2021春新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.docx

1、平面向量基本定理及坐标表示A级基础巩固1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),ab=0,则实数m的值为()A.-32B.32C.2D.6解析:因为a=(3,m),b=(2,-1),ab=0,所以32+m(-1)=0,所以m=6.答案:D2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=(1,-2),AD=(2,1),则ADAC=()A.5B.4C.3D.2解析:由四边形ABCD为平行四边形,知AC=AB+AD=(3,-1),故ADAC=(2,1)(3,-1)=5.答案:A3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则DOE的余弦值为()A.12B.32C.35

2、D.45解析:以点O为原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D（1,12）,E（12,1）,于是cosDOE=112+12112+(12)2(12)2+12=45.答案:D4.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)a,则|b|=5.解析:因为a=(-1,3),b=(1,t),所以a-2b=(-3,3-2t).因为(a-2b)a,所以(a-2b)a=0,即(-3)(-1)+3(3-2t)=0,解得t=2,所以b=(1,2),所以|b|=12+22=5.5.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且ca,求c

3、的坐标;(2)若|b|=52,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角.解:(1)设c=(x,y),因为|c|=25,所以x2+y2=25,所以x2+y2=20.由ca,得1y-2x=0,所以1y-2x=0,x2+y2=20,解得x=2,y=4或x=-2,y=-4.故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因为(a+2b)(2a-b),所以(a+2b)(2a-b)=0,即2a2+3ab-2b2=0,所以25+3ab-254=0,整理得ab=-52,所以cos =ab|a|b|=-1.因为0,所以=.B级能力提升6.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当PAPB取最小值时,点P的

4、坐标是()A.(2,0)B.(4,0)C.（103,0）D.(3,0)解析:设P(a,0),则PA=(2-a,-1),PB=(4-a,2),所以PAPB=(2-a)(4-a)-2=a2-6a+6.由二次函数的性质,得当a=3时,PAPB有最小值,此时点P的坐标是(3,0).答案:D7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=2.解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).因为|a|=5,|b|=25,ac=5m+8,bc=8m+20,且c与a的夹角等于c与b的夹角,所以ca|c|a|=cb|c|b

5、|,即5m+85=8m+2025,解得m=2.8.设向量a=(cos ,sin )(02),b=-12,32,且a与b不共线.(1)求证:(a+b)(a-b);(2)若向量3a+b与a-3b的模相等,求.(1)证明:由题意可得a+b=（cos -12,sin +32）,a-b=（cos +12,sin -32）,所以(a+b)(a-b)=cos2-14+sin2-34=0,所以(a+b)(a-b).(2)解:因为向量3a+b与a-3b的模相等,所以(3a+b)2=(a-3b)2,所以a2-b2+23ab=0.因为|a|=cos2+sin2=1,|b|=(-12)2+(32)2=1,所以1-1+

6、23ab=0,解得ab=0,所以-12cos +32sin =0,所以tan =33.因为02,所以=6或76.C级挑战创新9.多选题设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论正确的是()A.|a|=|b|B.ab=12C.a-b与b垂直D.ab解析:由题意,知|a|=12+02=1,|b|=(12)2+(12)2=22,且a,b不平行,故选项A、D错误;ab=112+012=12,(a-b)b=ab-|b|2=12-12=0,所以a-b与b垂直,故选项B、C正确.答案:BC10.多空题已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若ab,则k的值为5;若|a+b|不超过5,则k的取值范围为-6k2.解析:因为ab,所以ab=0,所以(-2)5+2k=0,所以k=5.a+b=(3,2+k),因为|a+b|5,所以|a+b|2=32+(2+k)225,所以-6k2.