湖南省长沙市第一中学2023届高三月考卷（七）丨数学答案.pdf

1、长沙市一中 2023 届高三月考试卷（七）数学时量：120 分钟满分：150 分一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合213Mxx，Nx xa，若 MNN，则实数 a 的取值范围为（）A.1,B.2,C.,1D.,1【答案】C【解析】【分析】先求出集合 M，根据 MNN得出 N 为 M 的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】2131Mxxx x，因为 MNN，所以 N 为 M 的子集，所以1a.故选：C.2.若实数 x，y 满足(i)(3i)24ixy，则 xy （）A.1B.1C.3D.3【答案】B【解

2、析】【分析】根据复数的乘法运算和复数相等的定义求解.【详解】(i)(3i)3(3)i24ixyxyxy，所以3234xyxy，则1xy，故选:B.3.1947 年，生物学家 Max Kleiber 发表了一篇题为body size and metabolicrate的论文，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢率与体重的 34次幂成正比，即340Fc M，其中 F 为基础代谢率，M 为体重若某哺乳动物经过一段时间生长，其体重为原来的 10 倍，则基础代谢率为原来的（参考数据：4 101.7783）（）A.5.4 倍B.5.5 倍C.5.6 倍D.5.7 倍【答案】C【解析】【分

3、析】利用幂的运算性质去求解即可解决【详解】设该哺乳动物原体重为1M、基础代谢率为1F，则34101Fc M，经过一段时间生长，其体重为110M，基础代谢率为2F，则3420110FcM则33334444201011101010FcMcMF，则32341101.77835.6FF故选：C4.已知函数 2sinf xxx，设1x，2xR，则 12f xf x成立的一个必要不充分条件是（）A.12xxB.21xxC.120 xxD.12xx【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性可知函数()f x 为偶函数，且在(0,)上单调递增，所以()f x 在(,0)上单调递减，结合 12f xf

4、x可得2212xx，举例说明即可判断选项 A、B，将选项 C、D 变形即可判断.【详解】函数()f x 的定义域为 R，则函数22()sin)sin=()(fxxxxx f x，所以函数()f x 是偶函数，当0 x 时，2()sinf xxx，2()12sin cos(sincos)0fxxxxx，所以()f x 在(0,)上单调递增，所以()f x 在(,0)上单调递减.若 12f xf x，则12xx，即2212xx.A：若1212xx，满足12xx，但(1)(2)(2)fff，反之也不成立，故选项 A 错误；B：若1245xx，满足21xx，则(4)(5)ff，反之，若 12f xf

5、x，不一定21xx，故选项B 错误；C：由120 xx可得12xx，但不一定有 12f xf x，所以充分性不成立，故选项 C 错误；D：由12xx可得 12f xf x，但由 12f xf x不一定能推出12xx，故 D 正确.故选：D.5.如图，圆2221xyM：，点 1,Pt为直线1lx：上一动点，过点 P 引圆 M 的两条切线，切点分别为,A B；若两条切线,PA PB 与 y 轴分别交于,S T 两点，则 ST 的最小值为（）A.12B.22C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用 M 到切线的距离等于1列方程，结合根与系数关系，求得 ST 的表达式，进而求得 ST 的最小值.【详

6、解】解：由题知，切线的斜率存在，设切线方程为1yk xt，即0kxykt.设圆心 M 到切线的距离为d，则2311ktdk，化简得228610ktkt，则24320t，设两条切线,PA PB 的斜率分别为,PAPBkk，则34PAPBkkt，218PAPBtkk.在切线1yk xt中，令0 x，解得 ykt，所以 PAPBPAPBSTktktkk222231844484PAPBPAPBttkkkkt ，即284tST，所以min22ST，此时0.t 故 ST 的最小值为22.故选：B.6.某旅游景区有如图所示 A 至 H 共 8 个停车位，现有 2 辆不同的白色车和 2 辆不同的黑色车，要求相

7、同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）A.288B.336C.576D.1680【答案】B【解析】【分析】根据题意,分 2 步进行分析,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:第一步:排白车,第一行选一个位置,则第二行有三个位置可选,由于车是不相同的,故白车的停法有4 3 224 种,第二步,排黑车,若白车选 AF,则黑车有,BE BG BH CE CH DE DG 共7 种选择,黑车是不相同的,故黑车的停法有 2714种，根据分步计数原理,共有 24 14336种,故选：B7.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过抛物线24yx焦点 F 的直线与抛物线相交于 A，B

8、两点，以 AF，BF为直径的圆分别与 x 轴交于异于 F 的 P，Q 两点，若2PFFQ，则线段 AB 的长为（）A.52B.72C.92D.132【答案】C【解析】【分析】设2,AFm BFm，通过几何分析可求得 tan2 2BEAFPAE，从而求出 AB 的方程，联立 AB 的方程和抛物线方程即可求弦长 AB.【详解】如图，过点,A B 分别作准线=1x 的垂线，垂足为,C D,过 B 作 AC 的垂线，垂足为 E，因为 AF，BF 为直径的圆分别与 x 轴交于异于 F 的 P，Q 两点，所以90APFBQF ,且AFPBFQ,所以QFB与 PFA相似，且相似比为:1:2FQPF，所以2A

9、FBF,设2,AFm BFm，所以 CEBDBFm，则 AEm，所以222 2BEABAEm，tan2 2BEAEBAE，即 tan2 2BEAFPAE,所以直线 AB 的斜率为 2 2，所以 AB 的方程为2 2(1)yx，联立22 2(1)4yxyx可得22520 xx，设1122(,),(,)A x yB xy，则有1252xx，所以1292ABxxp=+=，故选:C.8.若正实数 a，b 满足 ab，且lnln0ab，则下列不等式一定成立的是（）A.log0a b B.11abbaC.122aba bD.11baab【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及lnln0ab得到1ab 或

10、 01ba，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A 选项可以用对数函数单调性得到，B 选项可以用作差法，C 选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D 选项，需要构造函数进行求解.【详解】因为0ab，lnyx为单调递增函数，故lnlnab，由于lnln0ab，故lnln0ab，或lnln0ba，当lnln0ab时，1ab，此时log0a b；11110ababbaab，故11abba；1110ababab，122aba b；当lnln0ba时，01ba，此时log0a b，11110ababbaab，故11baab；1110ababab，122aba b；故 ABC 均错误；D 选项，11baa

11、b，两边取自然对数，1 ln1 lnbaab，因为不管1ab，还是 01ba，均有110ab，所以 lnln11abab，故只需证 lnln11abab即可，设()ln1xfxx=-（0 x 且1x），则 211ln1xxfxx，令 11lng xxx（0 x 且1x），则 22111xgxxxx，当0,1x 时，0gx，当1,x 时，0gx，所以 10g xg，所以 0fx在0 x 且1x 上恒成立，故()ln1xfxx=-（0 x 且1x）单调递减，因为 ab，所以lnln11abab，结论得证，D 正确故选：D二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项

12、中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.已知随机变量 X 服从正态分布0,1N，定义函数 f x 为 X 取值不超过 x 的概率，即 f xP Xx.若0 x，则下列说法正确的有（）A.1fxf x B.22fxf xC.f x 在0,上是增函数D.21P Xxf x【答案】ACD【解析】【分析】根据正态分布的性质和 f xP Xx逐个分析判断即可.【详解】对于 A，因为随机变量 X 服从正态分布0,1N，f xP Xx，所以()()1()fxP Xxf x，所以 A 正确，对于 B，因为2(2)fxP Xx，22()f xP Xx，所以 B

13、 错误，对于 C，因为随机变量 X 服从正态分布0,1N，f xP Xx，所以当0 x 时，随 x 的增大，P Xx的值在增大，所以 f x 在0,上是增函数，所以 C 正确，对于 D，因为 1fxf x，所以 1212 1()2()1P XxPxXxfxf xf x ，所以 D 正确，故选：ACD10.2022 年 9 月钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一 股 是 破 碎 的 涌 潮，两 者 相 遇 交 叉 就 会 形 成 像 鱼 鳞 一 样 的 涌 潮 若 波 状 涌 潮 的 图 像 近 似 函 数*sin,3f xAxAN的图像，而破碎

14、的涌潮的图像近似 fx（fx是函数 f x的导函数）的图像已知当2x 时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为4，则（）A.2 B.623f C.4fx是偶函数D.fx在区间,03上单调【答案】BC【解析】【分析】由 f x，求得 fx，由题意得()(2)2ff，由*N，3，解出,，由破碎的涌潮的波谷为-4，解得 A，得到 f x 和 fx解析式，逐个判断选项.【详 解】sinf xAx，则 cosfxAx，由 题 意 得()(2)2ff，即sincosAA，故 tan，因为*N，3，所以 tan3，所以,14，则选项 A 错误；因 为 破 碎 的 涌 潮 的 波 谷 为4，所 以()fx的

15、 最 小 值 为4，即4A，得4A，所 以 4sin4f xx，则32124sin4 sincoscossin46233434342222f，故选项 B正确；因为 4sin4f xx，所以 4cos4fxx，所以4cos4fxx为偶函数，则选项 C正确；4cos4fxx，由03x，得1244x，因为函数4cosyx在,012上单调递增，在0,4上单调递减，所以()fx在区间,03上不单调，则选项 D 错误.故选：BC11.在棱长为 a 的正方体1111ABCDABC D中，1B D 与平面1ACD 相交于点 E，P 为1ACD内一点，且1113PB DACDSS，设直线 PD 与11AC 所成

16、的角为，则下列结论正确的是（）A.1B DPEB.点 P 的轨迹是圆C.点 P 的轨迹是椭圆D.的取值范围是 ,3 2【答案】ABD【解析】【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得1B D 平面1ACD，分析可得点 E 即为1ACD的中心，结合1113PB DACDSS可得13PEa，从而可得点 P 的轨迹是以 E 为圆心，半径为 13 a 的圆，转化为 PD 是以底面半径为 13 a，高为33 a 的圆锥的母线，分析求得 的范围即可得出结果.【详解】如图所示，1B D 与平面1ACD 相交于点 E，连接 BD 交 AC 于点O，连接11B D；由题意可知1BB 平面 ABC

17、D，AC 平面 ABCD，则1BBAC；又因为 ACBD，11,BBBDBBB BD，平面11BDD B，所以 AC 平面11BDD B，又1B D 平面11BDD B，所以1ACB D；同理可证11ADB D，又1ADACA，1,AD AC 平面1ACD，所以1B D 平面1ACD；又因为111111ACADCDABB DB C，由正三棱锥性质可得点 E 即为1ACD的中心，连接1OD；因为O 为 AC 的中点，1OD 交1B D 于点 E，连接 PE，由1B D 平面1ACD，PE 平面1ACD，则1B DPE，所以选项 A 正确；即 PE 为1PB D的高，设 PEd，由正方体棱长为 a

18、 可知，13,2B Da ACa，且1ACD的内切圆半径66rOEa；所以112113133,2222222PB DACDSPEad SB DaaaVV；又1113PB DACDSS，即可得13dar，所以点 P 的轨迹是以 E 为圆心，半径为 13 a 的圆，所以 B 正确，C 错误；由1B D 平面1ACD，1OD 平面1ACD，则11B DOD，所以2233DEODOEa，因此 PD 是以底面半径为 13 a，高为33 a 的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为，则33tan313aa，所以3；即直线 PD 与平面1ACD 所成的角为 3，又因为异面直线所成角的取值范围是0,

19、2，直线 AC 在平面1ACD 内，所以直线 PD 与 AC 所成的角的取值范围为 ,3 2,又因为11/AC AC，所以直线 PD 与11AC 所成的角的取值范围为 ,3 2，即,3 2；即 D 正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：（1）通过比较 PE 与1ACD的内切圆半径的大小，得出动点 P 的轨迹；（2）将直线PD 与11AC 所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角.12.已知数列 na满足1ee1nnaana，且11a，nS 是数列 na的前 n 项和，则下列结论正确的是（）A.0na B.1nnaa C.2021202320222aaaD.20232S【答案】ACD【解析】

20、【分析】对于选项 A，B 证明数列 na为单调递减数列即得解；对于选项 C，证明随着na 减小，从而1nnaa 增大，即得解；对于选项 D，证明112 nnaa，即得解.【详解】解：对于选项 A、B，因为11a，0na，所以11nnaaneea，设 e1exxg xx，g()eeeexxxxxxx当0 x 时，()0g x，()g x 单调递减，当0 x 时，()0g x，()g x 单调递增，所以()(0)0g xg，则 ee1xxx，所以ee1nnaana，当0na 时，1e1eennnaaana，1nnaa，当0na 时，1e1eennnaaana，1nnaa，因为11a，所以这种情况不

21、存在，则数列 na满足当0na 时，1nnaa，为单调递减数列，故 A 选项正确，B 选项错误；对于选项 C，1ln1lne nannnnaaaa 令,(0,1nxax，设()ln1ln,(0,e1xf xxx x则e111()10e1e1xxxfxxx，所以函数()f x 单调递减，所以随着na 减小，从而1nnaa 增大，所以2023202220222021aaaa，即2021202320222aaa，所以 C 选项正确，对于选项 D，由前面得101nnaa，下面证明112 nnaa，只需证明112e1ln11e111lne2e22nnnnaaaannnnnnnaaaaaaa，令e nab

22、，则1eb，所以1112221ln0lnbbbbbb，令1122()ln,(1,em bbbb b，则11()202m bbbb，m()m(1)0b成立，则112 nnaa所以2023122212202120211112222Saaaaaa2021112ln e 1ln e 122 所以 D 选项正确；故选：ACD.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数、不等式与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：（1）数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；（2）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（3）利用函数的方法研究数列中的相

23、关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.设平面向量 a，b的夹角为60，且2ab，则 a在b上的投影向量是_.【答案】12 b【解析】【分析】根据题意，求得cos601a，进而求得 a在b上的投影向量，得到答案.【详解】由题意知，平面向量 a，b的夹角为60，且2ab，则cos601a，所以则 a在b上的投影向量为112bbb.故答案为：12 b14.若直线 l：ykxb为曲线 exf x 与曲线 2elng xx的公切线（其中 e 为自然对数的底数，e2.71828），则实数 b=_.【答案】0 或2e#

24、2e或 0【解析】【分析】设切点坐标，求导，根据切线方程的求解，分别得到 f x，g x 的切线方程，由两条切线方程相同可联立方程即可求出切点横坐标，进而可求解.【详解】根据切线方程的求解，联立方程即可解得切点，进而可求b.设l 与 f x 的切点为11,xy，则由 exfx，有111:e1exxl yxx.同理，设l 与 g x 的切点为22,xy，由 2egxx，有2222e:eln1l yxxx.故1122212ee1eeln1,xxxxx，由式两边同时取对数得：12212lnln1=1xxxx，将代入中可得：121e01e xx，进而解得121,exx或122,1xx.则:el yx或

25、22ee.yx故0b 或2e.故答案为：0 或2e15.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为菱形，PD 底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，若3PD，3APDBAD，则三棱锥 PAOD的外接球的体积为_.【答案】36【解析】【分析】根据棱锥的性质，证明 PA 的中点就是三棱锥 PAOD的外接球球心，得出半径后可求体积【详解】取 PA 中点 M，DA 中点 E，连接,ME EO，则/ME PD，因为 PD 底面 ABCD，所以 ME 平面 ABCD，因为四边形 ABCD 是菱形，则 AOOD，所以 E 是AOD的外心，又 PD 底面 ABCD，AD 平面 ABCD，

26、所以 PDAD，所以 M 到,P A D O 四点距离相等，即为三棱锥 PAOD的外接球球心又3PD，3APD，所以36cos 3PA，所以3MAMP，所以三棱锥 PAOD的外接球体积为343363V 故答案为：36 16.已知双曲线222210 xyababE：的左、右焦点分别为13,0F，2 3,0F、两条渐近线的夹角正切值为 2 2，则双曲线 E 的标准方程为_；若直线:30l kxyk与双曲线 E 的右支交于,A B 两点，设1F AB的内心为 I，则1F AB与IAB的面积的比值的取值范围是_.【答案】.22163xy.2,6【解析】【分析】设双曲线 E 的一条渐近线byxa的倾斜角

27、为,0,2，进而结合题意得2tan2ba，进而结合2223,cbac即可求得双曲线方程，再根据三角形内切圆的性质得2F 为1F AB的内切圆与边AB 的切点，进而将问题转化为14 62IAF ABBSABS，最后联立方程，求解弦长 AB 的范围即可得答案.【详解】解：设双曲线 E 的一条渐近线byxa的倾斜角为,0,2，由0ab得10ba，20,2，所以，22tantan 22 21tan，解得2tan2 或 tan2 （舍）所以，22ba，即2ab，因为2223,cbac，所以223,6ba，即双曲线 E 的标准方程为22163xy；由:30l kxyk得:3l yk x，故直线l 过点2

28、3,0F，所以，如图，设1F AB的内切圆与11,AF BF AB 分别切于 D C E,点，则11,ADAEBCBEFCF D，1111,ADF DAFBCFCBF，由双曲线的定义得12122 6AFAFBFBF，所以1122AFBFAFBFADBCAEBE，即22AFBFAEBE，所以，点2,E F 重合，即2F 为1F AB的内切圆与边 AB 的切点，所以，2IF 为1F AB的内切圆半径，因为121112F ABSIFAFBFAB，212IABSIFAB所以121124 624 64 62IABF ABSBAAFBFABAFBFABABSABBABA，设1122,A x yB xy，联

29、立方程223163yk xxy得22221 2121860kxk xk，所以，42221444 1 21862410kkkk 且2120k，即22 k，22121222121860,02121kkxxx xkk，即2210k 所以22221212222132113 622142 62 666212121kkABkxxx xkkk，所以，14 622,6IBABF ASSAB故1F AB与IAB的面积的比值的取值范围是2,6.故答案为：22163xy；2,6.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合内切圆的性质得到2F 为1F AB的内切圆与边 AB 的切点，进而根据面积公式求解即可.四、解答

30、题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知6ac，3cossinsin1cosABAB.（1）求边 b的大小；（2）求 ABC的面积的最大值.【答案】（1）2b；（2）2 2.【解析】【分析】（1）先利用三角恒等变换化简得3sinsinsinBAC，再利用正弦定理化简即得解；（2）先利用基本不等式求出9ac，再利用余弦定理求出cos B 得到sin B，即得解.【小问 1 详解】3 cossinsin1 cosABAB，则3sinsinsincoscossinsinsin()BAABABAA

31、B，A+B+C=，3sinsinsinBAC，由正弦定理可得36bac，2b.【小问 2 详解】6ac，62acac，可得9ac（当且仅当3ac时等号成立），2222()2416cos22acbacacacBacacac，可得22164sin1 cos1216acBBacacac，114sin2162 2162 2 9 162 222SacBacacacac（当且仅当3ac时等号成立）.ABC的面积的最大值为 2 2.18.已知正项数列 na的前 n 项和为nS，满足12nnSnSn，11a.（1）求数列 na的通项公式；（2）数列 nb为等比数列，数列 nc满足112nnnnnacaab，若

32、22b，101 2 3 4 52b b b b b，求证：121nccc.【答案】（1）nan，nN（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先由累乘法求得nS，再根据na 与nS 的关系即可求得数列 na的通项公式；（2）先由条件求得数列 nb的通项公式，即可得到nc，然后根据裂项相消法即可证明.【小问 1 详解】因为12nnSnSn，则3124123213451,12321nnnnSSSSSnnSSSSnSn，累乘可得，113451123212nn nSnnSnn，2n 所以1,22nn nSn，又111Sa 符合式子，所以1,2nn nSn N，当2n 时，2211122nnnnnS，所以

33、两式相减可得1nnnaSSn，2n，又11a 符合上式，所以nan，nN【小问 2 详解】因为数列 nb为等比数列，22b，且101 2 3 4 52b b b b b，设数列 nb的公比为q，则51022b q，即51022q，所以2q=，则12nnb所以12111 221 2nnnnncn nnn，即121111111114412123221 2nnncccnn1111 2nn 19.在直角梯形11AA B B 中，11/A BAB，1AAAB，11126ABAAA B，直角梯形11AA B B 绕直角边1AA 旋转一周得到如下图的圆台1A A，已知点,P Q 分别在线段1CC，BC 上，

34、二面角111BAAC的大小为.（1）若120=，123CPCC，AQAB，证明：/PQ平面11AA B B；（2）若90 ，点 P 为1CC 上的动点，点Q 为 BC 的中点，求 PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，并求此时二面角QAPC的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值为52，此时二面角QAPC的余弦值为 2 8989【解析】【分析】（1）由已知可建立以 A 为原点，1,AB AQ AA 所在直线分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，即可证明线面平行；（2）根据已知可建立以 A 为原点，1,AB AC

35、 AA 所在直线分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，设10,1CPCC，根据线面关系求得 PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值，即得 的值，利用空间向量坐标运算即可求得此时二面角QAPC的余弦值.【小问 1 详解】因为1AAAB，所以1AAAC，所以111120BACB AC ，又,ABACA AB AC平面ABC，所以1AA 平面 ABC，又 AQ 平面 ABC，所以1AAAQ，又AQAB，如图，以 A 为原点，1,AB AQ AA 所在直线分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，由于11126ABAAA B，所以2 3AQ，则 13 3 30,2 3,0,3,3 3,0,

36、622QCC，又123CPCC，所以2 33 33,3 3,61,3,43 22PPPxyz，则 2,2 3,4P，所以2,0,4PQ ，又 y轴平面11AA B B，故0,1,0n 可为平面11AA B B 的一个法向量，又0000PQ n，且 PQ 平面11AA B B，所以/PQ平面11AA B B；【小问 2 详解】因为1AAAB，所以1AAAC，所以11190BACB AC ，如图，以 A 为原点，1,AB AC AA所在直线分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 16,0,0,0,6,0,0,3,6,3,3,0BCCQ，设10,1CPCC，则0,3,60,3,6CP，则 3,

37、3,00,3,63,33,6PQCQCP，又 x轴平面11AAC C，所以1,0,0m 可作为平面11AAC C 的一个法向量，设 PQ 与平面11AAC C 所成角为，且0,2，则23sincos,451818PQ mPQ mPQm ，又函数siny与tany均在0,2上单调递增，所以当15 时，23sin451818有最大值为53，此时 tan 也取到最大值，又22cos1 sin3，则max5tan2；设此时平面 APQ 的法向量为,px y z，又12627 63,3,0,3,3,03,0,5555AQAPAQPQ所以3300276200559xyxyAQ pyzyzAP p ，令9z

38、，则2,2,9p，1,0,0m 是平面 APC 的一个法向量，所以22 89cos,89189m pm pmp ，由图可知二面角QAPC为锐角，即二面角QAPC的余弦值为 2 8989.所以 PQ 与平面11AAC C 所成最大角的正切值为52，此时二面角QAPC的余弦值为 2 8989.20.某学校为了弘扬中华传统文化，组织开展中华传统文化活动周，活动周期间举办中华传统文化知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛，每班通过中华传统文化知识竞答活动，择优选拔 5 人代表班级参加年级比赛.年级比赛分为预赛与决赛二阶段进行，预赛阶段的赛制为：将两组中华传统文化的们答题放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有 5 个

39、选择题和 3 个填空题，乙箱中有 4 个选择题和 3 个填空题，比赛中要求每个班级代表队在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个班级代表队先抽取一题作答，答完后试题不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个试题放回原纸箱中.（1）若 1 班代表队从甲箱中抽取了 2 个试题，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着 2 班代表队答题，2 班代表队抽取第一题时，从乙箱中抽取试题.已知 2 班代表队从乙箱中取出的是选择题，求 1 班代表队从甲箱中取出的是 2 个选择题的概率；（2）经过预赛，成绩最好的 6 班代表队和 18 班代表队进入决赛，决赛采用成语接龙的形式进行，采用五局三胜制，即

40、两班代表队中先胜三局的代表队赢得这场比赛，比赛结束.已知第一局比赛 6 班代表队获胜的概率为 35，18 班代表队胜的概率为 25，且每一局的胜者在接下来一局获胜的概率为 25，每局必分胜负.记比赛结束时比赛局数为随机变量 X，求随机变量 X 的数学期望E X.【答案】（1）2049（2）537125E X.【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式、全概率公式可得 2 班代表队从乙箱中取出 1 个选择题的概率，然后根据条件概率公式计算即可；（2）由题意知：X 的可能取值为 3，4，5，分别计算对应的概率，利用数学期望的公式计算E X.【小问 1 详解】设事件 A 为“2 班代表队从乙箱中取出

41、 1 个选择题”，事件1B 为“1 班代表队从甲箱中取出 2 个都是选择题”，事件2B 为“1 班代表队从甲箱中取出 1 个选择题 1 个填空题”，事件3B 为“I 班代表队从甲箱中取出 2 个题都是填空题”则1B、2B、3B 彼此互斥，且123=BBB，因为25128C5()C14P B，1153822C C15()C28P B，22338C3()C28P B所以16(|)9P A B，25(|)9P A B，34(|)9P A B，1122335615534714928928912P AP BP A BP BP A BP BP A B，所求概率即是 A 发生的条件下1B 发生的概率：111

42、156()()(|)20149(|)7()()4912P B AP B P A BP BAP AP A.【小问 2 详解】由题意知：X 的可能取值为 3、4、5，两班代表队打完三局恰好结束比赛的基本事件有三局 6 班胜，三局 18 班胜，而第一局比赛 6 班获胜的概率为 35，则第一局比赛 18 班获胜的概率为 25，又胜者在接下来一局获胜的概率为 25，所以3222221284(3)55555512512525P X，当4X 时，前三局两局 6 班胜，一局 18 班胜，最后 6 班胜，两局 18 班胜，一局 6 班胜，最后 18 班胜，最后 6 班胜概率为1232233323233132+5

43、55555555555625P，最后 18 班胜概率为2332223322233108+555555555555625P，所以13210848(4)625625125P X，则有57(5)1(4)(3)=125P XP XP X，综上，44857537()34525125125125E X .21.已知双曲线 C：2213xy.（1）若点 P 在曲线 C 上，点 A，B 分别在双曲线 C 的两渐近线 1l、2l 上，且点 A 在第一象限，点 B 在第四象限，若 APPB，1,23，求 AOB面积的最大值；（2）设双曲线 C 的左、右焦点分别为1F、2F，过左焦点1F 作直线 l 交双曲线的左支

44、于 G、Q 两点，求2GQF周长的取值范围.【答案】（1）4 33（2）16 3,3【解析】【分析】（1）易得两渐近线 1233:,:33lyx lyx，设112210033,0,33A xxB xxxP xy，根据 APPB，将 P 点的坐标用12,x x 表示，再根据点 P 在曲线 C 上，可得12,x x 的关系，再根据1sin2AOBSOA OBAOB化简整理即可得解；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，设3344,Q x yG xy，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2yk x，根据线 l 交双曲线的左支于 G、Q 两点求出 k 的范围，再根据弦长公式求出 QG，再根据

45、2GQF周长为2242QFGFQGaQG，从而可得出结论.【小问 1 详解】双曲线 C：2213xy的两渐近线 1233:,:33lyx lyx，设112210033,0,33A xxB xxxP xy，由 APPB，得0101202033,33xx yxxxxy，所以012001203333xxxxyxxy，所以1201201331xxxxxy，因为点 P 在曲线 C 上，所以212212311331xxxx，整理得212314x x，22221112221212,3333OAxxx OBxxx，因为直线1233,33llkk，所以直线 1l 的倾斜角为 6，所以3AOB，212113331

46、sin22344AOBSOA OBAOBx x，令 11,23fxxxx，则 221111xxfxxx，当 113x时，0fx，当12x时，()0fx，所以函数 f x 在 1,13上递减，在 1,23上递增，又 1105,2332ff，所以 max11033f xf，所以当13 时，max4 33AOBS；【小问 2 详解】12,0F，设3344,Q x yG xy，若直线l 的斜率不存在时，则:2l x ，在2213xy中，令2x ，得33y ，则2 33QG，2GQF周长为2216 3423QFGFQGaQG，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2yk x，联立22213yk xx

47、y，消 y 得22221 3121230kxk xk，因为直线 l 交双曲线的左支于 G、Q 两点，所以22222234223421 30124 1 312301201 312301 3kkkkkxxkkx xk ，得213k，2GQF周长为2242QFGFQGaQG222222121234 32 141 31 3kkkkk 22221214 32 11 3kkk2214 34 31 3kk2214 34 3 31kk221431334 34 331kk216 316 313331k，因为213k，所以2310k ，所以216 316 3116 333313k，所以2GQF周长的范围为 16

48、3,3，综上所述，2GQF周长的取值范围为 16 3,3.【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：1、几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；2、函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.22.已知函数 lnf xxnx.（1）若1n，求函数 12g xf xk xk的零点个数，并说明理由；（2）当0n 时，若方程 f xb有两个实根12

49、,x x，且12xx，求证：213e2e 123bxxb.【答案】（1）3，理由见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，构造函数2()ln1kh xxkx，利用导数研究单调性和图象的大致走势，结合零点存在定理和单调性可得答案；（2）先找出曲线()yf x的两条切线，利用切线与 yb的交点证明213e232xbx，再利用割线与yb的交点证明21e 1xxb.【小问 1 详解】当1n 时，1 lnf xxx，21 ln11ln1kg xxxk xxxkx，显然1x 是()g x 的一个零点，令2()ln1kh xxkx，则22222112()11xk xkh xxxx x0 x；设

50、2221xxk x 0 x，因为2k，其对应方程的判别式420k k，所以 0 x有两个根，设为12,x x，则1212220,1xxkx x；不妨设1201xx，令()0h x，则120,xxx；令()0h x，则12,xx x；所以()h x 在区间 120,xx 单调递增，在区间12,x x单调递减，又1201xx，所以12()(1)0()h xhh x；又当 x 无限趋近于正无穷大时，()h x 也无限趋近于正无穷大；当 x 无限趋近于 0 时，()h x 无限趋近于负无穷大；根据零点存在定理和函数单调性、连续性可知()h x 在 120,xx各有一个零点，所以()g x 总共有 3个

51、零点.【小问 2 详解】证明：先证右半部分不等式：213e232xbx；因为()lnf xxx，()ln1fxx，所以333(1)0,(e)3e,(1)1,(e)2ffff ；可求曲线()yf x在3xe和1x 处的切线分别为31:2elyx 和 2:1lyx；设直线 yb与直线 1l，函数()f x 的图象和直线 2l 交点的横坐标分别为1122,xx xx则312e,1,2bxxb 则332121ee23(1)()22bbxxxxb；因此213e232xbx.再证左半部分不等式：21e 1xxb.设取曲线上两点11(,),(1,0)eeAB，用割线:OA yx ，1:(1)e 1AB yx来限制21xx，设直线 yb与直线1(1)e 1,yx yx的交点的横坐标分别为34,x x，则1342xxxx，且3xb，4(e 1)1,xb所以2143(e 1)1()e 1xxxxbbb .综上可得213e2e 123bxxb 成立.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的方法常有：（1）最值法：移项构造函数，通过求解最值来证明；（2）放缩法：通过构造切线或割线，利用切线放缩或者割线放缩来证明.