2023版高中数学新同步精讲精炼（必修第二册） 6.4.3 正、余弦定理的实际运用（精练）（教师版含解析）.docx

1、6.4.3 正、余弦定理的实际运用(精练)【题组一 距离测量】 1(2021云南 )世界上有很多国家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流两岸修建了风光带用于改善城市人居环境.已知小徐步行到岸边点时，测得河对面的某地标建筑物在其北偏东60的方向上，往正北方向步行到达点后，测得该地标建筑物在其南偏东75方向上.则此时小徐与该地标建筑物的距离( )ABCD【答案】D【解析】在中，所以，所以由正弦定理可得，解得.故选：D.2(2021黑龙江哈尔滨市第六中学校 )某船从A处向北偏东方向航行千米后到达B处，然后朝南偏西的方向航行6千米到达C处，则A处与C处之间的距离为( )A千米B千米C3千米

2、D6千米【答案】B【解析】如图，在中，由余弦定理得：，所以A处与C处之间的距离为千米.故选：B3(2021广东佛山市南海区里水高级中学高一月考)如图，为测量河对岸、两点间的距离，沿河岸选取相距米的、两点，测得，则、两点的距离是( )A米B米C米D米【答案】B【解析】在中，故，由正弦定理，得，在中，故为等腰直角三角形，且，在中，由余弦定理可得(米).故选：B.4(2021全国高一课时练习)如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小海在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西45方向，则A、B两岛屿的距离为_海里

3、【答案】20【解析】如图所示：连接AB，由题意可知CD20，ADC105，BDC45，BCD90，ACD45，CAD30，ADB60，在ACD中，由正弦定理得，解得AD20，在RtBCD中，BDC45，BCD90，BD，CD20在ABD中，ADB60，ADBD，所以ABD为等边三角形，所以，AB20故答案为：205(2021云南昆明市官渡区云子中学长丰学校)如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_km.【答案】【解析】由图知知，由正弦定理有.故答案为：6(2021浙江师范大学附属东阳花园外国语学

4、校高一月考)某中学庆祝国庆仪式上举行升旗礼，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排车的旗杆顶端的仰角分别是，已知旗杆的高度为28.3米，则第一排与最后一排之间的距离约为_(取，小数点后保留一位有效数字)【答案】23.6米【解析】设第一排的观测点为，最后一排的观测点为，旗杆的顶端为，依题意，得，则，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案为：23.6米.【题组二 高度测量】1(2021江苏省江都中学)有“苏中第一高楼”之称的扬州金奥中心座落于扬州文昌东路，是江都的标志性建筑小明同学为了估算大楼的高度，在大楼的正东方向找到一座建筑物，高为，在

5、它们之间的地面上的点(三点共线)处测得楼顶，楼顶的仰角分别是和，在楼顶处测得楼顶的仰角为，则小明估算金奥中心的高度为( )ABCD【答案】B【解析】在中，AMB=15，则， 在中，, ,由正弦定理可知，即,故选：B2(2021河南信阳)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度_.【答案】【解析】解：设此山高为，则，在中，则，则有解得：故答案为：3(2021江西新余四中)如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，测量者小张在岸边点A处测得塔顶D的仰角为，塔底C与A的连线同河岸成角，小张沿

6、河岸向前走了200米到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成角，则电视塔CD的高度为_米【答案】【解析】由题设，在中，由正弦定理有：，又，米.故答案为：4(2021湖南湘西 )如图，为了测量河对岸的塔高AB，选与塔底B在同一水平面内的两个测量点C和D，现测得，则塔高_【答案】10【解析】设，因为，所以在中可得，因为所以在中可得，在中，由余弦定理可得，解得(负根舍去)故答案为：10.5(2021河南郑州 )2021年10月1日，是中华人民共和国成立72周年，某校为了迎接“十一”国庆，特编排了“迎国庆唱红歌”活动，活动地点让合唱团依斜坡站立，斜坡的前方是升旗台.如图，若斜坡的坡角为，斜坡上某一位置A

7、与旗杆在同一个垂直于地面的平面内，如果在A处和坡脚处测得旗杆顶端的仰角分别为和，且米，则旗杆的高度为_米.【答案】【解析】设，在中，；在中，由正弦定理得，即，所以.故旗杆的高度为米.故答案为：18.6(2021河南 )滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作滕王阁序中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流放后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点，处测得阁顶端点的仰角分别为，.且米，则滕王阁高度_米.【答案】【解析】设，因为，所以，.在中，即.，在中，即，因为，所以两式相加可得：，解得：，则，故答案为：.7(2021四川巴中 )年月日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山

8、区绿色农林产业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场巴中市体育中心，即民间所说的“兴文鸟巢”，能被邀请到现场观礼是无比的荣耀如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为_米【答案】【解析】设，在中，；在中，由正弦定理得，即，所以故旗杆的高度为米故答案为：.8(2021河北省临西县实验中学高一月考)如图所示，在山顶铁塔上处测得地面上一点的俯角，在塔底处测得点的俯角，已知铁塔部分高36米，则山高_米【答案】【解析】设米，则，在中，；在中，即，

9、得.故答案为：9(2021江苏省苏州第十中学校高一月考)如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角点的仰角，以及；从点测得已知山高，则山高_.【答案】300【解析】在中，在中，运用正弦定理，可得，在中，故答案为：300【题组三 角度测量】1(2021山西永济市涑北中学校高一月考)一艘游船从海岛A出发，沿南偏东20的方向航行8海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东40的方向航行了16海里到达海岛C.若游船从海岛A出发沿直线到达海岛C，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为( )A北偏东50，B北偏东70，12C北偏东70，D北偏东50，12【答案】C【解析】据题

10、意知，在中，海里，海里，海里，又，航行的方向和路程分别为北偏东70，海里.故选：C.2(2021福建三明 )日常生活中，我们常看到各式各样的简易遮阳棚(板).现有直径为的圆面，在其圆周上选定一个点固定在水平地面上，然后将圆面撑起，做成简易遮阳棚(板).某一时刻的太阳光线与水平地面成角，若要得到最大的遮阴面，则遮阳棚(板)与遮阴面所成角大小为( )ABCD【答案】B【解析】依题意分析可知，阴影面是椭圆，椭圆的短轴长，如图：圆的直径在地面的投影为，则为椭圆的长轴，为圆面与阴影面所成二面角的平面角，根据椭圆的面积公式可得，所以要使椭圆的面积最大，只要最大即可.在中，由正弦定理可得，所以，当时，最大，

11、此时,所以遮阳棚(板)与遮阴面所成角大小为.故选：B.3(2021云南陆良县中枢镇第二中学 )一艘客船上午在处，测得灯塔在它的北偏东，之后它以每小时海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时测得船与灯塔相距海里，则灯塔在处的( )A北偏东B北偏东或东偏南C东偏南D以上方位都不对【答案】B【解析】如下图所示： 客船半小时的行程为(海里)，因为(海里)，由正弦定理可得，所以，或.当时，此时，灯塔在处的北偏东；当时，此时，灯塔在处的东偏南.综上所述，灯塔在处北偏东或东偏南.故选：B.4(2021江西上高二中)如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30，该小车在公路上由东向

12、西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45.已知此山的高，小车的速度是，则( )ABCD【答案】A【解析】由题意可得，则，.因为，所以由余弦定理可知，.故选：A.5(2021全国高一课时练习)如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若m，山坡对于地平面的坡角为，则( )ABCD【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因为，所以，故选：C6(2021全国高一课时练习)如图，在离地面的热气球上，观察到山顶处的仰角为，在山脚处观察到山顶处的仰角为60，若到热气球的距离，山的高度，则( )A30B

13、25C20D15【答案】D【解析】在中，在中，由正弦定理知，解得，或120.当时，则，所以，当时，.故选：D7(2021重庆一中高一期末)为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛.若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为( )A北偏东，B北偏东，C北偏东，D北偏东，【答案】C【解析】据题意知，在中，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因为为锐角，所以，所以航行的方向和路程分别为北偏东，海里.故选：C.8(2021福建福州高一期中)某中

14、学为推进智能校园建设，拟在新校区每个教室安装“超短距”投影仪，如图：投影仪安装在距离墙面处，其发射的光线可以近似的看作由一个点S发出，光线投影在墙面上的屏幕上，已知高度为，光线上界的俯角为，则投影仪的垂直视角的余弦值( )ABCD【答案】D【解析】在中，因为,，所以，在中，因为,，所以，在中，因为，由余弦定理可得：故选：D.9(2021全国)如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小(仰角为直线与平面所成角)若，则的最大值( )ABCD【答案】D【解析】作，垂足为，设，则，由余弦定

15、理，故当时，取得最大值，最大值为，故选：D10(2021福建省宁化第一中学高一月考)(多选)某货轮在处看灯塔在货轮北偏东75，距离为；在处看灯塔在货轮的北偏西30，距离货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东60，则下列说法正确的是( )A处与处之间的距离是；B灯塔与处之间的距离是；C灯塔在处的西偏南60；D在灯塔的北偏西30【答案】AC【解析】由题意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正确；在中，由余弦定理得，即，故B错误；因为，所以，所以灯塔在处的西偏南，故C正确；由，在灯塔的北偏西处，故D错误.故选：AC【题组四 几何中的正余弦定理】1(2021云南罗平县第二中学高一期末)如图

16、，在四边形ABCD中，ABCD，AB2，(1)求；(2)求的长【答案】(1)；(2).【解析】(1)由ABCD可得，则，即，而，即有，在中，所以；(2)由(1)知，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的长为.2(2021江苏无锡市第一中学高一期中)现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.(1)求出所有可能的三角形的面积；(2)如图，已知平面凸四边形中，.求满足的数量关系；求四边形面积的最大值，并指出面积最大时的值.【答案】(1)，；(2)；，.【解析】(1)根据三角形两边之和大于第三边，由题

17、意可知，所有符合情况的可能三角形为、当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，当三角形三边为时，由余弦定理知等腰三角形顶角，(2)连接，由余弦定理知，又，故当且仅当，取得最大值，此时，3(2021福建福州三中高一期中)在平面四边形中，.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又，所以；在中，由正弦定理可得，则；(2)在中，由正弦定理可得，则；在中，由正弦定理可得，则，因为，所以，解得，由余弦定理可得：.4(2021浙江高三月考)在中，角、所对的边分别为、，已知(1)求角的大小；(2)已知，设为边上一点，且为角的平分线，求

18、的面积【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定理得因为，则，所以，所以因为，所以；(2)在中，由余弦定理得，即，解得，由角平分线性质可得，所以过点作垂直于点，则，所以5(2021江西省靖安中学高二月考)如图，四边形ABCD中，已知A=120，ABC = 90，AD=3，BD=7.(1)AB的长; (2)CD的长.【答案】(1)5；(2)7.【解析】(1)在中，结合余弦定理知，即，因为，因此；(2)在中，结合余弦定理知，因为ABC = 90，所以，因为为锐角，结合同角的平方关系可得，在中，结合余弦定理知，因为，所以.【题组五 三角函数与解三角形】1(2021北京临川学校)已知，(1)求的最

19、小正周期及单调递减区间；(2)已知锐角的内角的对边分别为，且，求边上的高的最大值【答案】(1)最小正周期为；单调递减区间为；(2)【解析】(1)的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递减，所以函数单调递减区间为：；(2)因为，所以，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，(当用仅当时，取等号)，所以，因此边上的高的最大值.2(2021全国)已知函数，且函数的最大值为.(1)当时，求函数的值域；(2)已知的内角、的对边分别是、，若，求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，解得，故，当时，则，故.因此，当时，函数的值域为；(2)，可得，则，可得，由余弦定理可得，即，当且

20、仅当时，等号成立，因此，即面积的最大值为.3(2021河北衡水中学)已知函数.(1)求在上的单调递增区间；(2)若对，恒有成立，且_，求面积的最大值.在的外接圆直径为4，是直线截圆所得的弦长，这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中，分别为的内角A，所对的边.【答案】(1)，；(2)答案见解析.【解析】解：(1)，令，解得，所以的单调递增区间为，.(2)因为，所以，由得，所以，所以，所以，同理，即为锐角三角形.中圆心到直线的距离，故.中由得，又A为锐角，所以.选择，得，；选择，得；选择，即，.由余弦定理得，所以，所以最大值为，当且仅当时取等号，所以的面积为，最大值为.4(202

21、1江苏盐城中学高一月考)已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的值.(2)已知a，b，c分别为中角A，B，C的对边，且满足，求面积S的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为，所以，由题意可知：，所以，所以；(2)由(1)知，因为，所以，且，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，又，当，即时有最大值，所以.5(2021江苏省外国语学校高一期中)函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象(1)求函数的解析式；(2)在中，内角，满足，且其外接圆的半径为1，求的面积的最大值【答案】(1)；(2).【解析】(1)由图知，解得，解得，由于，因此即函数的

22、解析式为(2)，即所以或1(不合题意舍去)，可得由正弦定理得，解得由余弦定理得，(当且仅当等号成立)面积最大值为6(2021四川省内江市第六中学 )已知向量，设函数(1)求函数的最大值；(2)已知在锐角中，角所对的边分别是，且满足，的外接圆半径为，求面积的取值范围【答案】(1)；(2)【解析】(1)由题得则；(2)由，得，即，由，则，由，则，由则，则7(2021全国 )已知函数.(1)利用“五点法”列表，并画出在上的图象；(2)，分别是锐角中角，的对边.若，求面积的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】(1)函数，利用“五点法”列表如下，00100画出在上的图象，如图所示；(2)

23、在中，(A)，可知，或，解得或，故；由正弦定理可知，即， 锐角三角形， ，,，的取值范围是.8(2021辽宁庄河高中 )已知函数()求函数在区间上的值域()在中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，若角C为锐角，且，求面积的最大值【答案】()；()【解析】()， 由，有，所以函数的值域为 ()由，有，为锐角，由余弦定理得：，当，即为正三角形时，的面积有最大值9(2021辽宁铁岭市清河高级中学高一期末)已知函数.(1)求的单调递增区间；(2)若的外接圆的直径为，且锐角满足，求面积的最大值.【答案】(1)，；(2)最大值为.【解析】(1)令，解得单调递增区间为，；(2)，解得.又令外接圆半径为，则，所以，又因为，所以(当且仅当)所以，所以面积最大值为.