2023年高考数学(理)一轮复习教学案第10章10.docx

1、10.3二项式定理【考试要求】能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【知识梳理】1二项式定理二项式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)二项展开式的通项Tk1Cankbk，它表示展开式的第k1项二项式系数C(k0,1，n)2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值(3)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.【常用结论】1两个常用公式(1)CCCC2n.(2)CC

2、CCCC2n1.2二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)Cankbk是(ab)n的展开式的第k项()(2)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(4)(ab)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同()【教材题改编】1(x1)10的展开式的第6项的系数是()AC BCCC DC答案D解析T6Cx5(1)5，所以第6项的系数是C.2已知(ab)n

3、的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值为()A7 B7或8或9C9 D7或8答案B解析(ab)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，n7或n8或n9.3在(12x)10的展开式中，各项系数的和是_答案1解析令x1可得各项系数的和为(12)101.题型一通项公式的应用命题点1形如(ab)n(nN*)的展开式的特定项例1(1)(2022烟台模拟)(12)8展开式中x项的系数为()A28 B28C112 D112答案C解析(12)8展开式的通项公式为Tk1C(2)k.要求x项的系数，只需1，解得k2，所以x项系数为(2)2C4112.(2)(2022德州模拟)若nZ，且3n6，则n的展开式中的常

4、数项为_答案4解析n的通项公式为Tk1CxnkkCxn4k，因为3n6，令n4k0，解得n4，k1，所以n的展开式中的常数项为4.命题点2形如(ab)m(cd)n (m，nN*)的展开式问题例2(1)(2022安阳模拟)(x32)6的展开式中x6的系数为()A6 B10 C13 D15答案C解析由于6的展开式的通项为Tk1C，令63，求得k2；令66，求得k0，故(x32)6的展开式中x6的系数为C2C15213.(2)(2022晋城模拟)二项式(12x)4的展开式中x3项的系数是70，则实数a的值为()A2 B2C4 D4答案D解析因为(12x)42(12x)4(12x)4，(12x)4的展

5、开式的通项公式为Tk1C(2x)k(2)kCxk，k0,1,2,3,4，所以2(12x)4展开式中x3项的系数是2(2)3C64，(12x)4展开式中x3项的系数是(2)2C，所以6470，解得a4.【备选】1(2022菏泽模拟)已知正整数n7，若(1x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为()A7 B8C9 D10答案D解析(1x)n的二项展开式中第k1项为Tk1C(1)kxk，又因为(1x)nx(1x)n(1x)n的展开式不含x5的项，所以xC(1)4x4C(1)6x60，Cx5Cx50，即CC，所以n10.2(2022烟台模拟)在(x22xy)5的展开式中，x5y2的系数为()A60 B

6、30C15 D12答案A解析由(x22xy)5(x22x)y5，由通项公式可得Tk1C(x22x)5kyk，要求x5y2的系数，故k2，此时(x22x)3x3(x2)3，其对应x5的系数为C216.x5y2的系数为C660.思维升华(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项即可(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏跟踪训练1(1)(2021北京)4的展开式中常数项为_答案4解析4的展开式的通项Tk1

7、C(x3)4kk(1)kCx124k，令k3得常数项为T4(1)3C4.(2)(2022攀枝花模拟)(12x)5的展开式中，含x3的项的系数是()A112 B48C48 D112答案C解析由(12x)5(12x)5(12x)5，(12x)5展开式的通项公式为Tk1C(2x)k2kCxk，其中k0,1,2,3,4,5，(12x)5展开式中含x3项的系数为23C80，(12x)5展开式中含x3项的系数为25C32，所以(12x)5的展开式中，含x3的项的系数为803248.题型二二项式系数与项的系数的问题命题点1二项式系数和与系数和例3(1)(2022十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系

8、数和之和为128，给出下列命题：二项式系数和为64；各项系数和为64；常数项为135；常数项为135.其中正确的命题是()A BC D答案B解析在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则22n128，得n6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故正确；6展开式的通项为Tk1C(3x)6kkC(1)k36k，令6k0，得k4，因此展开式中的常数项为T5C(1)432135.故正确(2)已知多项式(12x)(1xx2)3a0a1xa2x2a6x6，则a1_，a2a3a4a5a6_.答案123解析根据题意，令x1，则(12)(111

9、)3a0a1a2a626，令x0，a0112，由于(12x)(1xx2)3a0a1xa2x2a6x6，a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a12CC121，所以a2a3a4a5a6261223.命题点2系数与二项式系数的最值问题例46的展开式中二项式系数最大的项为第_项，系数最大的项为_答案4240x8y2解析因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项因为6的展开式的通项为Tk1Cy6kkC(2)kx2ky6k，所以展开式中系数最大的项为奇数项展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C(2)0，C(2)2，C(2)4，C(2)6，即1,60,240,64，所以展开

10、式中系数最大的项为240x8y2.【备选】1已知(12x)2 022a0a1xa2x2a2 022x2 022，下列命题中不正确的是()A展开式中所有项的二项式系数的和为22 022B展开式中所有奇次项系数的和为C展开式中所有偶次项系数的和为D.1答案B解析选项A，由二项式知，CCC(11)2 02222 022，A正确；当x1时，有a0a1a2a2 0221，当x1时，有a0a1a2a3a2 021a2 02232 022，选项B，由上可得a1a3a5a2 021，B错误；选项C，由上可得a0a2a4a2 022，C正确；选项D，令x可得a00，又a01，所以1，D正确2已知(x3)8a0a

11、1(x2)a2(x2)2a8(x2)8，给出的下列命题中：a01；a628；a0a2a4a6a8128.其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析对于，取x2，得a01，正确；对于，(x3)81(x2)8展开式中第7项为C(1)2(x2)628(x2)6，即a628，不正确；对于，取x，得a08，则a0，正确；对于，取x3，得a0a1a2a3a7a80，取x1，得a0a1a2a3a7a8(2)8256，两式相加得2(a0a2a4a6a8)256，即a0a2a4a6a8128，正确思维升华赋值法的应用一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(

12、abx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(abx)n的展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n的展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1)跟踪训练2(1)已知(2x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则|a0|a1|a5|等于()A1 B243C121 D122答案B解析令x1，得a5a4a3a2a1a01，令x1，得a5a4a3a2a1a0243，得2(a4a2a0)242，即a4a2a0121.，得2(a5a3a1)244，即a5a3a1122.所以|a0|a1|a5|122121243.(2)(2022济南模拟)在6的展开式中，给出下列命题：常数项为160；

13、第4项的二项式系数最大；第3项的系数最大；所有项的系数和为64.其中真命题有()A B C D答案C解析展开式的通项为Tk1C6k(x)k26k(1)kCx2k6，由2k60，得k3，所以常数项为23(1)3C160，错误；展开式共有7项，所以第4项的二项式系数最大，正确；第3项的系数最大，正确；令x1，得61，所有项的系数和为1，错误题型三二项式定理的综合应用例5(1)设aZ，且0a13，若512 021a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12答案B解析因为aZ，且0a13，所以512 021a(521)2 021a，C522 021C522 020C522 019C52Ca，

14、因为512 021a能被13整除，结合选项，所以Ca1a能被13整除，所以a1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是()A1.23 B1.24C1.33 D1.34答案D解析1.056(10.05)6CC0.05C0.052C0.053C0.05610.30.037 50.002 50.0561.34.思维升华二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1x)n1nx.跟踪训练3(1)设n为奇数，那么11nC11

15、n1C11n2C111除以13的余数是()A3 B2C10 D11答案C解析11nC11n1C11n2C111C11nC11n1C11n2C11C2(111)n212n2(131)n2C13nC13n1(1)n1C13(1)nC2，因为n为奇数，则上式C13nC13n1(1)n1C133C13nC13n1(1)n1C131310，所以11nC11n1C11n2C111除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是()A0.940 B0.941C0.942 D0.943答案B解析(0.99)6(10.01)6C1C0.01C0.012C0.013C0.01610.06

16、0.001 50.000 020.0160.941.课时精练1(2022济南模拟)6的展开式中，含x4项的系数为()A4 B6C10 D15答案B解析6展开式的通项为Tk1Cx6kkCx62k，令62k4，解得k1，因此，展开式中含x4项的系数为C6.2(2022武汉部分重点中学联考)在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是()A. BC28 D28答案B解析展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n12，展开式的通项为Tk1C12kkC(1)k12k，若为常数项，则12k0，所以k9 ，得常数项为T10C(1)9129.3(2022邯郸模拟)(x2x

17、)(1x)6的展开式中x3项的系数为()A9 B9C21 D21答案A解析展开式中x3项的系数为CC9.4(2022芜湖质检)已知(xm)(x2)5a0a1xa2x2a6x6，其中m为常数，若a430，则a0等于()A32 B32C64 D64答案A解析由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数m乘以(x2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4C22mC230，解得m1，再令x0，得a02532.5(2022南充模拟)(axy)(xy)4的展开式中x3y2的系数为2，则实数a的值为()A B1 C1 D.答案

18、D解析化简得(axy)(xy)4ax(xy)4y(xy)4，(xy)4的展开式的通项公式Tk1Cx4kyk，当k2时，ax(xy)4的展开式中x3y2的系数为Ca6a，当k1时，y(xy)4的展开式中x3y2的系数为C4，综上，(axy)(xy)4的展开式中x3y2的系数为6a42，a.6已知在(2x1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则CCCC的值为()A28 B281C27 D271答案B解析设(2x1)na0a1xa2x2anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则Aa1a3a5，Ba0a2a4a6.由已知得，BA38，令x1，得a0a1a2a3an(1

19、)n(3)n，即(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)(3)n，即BA(3)n，(3)n38(3)8，n8，由二项式系数性质可得CCCC2nC281.7(2022邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法不正确的是()A2，n，10成等差数列 B各项系数之和为64C展开式中二项式系数最大的项是第3项 D展开式中第5项为常数项答案C解析由n的二项式系数之和为2n64，得n6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x1，62664，则6的各项系数之和为64，B正确；6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；6的展开式中的第5项为C(5x)24152581为常数项，

20、D正确8(2022秦皇岛模拟)已知(2x)6a0a1xa2x2a6x6，给出下列命题：a3360；(a0a2a4a6)2(a1a3a5)21；a1a2a6(2)6；展开式中系数最大的为a2.其中真命题有()A B C D答案D解析(2x)6展开式的通项为Tk1C26k(x)kC()k26kxk，对于，令k3，则a3C23()3480，错误；对于，令x1，则a0a1a6(2)6；令x1，则a0a1a2a6(2)6，(a0a2a4a6)2(a1a3a5)2(a0a1a2a6)(a0a1a2a6)(2)(2)61，正确；对于，令x0，得a026，a1a2a6(2)626，错误；对于，a0，a2，a4

21、，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a02664，a2C243720，a4C2232540，a63327，展开式中系数最大的为a2，正确9(2021天津)在6的展开式中，x6的系数是_答案160解析6的展开式的通项为Tk1C(2x3)6kk26kCx184k，令184k6，解得k3，所以x6的系数是23C160.10(2022济宁模拟)已知n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是_答案84解析依题意，2n128，解得n7，7的展开式的通项为Tk1Cx7kk(2)kCx72k(kN，k7)，由72k3得k2，所以所求展开式中x3项的系数是(2)2C484.11(

22、2022南昌模拟)若n的展开式中共有7项，则常数项为_(用数字作答)答案240解析因为n的展开式中共有7项，所以n17，可得n6，所以6展开式的通项为令6k0，可得k4，所以常数项为C241516240.12(2021浙江)已知多项式(x1)3(x1)4x4a1x3a2x2a3xa4，则a1_，a2a3a4_.答案510解析(x1)3展开式的通项Tr1Cx3r(1)r，(x1)4展开式的通项Tk1Cx4k，则a1CC145；a2C(1)1C3；a3C(1)2C7；a4C(1)3C0.所以a2a3a437010.13已知n为正整数，若1.1510n，n1)，则n的值为()A2 B3 C4 D5答

23、案C解析因为1.1555C0C1C2C3C4C51323，而2232222.1，所以21.1552.1，因此41.15100，pq1，设f(k)Cpkq2nk，其中kN，k2n，给出下列命题：(k)1；f(k)2npq；若np4，则f(k)f(8)；(2k)(2k1)其中正确的命题有()A BC D答案B解析(k)pkq2nk(qp)2n1，正确；kC2n2nC，所以f(k)Cpkq2nknCpkq2nk2nppk1q2nk2np(qp)2n12np2npq，错误；设f(m)是f(k)中最大项，即注意到，又np4，不等式组可解为8qm8p，所以m8，所以f(k)f(8)，正确；例如n2时，p，q，(2k)46224，(2k1)，错误