河南省南阳市第一中学2022-2023学年高三数学（文）上学期12月月考试卷（PDF版附答案）.pdf

1、南阳一中 2023 届高三第三次阶段性测试文数试题一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1已知 i 为虚数单位，复数 z 满足(1i)iz，则12z 的值为（）A 14B 13C12D42若2812Ax yxx，ln(3)2Bxx，则 AB=（）A2,4B3,6C22,eD23,e 3下列说法错误的是（）A若命题 p：n N，22nn，则p：n N，22nn B“ab”是“lnlnab”的必要不充分条件C若命题“pq”为真命题，则命题 p 与命题q中至少有一个是真命题D“若4ab，则,a b 中至少有一个不小于 2”的逆否命题是真命题4已知在ABC 中，3AB ，4A

2、C，3BAC，2ADDB，P 在 CD 上，12APACAD，则 AP BC 的值为（）A116B 72C4D65若正项数列na满足11a ，221160nnnnaaaa，则2222123naaaa（）A 41n B 1(41)3n C 21n D 1(21)3n 6三棱柱111ABCA B C-中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAACAA ，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A66B33C 16D 137已知函数()sinf xx，2ln1g xxx，()H x 的解析式是由函数()f x 和()g x 的解析式组合而成，函数()H x 部分图象如下图所示，则()H x 解

3、析式可能为（）A()()f xg xB()()f xg xC()()f xg xD f xg x8已知函数 22cos4fxx则（）A fx 是奇函数B函数 fx 的最小正周期为4C曲线 yf x关于2x 对称D 12ff9已知圆 M 过点1,3A、1,1B、3,1C，则圆 M 在点 A 处的切线方程为（）A34150 xyB3490 xyC 43130 xyD 4350 xy10如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，O是底面1111DCBA的中心，则O到平面11ABC D的距离为（）A12B24C22D3211在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E，F 分

4、别是棱 C1D1，B1C1 的中点，P 是上底面 A1B1C1D1 内一点，若 AP平面 BDEF，则线段 AP 长度的取值范围是（）A52，2 B 3 24，52C 3 28，62D62，2 12已知函数()eecos2xxf xx，若 12f xf x，则（）A()f x 为奇函数B()f x 在(,0)上为增函数C2212xxD12e1xx二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知直线过点2,3，它在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 3 倍，则此直线的方程为_14圆1C：2223xyx与圆2C：2241xyy的公共弦长为_15已知0ab，且21ab，则1

5、1abb的最小值为_16某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为_.三、解答题：（共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17记nS 为数列 na的前 n 项和，23a，且1(2)(1)1nnnana （2n，且 nN）(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列14nna a 的前 n 项和18如图，在ABC 中，ABC90，AB3，BC1，P 为ABC 内一点，BPC90.(1)若 PB12，求 PA；(2)若APB150，求 tanPBA19在三棱锥PABC 中，ACBC，PAPB，D、E 分别是棱 BC、PB 的中点.(1)证明：ABPC；(2)线段 AC 上是否

6、存在点 F，使得/AE平面 PDF?若存在，指出点 F 的位置；若不存在，请说明理由20已知点 M（1，0），N（1，3），圆 C：221xy，直线 l 过点 N(1)若直线 l 与圆 C 相切，求 l 的方程；(2)若直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A，B，设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，证明：12kk为定值21如图，四棱锥 PABCD中，DAAB，PDPC，PBPC，1ABADPDPB，4cos5DCB(1)求证：BD 平面 PAC(2)求四棱锥 PABCD的体积.22已知函数 21ln2xfxmxmxm，fx为函数 fx 的导函数(1)讨论 fx 的单调性；(2)若 0

7、 xfxf x恒成立，求 m 的取值范围南阳一中 2023 届高三第三次阶段性测试文数试题参考答案：1C2B3C4C5B6A7A8D9A10B11B12C13320 xy或3110 xy14 8 5515 42 316 9112（选填详解附后）17解：（1）当2n 时，11a ，由已知1(2)(1)1(2)nnnanan，则1(1)1(1)nnnanan，两式相减得112(1)(1)(1)nnnnanana，即112nnnaaa，且212aa，则数列 na是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，则 na的通项公式为21nan；（2）设数列14nna a 的前 n 项和为nS，144112(21

8、)(21)2121nna annnn，1111142 1335212121nnSnnn18 解：（1）由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA 中，由余弦定理得 PA2.故 PA72.（2）设PBA，由已知得 PBsin.在PBA 中，由正弦定理得3sinsin150sin(30)，化简得3 cos 4sin.所以 tan 34，即 tanPBA34.19 解：（1）取 AB 的中点 H，连接 PH，CH，如图，因 ACBC，PAPB，则CHAB，PHAB，而CH 平面 PHC，PH 平面 PHC，CHPHH，于是得 AB 平面 PHC，又 PC 平面 PHC，所以 ABPC.（2）当 A

9、C 上的点 F 满足2CFAF 时，/AE平面 PDF连接CE 交 PD 于G，连接 FG，D、E 分别是 BC、PB 的中点，则G 是 PBC 的重心，有2CGGE，即有 CGCFGEAF，因此/FGAE，而 AE 平面 PFD，FG 平面 PFD，所以/AE平面 PFD 20（1）解：若直线 l 的斜率不存在，则 l 的方程为1x ，此时直线 l 与圆 C 相切，故1x 符合条件；若直线l的斜率存在，设斜率为k，其方程为13yk x，即30kxyk，由直线 l 与圆 C 相切，圆心（0，0）到 l 的距离为 1，得2311kk，解得43k，所以直线 l 的方程为4133yx，即 4350

10、xy，综上所述，直线 l 的方程为1x 或 4350 xy；（2）证明：由（1）可知，l 与圆 C 有两个交点时，斜率存在，此时设 l 的方程为30kxyk，联立22301kxykxy，得2222126680kxkk xkk-，则2222264 16824320kkkkkk=，解得43k，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则2122261kkxxk，2122681kkx xk，（1）所以12121212121331111k xk xyykkxxxx12121212323322111xxkkxxx xxx，将（1）代入上式整理得121862293 kkkk，故12kk为定值2321 解：（

11、1）PDPC，PBPC，PB=PD，RtPDCRtPBC，BC=DC，又 PBPD=P，PC平面 PBD，BD 平面 PBD，PCBD，AB=AD，BC=CD，易知 ACBD，又ACPC=C，BD平面 PAC；（2）如图，设 AC 交 BD 于 O，则 O 是 BD 的中点，连接 OP由(1)知，BC=CD，又 BD=2，4cos5DCB，在BCD 中，由余弦定理得：2222cosBDBCDCBC DCDCB，即22 42225BCBC，解得5BC，2213522OCBCOB，22OA，2212122OPPBOB，225 12PCBCPB，PC平面 PBD，PCOP，112222222PCOS

12、OP PC，由22223262PAOPAOPCOSOASSOC，222 2263PACPCOPAOSSS，12 224223329P ABCDB PACVV22 解：（1）由题可得2(1)()(1)()(1)mxmxmxm xfxxmxxx，当0m 时，(0,1)x时，()0fx，()f x 单调递减；(1,)x 时，()0fx，()f x 单调递增；当01m 时，(0,)xm时，()0fx，()f x 单调递增；(,1)xm时，()0fx，()f x 单调递减；(1,)x 时，()0fx，()f x 单调递增；当1m 时，,()0 x 时，()0fx，()f x 单调递增；当1m 时，(0,

13、1)x时，()0fx，()f x 单调递增；(1,)xm时，()0fx，()f x 单调递减；(,)xm 时，()0fx，()f x 单调递增.（2）由 0 xfxf x恒成立，即2ln02xmx，2ln2xmx，当1x 时，2ln2xmx恒成立，当1x 时，22lnxmx，当 01x 时，22lnxmx，令2()2lnxg xx，则2(2ln1)()2(ln)xxg xx，当 01x 时，()0g x，()g x 单调递减且()0g x，所以0m 当1x 时，()0g x 得ex，1ex 时，()0g x，()g x 单调递减，ex 时，()0g x，()g x 单调递增；()(e)eg x

14、g，故em 综上，m 的取值范围为 0em.附：选填答案：1C【详解】由(1i)iz 得：ii(1 i)1 i11i1 i(1 i)(1 i)222z ，则11 i22z，所以2111()222z.故选：C2B【详解】若 22812812026Ax yxxxxxxx，22ln3203ln e33eBxxxxxx，则|36ABxx.故选：B.3C【详解】对于 A，由特称命题的否定可知：:pn N，22nn，A 正确；对于 B，当0ab时，ln,lnab无意义，充分性不成立；当lnlnab时，0ab，必要性成立；则“ab”是“lnlnab”的必要不充分条件，B 正确；对于 C，若,p q 均为假命

15、题，则,pq 均为真命题，pq 为真命题，C 错误；对于 D，原命题的逆否命题为：若,a b 都小于 2，则4ab，可知逆否命题为真命题，D 正确.故选：C.4C【详解】,D P C三点共线，111,22，11,23BCACAB APACAB，221118 1 34263AP BCACAB ACAB 故选：C5D【详解】设等差数列的公差为d，则11(1)122nn nnadSnadnn，因为101221210SS ，所以11119()()222adad ，解得2d ，所以20221202220212022202220202022202120222Sad，故选：D6A【详解】若,E F D G

16、分别是111,AC B C AB AC 的中点，连接,ED EF，则11/,/EDBC EFAB，直线1AB 与1BC 所成角即为DEF或其补角，由111ABCA B C-底面边长和侧棱长都相等且1160BAACAA ，易知：1DGC F 为平行四边形，若 H 为 BC 中点，连接,HF AH，则 AHBC且 AH 是1AA 在面 ABC 上的射影，1AABC，而111/AABBCC，易知：11BCC B 为正方形，若111ABCA B C-棱长为 2，则11112,322EDBCEFAB，221112cos1207DFGCCCCGCC CG，在 DEF 中，2226cos26EDEFDFDE

17、FED EF，直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为66.故选：A7A【详解】(),()f x g x 定义域都为 R，关于原点对称，而()sin()sin()fxxxf x ，221ln()1ln()1()gxxg xxxx ，所以(),()f x g x 都是奇函数，故()()()()f xf xg xg x，都是偶函数,因为所给图象关于原点对称，是奇函数，故可排除 CD；当ex 时，2sineln(1 ee)sineln 2esine 1 ln 20，故排除选项 B.故选：A8D【详解】因为 22coscos 21cos 21sin 21442fxxxxx ，对于 A，sin1242f

18、，sin1042f ，即44ff ，所以 fx 不是奇函数，故 A 错误；对于 B，22T，故 B 错误；对于 C，sin 1122f ，即 fx 在2x 处取不到最值，故 fx 不关于2x 对称，故C 错误；对于 D，22，42，则sin 20,sin 40，所以 12sin 21sin 41sin 2sin 40ff，即 12ff，故 D 正确.故选：D.9A【详解】设圆 M 的一般方程为220 xyDxEyF，由题意可得3100203100DEFDEFDEF，解得125DEF ，所以，圆 M 的方程为22250 xyxy，圆心为1,12M，直线 AM 的斜率为3 141312AMk，因此

19、，圆 M 在点 A 处的切线方程为3314yx，即34150 xy.故选：A.10B【详解】过O作11A B 的平行线，交11B C 于 E，连结1BC，则O到平面11ABC D 的距离即为 E 到平面11ABC D 的距离作1EFBC于 F，AB 平面11BCC B，所以1ABB C，且11B CBC，1ABBCBI所以1B C 平面11ABC D，1/EFB C，所以 EF 平面11ABC D，可求得11244EFB C故选：B11B【详解】如图所示，分别取棱 A1B1、A1D1 的中点 M、N，连接 MN，连接 B1D1，M、N、E、F 为所在棱的中点，MNB1D1，EFB1D1，MNE

20、F，又 MN 平面 BDEF，EF平面 BDEF，MN平面 BDEF；连接 NF，由 NFA1B1，NFA1B1，A1B1AB，A1B1AB，可得 NFAB，NFAB，则四边形 ANFB 为平行四边形，则 ANFB，而 AN 平面 BDEF，FB平面 BDEF，则 AN平面 BDEF又 ANNMN，平面 AMN平面 BDEF又 P 是上底面 A1B1C1D1 内一点，且 AP平面 BDEF，P 点在线段 MN 上在 RtAA1M 中，AM221115142AAA M，同理，在 RtAA1N 中，求得 AN52，则AMN 为等腰三角形当 P 在 MN 的中点时，AP 最小为2223 21()44

21、，当 P 与 M 或 N 重合时，AP 最大为22151()22线段 AP 长度的取值范围是 3 24，52 故选：B12C【详解】因为 eecos2eecos2xxxxfxxxfx，所以 fx 为偶函数，故A 错误；ee2sin2xxfxx，当02x时，ee0,2sin20 xxx，所以 0fx，当2x 时，122eeeeee2,2sin22xxx ，所以()0fx，所以 fx 在0,上单调递增，因为 fx 为偶函数，所以 fx 在,0上为减函数，故 B 错误；因为 12f xf x，所以12fxfx，又因为 fx 在0,)上递增，所以12xx，即2212xx，故 C 正确；显然120 xx

22、不一定成立，则12e1xx 不成立，故 D 错误.故选：C13320 xy或3110 xy【详解】当此直线过原点时，直线在 x 轴上的截距和在 y 轴上的截距都等于 0，显然成立，所以直线斜率为 32 且过原点，所以直线解析式为32yx，化简得；320 xy，当直线不过原点时，由在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 3 倍可设直线方程为13xyaa，因为直线过2,3，所以 2313aa，解得113a，化简得：3110.xy故答案为：320 xy或3110.xy148 55【详解】解：圆1C 与圆2C 的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即210 xy，因为2223xyx 变形为2214x

23、y，即圆1C 的圆心为1,0，半径 1r 为 2，所以，圆心1C 到 x2y10 的距离2222 5512d，所以，两圆的公共弦长为22148 522 455rd.故答案为：8 5515 42 3【详解】由21ab 得：()31abb，又0ab，则111133()3()44242 3babbababbabbabbabbabb，当且仅当 3bababb，即333,36ab时取等号，所以当333,36ab时，则11abb取得最小值 42 3.故答案为：42 316 9112【详解】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 SABC.如图，设三棱锥 SABC外接球的球心为O，连接 SO，OC，作OO 平面 ABC，连接CO，延长CO 交 AB 于点 H ，连接 SH，过O作OHSH，垂足为 H.由题可知，平面 SAB 平面 ABC，2ABACBCSH，设OOh，则222 33h 22323h，解得34h，则222 391348h，故该几何体外接球的表面积为 9112.故答案为：9112