-2022学年高中数学人教A版选修1-1课后巩固提升：第二章　习题课——椭圆的综合问题 WORD版含解析.docx

1、习题课椭圆的综合问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知F1,F2是椭圆=1的两焦点,过点F2的直线交椭圆于点A,B,若|AB|=5,则|AF1|+|BF1|=()A.9B.10C.11D.12解析根据椭圆定义,|AF1|+|AF2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8,所以ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=16,所以|AF1|+|BF1|=16-|AB|=11.答案C2.直线l的方程2x-y+2=0过椭圆左焦点F和一个顶点B,则该椭圆的离心率为()ABCD解析在直线l的方程2x-y+2=0中,令x=0,得y=2;令y=0,得x=-1,直线l的方程2x-y+2=0过椭圆左焦点

2、F和一个顶点B,椭圆左焦点F(-1,0),顶点B(0,2),c=1,b=2,a=,该椭圆的离心率为e=故选B.答案B3.已知椭圆C:=1(ab0)的短轴长为4,焦距为2过椭圆C的上顶点B作圆x2+y2=2的两条切线,与椭圆C分别交于另外两点M,N,则BNM的面积为()A.6BCD解析因为椭圆C:=1(ab0)的短轴长为4,焦距为2,b=2,c=,a2=6,所以椭圆方程为=1.如图所示,设直线BN的方程为y=kx+2,MN与y轴的交点为D,则原点到直线BN的距离为d=,又因为直线BN与圆x2+y2=2相切,所以,解得k=1,则直线BN的方程为y=-x+2,由解得(舍去),则N,-,同理求得M-,

3、-,所以BNM的面积为S=MNBD=2+=,故选B.答案B4.已知椭圆的两个焦点分别是F1,F2,P是椭圆上的一个动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.射线D.直线解析因为|PQ|=|PF2|,且|PF1|+|PF2|=2a,所以|PQ|+|PF1|=2a.又因为F1,P,Q三点共线,所以|PF1|+|PQ|=|F1Q|,故|F1Q|=2a,即Q在以F1为圆心,以2a为半径的圆上.答案A5.椭圆=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,F1PF2的大小为.解析a2=9,b2=2,c=,|F1F2|=2又|PF1|

4、=4,|PF1|+|PF2|=2a=6,|PF2|=2.又由余弦定理得cos F1PF2=-,F1PF2=120.答案21206.椭圆x2+4y2=16被直线y=x+1截得的弦长为.解析由消去y并化简得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6.所以弦长|MN|=|x1-x2|=答案7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为A,射线AF2交椭圆于B.若AF1B的面积为40,内角A为60,则椭圆的焦距为.解析由题意可得AF1F2为等边三角形,如图所示.即有2c=a,b=c,可得椭圆方程

5、为3x2+4y2=12c2.设直线AB的方程为x=-y+c,代入椭圆方程可得3y2+c2-cy+4y2=12c2,化为5y2-2cy-9c2=0,解得y=c,或y=-c,即有AF1B的面积为2c|yA-yB|=cc=40,可得c=5,即有椭圆的焦距为10.答案108.已知点A,B是圆F:+y2=4(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,求动点P的轨迹方程.解如图所示,由题意知,|PA|=|PB|,|PF|+|BP|=2,所以|PA|+|PF|=2,且|PA|+|PF|AF|,所以动点P的轨迹是以A,F为焦点的椭圆,因此a=1,c=,b2=故动点P的轨迹方程为x2+=1,即x2+y

6、2=1.9.已知椭圆=1(ab0)的离心率为,且a2=2b.(1)求椭圆的方程;(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.解(1)由题意,得解得故椭圆的方程为x2+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0).联立直线与椭圆的方程,得即3x2+2mx+m2-2=0,所以x0=-,y0=x0+m=,即M又因为点M在圆x2+y2=5上,所以=5,解得m=3.10.设椭圆=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B,已知|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为

7、的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=a2+c2,解得所以,椭圆的离心率为(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为=1,由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.因为点P在x轴上方,所以Pc,c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故,解得t=2

8、.因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为=1.能力提升1.椭圆的离心率为,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为()A=1B=1C=1或=1D=1或=1解析由题意知,得a2=2b2=2c2,不妨设椭圆的方程为=1(ab0),椭圆上任取一点P(x0,y0),取焦点F(-c,0),则PF中点M,根据条件可得+4,kPF=-1,联立两式解得x0=-4,y0=4-c,代入椭圆方程解得a=3,b=3,由此可得椭圆的方程为=1或=1,故选C.答案C2.在平面直角坐标系xOy中,已知ABC的顶点A(0,-2)和

9、C(0,2),顶点B在椭圆=1上,则的值是()AB.2C.2D.4解析由椭圆定义,得|BA|+|BC|=4故答案A3.已知点A为椭圆C:=1(ab0)的右顶点,P为椭圆C上一点(不与A重合),若=0(O是坐标原点),则离心率e的取值范围是()ABCD.以上说法都不对解析设P(x,y)(xa),=0(O是坐标原点),则点P在以OA为直径的圆上,消去y整理得c2x2-a3x+a2b2=0,解得x=a,或x=,xa,故x=,0a.b2c2,即a2-c2b0),由题意,得a=3,c=2,于是b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.由得10x2+36x+27=0.因为该一元二次方程的0,所以点A,B不重合

10、.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=-+4=,故线段AB的中点坐标为(2)法一:设点O到直线y=x+2的距离为d,则d=又x1x2=,所以|AB|=,故SAOB=法二:设直线y=x+2与x轴交于点M(-2,0),则SOAB=SOAM+SOBM,由(1)可知,y1+y2=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=,y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=-,则SOAB=2|y1|+2|y2|=|y1-y2|=5.(选做题)已知椭圆C:=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(

11、2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|ON|=2,求证:直线l经过定点.(1)解由题意得,b2=1,c=1.所以a2=b2+c2=2.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设P(x1,y1),Q(x2,y2),则直线AP的方程为y=x+1.令y=0,得点M的横坐标xM=-又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=同理,|ON|=由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.则x1+x2=-,x1x2=所以|OM|ON|=2又|OM|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).