3.2 函数的性质（精讲）（教师版）.docx

1、3.2 函数的性质（精讲）一函数单调性的定义1.单调函数的定义条件一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果x1，x2D，当x1x2时 都有f(x1)f(x2)结论那么就称函数f(x)在区间D上单调递增那么就称函数f(x)在区间D上单调递减当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称它是增函数当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称它是减函数图示2.单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间3.复合函数的单调性：函数yf(u)，u(x)在函数yf(x)的定义域上，如果yf(u)与u(x

2、)的单调性相同，那么yf(x)单调递增；如果yf(u)与u(x)的单调性相反，那么yf(x)单调递减二函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：条件(1)xI，都有f(x)M(2)xI，使得f(x)M(1)xI，都有f(x)M；(2)xI，使得f(x)M结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值三函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)关于y轴对称奇函数f(x)f(x)关于原点对称四函数的周期性1.周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT

3、)f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2.最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期五 函数的对称性1.对称性：若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称2.对称中心：f(xb)f(xb)2a，则函数yf(x)的图象关于点(b,a)中心对称一判断函数单调性常用的方法1.定义法：一般步骤为取值作差变形判断符号得出结论2.图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性3.导数法：先求导数，利用导数值的

4、正负确定函数的单调性(或单调区间)4.性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及f(x)g(x)的增减性进行判断；对于复合函数，先将函数yf(g(x)分解成yf(u)和ug(x)，再讨论(判断)这两个函数的单调性，最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断5在公共定义域内，增增增，减减减，增减增，减增减6复合函数yfg(x)的单调性判断方法：“同增异减”易错点：求函数的单调区间,首先需要求函数的定义域.二利用单调性求参数的范围(或值)1.视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；2.若分段函数在R上是单调的，则该函数

5、在每一段上具有相同的单调性，还要注意分界点处的函数值大小3.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决4.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域5.利用单调性求参数的取值(范围)根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解对于分段函数，要注意衔接点的取值三判断函数的奇偶性1，定义法2.图象法3.性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上，有下面结论：f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶

6、函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数同性加减不变性，异性加减非奇偶同性乘除为偶异性乘除为奇复合函数有偶为偶，两奇为奇四函数奇偶性的应用1.求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式区间上的函数值2.求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出3.求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程(组)，进而得出参数的值4画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象5.求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值

7、之和为零可求一些特殊结构的函数值考法一 具体函数的单调区间【例1-1】（2023云南）下列函数在R上为增函数的是（）A B C D【答案】B【解析】在上单调递减，在上单调递增，故选项A错误；在R上为增函数，选项B正确；在上单调递减，故选项C错误；在单调递减，在单调递减，故选项D错误.故选：B.【例1-2】（2023云南校联考二模）函数的单调递增区间为_【答案】/【解析】由题得函数定义域为，所以在上单调递增，又，所以当时，故的单调递增区间为（或）故答案为：【例1-3】（1）（2023江西）函数的单调增区间是（）A和 B和 C和 D和（2）（2022广东）函数的单调递增区间是（）A B 和C和D

8、和（3）（2022秋河北廊坊高三校考阶段练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】（1）C（2）B（3）D【解析】（1）由，则为偶函数，的图像关于轴对称.当时，对称轴为，所以在上递增，在递减；则当时，在递增，在递减，则有的递增区间为.故选：C（2）如图所示：函数的单调递增区间是和故选：B.（3）因为，所以的增区间为，故选：D.【例1-4】（2022全国高三专题练习）函数的单调增区间是（）ABCD【答案】D【解析】要满足，解得：或，又是增函数，所以只需求出的单调递增区间，的对称轴为，且开口向上，结合函数的定义域可得：的单调递增区间为故选：D【一隅三反】1（2023春江西高三校联考阶段练习）函

9、数的单调递增区间为_.【答案】【解析】函数的定义域为，则，令，解得，故函数的单调递增区间为.故答案为：.2（2023西藏林芝）函数的单调递增区间是 【答案】【解析】函数的定义域需要满足，解得定义域为，因为在上单调递增，所以在上单调递增。3（2023江西）函数的单调减区间为_.【答案】【解析】函数中，解得或，即函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，而在单调递增，于是得在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调减区间为.故答案为：4（2023北京）已知函数，则下列结论正确的是 递增区间是 递减区间是递增区间是 递增区间是【答案】【解析】因为函数，作出函数的图象，如图所示：由图可知，递增区间是

10、，递减区间是和5（2022山东）函数的单调减区间是_【答案】【解析】令，则，在上单调递减作出的图象由图象可以在上单调递减，在上单调递增在上单调递增，在上单调递减故答案为：.考法二 函数单调性的应用【例2-1】（2023全国高三专题练习）设，则“”是“函数在为减函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由题意可得为减函数，则，解得.因为推不出，所以“”是“函数在为减函数”的必要不充分条件，故选：B【例2-2】（2023全国高三专题练习）若函数，在R上为严格增函数，则实数的取值范围是（）A（1，3）；B（2，3）；C；D；【答案】D【解析】在上为

11、严格增函数，解得.即实数的取值范围是.故选：D【例2-3】（2023秋江西抚州高三临川一中校考期末）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】函数在上是减函数，当时，恒成立，而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，因此，并且，解得，所以实数的取值范围是.故选：D【一隅三反】1（2023广西）已知函数在区间（-，1是减函数，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（-，1C-1，+）D（-，-1【答案】A【解析】对称轴为，开口向上，要想在区间（-，1是减函数，所以.故选：A2（2023北京）使得“函数在区间上单调递减”成

12、立的一个充分不必要条件可以是（）ABCD【答案】C【解析】由函数在区间上单调递减，得在区间上单调递减，所以，解得.结合A，B，C，D四个选项，知使得“函数在区间上单调递减”成立的一个充分不必要条件可以是.故选：C.3（2023湖南）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】显然当时，为单调减函数，当时，则对称轴为，若是上减函数，则 解得，故选：A.4（2023河北）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（）ABCD【答案】B【解析】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，所以，则的取值范围为.故选：B考法三 判断函数的奇偶性

13、【例3】（2023安徽）判断下列函数的奇偶性：（1） ；（2）； （3）；（4）； （5）【答案】（1）是奇函数（2）既是奇函数又是偶函数（3）是偶函数（4）是奇函数（5）是偶函数【解析】（1）对一切恒成立，且，即，是奇函数（2）由题意，得即函数的定义域为，此时所以既是奇函数又是偶函数（3），所以为偶函数（4），即，此时原函数可化为，为奇函数（5），所以为偶函数【一隅三反】（2023广东潮州）判断下列函数的奇偶性(1)； (2)； (3) (4)； (5) (6)；(7)； (8)【答案】(1)非奇非偶函数(2)奇函数(3)偶函数(4)既是奇函数又是偶函数(5)奇函数(6)奇函数(7)既不是奇

14、函数也不是偶函数(8)偶函数【解析】（1）函数f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数（2）f(x)的定义域为，关于原点对称，所以为奇函数（3）的定义域为，且关于原点对称，当时，则；当时，则，故是偶函数（4）由得x2=3，解得x=，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)=0.因此f(x)=f(x)且f(x)=f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(5)显然函数f(x)的定义域为R，f(x)=log2x=log2(x)=log2(x)1=log2(x)=f(x)，故f(x)为奇函数（6）的定义域为.因为，所以是奇函数.（7）的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函

15、数.（8）的定义域为.因为,且，所以，所以，所以，所以是偶函数.考法四 函数奇偶性的应用【例4-1】（1）（2023春四川成都高三石室中学校考开学考试）已知为奇函数，当时，则当时， （2）（2023山西）已知是偶函数，当时，则当时，_【答案】（1）（2）【解析】（1）当时，因为当时，所以，又因为为奇函数，所以，结合，得，则.（2）由，则，且函数是偶函数，故当时，故答案为：【例4-2】（1）（2022广东深圳 ）若是奇函数，则实数_.（2）（2023江西校联考二模）设，则“”是“为奇函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件（3）（2022全国模拟预测）已知函数

16、为偶函数，则_【答案】（1）（2）A（3）1【解析】（1）定义域为，且为奇函数，解得：；当时，为上的奇函数，满足题意；综上所述：.故答案为：.（2）若为奇函数，则，解得，经检验，符合题意，“”是“为奇函数”的充分不必要条件.故选：A（3）函数为偶函数，则有，即恒成立则恒成立即恒成立则，经检验符合题意.故答案为：1【例4-3】（1）（2023吉林）已知函数，则不等式的解集是（）ABCD（2）（2023全国高三专题练习）已知函数，则不等式的解集为（）ABCD（3）（2023全国模拟预测）定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】（1）B（2）D（3）D【解析】因为，所以是奇函数

17、，当时，是增函数，此时，又，所以在R上是增函数又因为，所以可化为所以，解得故选：B（2）由得，即函数的定义域为因为，所以为上的偶函数，当时，因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，又都是在上单调递减，根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集为.故选：D（3）设，则，因为所以在上是奇函数，因为，所以在上是增函数，因为，所以，即，由在上是增函数得，解得，故选：D【例4-4】（2022江苏 ）已知函数，则的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】由，即，所以，又，所以，而递增，故故选：D【一隅三反】1（202

18、3全国高三专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，则函数的解析式为_【答案】【解析】由于函数是上的奇函数，则.当时，设，则，则，所以.综上所述，.故答案为：2（2023广东高三统考学业考试）函数是偶函数，当时，则_.【答案】【解析】因为当时，所以当时，所以，函数是偶函数，所以，所以，故答案为：.3（2023河北统考模拟预测）已知函数，则“”是“函数是偶函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数的定义域为R，关于原点对称，当函数为偶函数时，即，整理，得，由，解得.又，得，所以“”是“函数为偶函数”的必要不充分条件.故选：B.4（2023

19、春贵州黔东南高三校考阶段练习）已知偶函数在上单调递增，则的解集是（）ABCD【答案】D【解析】由偶函数的对称性知：在上递增，则在上递减，所以，故，可得，所以不等式解集为.故选：D5（2023全国高三专题练习）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】令，所以函数为上的奇函数，又，仅当x = 0时等号成立，所以函数为上的增函数，又，即，则，所以，则，即，解得或，实数的取值范围是.故选：A6（2023陕西统考一模）函数是定义在上的奇函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【解析】因为函数是奇函数，且在上单调递增，所以函数在上也单调递增，

20、又因为，所以，不等式等价于或，即或，得到故选：D7（2023安徽黄山统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，由得，故 为偶函数，当时，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,故选：C8（2022江苏 ）已知函数，则的大小关系为（）ABCD【答案】D【解析】由，即，所以，又，所以，而递增，故故选：D9（2023全国高三专题练习）已知，若，则a，b，c的大小关系为（）ABCD【答案】A【解析】因为，定义域关于原点对称，所以为上的偶函数，当时,，设，则，所以即在上单调递增

21、，所以,所以在上单调递增，又因为为偶函数,所以在上单调递减，又因为,所以,又因为,因为,，所以,所以，即,所以,所以,即.故选：A.考法五 函数的周期性和对称性【例5-1】（2023全国高三专题练习）奇函数满足，当时，则=（）A B C D【答案】A【解析】已知奇函数满足，是以4为周期的奇函数，又当时， 故选：A.【例5-2】（2022安徽蚌埠一模）已知定义在上的偶函数满足，若，则（）ABCD【答案】B【解析】根据题意, 函数满足, 则,又由为偶函数，则有,则有, 即函数是周期为4的周期函数,，令可得.，所以故选：B【例5-3】（2022吉林梅河口市第五中学）已知定义在上的函数在上单调递增，且

22、为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】为偶函数，即函数关于对称，又函数在上单调递增，函数在上单调递减，由，可得，整理得，解得或.故选：B.【一隅三反】1（2023江西南昌统考二模）是以2为周期的函数，若时，则_【答案】【解析】因为是以2为周期的函数，若时，所以.故答案为：.2（2023陕西宝鸡统考二模）请写出一个图像关于点对称的函数的解析式_【答案】（答案不唯一）【解析】的图象关于原点对称，则的图象关于点对称同样如函数也满足题意故答案为：（答案不唯一）3（2023河南洛阳统考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（）AB0C2D4【答案】D【解析】因为是定义在R上

23、的奇函数，则，且，又为偶函数，则，即，于是，则，即是以为周期的周期函数，由，得，所以.故选：D4（2023山东菏泽山东省东明县第一中学校联考模拟预测）（多选）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对，恒成立，则（）A为奇函数BCD【答案】BCD【解析】因为为奇函数，所以，故又，所以，故，所以，为偶函数，A错误；为奇函数，所以，所以，B正确；，又的图象关于点对称，所以，所以，C正确；又，所以是以4为周期的函数，D正确故选：BCD考法六 函数性质的综合运用【例6-1】（2023春浙江杭州高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）（多选）已知定义域为的函数在上单调递增，且图像关于对称，则（）AB周期C在单调递

24、减D满足【答案】AC【解析】由，可得的对称轴为，所以又由知：，因为函数图像关于对称，即，故，所以，即，所以，所以的周期为,所以，所以，故A正确，B错误；因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，又因为关于对称，可得函数在单调递减，故C正确；根据的周期为，可得，因为关于对称，所以且，即，由函数在上单调递减，且关于对称，可得在上单调递增，确定的单调区间内均不包含，若，所以不正确.故选：AC.【例6-2】（2023春广西高三校联考阶段练习）已知函数在上单调递减，为偶函数，当时，若，则a，b，c的大小关系是（）ABCD【答案】A【解析】因

25、为函数为偶函数，得的图象关于直线对称，且，由得，所以，即，则，所以函数的一个周期为6，则，当时，又的图象关于直线对称，所以，由得，的图象关于点对称，又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，所以，所以.故选：A【例6-3】（2023四川成都校考三模）已知函数,则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【解析】由函数，所以，令， 可得令且，可得在上恒成立，所以，所以在上单调递增，又由，所以函数为偶函数，则在上单调递减，又由，即，即，整理得，解得或，即不等式的解集为.故选：B.【一隅三反】1（2023江苏南通统考模拟预测）（多选）已知偶函数与奇函数的定义域均为R，且满足，则下列关系式一定成立的是（

26、）A Bf（1）=3Cg（x）=-g（x+3）D【答案】AD【解析】由，将换为知，故A对；，奇函数中，则，由为偶函数，故B错；，又，故C错，则，即.，即，为偶函数，由知，故D对.故选：AD.2（2023贵州黔西校考一模）已知函数是定义在上的奇函数，且的图象关于对称若，则（）A3B2C0D50【答案】C【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以，且，又的图象关于对称，则，即，则，在中，令，得，则，所以函数的周期为，即，则有，所以，故选：C.3（2023全国高三专题练习）定义在R上的函数满足，对于互不相等的任意，都有，且当时，对任意恒成立，的图象关于直线对称，则的大小关系为（）ABCD【答案】B【解

27、析】因为的图象关于直线对称，则函数关于轴对称，所以函数为上的偶函数，又因为对任意恒成立，则函数的周期为4，又因为对于互不相等的任意，都有，且当时，所以对任意，则，故有，所以函数在上单调递增，则有，因为函数在上单调递增，则，即，故选：B.4（2023全国高三专题练习）（多选）定义在上的函数满足，且当时，则（）AB的一个周期为3C在上单调递增D【答案】ABD【解析】对于A项，因为当时，所以，又因为，所以令，则，所以，故A项正确；对于B项，根据得，所以，所以，所以该函数的一个周期为3，故B项正确；对于C项，因为，所以，当时，则，又因为当时，所以，所以，又因为在上单调递减，所以由单调性性质可得在上单调递减，故C项错误；对于D项，由A项知，因为，所以令得，解得：，由B项可得，所以，又因为，所以结合周期性可得，故D项正确故选：ABD.