2023年中考数学综合压轴题训练——二次函数图象上点的坐标特征.docx

1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数图象上点的坐标特征一、综合题1小明的爸爸想在自家院子里用长为12米的篱笆围成一个矩形小花园，爸爸问小明，矩形的相邻两边长分别设计为多少米时小花园面积最大（不考虑接缝）？小明利用学习的函数及其图象知识探究如下，请将他的探究过程补充完整.（1）（建立函数模型）由矩形的周长为12，设它的一边长为 ，面积为 ，则 与 之间的函数关系式为 ，其中自变量 的取值范围是 ；（2）（画出函数图象） 与 的几组对应值列表如下：0.511.522.533.544.555.52.7556.7588.7598.75852.75其中 ；根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中已

2、描出了以部分对应值为坐标的点，请你画出该函数的大致图象；（3）（观察图象解决问题）写出该函数的一条性质： ；当 时，矩形小花园的面积最大.2如图，抛物线yax24ax与x轴交于O，A两点，点P（0，6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C（点C在点B右侧），点C关于y轴的对称点为D.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标.（2）若BC2BD，求抛物线的解析式.3如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径、爆炸时的高度均相同.皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的函数图象如图2所示.（1）求皮皮发射出的第一发花弹

3、的飞行高度h（米）随飞行时间t（秒）的函数表达式.（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米.皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求？4如图，已知抛物线yx2+bx+c经过点A(1，0)，B(3，0).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到一条新的抛物线，设新抛物线的顶点为C，点D(0，m)在y轴上，以CD为对角线的正方形CEDF的顶点E、F恰好都在新抛物线上，试求m的值.5阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且

4、平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点的特征线有：，如图所示在平面直角坐标系中有正方形，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线：经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）写出点任意两条特征线；（2）若点D有一条特征线是，则求此抛物线的解析式6如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，且 ，对称轴为直线 . （1）求该抛物线的函数达式；（2）直线 过点 且在第一象限与抛物线交于点 .当 时，求点 的坐标；（3）点 在抛物线上与点 关于对称轴对称，点 是抛物线上一动点，令 ，当 ， 时，求 面积的最大值（可含 表示）.7已知抛物线ya（xh）2+k的顶点A在x

5、轴上（1）若点A是抛物线最低点，且落在x轴正半轴上，直接写出a，h，k的取值范围；（2）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，若x1x20，则（x2x1）（y2y1）0；若x1x20，则（x2x1）（y2y1）0，且当y1的绝对值为4时，APQ为等腰直角三角形（其中PAQ90）求抛物线的解析式；设PQ中点为N，若PQ6，求点N纵坐标的最小值8若一次函数 与反比例函数 同时经过点 则称二次函数 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P为共享点 （1）判断 与 是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m，n，t满足条件 ，并且一次函

6、数 与反比例函数 存在“共享函数” ，求m的值 （3）若一次函数 和反比例函数 在自变量x的值满足的 的情况下其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式 9如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为.（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为，过点P作轴，垂足为M.PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且，求点Q的坐标.10在平面直角坐标系 中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”

7、.如图，抛物线 的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C.抛物线 与 是“共根抛物线”，其顶点为P. （1）若抛物线 经过点 ，求 对应的函数表达式； （2）当 的值最大时，求点P的坐标； （3）设点Q是抛物线 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 与 相似，求其“共根抛物线” 的顶点P的坐标. 11如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，2）是直线AC上方的抛物线上一点，连接EA、EB、EC，EB与y轴交于D.点F是x轴上一动点，连接EF，当

8、以A、E、F为顶点的三角形与BOD相似时，求出线段EF的长；点G为y轴左侧抛物线上一点，过点G作直线CE的垂线，垂足为H，若GCHEBA，请直接写出点H的坐标.12已知点P为抛物线yx2上一动点，以P为顶点，且经过原点O的抛物线，记作“yp”，设其与x轴另一交点为A，点P的横坐标为m（1）当OPA为直角三角形时，m= ；当OPA为等边三角形时，求此时“yp”的解析式；（2）若P点的横坐标分别为1，2，3，n(n为正整数)时，抛物线“yp”分别记作“ ”、“ ”，“ ”，设其与x轴另外一交点分别为A1，A2，A3，An，过P1，P2，P3，Pn作x轴的垂线，垂足分别为H1，H2，H3，Hn1)P

9、n的坐标为 ；OAn= ；(用含n的代数式来表示)当PnHnOAn=16时，求n的值 2)是否存在这样的An，使得OP4An=90，若存在，求n的值；若不存在，请说明理由 13阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数ya1x2+b1x+c1（a10，a1、b1、c1是常数）与ya2x2+b2x+c2（a20，a2、b2、c2是常数）满足a1+a20，b1b2，c1+c20，则这两个函数互为“旋转函数”.求函数y2x23x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y2x23x+1可知，a12，b13，c11，根据a1+a20，b1b2，c1+c20，求出a

10、2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数.请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数yx24x+3的旋转函数. （2）若函数y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为旋转函数，求（m+n）2020的值. （3）已知函数y2（x1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y2（x1）（x+3）互为“旋转函数”. 14已知二次函数 与 轴交于 ， 两点（其中 在 的左侧），且 . （1）抛物线的对称轴是 .（2）求点 和点 坐标. （3）点 坐标为 ， .若抛物线 与线段 恰有一个交点，

11、求 的取值 15如图，将抛物线 平移到顶点恰好落在直线 上，并设此时抛物线顶点的横坐标为 . （1）求抛物线的解析式（用含 、 的代数式表示）； （2）如图， 与抛物线交于 、 、 三点， ， 轴， ， . 求 的面积（用含 的代数式表示）；若 的面积为1，当 时， 的最大值为-3，求 的值.16如图，已知抛物线 过点 ，过定点 的直线 : 与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作X轴的垂线，垂足为C. （1）求抛物线的解析式； （2）设点 在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点i，判断点 是否在抛物线 上，并证明你的判断； （3）若 ，设AB的中点为M

12、，抛物线上是否存在点P，使得 周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由； （4）若 ，在抛物线上是否存在点 ，使得 的面积为 ，若存在求出点 的坐标，若不存在说明理由. 17如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D其中点B的坐标是 （1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当时x的取值范围（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式18已知，二次函数yax22ax1(a0)（1）当a为何值时，该函数图象的顶点在x轴上，并写出顶点的坐标；（2）已知点( )，(1，0)，(2，3)，该函数图象

13、过其中的两点，求此函数的解析式； （3）已知a0，若点A（b，m)，B(b3，n)是该函数图象上的两点，且mn，求b的取值范围.答案解析部分1【答案】（1）；0x60（2）解：6.75；函数图象如图所示，（3）当0x30时，y随x的增大而增大；32【答案】（1）解：yax24ax， 抛物线的对称轴为：直线 ，令y=0 ，代入yax24ax，可得：0ax24ax，解得：x1=0，x2=4，点A的坐标（4，0）；（2）解：点P（0，6）为y轴上一点，直线PC平行于x轴，交抛物线于点B，C，点C关于y轴的对称点为D， PD=PC，BD=PD-PB，BC=PC+PB，BC2BD，PC+PB=2（PD-

14、PB），即：PC+PB=2（PC-PB），3PB=PC，令y=-6，代入yax24ax，-6ax24ax，即： ax24ax+6=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），x2=-3 x1，x1+ x2= ，x1=-2，x2=6，x1x2= ，解得：a= ，y x2+2x，3【答案】（1）解：设解析式为：ha（t3）2+19.8， 把点（0，1.8）代入得：1.8a（03）2+19.8，a2，h2（t3）2+19.8，故相应的函数解析式为：h2（t3）2+19.8；（2）解：当第一发花弹发射3秒后，第二发花弹发射1秒， 把t1代入h2（t3）2+19.8得，h2（13）2+19.811.8米；

15、（3）解：这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路径，爆炸时的高度均相同， 皮皮小朋友发射出的第一发花弹的函数解析式为：h2（t3）2+19.8，第二发花弹的函数解析式为：h2（t5）2+19.8，皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发花弹与它处于同一高度，则令hh得2（t3）2+19.82（t5）2+19.8t4秒，此时hh17.8米16米，答：花弹的爆炸高度符合安全要求.4【答案】（1）解：抛物线yx2+bx+c经过点A(1，0)，B(3，0) 解得， 抛物线的解析式为 ；（2）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新的抛物线解析式为 如图，顶点C（0，0），且正方形CE

16、DF的顶点E，F在 的图象上，D(0，m)解得， （舍去）5【答案】（1）解：点，点任意两条“特征线”为：，；（2）解：点D有一条“特征线”是，抛物线解析式为，四边形是正方形，且过D点的垂直于x轴的直线为正方形的对称轴，将代入解得：，；，抛物线解析式为6【答案】（1）解：抛物线过 ，对称轴为 ， ，解得 抛物线表达式为 .（2）解：过点 作 轴于点 ， ， ，设点 的横坐标为 ，则纵坐标为 ， ，代入 ，得： .解得 （舍去）， ，点 的坐标是（6，7）.（3）解：由（2）得 的坐标是（6，7） 对称轴 ，点 的坐标是（2，7）， ， 与 轴平行，点 在 轴下方，设 以 为底边的高为 则 ，当

17、 最大值时， 的面积最大， ， ，当 时， ，此时 在 上 随 的增大而减小. ， ， 的最大面积为： .当 时，此时 的对称轴 含于 内 ， ， 的最大面积为： .综上所述：当 时， 的最大面积为 ，当 时， 的最大面积为64.7【答案】（1）解：抛物线有最低点， a0， 抛物线的顶点坐标为（h，k）在x轴正半轴上， h0，k0；（2）解：x1x20，则（x2x1）（y2y1）0， 当x0时，y随x的增大而减小，y2y1，a0，x1x20，则（x2x1）（y2y1）0，当x0时，y随x的增大而增大，y2y1，对称轴x0，h0， 顶点A在x轴上，k0， yax2，y1的绝对值为4，y14，AP

18、Q为等腰直角三角形（其中PAQ90）， PAQA， PQx轴，P（4，4）， a ，y x2；当PQ6时，N点横坐标为3，此时N点纵坐标为 ，PQ6，N点纵坐标最小值为 8【答案】（1）解：联立y=x-2与 并整理得： x2-2x-3=0，解得：x=3或-1， 故点P的坐标为：（3，1）或（-1，-3）；（2）解：由题意得： ，解得： ， tn8m， ，解得：6n24；9n+327，故1m3，m是整数，故m=2；（3）解：由y=x+m和反比例函数 得：“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m， 函数的对称轴为：x=- m；当m+6 m时，即m-4，x=m+6，函数取得最小值，即（m+6）2+m

19、（m+6）-m=3，解得m=- 或-3（舍去）；当m mm+6，即-4m0，函数在x=- m处取得最小值，即（- m）2- m2-m=3，无解；当m0时，函数在x=m处，取得最小值，即m2+m2-m=3，解得：m=4（舍去-4），综上，m= 或- （舍去），故“共享函数”的解析式为y=x2+mx-m=x2- x+ 或x2+ x- 9【答案】（1），直线l的解析式为：（2）解：如图，设，则点N是线段PM的三等分点，或或，解得：或；，m=0或3，当m=0时，则；当m=3时，则；（3）解：令x=0，则，OE=1，如图，满足题意的Q点在图中和的位置，此时，作于H，于G，OA=2，；，点Q的坐标为或.1

20、0【答案】（1）解：当 时， ，解得 ， . 、 、 .由题意得，设 对应的函数表达式为 ，又 经过点 ， ， . 对应的函数表达式为 .（2）解： 、 与 轴交点均为 、 ， 、 的对称轴都是直线 .点 在直线 上. .如图1，当A、C、P三点共线时， 的值最大，此时点P为直线 与直线 的交点.由 、 可求得，直线 对应的函数表达式为 .点 .（3）解： 由题意可得， ， ， ，因为在 中， ，故 .由 ，得顶点 .因为 的顶点P在直线 上，点Q在 上， 不可能是直角.第一种情况：当 时，如图2，当 时，则得 .设 ，则 ， .由 得 ，解得 . 时，点Q与点P重合，不符合题意，舍去，此时

21、.如图3，当 时，则得 .设 ，则 . .由 得 ，解得 （舍），此时 .第二种情况：当 时，如图4，当 时，则得 .过Q作 交对称轴于点M， . .由图2可知 ， . ，又 ，代入得 .点 ，点 .如图5，当 时，则 .过Q作 交对称轴于点M， ，则 .由图3可知 ， ， ， ， .又 ，代入得 .点 ，点 ，综上所述， 或 或 或 .11【答案】（1）解：将A（3，0）、B（2，0）、C（0，3）代入yax2+bx+c得， ，解得： ，抛物线的解析式为：y x+3；（2）将E（m，2）代入y x+3中， 得 m+30，解得m2或1（舍去），E（2，2），A（3，0）、B（2，0），AB5，

22、AE ，BE2 ，AB2AE2+BE2，AEBDOB90，EAB+EBAODB+EBA90，EABODB，（）当FEABOD时，AEFDOB90，F与B点重合，EFBE2 ，（）当EFABOD时，AFEDOB90，E（2，2），EF2，故：EF的长为2 或2；点 的坐标为 ， 或 ， ，（）过点H作HNCO于点N，过点G作GMHN于点M，GMNCNH90，又GHC90，CHN+GHMMGH+GHM90，CHNMGH，HNCO，COP90，HNAB，CHNAPEMGH，E（2，2），C（0，3），直线CE的解析式为y x+3，P（6，0），EPEB2 ，APEEBA，GCHEBA，GCHAPEE

23、BACHNMGH，GCPB，又C（0，3），G点的纵坐标为3，代入y x+3中，得：x1或0（舍去），MN1，AEB90，AE ，BE2 ，tanEBAtanCHNtanMGH ，设CNMGm，则HN2m，MH m，MH+HN2m+ m1，解得，m ，H点的横坐标为 ，代入y x+3，得：y ，点H的坐标为（ ， ）.（）过点H作MNPB，过点C作CNMH于点N，过点G作GMHM于点M，CNPB，NCHAPE，由（）知：APEEBA，则NCHEBA，GMNCNH90，又GHC90，HCN+NHCMHG+NHC90，HCNMHG，GCHEBA，GCHEBAHCNMHG，由（）知： ，则 ， ，又

24、 ， ， ， ， ，由（）知： ，则 ，设 ，则 ， ， ， ， ， ， ，又 ， ，代入 中，得， 或0（舍去）， ， 点的横坐标为 ，代入 ，得， . 点 的坐标为 .综合以上可得点 的坐标为 ， 或 .12【答案】（1）解： 2 当OPA为等边三角形时，如图，过P作 于 ， P(m， m)，将点P的坐标代入抛物线表达式 ,解得：m=2 ，故点P的坐标为(2 ，6)，故“yp”的解析式为：y=a(x2 )2+6，点A的坐标为(2m，0)，即(4 ，0)，将点A的坐标代入y=a(x2 )2+6并解得：a ，故“yp”的解析式为：y (x2 )2+6 x2+2 x；（2）(n， n2)；2n；

25、PnHnOAn n22n=16， 解得：n=8或4(舍去4)， n=8；由题意得： 2)存在，理由： 如下图所示，由1)知，点P4的坐标为(4，8)，An=2n， 即OH4=4，P4H4=8，H4An=2n4， OP4An=90，OP4H4+H4P4An=90 H4P4An+P4AnH4=90， OP4H4=P4AnH4， RtOP4H4RtP4AnH4， P4H42=OH4H4An， 即82=4(2n4)， 解得：n=10 当 时，使得 =9013【答案】（1）由yx24x+3函数可知，a11，b14，c13， a1+a20，b1b2，c1+c20，a21，b24，c23，函数yx24x+3

26、的“旋转函数”为yx24x3；（2）y5x2+（m1）x+n与y5x2nx3互为“旋转函数”， ，解得： ，（m+n）2020（2+3）20201.（3）证明：当x0时，y2（x1）（x+3）6， 点C的坐标为（0，6）.当y0时，2（x1）（x+3）0，解得：x11，x23，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0）.点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，A1（1，0），B1（3，0），C1（0，6）.设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为ya（x+1）（x3），将C1（0，6）代入ya（x+1）（x3），得：63a，解得：a2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y2

27、（x+1）（x3），即y2x2+4x+6.y2（x1）（x+3）2x2+4x6，a12，b14，c16，a22，b24，c26，a1+a22+（2）0，b1b24，c1+c26+（6）0，经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y2（x1）（x+3）互为“旋转函数”.14【答案】（1）x=-2（2）解： ，抛物线与x轴的交点为A，B， A点坐标为 ， 点坐标为 ；（3）解：把 代入 ，得： ， ，抛物线顶点坐标为（-2，-a）点C坐标为(2.5，4)，D(0，4)直线CD的解析式为 当 时，线段CD恰好经过抛物线的顶点， ，解得： ，当 ， ，得： ，当 时，即 ，解得： 综上： 或 或 .15

28、【答案】（1）解：因为抛物线的顶点位于直线 上，且横坐标为 ， 所以抛物线的顶点坐标为 .因此抛物线的解析式为 （2）解：如图所示. 因为 轴，且 ，所以点 的坐标为 .设 ，则 ，所以 点的坐标为 . 点的坐标为 . 又点 在抛物线 上，所以 ，整理，得 .解得 (舍去)， .所以 . 若 的面积为1，则 ，解得 .所以抛物线的解析式为 .分三种情况考虑： . 当 ，即 时，有 ，整理，得 ，此方程没有实数根； . 当 ，即 时，有 ，解得 ； . 当 ，即 时，有 ，整理，得 ，解得 (舍去)， .综上所述， 的值为0或 .16【答案】（1）解：抛物线 过点 ， ，解得： ，抛物线的解析式

29、为： ；（2）解：在，理由如下： 设I的坐标为 ，过I作IHy轴于点H，如图：则 ， ，点I在线段DF的垂直平分线上，ID=IF=y，在Rt 中， ， ，化简得： ，点I 在抛物线 上；（3）解：存在，理由如下： 若 ，设 的中点为 ， ，消去y得： ，点M的横坐标为： ，纵坐标为： ，点M的坐标为： ，由(2)可知：抛物线上的点到点F的距离等于它到 轴的距离，设抛物线上存在点P，使得 周长最小，过点P作PN 轴于点N，如图： ，由于 是定值， ，当 三点共线，即 轴于点N时， 周长最小，此时点 的坐标为： ， ， ， 周长最小值为： ；（4）解：存在，理由如下： 过点Q作QR 轴于点D，交A

30、B于点R，如图，将 代入 得： ，直线 的解析式为： ，解得： ， ，点 的坐标为： ， ， 的面积为 ， ， ，设点 的坐标为： ，则点 的坐标为： ， ，当 时，解得： ，此时点 的坐标为： ，当 时，即 ， ，解得： 或 ，此时点 的坐标为： 或 ，综上：满足条件的点 为： 或 或 .17【答案】（1）解：把代入，得，解得，对称轴为直线，B，C关于直线对称，当时，或（2）解：当时， ，点D平移到点A，抛物线向右平移4个单位，向上平移8个单位，可得抛物线的解析式为18【答案】（1）解：函数顶点在x轴上 即 解得： （舍去）当 时， a1时，顶点在x轴上，坐标为（-1，0）（2）解：对称轴为： 如果函数过点（1，0），其对称点为（-3，0），与( )冲突函数图象必过（2，-3）解得： 函数的解析式为： （3）解：当a0时，二次函数开口向上，距离对称轴越远的点，纵坐标值越大 mn，对称轴为： ，即 当 时， 成立当 时， 解得： 当 时， 不成立b的取值范围为： .