2023届高三数学 寒假二轮微专题45讲 35.docx

1、极点极线结构及非对称韦达定理1.基础知识:极点极线椭圆极点和极线的定义与作图：已知椭圆（ab0），则称点和直线为椭圆的一对极点和极线.极点和极线是成对出现的.从定义我们共同思考和讨论几个问题并写下你的思考:（1）若点在椭圆上，则其对应的极线是什么?（2）椭圆的两个焦点对应的极线分别是什么?（3）过椭圆外（上、内）任意一点，如何作出相应的极线？如图，若点在曲线外，过点作两条割线依次交曲线于且与交于，延长交于点,则直线即为点所对应的极线.假设椭圆方程为（1）焦点与准线：点与直线；（2）点与直线2.非对称韦达定理在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定

2、理来快速处理、之类的“对称结构”，但有时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求、之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了.特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，可采用反过来应用韦达定理，会有较好的作用.3.典例（2020一卷）已知A、B分别为椭圆E：（a1）的左、右顶点，G为E的上顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.解析：由椭圆方程可得：， ，椭圆方程为：（2）证明：设，则直线的方程为：，即：联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得：，解得：或将代入直线可得：所以点的坐标为.同理可得：点的坐标为当时，直线的方程为：，整理可得：整理得：所以直线过定点当时，直线：，直线过点故直线CD过定点例2已知椭圆：，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，证明，斜率之积为定值解析：（1）由题意得，故椭圆为，又点在上，所以，得，故椭圆的方程即为；（2）由已知直线过，设的方程为，联立两个方程得，消去得：，得，设，则，（*），因为，故，将（*）代入上式，可得：，直线与斜率之积为定值