2022版高中数学 第三章 函数的应用 本章复习提升（含解析）新人教A版必修1.docx

1、第三章函数的应用本章复习提升易混易错练易错点1忽视对参数取值范围的讨论导致错误1.(2020河北邯郸高一期中,)已知关于x的方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.(-,1C.(0,1D.0,12.()若函数f(x)=2ax2+x-12在(0,1)内有零点,求实数a的取值范围.易错点2忽视实际问题中函数的定义域导致错误3.()一个等腰三角形的周长为20,则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是()A.y=20-2x(0x10)B.y=20-2x(0x10)C.y=20-2x(5x10)D.y=20-2x(5x10)4.()如图所示,有一直角墙角,两边的

2、长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0a12),4m,不考虑树的粗细,现在想用16m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上.设BC=xm,此矩形花圃的面积为ym2.(1)写出y关于x的函数解析式,并指出这个函数的定义域;(2)当BC为何值时,花圃的面积最大?易错点3忽视分段函数的计算方法导致错误5.(2020河北定州中学高一上月考,)已知函数f(x)=x2-1,x1,log12x,x1.若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数根,则实数k的取值范围是. 6.(2020四川眉山多悦高级中学高一期中,)经过市场调查,超市中的某种小商品

3、在过去的近40天的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足g(t)=100-2t,价格近似满足f(t)=40-|t-20|.(1)写出该商品的日销售额y(单位:元)与时间t(0t40)的函数解析式并用分段函数形式表示该解析式(日销售额=日销售量商品价格);(2)求该种商品的日销售额y的最大值和最小值.7.(2019四川绵阳高一上期末检测,)目前,某市出租车的计价标准是:路程2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9(1+50%)=2.85元/km).(1)

4、若0x20,将乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为路程x(单位:km)的分段函数;(2)某乘客行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶8km,然后换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱?思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.()原有一片面积为a的森林,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等.经计算,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林的剩余面积为原面积的22.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)到今年为止,已经砍伐了多少年?(3)今后最多还能砍

5、伐多少年?二、数形结合思想在解决函数零点问题中的应用2.(2020山西太原五中高一月考,)设函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x0,若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3),则x1+x2+x3的取值范围是()A.113,6B.113,6C.203,263D.203,2633.(2019江西新余一中高一上月考,)设f(x)=|x-1|(x+1)-x,若关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,则实数k的取值范围是()A.1k54B.-1k54C.0k1D.-1kbcB.bacC.cabD.bca三、分类与整合思想在解决函数零点问题中的应用5.()函数f

6、(x)=2x-4,x0,+),2x2-3x-2,x(-,0)的零点为.6.(2019湖南长沙一中高一上期中,)函数f(x)=|x2-1|+x2+kx.(1)若k=2,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)在(0,2)上有两个不同的零点x1,x2,求k的取值范围,并证明:1x1+1x20,|x+3|,-4x0,若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称,则a的取值范围是()A.(0,1)B.(1,4)C.(0,1)(1,+)D.(0,1)(1,4)8.()若函数f(x)=alog2x+a4x+3在区间12,1上有零点,则实数a的取值范围是.9.()若函数f(x)=2ax2-x-1在(0

7、,1)上恰有一个零点,则a的取值范围是. 答案全解全析第三章函数的应用本章复习提升易混易错练1.B3.D1.B当a=0时,方程为2x+1=0,解得x=-12,满足题意;当a0时,记函数f(x)=ax2+2x+1,则方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根等价于函数f(x)=ax2+2x+1的图象与x轴的负半轴至少有一个交点.由于函数f(x)=ax2+2x+1的图象恒过定点(0,1),所以当a0,-1a0,=22-4a0时,满足题意,解得a0或0a1.综上,实数a的取值范围是(-,1.易错警示本题的易错点有:忽略a=0的情况;不能发现函数f(x)的图象恒过定点(0,1)这一信息导致分类情况变复杂

8、;忽略=0的情况.本题还可从一元二次方程ax2+2x+1=0(a0)的根的正、负情况入手讨论,利用根与系数的关系求解.2.解析当a=0时,f(x)=x-12,令f(x)=0,得x=12,12(0,1),符合题意.当a0时,若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内有两个相等的实数根,则=1+4a=0,0-14a1,此时无解;若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内只有一个实数根,当f(1)=2a+1-120,即a-14时,有f(0)f(1)=-122a+1-12-14,即此时a-14,且a0,符合题意;当f(1)=0,即a=-14时,方程为-12x2+x-12=0,解得x1=x2=1(0,1

9、),不符合题意;若方程2ax2+x-12=0在(0,1)内有两个不等实数根,即f(x)在(0,1)内有两个零点.因为f(0)=-12,所以函数f(x)的图象开口向下,则有a0,0-14a0,此时无解.综上,实数a的取值范围是-14,+.3.D由题意知,2x+y=20,y=20-2x.由三角形三边关系得20-2x0,x+x20-2x,x0,解得5x10,故选D.4.解析(1)要使树在花圃内或在花圃的边界上,则矩形ABCD中,BCa,CD4,因为篱笆长为16m,所以当BC=xm时,CD=(16-x)m.由于BCa,CD4,故ax12,所以y=f(x)=x(16-x)=-x2+16x,其定义域为a,

10、12.(2)由(1)得,y=f(x)=-x2+16x=-(x-8)2+64,xa,12,其图象的对称轴为直线x=8,且0a12.若8a12,则当x=a时,ymax=-a2+16a;若0a8,则当x=8时,ymax=64.易错警示若函数是由实际问题建立的,则其定义域不仅要使所列函数解析式有意义,还要符合实际问题的要求.5.答案(-1,0)解析作出f(x)的图象和直线y=k如图所示,要使f(x)=k有三个不同的实数根,则需-1k0,故实数k的取值范围为(-1,0).易错警示用数形结合法处理分段函数的零点问题时,要注意结合分段函数的自变量的取值范围正确作出函数图象,然后结合方程解的要求讨论参数的取值

11、范围.6.解析(1)由题意知y=g(t)f(t)=(100-2t)(40-|t-20|),y=(100-2t)(20+t),0t20,(100-2t)(60-t),20t40.(2)当20t40时,y=(100-2t)(60-t)在区间20,40上单调递减,故y400,2400;当0t20时,y=(100-2t)(20+t)在区间0,15)上单调递增,在区间15,20)上单调递减,故y2000,2450.当t=40时,y取最小值400;当t=15时,y取最大值2450.7.解析(1)由题意,得费用f(x)关于路程x的函数为f(x)=8(0x2),8+1.9(x-2)(2x10),8+1.98+

12、2.85(x-10)(10x20),即f(x)=8(0x2),4.2+1.9x(2x10),2.85x-5.3(1038.8,该乘客换乘两辆车比只乘一辆车更省钱.思想方法练2.A3.B4.B7.D1.解析(1)设每年砍伐面积的百分比为x0x34,则a(1-x)10=12a,即(1-x)10=12,解得x=1-12110,所以所求百分比为1-12110.根据已知条件建立方程,解方程求值.(2)设经过n年的砍伐,森林的剩余面积为原面积的22,则a12n10=22a,即12n10=1212,解得n=5,所以到今年为止,已经砍伐了5年.(3)设该片森林一共可砍伐m年,则a12m10=14a,即12m1

13、0=122,解得m=20,根据指数方程求解.所以该片森林一共可砍伐20年,故今后最多还能砍伐20-5=15年.2.A画出函数f(x)=x2-6x+6,x0,3x+4,x0的图象,如图所示,画出分段函数的图象,分析函数图象的基本特征.互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x1)=f(x2)=f(x3)等价于平行于x轴的直线与函数f(x)的图象有三个交点,且交点的横坐标分别为x1,x2,x3,结合图象判断方程解的关系,确定函数图象的交点.不妨设x1x2x3,则x2,x3关于直线x=3对称,故x2+x3=6,x1满足-73x10,所以x1+x2+x3的取值范围是-73+6x1+x2+x30+6,即1

14、13x1+x2+x31,即f(x)=-x+122+54,x1,x-122-54,x1.若x(-,1,则当x=-12时,函数f(x)取得最大值54;若x(1,+),则f(x)单调递增,f(x)f(1)=-1,作出y=f(x)的图象如图所示.画出分段函数的图象,结合图象确定方程有三个不同的实数解时参数的取值范围.由图可知,当-1k54时,函数y=f(x)的图象与直线y=k有三个交点,即关于x的方程f(x)=k有三个不同的实数解,故实数k的取值范围是-1k54,故选B.4.B令f(x)=0,得x3=-x,同理,log2x=-x,2x=-x.在同一平面直角坐标系中作出相关函数图象,如图所示,由图象知,

15、cab,故选B.5.答案2,-12解析当x0时,由2x-4=0,得x=2;当x0时,由2x2-3x-2=0,得x=-12或x=2(舍去).根据分段函数分别求解.故函数f(x)的零点是2,-12.6.解析(1)若k=2,则f(x)=|x2-1|+x2+2x.按照x的不同取值范围去掉绝对值分类求解.当x1或x-1时,f(x)=0可化为x2-1+x2+2x=0,即2x2+2x-1=0,解得x=-1-32或x=-1+32(舍去);当-1x1时,f(x)=0可化为2x+1=0,解得x=-12.综上所述,f(x)的零点为-1-32,-12.(2)当0x2时,f(x)=kx+1,0x1,2x2+kx-1,1

16、x2.设f(x)的两个零点x1,x2都在(1,2)内,则x1x2=-12,与x1,x2(1,2)不符合,因此,两个零点分别在(0,1和(1,2)内.按照零点的不同区间范围分类讨论.不妨设x1(0,1,x2(1,2),由x1(0,1,且f(x)=kx+1,得f(x1)=kx1+1=0,k=-1x1-1.由x2(1,2),且f(x)=2x2+kx-1,得f(1)f(2)0(k+1)(2k+7)0-72k-1.综上所述,-72k-1.证明:设g(k)=1x1+1x2,x1=-1k,x2=-k+k2+84或x2=-k-k2+84(舍去),g(k)=1x1+1x2=-k+4-k+k2+8=k2+8-k2

17、=4k2+8+k.g(k)在-72,-1上递减,g(k)=1x1+1x2g-72=-722+8+722=4,1x1+1x20)的图象与函数y=loga(-x)(x0)的图象关于y轴对称,则函数f(x)图象上有且仅有两个点关于y轴对称的问题可转化为函数y=loga(-x)-|x+3|在-4x0上有唯一零点的问题.将对称问题转化为函数零点问题.当0a1时,作出h(x)=loga(-x)(x0),f(x)=|x+3|(-4x1时,由函数h(x)=loga(-x)与f(x)=|x+3|(-4x1,又a1,所以1a4.将函数零点问题转化为函数图象的交点问题.综上所述,a的取值范围是(0,1)(1,4).所以D选项是正确的.8.答案-3,-34解析函数y=log2x,y=4x在其定义域上单调递增,函数f(x)=alog2x+a4x+3在区间12,1上单调且连续,要想函数f(x)在12,1上有零点,则f12f(1)0,结合函数性质将区间上有零点问题转化为零点存在定理的应用问题.即(-a+2a+3)(4a+3)0,解得-3ah(1)=2,即a1,故a的取值范围是(1,+).