利用二级结论秒杀抛物线（学生版）.pdf

1、1利用二级结论秒杀抛物线 考点目录考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论考点分类考点一：抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式已知倾斜角为 直线的 l 经过抛物线 y2=2px 的焦点 F，且与抛物线交于 A,B 两点，则|AF|=p1 cos,|BF|=P1+cos，1|FA|+1|FB|=2p.|AB|=2psin2，SOAB=p22sin，

2、|AB|=2p 1+1k2.|AF|=xA+p2，|BF|=xB+p2,|AB|=xA+xB+p.【精选例题】1 倾斜角为 45 的直线 l 经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点，则|AB|=()A.43B.4C.6D.82 已知 A x1,y1,B x2,y2是抛物线 C:x2=8y 上的两点，且直线 AB 经过 C 的焦点，若 y1+y2=12，则 AB=()A.12B.14C.16D.183 已知抛物线 y2=6x，弦 AB 过抛物线的焦点 F 且满足 AF=3FB，则弦 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.32B.3C.52D.44 已知抛物线 E:y2

3、=2px(p 0)的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 E 交于 A,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐标原点，若 AF=2 BF=6，则()A.p=4B.直线 l 的斜率是 2 22C.线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 52D.OAB 的面积是 6 2【跟踪训练】1 已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于两点 A，B若弦长|AB|=4p，则直线 l 的斜率为2 在直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：y2=2px p 0的焦点为 F，过点 F 的倾斜角为 4 的直线 l与 C 相交于 A，B 两点，且点 A 在第一象限，OAB 的面

4、积是 8 2，则()A.AB=8B.p=4C.1AF+1BF=12D.AF=8+4 23 已知直线 l：y=x+m 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F，且与抛物线交于 A，B 两点，则()A.m=1B.AB=8C.AF=2 BFD.抛物线 C 上的动点到直线 y=x+2 距离的最小值为224 已知直线 l 过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，且与抛物线 C 交于 A x1,y1,B x2,y2两点，点 M 为 C 的准线与 x 轴的交点，则下列结论正确的是()A.若 x1+x2=5，则 AB=7B.过 C 的焦点的最短弦长为 4C.当 AF=2FB时，直线 l 的倾斜角为 3D.存在 2

5、条直线 l，使得 AF BM=BF AM成立考点二：过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式抛物线 y2=2px 的焦点为 F，A(x1,y1),B(x2,y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：x1x2=p24,y1y2=p2.一般地，如果直线 l 恒过定点 M(m,0)与抛物线 y2=2px(p 0)交于 A,B 两点，那么xAxB=m2,yAyB=2pm.若 OA OB AB 恒过定点(2p,0).【精选例题】1 已知抛物线 C：y=2x2 的的焦点为 F，M x1,y1、N x2,y2是抛物线上两点，则下列结论正确的是()A.点 F 的坐标为18,0B.若直线 MN 过点

6、 F，则 x1 x2=-116C.若 MF=NF，则 MN的最小值为 143D.若|MF|+|NF|=32，则线段 MN 的中点 P 到 x 轴的距离为 582 已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F，过 F 且倾斜角为 45 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点()A.直线 l 的方程为 x-y-2=0B.原点到直线 l 的距离为2C.AB=16D.y1y2=-83 已知抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，点 A，B 是抛物线 C 上不同两点，下列说法正确的是()A.若 AB 中点 M 的横坐标为 3，则 AB的最大值为 8B.若 AB 中点 M 的纵坐标为 2，则直线 AB 的倾斜角为 4

7、C.设 N 4,0，则 AN的最小值为 4 2D.若 OA OB，则直线 AB 过定点 4,0【跟踪训练】1 过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的直线与抛物线交于 A x1,y1，B x2,y2两点，则说法正确的是()A.AB=x1+x2+pB.y1+y2=p2C.1AF+1BF=2pD.OA OB=-34 p22 已知点 M(-1,0)在抛物线 C:y2=2px p 0的准线上，过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 交 C 于A x1,y1、B x2,y2两点，则()A.抛物线 C 的方程是 y2=4xB.x1x2=1C.当 AF=3FB时，AB=323D.AMF=BMF3 已知 A

8、 x1,y1,B x2,y2是抛物线 C:y2=x 上不同于原点 O 的两点，点 F 是抛物线 C 的焦点，下列说法正确的是()A.点 F 的坐标为14,0,B.AB=x1+x2+12C.若 OA OB，则直线 AB 经过定点 1,0D.若点 P-2,1,PA PB 为抛物线 C 的两条切线，则直线 AB 的方程为 x-2y-2=0考点三：过焦点的两条相互垂直的弦的和及构成四边形面积最小值秒杀公式已知 AB,CD 是抛物线 E:y2=2px(p 0)中过焦点 F 的两条相互垂直的弦，AB+CD存在最小值，且最小值为 8p.已知 AB,CD 是抛物线 E:y2=2px(p 0)中过焦点 F 的两

9、条相互垂直的弦，则四边形 ABCD 的面积的最小值为 8p2.4【精选例题】1 过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1和 l2，设直线 l1交抛物线 C 于 A，B 两点，直线 l2交抛物线 C 于 D，E 两点，则 AB+DE可能的取值为()A.18B.16C.14D.122 在平面直角坐标系 xOy 中，已知动圆 M 与圆 x2+y2-2x=0 内切，且与直线 x=-2 相切，设动圆圆心 M的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)过点 F 1,0作两条互相垂直的直线与曲线 E 相交于 A，B 两点和 C，D 两点，求四边形 ACBD 的面积S 的最小值.

10、【跟踪训练】1 已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1与 C 交于 A，B 两点，直线 l2与 C 交于 D，E 两点，则 AB+DE的最小值为2 已知抛物线 y2=4x.其焦点为 F，若互相垂直的直线 m，n 都经过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点和 C，D 两点，则四边形 ABCD 面积的最小值为考点四：抛物线中点弦求斜率秒杀公式设直线 l 与抛物线 y2=2px 相交所得的弦 AB 的中点坐标为 x0,y0，则 kAB=py0【精选例题】1 已知抛物线 y2=2px 的一条弦 AB 恰好以点 P(1,

11、1)为中点，弦 AB 的长为15，则抛物线的准线方程为()A.x=-12B.x=-1C.x=-32D.x=-22 直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A,B 两点，AB 中点的横坐标为 2，则 k 为()A.-1B.2C.-1 或 2D.以上都不是3 直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F，且与抛物线交于 A,B 两点，线段 AB 中点的纵坐标为 1，O 为坐标原点，则 O 到直线 AB 的距离为()A.2 55B.3 55C.5D.25【跟踪训练】1 已知直线 l 与抛物线 C:y=2x2相交于 A,B 两点，若线段 AB 的中点坐标为 1,4，则直线 l 的方程为()A.4

12、x-y=0B.2x-y=0C.8x-y-6=0D.x-2y+3=052 已知抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，第一象限的 A、B 两点在抛物线上，且满足 BF-AF=4，AB=4 2.若线段 AB 中点的纵坐标为 4，则抛物线的方程为.3 已知抛物线 C:y2=4x，过点 P 1,1的直线交抛物线 C 于 A、B 两点，若 P 为 AB 的中点，则直线 AB的方程为.考点五：抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题设 AB 是过抛物线 y2=2px(p 0)焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以弦 AB 为直径的圆与准线相切以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴

13、相切.【精选例题】1 已知 A,B 是抛物线 C:y2=6x 上的两动点，F 是抛物线的焦点，下列说法正确的是()A.直线 AB 过焦点 F 时，以 AB 为直径的圆与 C 的准线相切B.直线 AB 过焦点 F 时，AB的最小值为 6C.若坐标原点为 O，且 OA OB，则直线 AB 过定点 3,0D.与抛物线 C 分别相切于 A,B 两点的两条切线交于点 N，若直线 AB 过定点32,0，则点 N 在抛物线 C 的准线上2 已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点(其中点 A 在 x 轴上方)，则()A.1AF+1BF=1B.弦 AB 的长度最小

14、值为 lC.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切D.以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切【跟踪训练】4 设 O 是坐标原点，直线 y=k x-2k 0经过抛物线 C：y2=2px 的焦点 F，且与 C 交于 A，B 西点，OAF 是以 OF 为底边的等腰三角形，l 是抛物线 C 的准线，则()A.以 AB 直径的圆与准线 l 相切B.k=2C.BF=2FAD.OAB 的面积是 6 25 已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点 F 在直线 l:y=kx-k 上，直线 l 与抛物线交于点 A,B(O 为坐标原点)，则下列说法中正确的是()A.p=2B.准线方程为 x=-2C.以线段 AB 为

15、直径的圆与 C 的准线相切D.直线 OA OB 的斜率之积为定值6考点六：抛物线中阿基米德三角形相关秒杀结论知识要点：如图，假设抛物线方程为 x2=2py(p 0)，过抛物线准线 y=p2 上一点 P(x0,y0)向抛物线引两条切线，切点分别记为 A,B，其坐标为(x1,y1),(x2,y2).则以点 P 和两切点 A,B 围成的三角形 PAB 中，有如下的常见结论:结论 1.直线 AB 过抛物线的焦点 F.结论 2.直线 AB 的方程为 x0 x=2p y0+y2=p(y0+y).结论 3.过 F 的直线与抛物线交于 A,B 两点，以 A,B 分别为切点做两条切线，则这两条切线的交点 P(x

16、0,y0)的轨迹即为抛物线的准线.证明：过 A 点的切线方程为 x1x=p(y1+y)，过 B 点的切线方程为 x2x=p(y2+y)，两式相除可得：x1x2=y+y1y+y2 y=x2y1 x1y2x1 x2 y=x1x22p=p2.这就证明了该结论.结论 4.PF AB.证明：由结论 3，kAB=x0p，kPF=y0 p2x0.那么 kAB kPF=x0p y0 p2x0=y0p 12=1.结论 5.AP PB.证明：kAP=x1p,kBP=x2p,则 kAP kBP=x1p x2p=x1 x2p2.由抛物线焦点弦的性质可知 x1x2=p2，代入上式即可得 kAP kBP=x1 x2p2=

17、1，故 AP PB.结论 6.直线 AB 的中点为 M，则 PM 平行于抛物线的对称轴.证明：由结论 3 的证明可知，过点 A,B 的切线的交点 P 在抛物线准线上.且 P 的坐标为x1+x22,x1x22p，显然 PM 平行于抛物线的对称轴.【精选例题】1 已知抛物线 C：x2=2py，(p 0)的焦点为 F，M x,yx 0为 C 上一动点，若曲线 C 在点 M 处的切线的斜率为3，则直线 FM 的斜率为()A.32B.33C.34D.352 设抛物线 C：y2=6x 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A，B 两点，分别以 A，B 为切点作 C 的切线 l1，l2，若 l1与 l2交

18、于点 P，且满足 PF=2 3，则 AB=()7A.5B.6C.7D.83(多选题)已知抛物线 y=x2的焦点为 F，过 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，B 在第一象限，过 A，B 分别作抛物线的切线 l1，l2，且 l1，l2相交于点 P，若 BP 交 x 轴于点 Q，则下列说法正确的有()A.点 P 在抛物线的准线上B.APB=3C.FQ BQD.若 k=33，则 AFFB的值为 134 已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F，过 F 的直线 l 倾斜角为 60，交 C 于 A,B 两点，过 A,B 两点分别作 C的切线 l1，l2，其交点为 P，l1，l2与 x

19、 轴的交点分别为 M,N，则四边形 PMFN 的面积为.【跟踪训练】1 已知抛物线 x2=4y 的焦点为 F，若抛物线上一点 P 满足 PF=5，则过点 P 的切线方程为()A.2x-y-4=0 或 3x-4y+4=0B.2x-y-4=0 或 2x+y+4=0C.2x+y+4=0 或 3x+4y+4=0D.3x-4y+4=0 或 3x+4y+4=02(多选题)设抛物线 C：y=x2的焦点为 F，过抛物线 C 上不同的两点 A，B 分别作 C 的切线，两条切线的交点为 P，AB 的中点为 Q，则()A.PQ x 轴B.PF ABC.PFA=PFBD.AF+BF=2 PF3 已知抛物线 C:x2=

20、2py p 0的焦点为 F，且 F 与圆 M:x2+y+42=1 上的点的距离的最小值 4(1)求 p；(2)若点 P 在圆 M 上，PA,PB 是 C 的两条切线，A,B 是切点，求 PAB 面积的最大值1 已知抛物线 C：y2=2px(p 0)，过点 P 3,0且垂直于 x 轴的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 OAB 的面积为 9，则 p=()A.32B.2C.52D.32 已知 O 为坐标原点，过抛物线 C:y2=8x 焦点 F 的直线与 C 交于 A，B 两点，若|AF|=|AO|，则|AB|=()A.5B.9C.10D.183 已知抛物线:y2=2px(

21、p 0)的焦点为 F，过点 F 且斜率为 k 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点，若AF=3 BF，则 k=()A.33B.33C.3D.384 已知抛物线 y2=4x 与过焦点的一条直线相交于 A，B 两点，若弦 AB 的中点 M 的横坐标为 32，则弦AB 的长|AB|=5 已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，准线为 x=-1，直线 l 与抛物线 C 交于 M,N 两点，若线段 MN 的中点为 1,1，则直线 l 的方程为6 已知抛物线 C:y2=6x，过 P 3,2的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点，且 PA=PB，则直线 l 的方程为.7 已知倾斜角为 3 的直线 l 经过抛物

22、线 C：y2=2px(p 0)的焦点 F，且与抛物线 C 交于 A，B 两点(点 A 在第一象限)，与抛物线 C 的准线 m 交于点 D，则()A.以 AF 为直径的圆与 y 轴相切B.准线 m 上存在唯一点 Q，使得 QA QB=0C.BDBF=2D.AFBF=28(多选题)已知抛物线 C：x2=2py p 0的焦点为 F，过 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点，分别以 A、B 为切点作抛物线 C 的切线，两切线交于点 T，设线段 AB 的中点为 M若点 T 的坐标为 2,-12，则()A.点 M 的横坐标为 2B.点 M 的纵坐标为 3C.直线 l 的斜率等于 2D.TM=5