2021版数学大一轮复习北京专用精练：4-4　解三角形（试题部分） WORD版含解析.docx

1、4.4解三角形探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.正弦、余弦定理的应用理解正弦定理与余弦定理的推导过程掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题2019北京文,15运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换2016北京,15运用余弦定理解三角形三角恒等变换、三角函数的性质2016北京文,13换元法,解二次方程2.解三角形的综合应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题2015北京,12运用正弦定理、余弦定理解三角形二倍角公式2015北京文,11运用正弦定理解三角形三角形中“大边对大角”2018北京文,

2、14运用正弦定理、余弦定理解三角形三角恒等变换2017北京,15分析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关的量的问题时,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.在高考中常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题和填空题中.破考点 练考向【考点集训】考点一正弦、余弦定理的应用1.(2020届北京二中开学考试,5)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“ab”是“cos 2A72=c2,cos C=a2+b2-c

3、22ab0,sin C=265,cos C=15,又c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-2abcos C,a+b=11,c=7,72=112-2ab-25ab,ab=30,SABC=12absin C=1230265=66.考点二解三角形及其综合应用3.(2020届北京八一学校开学考试,11)在ABC中,a=1,b=7,且ABC的面积为32,则c=.答案2或234.(2018北京东城期末,12)在ABC中,a=5,c=7,cos C=15,则b=,ABC的面积为.答案6;665.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一

4、垂直于路面的山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.答案10066.(2020届山东夏季高考模拟,18)在ABC中,A=90,点D在BC边上.在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC;(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cosCFB.解析(1)因为CD=BD,所以CD=12BC.由题设知DF=AC,12CDDF=12ABAC,因此CD=AB.所以AB=12BC,因此ABC=60.(2)不妨设AB=1,由题设知BC=2.由BD=3CD得BD=32

5、4,CD=24.由勾股定理得CF=324,BF=344.由余弦定理得cosCFB=98+178-22324344=51751.炼技法 提能力【方法集训】方法1三角形形状的判断1.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)若sin B+sin C=3,试判断ABC的形状.解析(1)由2asin A=(2b-c)sin B+(

6、2c-b)sin C,得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,所以cos A=b2+c2-a22bc=12,因为0A180,所以A=60.(2)因为A+B+C=180,所以B+C=180-60=120.由sin B+sin C=3,得sin B+sin(120-B)=3,所以sin B+sin 120cos B-cos 120sin B=3.所以32sin B+32cos B=3,即sin(B+30)=1.因为0B120,所以30B+30c,则b的取值范围是.答案6(3,32)7.(2020届北京人大附中开学考试,11)在ABC中,a=3,b=13,B=60,则c=

7、;ABC的面积为.答案4;338.(2019北京西城一模,15)在ABC中,已知a2+c2-b2=mac,其中mR.(1)判断m能否等于3,并说明理由;(2)若m=-1,b=27,c=4,求sin A.解析(1)m不能等于3.理由如下:当m=3时,由题可知a2+c2-b2=3ac,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得cos B=a2+c2-b22ac=32,这与cos B-1,1矛盾,所以m不可能等于3.(2)由(1)得cos B=m2=-12,所以B=23.因为b=27,c=4,a2+c2-b2=-ac,所以a2+16-28=-4a,解得a=-6(舍)或a=2.在ABC中,由正弦

8、定理,得sin A=asinBb=22732=2114.【五年高考】A组自主命题北京卷题组1.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC=.答案12.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为34(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;ca的取值范围是.答案3;(2,+)3.(2016北京文,13,5分)在ABC中,A=23,a=3c,则bc=.答案14.(2015北京文,11,5分)在ABC中,a=3,b=6,A=23,则B=.答案45.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2

9、)求sin(B-C)的值.解析本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形的边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5.所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=32.由正弦定理得sin A=absin B=3314.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sin A=3314.6.(2018北京,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求

10、AC边上的高.解析(1)在ABC中,因为cos B=-17,所以sin B=1-cos2B=437.由正弦定理得sin A=asinBb=32.由题设知2B,所以0A2.所以A=3.(2)在ABC中,因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=3314,所以AC边上的高为asin C=73314=332.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2017北京,15,13分)在ABC中,A=60,c=37a.(1)求s

11、in C的值;(2)若a=7,求ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=37a,所以由正弦定理得sin C=csinAa=3732=3314.(2)因为a=7,所以c=377=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b312,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=12bcsin A=128332=63.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.8.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+2a

12、c.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22.又因为0B,所以B=4.(2)由(1)知A+C=34.2cos A+cos C=2cos A+cos34-A=2cos A-22cos A+22sin A=22cos A+22sin A=cosA-4.因为0A34,所以当A=4时,2cos A+cos C取得最大值1.思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理以及三角恒等变换将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,即可得

13、出答案.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2019课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=-14,则bc=()A.6B.5C.4D.3答案A2.(2018课标全国,6,5分)在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42B.30C.29D.25答案A3.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案1

14、225;72104.(2019课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin A+acos B=0,则B=.答案345.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;36.(2016课标,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案21137.(2019课标全国,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角

15、形,且c=1,求ABC面积的取值范围.解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sin AsinA+C2=sin Bsin A.因为sin A0,所以sinA+C2=sin B.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,故sinB2=12,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由

16、于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故12a2,从而38SABC0,由cos B求sin B仅有一正解.9.(2018课标,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解析(1)在ABD中,由正弦定理知BDsinA=ABsinADB.故5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD

17、DCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则:(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A

18、BC的面积为a2+b2-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6答案C2.(2016课标,8,5分)在ABC中,B=4,BC边上的高等于13BC,则cos A=()A.31010B.1010C.-1010D.-31010答案C3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案152;1044.(2019课标全国,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解析本

19、题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sin A+sin(120-C)=2sin C,即62+32cos C+12sin C=2sin C,可得cos(C+60)=-22.由于0C0,所以cos B=2sin B0,从而cos B=255.因此sinB+2=cos B=2

20、55.6.(2018天津,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=acosB-6,得asin B=acosB-6,即sin B=cosB-6,可得tan B=3.又因为B(0,),可得B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a

21、=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=7.由bsin A=acosB-6,可得sin A=37.又ac,故cos A=27.因此sin 2A=2sin Acos A=437,cos 2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=43712-1732=3314.7.(2017课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为a23sinA.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换

22、,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得12acsin B=a23sinA,即12csin B=a3sinA.由正弦定理得12sin Csin B=sinA3sinA.故sin Bsin C=23.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-12,即cos(B+C)=-12.所以B+C=23,故A=3.由题设得12bcsin A=a23sinA,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=33.故ABC的周长为3+33.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得12acsin B=a23sinA,然后利用正弦

23、定理,把边转化成角的形式,即可得出sin Bsin C的值;(2)首先利用sin Bsin C的值以及题目中给出的6cos Bcos C=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将12csin B=a3sinA变形为12sin Csin B=sinA3sinA.(2)三角形面积公式:S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.(3)三角形的内角和为

24、.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sin A.8.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,所以C=3.(2)由已知,得12absin C=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b

25、2-2abcos C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.所以ABC的周长为5+7.9.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解析(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDco

26、sADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理的应用1.(2013北京文, 5,5分)在ABC中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B=()A.15B.59C.53D.1答案B2.(2017山东,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2016天

27、津,3,5分)在ABC中,若AB=13,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A4.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为315,b-c=2,cos A=-14,则a的值为.答案85.(2015广东,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3,sin B=12,C=6,则b=.答案16.(2014北京,12,5分)在ABC中,a=1,b=2,cos C=14,则c=;sin A=.答案2;1587.(2012北京文,11,5分)在ABC中,若a=3,b=3,A=3,则C的大小为.答案2

28、8.(2012北京,11,5分)在ABC中,若a=2,b+c=7,cos B=-14,则b=.答案49.(2011北京,9,5分)在ABC中,若b=5,B=4,tan A=2,则sin A=;a=.答案255;21010.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=34,AB=6,AC=32,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(32)2+62-2326cos34=18+36-(-36)=90,所以a=310.又由正弦定理得sin B=bsinBACa=3310=1010,由题设知0B

29、4,所以cos B=1-sin2B=1-110=31010.在ABD中,由正弦定理得AD=ABsinBsin(-2B)=6sinB2sinBcosB=3cosB=10.考点二解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=3,则ABC的面积是()A.3B.932C.332D.33答案C2.(2018江苏,13,5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.答案93.(2014山东,12,5分)在ABC中,已知ABAC=tan

30、 A,当A=6时,ABC的面积为.答案164.(2014四川,13,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67,30,此时气球的高是46 m,则河流的宽度BC约等于m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 670.92,cos 670.39,sin 370.60,cos 370.80,31.73)答案605.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.解析(1)证明:由题意及正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos

31、 B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=a24得12absin C=a24,故有sin Bsin C=12sin 2B=sin Bcos B.又sin B0,所以sin C=cos B.因为B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或4.6.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2

32、,AC=7.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-714,sinCBA=216,求BC的长.解析(1)在ADC中,由余弦定理得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=7+1-427=277.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=277,cosBAD=-714,所以sinCAD=1-cos2CAD=1-2772=217,sinBAD=1-cos2BAD=1-7142=32114.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=32114277-714217=32.在ABC中,由正弦定理,得BCsin=ACsinCB

33、A,故BC=ACsinsinCBA=732216=3.7.(2014北京,15,13分)如图,在ABC中,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在ADC中,因为cosADC=17,所以sinADC=437.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=43712-1732=3314.(2)易知sinADB=sin(-ADC)=sinADC=437,在ABD中,由正弦定理得BD=ABsinBADsinADB=83314437=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+B

34、C2-2ABBCcos B=82+52-28512=49.所以AC=7.思路分析(1)先得到sinADC的值和BAD=ADC-B,再用两角差的正弦公式求值.(2)在ABD中利用正弦定理求BD,然后在ABC中利用余弦定理求AC.评析本题考查了三角恒等变换,及利用正、余弦定理解三角形;考查分析推理、运算求解能力.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2019北京西城一模文,5)在ABC中,已知a=2,sin(A+B)=13,sin A=14,则c=()A.4B.3C.83D.43答案C2.(2019北京朝阳一模文,4,5分)已知在ABC中,A=120,a=21,ABC的面积为3.若b

35、b,且2a=2bsin A,则B=.答案48.(2020届北师大附中期中,11)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C=.答案23三、解答题(共140分)9.(2019北京石景山一模,16)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=23,c=3,cos B=-13.(1)求sin C的值;(2)求ABC的面积.解析(1)在ABC中,cos B=-13,sin B=1-cos2B=1-132=223.由b=23,c=3,及bsinB=csinC得23223=3sinC,sin C=63.(2)由b2=a2+c2-2accos

36、B得12=a2+9-23a-13,a2+2a-3=0,解得a=1或a=-3(舍),SABC=12acsin B=1213223=2.10.(2019北京通州期末,15)如图,在ABC中,A=4,AB=4,BC=17,点D在AC边上,且cosADB=-13.(1)求BD的长;(2)求BCD的面积.解析(1)在ABD中,因为cosADB=-13,所以sinADB=223.由正弦定理得BDsinBAD=ABsinADB,所以BD=ABsinBADsinADB=422223=3.(2)因为ADB+CDB=,所以cosCDB=cos(-ADB)=-cosADB=13,所以sinCDB=223.在BCD中

37、,由BC2=BD2+CD2-2BDCDcosCDB,得17=9+CD2-23CD13,解得CD=4或CD=-2(舍).所以BCD的面积S=12BDCDsinCDB=1234223=42.11.(2019北京西城期末,15)在ABC中,a=3,b=26,B=2A.(1)求cos A的值;(2)试比较B与C的大小.解析(1)在ABC中,a=3,b=26,B=2A,由asinA=bsinB,得3sinA=26sin2A,即3sinA=262sinAcosA,解得cos A=63.(2)由A(0,),得sin A=1-cos2A=33.因为B=2A,所以cos B=cos 2A=2cos2A-1=13

38、.所以sin B=1-cos2B=223.又因为A+B+C=,所以cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=69.所以cos Bcos C.又因为函数y=cos x在(0,)上单调递减,且B,C(0,),所以BC.12.(2020届北京朝阳期中,17)在ABC中,AB=27,点P在BC边上,且APC=60,BP=2.(1)求AP的值;(2)若PC=1,求sinACP的值.解析(1)APC=60,APB=120,在ABP中,AB=27,BP=2,APB=120,由余弦定理得AB2=AP2+BP2-2APBPcosAPB,即28=AP2+4-2AP2-12,AP

39、2+2AP-24=0,解得AP=4或AP=-6(舍).(2)在APC中,AP=4,PC=1,APC=60,AC2=AP2+PC2-2APPCcosAPC=16+1-24112=13,AC=13,又APsinACP=ACsinAPC,sinACP=APsinAPCAC=43213=23913.13.(2019北京清华大学中学生标准学术能力测试,17)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=3,cos C=-115,5sin(B+C)=3sin(A+C).(1)求c;(2)求sinB-3的值.解析(1)由5sin(B+C)=3sin(A+C)得5sin A=3sin B,由正弦定理得

40、5a=3b.a=3,b=5.c2=a2+b2-2abcos C=32+52-235-115=36,c=6.(2)在ABC中,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=59,sin B=2149,sinB-3=sin Bcos 3-cos Bsin 3=214-5318.14.(2020届北师大附中期中,16)在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且a2=b2+c2+bc.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,b=2,试求ABC的面积.解析(1)a2=b2+c2+bc,由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可知,cos A=-12,又A(0,),A=23.

41、(2)sin B+sin C=1,sin B+sin3-B=1,sin B+sin3cos B-cos3sin B=1,32cos B+12sin B=1,sinB+3=1,B是ABC的内角,B=6,C=-A-B=6,c=b=2,SABC=12bcsin A=122232=3.15.(2019北京东城期末,15)在ABC中,2csin Acos B=asin C.(1)求B的大小;(2)若ABC的面积为a2,求cos A的值.解析(1)在ABC中,由正弦定理得csin A=asin C,所以cos B=asinC2csinA=22.又0B0,因为sin A=55,所以cos A=255,所以s

42、in B=255255=45,所以SABC=12acsin B=12545=2.(2)由(1)知cos A=255,sin B=45,因为B为锐角,所以cos B=35.所以sin C=sin(-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5535+25545=11525.18.(2019北京朝阳期末,15)在ABC中,已知A=34,cos C=1213,BC=13.(1)求AB的长;(2)求BC边上的中线AD的长.解析(1)在ABC中,由于cos C=1213,所以0C2,所以sin C=513.由ABsinC=BCsinA得AB=BCsinCsinA=13513

43、22=52.(2)在ABC中,cos B=cos-34-C=22cos C+22sin C=17226.在ABD中,由余弦定理得AD2=(52)2+1322-25213217226=294,所以AD=292.19.(2019北京昌平二模文,16)在ABC中,AC=4,BC=43,BAC=23.(1)求ABC的大小;(2)若D为BC边上一点,AD=7,求DC的长度.解析(1)在ABC中,由BCsinBAC=ACsinABC,得sinABC=4sin2343=12.因为BAC=23,所以ABC0,3,所以ABC=6.(2)在ABC中,C=-23-6=6.在ADC中,由余弦定理得AD2=AC2+DC

44、2-2ACDCcosC,得7=16+DC2-8DCcos6,即DC2-43DC+9=0,解得DC=33或DC=3.经检验,都符合题意.20.(2019北京西城二模文,15)在ABC中,已知a=2b,b=2c.(1)求cos A的值;(2)若b=2,求ABC的面积.解析(1)由a=2b,b=2c,得a=2b=2c.根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得cos A=b2+c2-a22bc=(2c)2+c2-(2c)22(2c)c=-24.(2)因为cos A=-24,A(0,),所以sin A=1-cos2A=144.由b=2,得c=2,所以ABC的面积S=12bcsin A=72.思

45、路分析(1)用余弦定理即可求解;(2)由同角三角函数基本关系式中的平方关系求得sin A,又由已知求得c,然后用公式SABC=12bcsin A求解.21.(2020届北师大附中摸底,15)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a(sin A+sin B)=csin C-bsin B.(1)求角C的大小;(2)若c=23,求ABC的周长的取值范围.解析(1)由正弦定理及已知条件得a(a+b)=c2-b2,即a2+b2-c2=-ab,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=-12,因为0C2,所以C=23.(2)由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=2332=4,

46、则a=4sin A,b=4sin B,CABC=a+b+c=4sin A+4sin B+23=4sin A+4sin(A+C)+23=4sin A+4sinA+23+23=2sin A+23cos A+23=4sinA+3+23,而A0,3,则A+33,23,故sinA+332,1,因此CABC(43,4+23.22.(2020届北京清华附中摸底,16)在ABC中,点P在BC边上,PAC=60,PC=2,AP+AC=4.(1)求ACP;(2)若ABP的面积为332,求sinBAP.解析(1)在APC中,因为PAC=60,PC=2,AP+AC=4,所以由PC2=AP2+AC2-2APACcosP

47、AC,得22=AP2+(4-AP)2-2AP(4-AP)cos 60,整理得AP2-4AP+4=0,解得AP=2,所以AC=2,所以APC是等边三角形,所以ACP=60.(2)解法一:由于APB是APC的外角,所以APB=120,因为APB的面积是332,所以12APPBsinAPB=332,所以PB=3,在APB中,AB2=AP2+PB2-2APPBcosAPB=22+32-223cos 120=19,所以AB=19,在APB中,由ABsinAPB=PBsinBAP,得sinBAP=3sin12019=35738.解法二:作ADBC,垂足为D,因为APC是边长为2的等边三角形,所以PD=1,AD=3,PAD=30,因为APB的面积是332,所以12ADPB=332,所以PB=3,所以BD=4.在RtADB中,AB=BD2+AD2=19,所以sinBAD=BDAB=419,cosBAD=ADAB=319,所以sinBAP=sin(BAD-30)=sinBADcos 30-cosBADsin 30=41932-31912=35738.