北京市西城区2022学年度第一学期期末试卷(高三数学文科)含答案_word版.pdf

1、1北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科）2012.1第卷（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数i(1 i)（）（A）1 i（B）1 i（C）1 i（D）1 i 2若向量(3,1)a，(0,2)b，则与2ab 共线的向量可以是（）（A）(3,1)（B）(1,3)（C）(3,1)（D）(1,3)3.下列函数中，既是偶函数又在(0,)单调递增的函数是（）（A）1yx（B）|e xy（C）23yx（D）cosyx4“直线l 的方程为0 xy”是“直线l 平分圆221xy

2、的周长”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件5一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 几何体的俯视图不可能是（）（A）（B）（C）（D）主视图左视图26执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（）（A）3（B）6（C）10（D）157已知0ab，给出下列四个不等式：22ab；122ab；abab；3322aba b其中一定成立的不等式为（）（A）、（B）、（C）、（D）、8有限集合 P 中元素的个数记作 card()P.已知 card()10M，AM，BM，AB ，且card()2A，card()3B.若集合 X 满足 XM，且 AX，

3、BX，则集合 X 的个数是（）（A）672（B）640（C）384（D）352第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9函数2()logf xx的定义域是_.310双曲线221169xy 的一个焦点到其渐近线的距离是_11若曲线3yxax在原点处的切线方程是20 xy，则实数a _ 12在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c 若5b，4B，tan2C，则c _13已知na是公比为2 的等比数列，若316aa，则1a；22212111naaa _14设0，不等式组2,0,20 xxyxy 所表示的平面区域是W 给出下列三个结论：

4、当1 时，W 的面积为3；0，使W 是直角三角形区域；设点(,)P x y,对于 PW 有4yx 其中，所有正确结论的序号是_三、解答题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分 13 分）已知函数2()3sinsin cosf xxxx，,2x.（）求2()3f的值；（）求()f x 的最大值和最小值.416.（本小题满分 13 分）某种零件按质量标准分为5,4,3,2,1五个等级.现从一批该零件中随机抽取20 个，对其等 级进行统计分析，得到频率分布表如下：等级 1 2 3 4 5 频率 0.05 m 0.15 0.35 n （）在抽取的20 个

5、零件中，等级为5 的恰有2 个，求nm,；（）在（）的条件下，从等级为3 和5 的所有零件中，任意抽取2 个，求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.17（本小题满分 14 分）如图，正三棱柱111CBAABC 的侧棱长和底面边长均为2，D 是 BC 的中点（）求证：AD 平面11B BCC；（）求证：1A B 平面1ADC；（）求三棱锥11ADBC 的体积 18.（本小题满分 13 分）已知函数21()ln2f xaxx，其中aR.（）求)(xf的单调区间；（）若)(xf在(0,1上的最大值是 1，求a 的值.19.（本小题满分 14 分）已知椭圆:C22221(0)xyabab的一个焦点

6、是(1,0)F，且离心率为 12.（）求椭圆C 的方程；（）设经过点 F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点50(0,)Py，求0y 的取值范围.20.（本小题满分 13 分）已知数列12:,nnAa aa.如果数列12:,nnBb bb 满足1nba，11kkkkbaab，其中2,3,kn，则称nB 为nA 的“衍生数列”.（）写出数列4:2,1,4,5A的“衍生数列”4B；（）若n 为偶数，且nA 的“衍生数列”是nB，证明：1nba；（）若 n 为奇数，且nA 的“衍生数列”是nB，nB 的“衍生数列”是nC，.依次将数列nA，nB，nC，的首项取出

7、，构成数列111:,a b c.证明：是等差数列.北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2012.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1.C；2.D；3.B；4.A；5.D；6.C；7.A；8.A.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9.|1x x；10.3；11.2；12.2 2；13.2，1(1 4)3n；14.、.注：13 题第一问 2 分，第二问 3 分；14 题多选、少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给

8、分.15.（本小题满分 13 分）（）解：222223 333()3sinsincos3333442f.4 分 6（）解：313()1 cos2sin 2sin(2)2232f xxxx（）.8 分 因为,2x，所以2 52333x,.9 分 当2233x，即2x 时，)(xf的最大值为 3；11 分 当3232x，即1112x 时，)(xf的最小值为312.13 分 16.（本小题满分 13 分）（）解：由频率分布表得0.0 50.1 50.3 51mn，即0.45mn.2 分由抽取的20 个零件中，等级为5 的恰有2 个，得1.0202 n.4 分所以0.45 0.10.35m.5 分（）

9、解：由（）得，等级为3 的零件有3 个，记作123,x x x；等级为5 的零件有2 个，记作12,y y.从中任意抽取2 个零件，所有可能的结果为：12131112232122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)x xx xx yx yx xxyxyx yx yy y共计10种.9 分记事件 A 为“从零件中任取2 件，其等级相等”.则 A 包含的基本事件为12132312(,),(,),(,),(,)x xx xx xy y共 4 个.11 分故所求概率为4()0.410P A.13 分 17.（本小题满分 14 分）（）证明：因为11

10、1CBAABC 是正三棱柱，所以 1CC 平面 ABC.又 AD 平面 ABC，所以 ADCC 1.3 分 因为 ABC 是正三角形，D 是 BC 的中点，12312,x x x y y12312,x x x y y7所以 ADBC，4 分 所以 AD 平面11B BCC.5 分（）证明：连结1AC，交1AC 于点O，连结OD.由 111CBAABC 是正三棱柱，得 四边形11ACC A 为矩形，O 为1AC 的中点.又 D 为 BC 中点，所以OD 为1A BC中位线，所以 1A B OD，8 分 因为 OD 平面1ADC，1A B 平面1ADC，所以 1A B 平面1ADC.10 分（）解

11、：因为1111DCBAADBCVV，12 分 所以111112 333CADBB DCVSAD.14 分18.（本小题满分 13 分）（）解：21(),(0,)axfxxx.3 分当0a时，()0fx，从而函数)(xf在),0(上单调递增.4 分当0a时，令()0fx，解得1xa，舍去1xa .5 分此时，()f x 与()fx的情况如下：x 1(0,)a 1a 1(,)a ()fx 0 ()f x 1()fa 所以，()f x 的单调增区间是1(0,)a；单调减区间是),1(a.7 分（）当0a时，由（）得函数)(xf在1,0(上的最大值为(1)2af.令12a ，得2a ，这与0a矛盾，舍

12、去2a .9 分 当 10a 时，11 a，由（）得函数)(xf在1,0(上的最大值为(1)2af.令12a ，得2a ，这与 10a 矛盾，舍去2a .10 分 当1a时，101a，由（）得函数)(xf在1,0(上的最大值为1()fa.8令1()1fa ，解得ea ，适合1a.12 分综上，当)(xf在(0,1上的最大值是 1 时，ea .13 分19.（本小题满分 14 分）（）解：设椭圆C 的半焦距是c.依题意，得 1c .1 分 因为椭圆C 的离心率为 12，所以22ac，2223bac.3 分 故椭圆C 的方程为 22143xy.4 分（）解：当 MNx轴时，显然00y.5 分 当

13、MN 与 x 轴不垂直时，可设直线 MN 的方程为(1)(0)yk xk.由 22(1),3412,yk xxy消去 y 整理得 0)3(48)43(2222kxkxk.7 分 设1122(,),(,)M x yN xy，线段 MN 的中点为33(,)Q x y.则 2122834kxxk.8 分 所以 212324234xxkxk，3323(1)34kyk xk.线段 MN 的垂直平分线方程为)434(1433222kkxkkky.在上述方程中令0 x，得kkkky4314320.10 分 当0k 时，344 3kk ；当0k 时，344 3kk.所以03012y，或03012y.12 分

14、综上，0y 的取值范围是33,1212.13 分 20.（本小题满分 13 分）9（）解：4:5,2,7,2B.3 分（）证明：因为1nba，1212bbaa，2323bbaa，11nnnnbbaa，由于n 为偶数，将上述 n 个等式中的第2,4,6,n这2n 个式子都乘以 1，相加得11223112231()()()()()()nnnnnbbbbbbbaaaaaaa即1nba，1nba.8 分（）证明：对于数列nA 及其“衍生数列”nB，因为1nba，1212bbaa，2323bbaa，11nnnnbbaa，由于n 为奇数，将上述 n 个等式中的第2,4,6,1n 这12n 个式子都乘以 1

15、，相加得11223112231()()()()()()nnnnnbbbbbbbaaaaaaa即112nnnnbaaaaa.设数列nB 的“衍生数列”为nC，因为1nba，112nncbaa，所以1112bac，即111,a b c 成等差数列.12 分 同理可证，111111,;,b c d c d e也成等差数列.从而 是等差数列.13 分 10 北京市通州区 2012 届高三上学期期末摸底考试 数学（文科）试卷 2012 年 1 月本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，第 I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷 2 至 4 页，共 150 分考试时间长 120 分钟考生务必将答案答在答题

16、卡上，在试题卷上作答无效考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第卷（选择题共 40 分）一、本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项把正确答案选项的标号填涂在答题卡上1已知集合|10Ax x，|02Bxx，那么 AB等于 A1x x B2x x C|01xx D|12xx2复数11ii等于 A 1B iC1Di3已知向量1,2a，,4mb，且/ab，那么2 ab 等于A4,0B0,4C4,8D4,84已知数列na 是等差数列，且121aa，511a，那么数列na 的前5 项的和5S等于A22B25C30D355已知,a bR，那么“1

17、122loglogab”是“ab”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6如右图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出 AC 的距离为50m，45ACB，105CAB后，就可以计算出 A，B 两点 的 距 离 为（其 中21.4 1 4 ，31.732，精确到0.1）A70.7mB78.7mC86.6mD90.6m7过圆22125xy上一点3,1M的切线方程是A270 xyB250 xy C210 xy D250 xy 8当3,4x时，不等式 2log230a xx恒成立，则实数a 的取值范围是A10,2B 1,12C1

18、,2D2,11第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡相应的位置上.9观察下列式子：213122，221151233，222111712344，根据以上式子可以猜想：2221111232012 _.10如图，已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积 等于_.11某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的 x 值是_.12已知不等式组3,1,30,xyxyx 那么2zxy的最小值是_.13已知双曲线的一个焦点与抛物线218xy 的焦点相同，且双曲线的离心率是2，那么双曲线的渐近线方程是_.14下面四个

19、命题：已知函数,0,0,x xf xx x 且 44f af，那么4a ；一组数据18，21，19，a，22 的平均数是20，那么这组数据的方差是2；要得到函数sin 23yx的图象，只要将sin2yx的图象向左平移 3 单位；已知奇函数()f x 在(0,)为增函数，且(1)0f，则不等式()0f x 的解集1x x .其中正确的是_.开 始n=n+1x=2x+1n 输出 x结 束是否n=1，x=1（第 11 题图）（第 10 题图）12三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程.15（本小题共 13 分）已知函数 2sin22cos1f xxx.

20、（）求函数 f x 的最小正周期和最大值；（）求函数 f x 在区间3,44上的最大值和最小值.16（本小题共 13 分）如图，四边形 ABCD是矩形，BC 平面 ABE，F 是CE 上一点，BF 平面 ACE，点 M，N 分别是CE，DE 的中点.（）求证：/MN平面 ABE；（）求证：AEBE.17（本小题共 13 分）已知甲袋中有 1 只白球，2 只红球；乙袋中有 2 只白球，2 只红球，现从两袋中各取一球.（）两球颜色相同的概率；（）至少有一个白球的概率.18（本小题共 13 分）已知函数 ln.f xaxx（）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线10 xy 平行，求a 的值；

21、（）求 f x 的单调区间.19（本小题共 14 分）已知数列 na中，1aa，22a，nS 是数列 na的前n 项和，且123nnSnaa，nN.（）求a 的值；（）求数列 na的通项公式；（）若1221,82,nnnnbnaa nT 是数列 nb的前n 项和，求nT.20（本小题共 14 分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的焦点分别是1F，2F，点31,2M 在椭圆上，且124MFMF.（）求椭圆C 的标准方程；（）若直线l：0,0ykxt kt与椭圆C：22221xyab 交于 A，B 两点，点 P 满足0APBP，点Q 的坐标是30,2，设直线 PQ 的斜率是1k，且12k

22、k，求实数t 的取值范围.13(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)14摸底考试文科参考答案2012、1一、选择题1 C 2 B 3C 4 B 5 A6 A 7 B8 B二、填空题9 40232012 10101115 123 133yx 14 三、解答题15解：（）因为 2sin22cos1f xxx，所以 sin2cos2f xxx2 sin 24x.3 分所以2.2.5 分又因为 1sin 214x，所以 22f x.所以函数 f x 的最小正周期是；最大值是2.7 分（）由（）知 f x2 sin 24x.因为344x，所以 372444x.所以当3244x，即4x时，函数

23、 f x 有最大值是1；当3242x，即58x时，函数 f x 有最小值是2.所以函数 f x 在区间3,44上的最大值是1，最小值是2.13 分16（）证明：点 M，N 分别是CE，DE 的中点，MN 是 CDE的中位线./.MNCD四边形 ABCD是矩形，/.CDAB15/.MNAB AB 平面 ABE，MN 平面 ABE，/MN平面 ABE.6 分（）证明：BF 平面 ACE，AE 平面 ACE，.BFAE BC 平面 ABE，AE 平面 ACE，.BCAE BFBCB，BF 平面 BCE，BC 平面 BCE，AE 平面 BCE.AEBE.13 分17 解：设甲袋中 1 只白球记为1a，

24、2 只红球记为12,b b；乙袋中 2 只白球记为23,aa，2 只红球记为34,bb.所以“从两袋中各取一球”包含基本事件12,a a，13,a a，13,a b，14,a b，12,b a，13,b a，13,b b，14,b b，22,b a，23,b a，23,b b，24,b b共有 12 种.4 分（）设 A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件 B 包含基本事件12,a a，13,a a，13,b b，14,b b，23,b b，24,b b共有 6 种.所以 61.122P A.8 分（）设 B 表示“从两袋中各取一球，至少有一个白球”，所以事件 A 包含基本事件1

25、2,a a，13,a a，13,a b，14,a b，12,b a，13,b a，22,b a，23,b a共有8 种.所以 82.123P B.13 分18解：（）因为 lnf xaxx，所以 1.fxax因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线与直线10 xy 平行，所以切线的斜率1.k 所以 11f ，即1 1.a 所以2.a.4 分16（）因为函数 f x 的定义域是0,，且 11axfxaxx，.6 分当0a 时，0fx，所以 f x 在0,上是减函数.8 分当0a 时，令 0fx，1.xa所以当10,aa时，0fx，f x 在10,a上是减函数；.10 分当1,aa时，0fx，f

26、x 在 1,a上是增函数.12 分所以当0a 时，f x 的递减区间是0,；当0a 时，f x 的递减区间是10,a，f x 的递增区间是 1,a.13 分19解：（）因为123nnSnaa，11Saa，所以0.a.3 分（）由（）可知2nnnaS，所以111.2nnnaS所以1111.22nnnnnnanaaSS所以11.nnnana所以当2n 时，1.1nnanan 所以11nnanan 112nnanan，3221aa，所以12.nana 所以21nan，2n.因为10aa满足上式，17所以21nan，nN.8 分（）当2n 时，82112.22111nbnnn nnn.10 分又12b

27、，所以12nnTbbb1111222231nn.12 分1122 21n311nn所以31.1nnTn.14 分20解：（）因为点31,2M 在椭圆C：222210 xyabab上，且124MFMF，所以221314ab，24.a 所以24a，21.b 所以椭圆C 的标准方程是221.4xy.3 分（）联立方程组22,1,4ykxtxy消去 y，得2221 48410.kxktxt所以2 2226416 1 410k tkt，.4 分即221 4.kt.5 分设 1122,A x yB xy，所以1228.1 4ktxxk.6 分因为0APBP所以点 P 是 AB 的中点，设,PPP xy，所

28、以2414pktxk，21.1 4pPykxtk .8 分因为点Q 的坐标是30,2，直线 PQ 的斜率是1k，18所以21323 1 42.8PPytkkxkt.10 分因为12k k，所以223 1 42.8tkkkt所以21 46.kt .12 分 所以由，式，可得26.tt所以06.t 所以实数t 的取值范围是06.t.14 分海淀区高三年级第一学期期 末练习数 学（文科）2012.01一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）复数i(1 2i)（A）2i（B）2i（C）2i（D）2i（2）如图，正方形 ABC

29、D中，点 E，F 分别是 DC，BC 的中点，那么=EF（A）1122ABAD+（B）1122ABAD-（C）1122ABAD+（D）1122ABAD-（3）已知数列na满足：22111,0,1(*)nnnaaaanN，那么使5na 成立的n 的最大值为（）（A）4 （B）5 （C）24 （D）25（4）某程序的框图如图所示，若执行该程序，则输出的i 值为（A）5 （B）6 （C）7 （D）821 世纪教育网（5）已知直线 1l：110k xy与直线 2l：210k xy，那么“12kk”是“1l 2l”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件FEDC

30、BA开始i=1,s=0s=s+2 i-1is100i=i+1输出 i结束是否19（6）函数()sin(2)(,)f xAxAR 的部分图象如图所示，那么(0)f（A）12（B）1来源:Z*xx*k.Com（C）32（D）3（7）已知函数()2f xx xx，则下列结论正确的是（A）()f x 是偶函数，递增区间是 0,（B）()f x 是偶函数，递减区间是(,1)（C）()f x 是奇函数，递减区间是1,1（D）()f x 是奇函数，递增区间是,0（8）点 A 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点 A 到图形C 的距离.已知点(1,0)A，圆C：2220 xxy，那么平面内到圆C 的距离与

31、到点 A 的距离之差为 1 的点的轨迹是（A）双曲线的一支（B）椭圆（C）抛物线（D）射线二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分，把答案填在题中横线上.（9）双曲线22145xy 的离心率为.（10）已知抛物线2yax 过点1(,1)4A，那么点 A 到此抛物线的焦点的距离为.（11）若实数,x y 满足40,250,10,xyxyy则2zxy 的最大值为.（12）甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是_，气温波动较大的城市是_.（13）已知圆C：22(1)8xy，过点(1,0)A 的直线l 将圆C 分成弧长之

32、比为1:2的两段圆弧，则直线l 的方程为.（14）已知正三棱柱ABCA B C 的正（主）视图和侧（左）视图如图所示.设,ABCA B C的中心分别是,O O，现将此三棱柱绕直线OO旋转，射线OA旋转所成的角为 x 弧度（x 可以取到任意一个实数），对应的俯视图的面积为()S x，则函数()S x 的最大值为 ；最小正周甲城市乙城市 9 0 8 7 7 3 1 2 4 7 2 2 0 4 7 侧（左）视图正（主）视图4320期为 .说明：“三棱柱绕直线OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA旋转所成的角为负角.三、解答题：本大题共

33、 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）在 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2AB，3sin3B.（）求cos A的值；（）若2b，求边,a c 的长.(16)（本小题满分 13 分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙和丙三支队伍参加决赛.（）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（）求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率.（17）（本小题满分 13

34、 分）在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD是菱形，ACBDO.（）若 ACPD，求证：AC 平面 PBD；（）若平面 PAC平面 ABCD，求证：PBPD；（）在棱 PC 上是否存在点 M（异于点C）使得 BM 平面 PAD，若存在，求 PMPC的值；若不存在，说明理由.(18)（本小题满分 13 分）BCDOAP21已知函数2()e()xf xxaxa，其中a 是常数.（）当1a 时，求()f x 在点(1,(1)f处的切线方程；（）求()f x 在区间0,)上的最小值.（19）（本小题满分 13 分）已知椭圆C:22221(0)xyabab的右焦点为1F(1,0)，离心率为 12.（）求

35、椭圆C 的方程及左顶点 P 的坐标；（）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若 PAB的面积为 3613，求直线 AB 的方程.（20）（本小题满分 14 分）若集合 A 具有以下性质：A0，A1；若Ayx,，则Ayx，且0 x时，Ax 1.则称集合 A 是“好集”.（）分别判断集合 1,0,1B，有理数集Q 是否是“好集”，并说明理由；（）设集合 A 是“好集”，求证：若Ayx,，则Ayx；（）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由.命题 p：若Ayx,，则必有Axy；命题 q：若Ayx,，且0 x，则必有Axy；1/67参考答案及评分标准201201一.选择题

36、：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.题号12345678答案BDCACBCD二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）32 （10）54 （11）7 （12）乙，乙 （13）1yx或1yx（14）8；3 注：（13）题正确答出一种情况给3分，全对给5分；（12）、（14）题第一空3分；第二空2分.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分 13 分）解：（）因 为2AB，所 以2c o sc o s 212 s i nABB.因 为3s i n3B，所 以11cos1233A.（）由 题 意 可 知，(0,)

37、2B.所 以26c o s1s i n3BB.所 以 2 2sinsin 22sincos3ABBB.因为 sinsinbaBA，2b，所以 232 233a.所以4 63a.由1cos3A可知，(0,)2A.过点C作CDAB于D.所以466110c osc os23333caBbA.(16)（本小题满分 13 分）解：基本事件空间包含的基本事件有“甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲”.（）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A，事件 A 包含的基本事件 有“甲乙丙，乙甲丙”，则 2163P A.所以 甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为13.（）设“甲、乙两支队伍出场顺序相

38、邻”为事件 B，事件 B 包含的基本事件 2/67有“甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲”，则 4263P B.21 世纪教育网所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为 23.(17)（本小题满分 14 分）（）证明：因为 底面 ABCD是菱形所以 ACBD.因为 ACPD，PDBDD，所以 AC 平面 PBD.（）证明：由（）可知 ACBD.因为 平面 PAC平面 ABCD，平面 PAC平面 ABCDAC，BD平面 ABCD，所以 BD 平面 PAC.因为 PO平面 PAC，所以 BDPO.因为 底面 ABCD是菱形，所以 BODO.所以 PBPD.（）解：不存在.下面用反证法说明.网假设存在点

39、M（异于点C）使得 BM 平面 PAD.在菱形 ABCD 中，BC AD，来源:21世纪教育网因为AD平面 PAD，BC平面 PAD，所以 BC 平面 PAD.因为 BM平面 PBC，BC平面 PBC，BCBMB，所以 平面 PBC 平面PAD.而平面 PBC 与平面 PAD 相交，矛盾.(18)（本小题满分 13 分）解：（）由2()e()xf xxaxa可得 2()e(2)xfxxax.当1a 时,(1)ef,(1)4ef.所 以 曲 线()yf x在 点(1,(1)f处 的 切 线 方 程 为e4e1yx，即4e3eyx.（）令2()e(2)0 xfxxax，解得(2)xa 或0 x.当

40、(2)0a，即2a 时，在区间0,)上，()0fx，所以()f x 是0,)上的增函数.所以()f x 的最小值为(0)f a;当(2)0a，即2a 时,(),fxf x 随 x 的变化情况如下表 x21 世纪教育网 0 (0,(2)a来源:21 世纪教育网(2)a(2),)a ()fx 0 0 ()f x (0)f (2)fa 由上表可知函数()f x 的最小值为24(2)eaafa.21 世纪教育网 MBCDOAP3/67（19）解：（）由题意可知：1c，12ca，所以2a.所以2223bac.所以 椭圆C的标准方程为22143xy，左顶点 P 的坐标是(2,0).（）根据题意可设直线 A

41、B 的方程为1xmy，1122(,),(,)A x yB xy.由221,431xyxmy可得：22(34)690mymy.所以223636(34)0mm，122634myym，122934y ym.所以PAB的面积21212121113()422SPF yyyyy y222223636181()2343434mmmmm.因为 PAB的面积为 3613，所以22123413mm.令21tm，则22(1)3113ttt.解得 116t（舍），22t.所以3m.所以直线 AB 的方程为+310 xy或310 xy.（20）（本小题满分 14 分）解：（）集合 B 不是“好集”.理由是：假设集合 B

42、 是“好集”.因为1B，B1，所以1 12B.这与2B 矛盾.有理数集Q 是“好集”.因为0Q，1Q,对任意的,x yQ，有 xyQ，且0 x时，1xQ.所以有理数集Q 是“好集”.（）因为集合 A 是“好集”，21世 纪 教 育 网所以 A0.若,x yA，则Ay 0，即Ay.所以Ayx)(，即Ayx.（）命题qp,均为真命题.理由如下：对任意一个“好集”A，任取,x yA，若yx,中有 0或 1 时，显然Axy.4/67下设yx,均不为 0，1.由定义可知：Axxx1,11,1.所以111Axx，即1(1)Ax x.所以(1)x xA.由（）可得：(1)x xxA，即2xA.同理可得2yA

43、.若0 xy或1xy，则显然2()xyA.若0 xy且1xy，则2()xyA.所以Ayxyxxy222)(2.所以Axy 21.来源:21世纪教育网由（）可得：Axyxyxy21211.所以Axy.综上可知，Axy，即命题 p 为真命题.若,x yA，且0 x，则 1Ax.所以1yyAxx，即命题q 为真命题.丰台区 20112012 学年度第一学期期末练习 2012.01高三数学（文科）第一部分（选择题共 40 分）5/67一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合 A=xx4，B=xx24，则(A)A B(B)B A(C)A

44、RB(D)BRA2在复平面内，复数1+ii对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3已知命题 p：xR，1xx，命题 q：xR，20 x，则(A)命题 pq是假命题(B)命题 pq是真命题(C)命题()pq 是假命题(D)命题()pq 是真命题4预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nnPPkk，其中Pn 为预测人口数，P0 为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数如果在某一时期有-1k0，那么这期间人口数(A)呈上升趋势(B)呈下降趋势(C)摆动变化(D)不变5若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(A)

45、13(B)23(C)1(D)26执行如右图所示的程序框图，输出的 S 值为(A)650(B)1250(C)1352(D)50007若函数21()log()f xxax在区间(1,2)内有零点，则实数 a 的取值范围是(A)25(log,1)2(B)(1,)(C)25(0,log)2(D)25(1,log)2俯视图侧视图正视图221开始k=1，S=0k50S=S+2k输出 Sk=k+2结束是否6/678如图，P 是正方体 ABCDA1B1C1D1 对角线 AC1 上一动点，设 AP 的长度为 x，若PBD 的面积为 f(x)，则 f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分（非选择题共

46、110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9过点(-1,3)且与直线 x-2y+3=0 平行的直线方程为10已知函数2log,(0),()2,(0).xx xf xx 若1()2f a，则 a=11某个容量为 100 的样本的频率分布直方图如图所示，则数据在区间8,10)上的频数是12若向量a，b 满足2a，2b，()aba，则向量a 与b 的夹角等于_13设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若 S1，2S2，3S3 成等差数列，则公比q等于14 函 数()f x的 导 函 数 为()fx，若 对 于 定 义 域 内 任 意1x，2x12()xx，有121212()(

47、)()2f xf xxxfxx恒成立，则称()f x 为恒均变函数给出下列函数：()=23f xx；2()23f xxx；1()=f xx；()=xf x e；()=lnf xx其中为恒均变函数的序号是（写出所有满足条件的函数序号）yxOyxOyxOyxOD1C1B1A1PDCBA7/67三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.（本小题共 13 分）已知函数2()2cos3sin2xf xx（）求函数()f x 的最小正周期和值域；（）若 为第二象限角，且1()33f，求 cos21tan的值16.（本小题共 14 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C

48、1 中，CC1底面 ABC，AC=BC，M，N 分别是 CC1，AB 的中点（）求证：CNAB1；（）求证：CN/平面 AB1M17.（本小题共 13 分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取 6 个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有 12，6，18 个教学班.（）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（）若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，求这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率.NMC1B1A1CBA8/6718.（本小题共 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心

49、的圆与直线340 xy相切（）求圆O 的方程；（）直线l：3ykx与圆O 交于 A，B 两点，在圆O 上是否存在一点 M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由19.（本小题共 14 分）已知函数xxbaxxfln2)(（）若函数)(xf在1x，21x处取得极值，求a，b 的值；（）若(1)2f，函数)(xf在),0(上是单调函数，求a 的取值范围20.（本小题共 13 分）函数()f x 的定义域为 R，数列na满足1=()nnaf a（*nN且2n）（）若数列na是等差数列，12aa，且11()()()nnnnf af ak aa(k 为非零常数，*n

50、N且2n)，求 k 的值；9/67（）若()(1)f xkx k，12a，*ln()nnba nN，数列 nb的前 n 项和为nS，对于给定的正整数m，如果(1)mnmnSS的值与 n 无关，求 k 的值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区 20112012 学年度第一学期期末练习 201201高三数学（文科）答案及评分参考一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。题号12345678答案BADBCBDA二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。9270 xy10 1 或2113012 4131314 注：第 10，14 题只写出一个答案给 2 分。三

51、、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题共 13 分）已知函数2()2cos3sin2xf xx（）求函数()f x 的最小正周期和值域；（）若 为第二象限角，且1()33f，求cos21tan的值解：（）因为()1 cos3sinf xxx 1 分1 2cos()3x，3 分所以函数()f x 的周期为2，值域为 1,35 分10/67（）因为1()33f，所以11 2cos=3，即1cos3 6 分因为22cos2cossincossin1tancos8 分cos(cossin)2coscossin，10 分因为 为第二象限角，所以2 2s

52、in3 11 分所以cos212 21 2 21 tan99913 分16.（本小题共 14 分）如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1底面 ABC，AC=BC，M，N 分别是 CC1，AB 的中点（）求证：CNAB1；（）求证：CN/平面 AB1M证明：（）因为三棱柱 ABC-A1B1C1 中 CC1底面 ABC，所以 BB1平面 ABC，所以 BB1CN1 分因为 AC=BC，N 是 AB 的中点，所以 CNAB3 分因为 ABBB1=B，4 分所以 CN平面 AB B1A15 分所以 CNAB16 分（）（方法一）连结 A1B 交 AB1 于 P7 分因为三棱柱 ABC-A1B

53、1C1，所以 P 是 A1B 的中点因为 M，N 分别是 CC1，AB 的中点，所以 NP/CM，且 NP=CM，9 分所以四边形 MCNP 是平行四边形，10 分所以 CN/MP11 分因为 CN 平面 AB1M，MP 平面 AB1M，12 分所以 CN/平面 AB1M14 分（方法二）取 BB1 中点 P，连结 NP，CP7 分因为 N，P 分别是 AB，BB1 的中点，所以 NP/AB1NMC1B1A1CBAPNMC1B1A1CBAPNMC1B1A1CBA11/67因为 NP 平面 AB1M，AB1 平面 AB1M，所以 NP/平面 AB1M10 分同理 CP/平面 AB1M11 分因为

54、 CPNP=P，所以平面 CNP/平面 AB1M13 分因为 CN 平面 CNP，所以 CN/平面 AB1M14 分17.（本小题共 13 分）为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取 6 个教学班进行调查已知甲、乙、丙三所中学分别有 12，6，18 个教学班（）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（）若从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个进行调查结果的对比，求这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率.解：（）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是 12:6:18=2:1:3，1 分所以甲学校抽取教学班数为26=26个，乙学

55、校抽取教学班数为16=16个，丙学校抽取教学班数为36=36个，4 分所以分别抽取的教学班个数为 2，1，3.5 分（）由（）知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取 2，1，3 个教学班，不妨分别记为1A，2A，1B，1C，2C，3C，则从 6 个教学班中随机抽取 2 个教学班的基本事件为：12(,)A A，11(,)A B，11(,)A C，12(,)A C，13(,)A C，21(,)A B，21(,)A C，22(,)A C，23(,)A C，11(,)B C，12(,)B C，13(,)B C，12(,)C C，13(,)C C，23(,)C C共 15 个.7 分设“从 6 个教学班中随机

56、抽取 2 个教学班，至少有 1 个来自甲学校”为事件 D，8 分则事件 D 包含的基本事件为：12(,)A A，11(,)A B，11(,)A C，12(,)A C，13(,)A C，21(,)A B，21(,)A C，22(,)A C，23(,)A C共 9 个.10 分所以93()155P D.12 分所以从抽取的 6 个教学班中随机抽取 2 个，且这 2 个教学班中至少有 1 个来自甲学校的概率为35.13 分18.（本小题共 13 分）12/67在平面直角坐标系 xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线340 xy相切（）求圆O 的方程；（）直线l：3ykx与圆O 交于 A，

57、B 两点，在圆O 上是否存在一点 M，使得四边形OAMB为菱形，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由解：（）设圆O 的半径为r，因为直线340 xy与圆O 相切，所以|03 04|21 3r 3 分所以圆O 的方程为224xy5 分（）（方法一）因为直线l：3ykx与圆O 相交于 A，B 两点，所以2|3|21O ldk，解得52k 或52k 7 分假设存在点 M，使得四边形OAMB 为菱形，8 分则OM 与 AB 互相垂直且平分，9 分所以原点O 到直线l：3ykx的距离为1|12dOM10 分所以2|3|11O ldk，解得28k，11 分即2 2k ，经验证满足条件12 分

58、所以存在点 M，使得四边形OAMB 为菱形13 分（方法二）记OM 与 AB 交于点00(,)C xy因为直线l 斜率为k，显然0k，所以OM 直线方程为1yxk 7 分31ykxyxk，解得02023131kxkyk，所以点 M 坐标为2266(,)11kM kk，9 分13/67因为点 M 在圆上，所以226()1kk226()41k，解得28k，11 分即2 2k ，经验证满足条件12 分所以存在点 M，使得四边形OAMB 为菱形13 分19.（本小题共 14 分）已知函数xxbaxxfln2)(（）若函数)(xf在1x，21x处取得极值，求a，b 的值；（）若(1)2f，函数)(xf在

59、),0(上是单调函数，求a 的取值范围解：（）21()2bfxaxx，2 分由(1)01()02ff，4 分可得1313ab 6 分（）函数)(xf的定义域是),0(，7分因为(1)2f，所以12 ab8 分所以2222(21)(1)2(21)()axxaxaxafxxx，9 分要使)(xf在),0(上是单调函数，只要()0fx或()0fx在),0(上恒成立10 分当0a时，21()0 xfxx恒成立，所以)(xf在),0(上是单调函数；11 分14/67当0a时，令()0fx，得11x，12112122aaax，此时)(xf在),0(上不是单调函数；12 分当0a时，要使)(xf在),0(上

60、是单调函数，只要1 20a，即102a13 分综上所述，a 的取值范围是10,2a14 分20.（本小题共 13 分）函数()f x 的定义域为 R，数列na满足1=()nnaf a（*nN且2n）（）若数列na成等差，12aa，且11()()()nnnnf af ak aa(k 为非零常数，*nN且2n)，求 k 的值；（）若()(1)f xkx k，12a，*ln()nnba nN，数列 nb的前 n 项和为nS，对于给定的正整数m，如果(1)mnmnSS的值与 n 无关，求 k 的值解：（）当2n 时，因为1()nnaf a，11()()()nnnnf af ak aa，所以111()(

61、)()nnnnnnaaf af ak aa因为数列na是等差数列，所以11nnnnaaaa因为11()nnnnaak aa，所以6 分（）因为()(1)f xkx k，12a，且1()nnaf a，所以1nnaka 所以数列na是首项为 2，公比为k 的等比数列，所以12nnak 所以lnln2(1)lnnnbank1k15/67因为1lnnnbbk，所以 nb是首项为ln 2，公差为ln k 的等差数列所以nS1()(1)ln 2ln 22nbb nnnk因为(1)(1)1(1)ln 2ln(1)(1)ln2ln 2ln 2(1)ln2ln 2ln ln 2ln 2mnmnmnmnkSmmn

62、kkmnSm mnkkmnk，又因为(1)mnmnSS的值是一个与 n 无关的量，所以2ln 2ln2ln 2lnln(1)lnkkmnkmnk，解得4k 13 分（若用其他方法解题，请酌情给分）北京市东城区 2011-2012 学年度高三数第一学期期末教学统一检测数学文科16/67第卷（选择题 共 40 分）一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合0 xxA，2,1,0B，则（A）BA（B）AB（C）BBA（D）BA（2）复数在复平面上对应的点的坐标是 （A）)1,1(（B）)1,1(（C）)1,1(（D）)1,1

63、(（3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）32a （B）36a （C）312a （D）318a （4）下列命题中正确的是 （A）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行（B）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（C）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面（5）设0 x，且xxab 1，则 （A）01ba （B）01ab （C）ab 1 （D）ba 1（6）在平面直角坐标系内，若曲线C：04542222aayaxyx上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为（A）2,（B）

64、1,（C）,1（D）,2（7）函数()sin()f xx（其中2）的图象如图所示，为了得到()sing xx 的图象，则只要将的图象（A）向右平移6 个单位长度（B）向右平移12 个单位长度（C）向左平移 6 个单位长度（D）向左平移12 个单位长度（8）在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 OA 与 OB 关于 y 轴对称，向量)0,1(a，则满足不等式20OAAB a的点),(yxA的集合用阴影表示为 11i()f xaaa正（主）视图俯视图侧（左）视图-217/67 第卷（共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（9）已知向量(3,-2)a=,(3

65、1,4)mmb，若ab，则m 的值为 (10)已知sin2cos，则 tan2 的值为（11）已知函数,0),1(,0,3)(xxfxxxf则)65(f的值为（12）在等差数列 na中，若475 aa，286 aa，则数列 na的公差等于；其前n 项和nS 的最大值为(13)对于函数(lg21f xx），有如下三个命题：)2(xf是偶函数；)(xf在区间)2,(上是减函数，在区间,2上是增函数；)()2(xfxf在区间,2上是增函数其中正确命题的序号是（将你认为正确的命题序号都填上）(14)在平面内，已知直线 1l 2l，点 A 是21,ll之间的定点，点 A 到 1l，2l 的距离分别为3

66、和2，点 B 是 2l 上的一个动点，若ABAC，且 AC 与 1l 交于点C，则 ABC 面积的最小值为_三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）已知 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，且 3sincos1BB （）若125A，1b ，求 c；（）若ca2，求 A 18/67FEDBAPC（16）（本小题共 13 分）在等差数列 na中，31 a，其前n 项和为nS，等比数列 nb的各项均为正数，11 b，公比为q，且1222 Sb，22bSq （）求na 与nb；（）设数列 nc满足nnSc1，求 nc的前n 项和nT

67、 （17）（本小题共 14 分）如图，在四棱锥ABCDP 中，底面 ABCD 是正方形，PA 平面 ABCD，E 是 PC 中点，F为线段 AC 上一点.（）求证：EFBD；（）试确定点 F 在线段 AC 上的位置，使 EF/平面 PBD，并说明理由.（18）（本小题共 13 分）已知函数1331(223xmmxxxf）(0)m.（）若1m，求曲线)(xfy 在点)2(,2(f处的切线方程；（）若函数)(xf在区间(21,1)mm上单调递增，求实数m 的取值范围 （19）（本小题共 13 分）已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点0,2M是椭圆的一个顶点，21MFF

68、是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为1k，2k，且128kk，证明：直线 AB 过定点（2,21）19/67 （20）(本小题共 14 分)已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意Mxf)(，方程0)(xxf有实数根；函数)(xf的导数)(xf 满足1)(0 xf（）判断函数4sin2)(xxxf是否是集合 M 中的元素，并说明理由；（）集合 M 中的元素)(xf具有下面的性质：若)(xf的定义域为 D，则对于任意Dnm,，都存在nmx,0，使得等式)()()()(0 xfmnmfnf成立试用这一性质证明

69、：方程0)(xxf有且只有一个实数根.东城区 2011-2012 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）（1）B （2）D （3）A （4）D（5）C （6）D （7）A （8）B 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（9）1 （10）34 （11）21 （12）3 57 （13）（14）6 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）20/67EDCBAFOP（15）（共 13 分）解：（）由已知1cossin

70、3BB，整理得21)6sin(B 因为 B0，所以6566B.故66B，解得3B.由512A，且CBA，得4C.由BbCcsinsin，即3sin14sinc，解得36c.（）因为Baccabcos2222，又32Bca，,所以21442222cccb，解得cb3.由此得222cba，故 ABC 为直角三角形，2A（16）（共 13 分）解：（）设 na的公差为d，因为,122222bSqSb所以，qdqdq6126 解得3q或4q（舍），3d故3 3(1)3nann，13 nnb（）因为2)33(nnSn，所以nc)111(32)33(21nnnnSn故nT211111212(1)()()(

71、1)32231313(1)nnnnn（17）（共 14 分）证明（）因为 PA 平面 ABCD，所以 PA BD 又四边形 ABCD 是正方形，所以BDAC，AACPA，所以 BD 平面 PAC,又 EF 平面 PAC,所以EFBD.（）：设 AC 与 BD 交于O，当 F 为OC 中点，即ACAF43时，EF 平面 PBD 理由如下：连接 PO，因为 EF/平面 PBD，EF平面 PAC，平面 PAC平面 PBDPO，所以 EF PO 在 POC 中,E 为 PC 的中点，所以 F 为OC 中点在 POC 中,E，F 分别为 PC，OC 的中点，所以 EF PO 又 EF 平面 PBD,PO

72、 平面 PBD,故 EF/平面 PBD.（18）（共 13 分）解：（）当1m时，1331(23xxxxf），35164382(）f.32(2xxxf），53442(）f所 以 所 求 切 线 方 程 为)2(535xy即21/67025315 yx（）2232(mmxxxf）.令0(）xf，得mxmx或3.由于0m，)(xf，)(xf的变化情况如下表：x)3,(mm3),3(mmm),(m)(xf+00+)(xf单调增极大值单调减极小值单调增所以函数)(xf的单调递增区间是(,3)m 和(,)m .要使)(xf在区间(21,1)mm上单调递增，应有 1mm3 或 12mm，解得m 41或m

73、1 又 0m 且121mm ，所以 12m 即实数m 的取值范围 21 mm（19）（共 13 分）解：（）由已知可得222,28bab，所求椭圆方程为22184xy（）若直线 AB 的斜率存在，设 AB 方程为 ykxm，依题意2m设),(11 yxA，),(22 yxB，由,14822mkxyyx得 2221 24280kxkmxm 则2121222428,1 21 2kmmxxx xkk 由已知1212228yyxx，所以1212228kxmkxmxx，即1212228xxkmx x所以42mkkm，整理得122mk故直线 AB 的方程为122ykxk，即ky （21x）2所以直线 AB

74、 过定点（2,21）若直线 AB 的斜率不存在，设 AB 方程为0 xx，设00(,)A xy，00(,)B xy，由已知0000228yyxx，得012x 此时 AB 方程为12x ，显然过点（2,21）综上，直线 AB 过定点（2,21）22/67（20）（共 14 分）解：（）因为当0 x时，0)0(f，所以方程0)(xxf有实数根 0；xxfcos4121)(，所以43,41)(xf，满足条件1)(0 xf；由，函数4sin2)(xxxf是集合 M 中的元素.（）假设方程0)(xxf存在两个实数根(,），则0)(,0)(ff.不妨设，根据题意存在),(c，满足)()()()(cfff.

75、因为)(f，)(f，且，所以1)(cf.与已知1)(0 xf矛盾.又0)(xxf有实数根，所以方程0)(xxf有且只有一个实数根.北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷（文史类）2012.1（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分 第一部分（选择题 共 40 分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合2|3,|log1Mx xNxx，则 MN 等于（）

76、AB321|xxC30|xxD|23xx 2.已知平面向量(3,1)a，(,3)xb，且a b，则实数 x 的值为 （）23/67A 9 B 1 C1 D9 3.函数的图象大致是（）4.设数列是公差不为 0 的等差数列，11a 且成等比数列，则的前项和等于（）A2788nnB2744nnCD5.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A1 B 1 C2 D0 6.函数2()2xf xax的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是（）A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)7.已知函数()sin3cosf xxx，设()7af，()6bf，()3cf，则,a b c 的大小关

77、系是（）A.abcB.cabC.bacD.bca 8.已知集合(,)|,Ax yxn ynab nZ,(,)|,Bx yxm2312,ymmZ .若存 在 实 数,a b 使 得 AB 成 立,称 点(,)a b 为“”点，则“”点 在 平 面 区 域22(,)|108Cx yxy内的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数个第二部分（非选择题 共 110 分）)0(12)0(2xxxyx na136,a a a nannS2324nn2nn24/67二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡上.9.若变量 x，y 满足约束条件1,236,xyxxy则2z

78、xy的最大值为.10.已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取200 辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，则时速在区间60,70)上的汽车大约有辆.11.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是.12.设直线10 xmy 与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数m 的值是.13.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润 y（万元）与机器运转时间 x（年数，xN）的关系为21825yxx.则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元.14.已知两个正数,a b,可按规则cabab扩充为一个新数c,在,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述

79、规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若1,3ab,按上述规则操作三次,扩充所得的数是_；（2）若0pq，经过 6 次操作后扩充所得的数为(1)(1)1mnqp（,m n 为正整数），则,m n的值分别为_.22(1)(2)4xyABAB2 3主视图俯视图32222侧视图时速（km/h）0 010 020 030 04组距4050607080频率O25/67三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本题满分 13 分）在锐角三角形 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边，且满足 32 s

80、in0abA（）求角 B 的大小；（）若7b，2c，求 AB AC 的值 16.（本题满分 14 分）如图，在四棱锥 SABCD中，平面 SAD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形，且 P 为 AD的中点，Q 为 SB 的中点（）求证：CD 平面 SAD；（）求证：/PQ平面 SCD；（）若 SASD，M 为 BC 中点，在棱 SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN 平面 ABCD，并证明你的结论.17.（本题满分 13 分）如图，一个圆形游戏转盘被分成 6 个均匀的扇形区域用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A 所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动）

81、，且箭头 A 指向每个区域的可能性都是相等的在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(,)a b（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）（）请列出一个家庭得分(,)a b 的所有情况；（）若游戏规定：一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品请问一个家庭获奖的概率为多少？18.（本题满分 13 分）设函数2()ln2,R2axf xaxx a.（）当1a 时,试求函数()f x 在区间1,e上的最大值;（）当0a 时,试求函数()f x 的单调区间.19.（本题满分 13 分）已知椭圆2

82、222:1(0)xyCabab的离心率为 12，且过点3(1,)2P，F 为其右焦点.（）求椭圆C 的方程；553232AMSDBCAPQ26/67（）设过点(4,0)A的直线l 与椭圆相交于 M、N 两点（点 M 在,A N 两点之间），若AMF与MFN的面积相等，试求直线l 的方程.20.（本题满分 14 分）数列na，nb（1,2,3,n）由下列条件确定：110,0ab；当2k 时，ka 与kb满足：当011kkba时，1kkaa,211 kkkbab；当011kkba时，211 kkkbaa，1kkbb.（）若11a ，11b ，求2a，3a，4a，并猜想数列na的通项公式（不需要证明

83、）；（）在数列 nb中，若sbbb21(3s,且*sN)，试用11,ba表示kb，,2,1sk；（）在（）的条件下，设数列 nc(*)nN满足211 c，0nc，2212mnnnmcccma (其中 m 为给定的不小于 2 的整数)，求证：当mn 时，恒有1nc.北京市朝阳区 2011-2012 学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（文史类）答案2012.1一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DBBADCBA 二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案185803 333582558,13注：若有两空，则第一个空 3 分，第二个空

84、 2 分.三、解答题：（15）（本小题满分 13 分）解：（）由 32 sin0abA，根据正弦定理得：27/673sin2sinsin0ABA.3 分因为sin0A，所以23sinB.5 分又 B 为锐角，则3B.6 分（）由（）可知，3B因为7b，2c，根据余弦定理，得2744 cos 3aa，8 分整理，得2230aa 由于0a，得3a 10 分于是2227497cos2144 7bcaAbc，11 分所以 7coscos27114AB ACAB ACAcbA 13 分 （16）（本小题满分 14 分）证明：（）因为四边形 ABCD为正方形，则CDAD.1 分又平面 SAD 平面 ABC

85、D，且面 SAD面 ABCDAD，所以CD 平面 SAD.3 分（）取 SC 的中点 R，连 QR,DR由题意知：PDBC 且 PD=12 BC4 分 在 SBC中，Q 为 SB 的中点，R 为 SC 的中点，所以 QRBC 且 QR=12 BC所以 QRPD 且 QR=PD，则四边形 PDRQ为平行四边形.7 分所以 PQDR.又 PQ 平面 SCD，DR 平面 SCD，所以 PQ平面 SCD10 分（）存在点 N 为 SC 中点，使得平面 DMN 平面 ABCD11 分连接 PCDM、交于点O，连接 PM、SP，因为/PDCM，并且 PDCM，所以四边形 PMCD为平行四边形，所以 POC

86、O.又因为 N 为 SC 中点，所以/NOSP 12 分因为平面 SAD 平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCD=AD，并且 SPAD，MSDBCAPQR(N)O28/67所以 SP 平面 ABCD，所以 NO 平面 ABCD，13 分又因为 NO 平面 DMN，所以平面 DMN 平面 ABCD14 分（17）（本小题满分 13 分）解：（）由题意可知，一个家庭的得分情况共有 9 种，分别为(2,2),(2,3),(2,5),(3,2)，(3,3),(3,5),(5,3),(5,2),(5,5)7 分（）记事件 A：一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2,2)，(3,3),

87、(3,5),(5,3),(5,5)共 5 种，11 分所以5()9P A 所以一个家庭获奖的概率为 59 13 分（18）（本小题满分 13 分）解:（）函数()f x 的定义域为(0,).1 分当1a 时,2()ln22xf xxx，因为21(1)()20 xfxxxx，3 分所以函数()f x 在区间1,e上单调递增，则当=ex时,函数()f x 取得最大值2e(e)12 e2f.5 分（）22()axxafxx.6 分当0a 时,因为()20fx ，所以函数()f x 在区间(0,)上单调递减；7 分当0a 时，当2440a 时，即1a 时，()0fx，所以函数()f x 在区间(0,)

88、上单调递增；9 分当2440a 时，即01a 时，由()0fx解得，2110axa，或211 axa.10 分由()0fx解得221111aaxaa；11 分所以当01a 时，函数()f x 在区间211(0,)aa上单调递增；在29/67221111(,)aaaa上单调递减，211(,)aa 单调递增.13 分（19）（本小题满分 13 分）解：（）因为12ca，所以2ac，3bc.1 分设椭圆方程为2222143xycc，又点3(1,)2P在椭圆上,所以2213144cc，解得21c ，3 分所以椭圆方程为22143xy.4 分（）易知直线l 的斜率存在,设l 的方程为(4)yk x，5

89、分由22(4),1,43yk xxy消去 y 整理，得2222(34)3264120kxk xk，6 分由题意知2 222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k.7 分设11(,)M x y，22(,)N xy，则21223234kxxk，2122641234kx xk.因为AMF与MFN的面积相等，所以 AMMN，所以1224xx.10 分由消去2x 得2124 1634kxk.将2124xx代入得21126412(24)34kxxk.将代入2222224 164 166412(24)343434kkkkkk，30/67整理化简得2365k，解得56k ，经检验成立.12 分

90、所以直线l 的方程为5(4)6yx.13 分（20）（本小题满分 14 分）（）解：因为011 ba，所以112 aa,02112bab.1 分因为0122 ba,则212223baa,320bb.2 分333421222abaa.3 分猜想当2n 时，22221111222nnnnaa .则21,1,1,2.2nnnan 4 分（）解：当sk 2时，假设110kkab，根据已知条件则有1kkbb，与sbbb21矛盾，因此110kkab不成立，5 分所以有110kkab，从而有1kkaa，所以1aak.6 分当011kkba时，1kkaa，211 kkkbab,所以111111()22kkkk

91、kkkabbaaba;8 分当sk 2时，总有111()2kkkkbaba成立.又110ba，所以kkab(sk,2,1)是首项为11ba，公比为 12的等比数列，9 分31/6711121)(kkkabab，1,2,ks,又因为1aak，所以111121)(aabbkk.10 分（）证明：由题意得2212mnnnmcccma nnccm21.因为211nnncccm，所以2110nnncccm.所以数列 nc是单调递增数列.11 分因此要证)(1mncn，只须证1mc.由2m，则nnnccmc211nnncccm11，即1111nnccm.12 分因此1122111)11()11()11(1

92、ccccccccmmmmmmmmm121.所以11mmcm.故当mn,恒有1nc.14 分 32/67 北京房山区 2011-2012 学年 度第一学期期末统测试题高三数学(文科)考生须知1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分,考试时间为120 分钟 2.第卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上，第卷非选择题直接在试卷上作答3.考试结束后，将机读卡和试卷一并交回第 I 卷选择题(共 40 分）一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.）1已知集合4,3,2,1,0M,5,3,1,则NM()A.3,2,

93、1 B.5,3,1 C.3,1 D.5,1 2若Rx，则”1“x，则“12 x”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件33/673.等差数列na中，42a，则7S 等于()A.7 B.14 C.28 D.3.5 4.已知ba,R，且ba，则下列不等式中成立的是（）A1ba B.22ba C.balglg D.ba33 5平面上满足约束条件2,0,60 xxyxy 的点(,)x y 形成的区域为 D，则区域 D 的面积为（）A1 B2 C3 D4 6.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A23a B.331 a C.3a

94、D.334 a 7.设向量)21,21(),1,0(ba，则下列结论中不正确的是（）A22bB.4,baC.ba 与b 平行D.ba 与b 垂直8.ABC 中,A=3,BC=3,则ABC 的周长为()A.3)3sin(34 B B.3)6sin(34 BC.3)3sin(6 B D.3)6sin(6 B 俯视图左视图主视图aaaDCBA34/67第 II 卷非选择题(共 110 分）二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸上指定位置.9.若复数ii121的实部为a，虚部为b，则ba=.10.某高校中文、数学、英语、体育四个专业分别有 400、300、150

95、、150 名学生，为了了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取n 名学生进行调查，其中中文学生抽取了 16名，则体育专业抽取的学生人数为人.11.已知圆1)1()2(:22yxC，则经过圆 C 的圆心，且焦点在 x 轴上的抛物线标准方程是 .12.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是.13.已知函数0,log0,21)(2xxxxfx，若()2f x，则 x.14.设函数baxxf)(，其中ba,为常数，)()(1xfxf，)()(1xffxfnn，*Nn，若218)(3 xxf，则ab，)(xfn.三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算

96、步骤或证明过程.15（本小题共 13 分）是否结束输出 i开始？35/67设函数2cos22sin3)(2xxxf（I）求)(xf的最小正周期和值域；（II）求)(xf的单调递增区间.16.（本小题共 13 分）编号为1216,A AA的 16 名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号1A2A3A4A5A6A7A8A得分1535212825361834运动员编号9A来源:学|科|网 Z|X|X|K10A11A12A13A14A15A16A得分来源:学#科#网 Z#X#X#K1726253322123138来源:学科网 ZXXK（）将得分在对应区间内的人数 填入相应的空格；区间10

97、,2020,3030,40人数（）从得分在区间20,30 内的运动员中随机抽取 2 人，用运动员的编号列出所有可能的抽取结果，并求这 2 人得分之和大于 50 分的概率36/6717.（本小题共 13 分）在几何体 ABCDE 中，BAC=2，DC平面 ABC，EB平面 ABC，F 是 BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1.（I）求证：DC平面 ABE；（II）求证：AF平面 BCDE；（III）求几何体 ABCDE 的体积 ABCDEF37/67 18.（本小题共 14 分）已知函数aaxx2323，Ra.（I）若曲线在点（)4(,4 f）处切线的斜率为 12，求的值；（II）若1,

98、0 x，求函数的最小值.)(xfy)(xfa)(xf38/67 19.（本小题共 14 分）已知椭圆:G)0(12222babyax的离心率为e=32,椭圆G 上的点 N 到两焦点的距离之和为 12,点 A、B 分别是椭圆G 长轴的左、右端点，点 F 是椭圆的右焦点点 P 在椭圆上，且位于 x 轴的上方，PFPA (I)求椭圆G 的方程；(II)求点 P 的坐标；(III)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，M 到直线 AP 的距离等于 MB，求椭圆上的点到点 M 的距离d 的最小值 39/67 20（本小题共 13 分）已知数列 na中，12a，且满足11nnaa，*nN（I）求数列 na的

99、通项公式；（II）设14(1)2(nannnb 为非零整数，*nN），试确定 的值，使得对任意*nN，都有nnbb1成立房山区 2012 年高三统练参考答案(数学文科)40/67才单选题1 C 2 A 3 B 4 D 5 A 6 B 7 C 8 D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）.9._1_.10._6_.11.xy212 12._63 _.13.-41或.14.32326nn x，.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题共 13 分）解：（I）)(xf=23sin22cos2xx41/6716（本小

100、题共 13 分）解：（I）区间10,2020,3030,40人数466.4 分42/6717.（本小题共 13 分）证明：(I)DC平面 ABC，EB平面 ABCDC/EB，又DC 平面 ABE，EB 平面 ABE，DC平面 ABE.4 分(II)DC平面 ABC，AF 平面 ABC43/6718（本小题共 14 分）解:（I）)(xf的定义域为 R 1 分 aaxx2323，axx332 2 分)(xf)(xf y)(xf3aaxxxf33)(2 0)(3)(axxxf01 xax 20)(xf)(xf)(xf0)(xf)(xf0)(xf)(xf)(xf0)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf44/6719（本小题共 14 分）解：（I）椭圆G 上的点 M 到两焦点的距离之和为 12，,122 a6a 1 分 e=32ac，4c 2 分 45/6720（本小题共 13 分）解：（I）11nnaa，*nN 11nnaa，*nN2 分 数列 na是以 2 为首项，1 为公差的等差数列4 分46/67