数学●全国Ⅰ卷丨2025年普通高等学校招生全国统一考试试卷（解析版）.pdf

1、2025 普通高等学校招生全国统一考试 1 卷一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。1.(1+5i)i 的虚部为()A.-1B.0C.1D.6【答案】C【解析】z=(1+5i)i=-5+i，所以 z 的虚部为 1，选 C。2.设全集 U=x|x 为小于 9 的正整数，A=1,3,5，则 UA 中的元素个数为()A.0B.3C.5D.8【答案】C【解析】U=1,2,3,4,5,6,7,8，A=1,3,5，所以 UA=2,4,6,7,8，共 5 个元素，选 C。3.双曲线虚轴长是实轴长的

2、7 倍，求离心率为()A.2B.2C.7D.2 2【答案】D【解析】由题知 2b=7 2a，所以 ba=7，双曲线的离心率 e=ca=1+b2a2=2 2，选 D。4.已知点(a,0)(a 0)是函数 y=2tan x-3的图像的一个对称中心，则 a 的最小值为()A.6B.3C.2D.43【答案】B【解析】因 为 tan x 的 对 称 中 心 为k2,0,k Z，所 以 y=2tan x-3的 对 称 中 心 为k2+3,0,k Z，所以 a=k2+3,k Z，又 a 0，所以 a 的最小值为 3，选 B.5.已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的偶函数，当 2 x 3 时，f(x

3、)=5-2x，则 f-34=()A.-12B.-14C.14D.12【答案】A【解析】由题知 f(-x)=f(x)，f(x+2)=f(x)，所以 f-34=f34=f114=5-2 114=-12，选 A.6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反图 1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(风速的大小和向量的大小相同，单位 m/s)，则真风为()图

4、 1图 2A.轻风B.微风C.和风D.劲风【答案】A【解析】真风风速+船行风速=视风风速，真风风速=视风风速+船速视风风速=(-3,-1)，船速=(1,3)，真风风速=(-2,2)|真风风速|=2 2 (1.1,3.3)为轻风，选：A.7.已知圆 x2+(y+2)2=r2(r 0)上到直线 y=3x+2 的距离为 1 的点有且仅有 2 个，则 r 的取值范围是()A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+)D.(0,+)【答案】B【解析】由题知圆心 C(0,-2)，半径为 r，圆心 C 到直线的距离 d=|0-(-2)+2|(3)2+(-1)2=2，所以要使圆 C 上到直线 y=3x+2 的距离

5、为 1 的点有且仅有两个，则 1 r y zB.x z yC.y x zD.y z x【答案】B【解析】法一：令 2+2log x=3+3log y=5+5log z=k，则 x=2k-2，y=3k-3，z=5k-5k=5，y x z；k=4，x y z；k=10，z y x；k=8，y z x由此可确定答案为 B，以下为一般性验证：z y 5k-5 3k-3,k ln 312527ln 53,此时 yx=3k-32k-2=3k-32k-32=1232k-3 1232ln 312527ln 53-3=1232ln25ln 53=12322=98 1(此时 y x),不可能有 x z y,选B.

6、法二：设 2+2log x=t，则 x=2t-2=f(t)，y=3t-3=g(t)，z=5t-5=h(t).在同一坐标系中画出三个函数的图象：显然三个函数图象由 y=2t,y=3t,y=5t 向右平移而来，在(-,0)上的大小关系为 2t 3t 5t，因此向右平移后的三个函数图象依然保持此大小关系（底数小的平移量更多）.结合指数函数的增长速度可知，当 t 足够大时，一定有 5t-5 3t-3 2t-2，下面判断中间的过渡过程：当 t=4 时，2t-2 3t-3 5t-5，此时依旧为 f(t)g(t)h(t)；当 t=5 时，f(5)=23=8，g(5)=32=9，h(5)=50=1，即 t1

7、(4,5)使得 f(t)=g(t)，当 t t1后，g(t)f(t)；当 t=8 时，f(8)=26=64，g(8)=35=243，h(8)=53=125，即 t2 (5,8)使得 f(t)=h(t)，当 t t2后，h(t)f(t)；显然 t3(8,+)使得 g(t)=h(t)，当 t t3后，h(t)g(t)；综上，当 t g(t)h(t)，即 x y z；当 t1 t f(t)h(t)，即 y x z；当 t2 t h(t)f(t)，即 y z x；当 t t3时，h(t)g(t)f(t)，即 z y x；则 A、C、D 选项均可能出现，B 选项不可能出现.故选择：B法三：由题知2log

8、 x-1=3log y=5log z+2=k，所以 x=2k+1，y=3k，z=5k-2，当 k=-1 时，x=1,y=13,z=1125，此时 x y z，A 可能正确；当 k=2 时，x=8,y=9,z=1，此时 y x z，C 可能正确；当 k=5 时，x=26=64,y=35=243,z=53=125，此时 y z x，D 可能正确.故选择：B二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。9.在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 为 BC 中点，则()A.AD A1C

9、B.B1C 平面 AA1DC.CC1 平面 AA1DD.AD A1B1【答案】BD10.设抛物线 C:y2=6x 的焦点为 F，过 F 的直线交 C 于 A、B，过 F 且垂直于 AB 的直线交 l:y=-32 x 于 E，过 A 作 x=-32 的垂线，垂足为 D，则()A.|AD|=|AF|B.|AE|=|AB|C.|AB|6D.|AE|BE|18【答案】ACD【解析】F32,0，由抛物线的定义知 AD=AF，A 对.AB 2p=6，C 对.令 AB:x=my+32，A(x1,y1)，B(x2,y2)，x=my+32y2=6x消 y 可得 y2-6my-9=0y1+y2=6m，y1y2=-

10、9，x1+x2=m(y1+y2)+3=6m2+3，AB:x1+32+x2+32=6m2+6，m=0 时 E-32,0，AB=6，EF=3，此时 EF AB，B 错.此时 AE=BE=3 2，AE BE=18，m 0 时，EF:x=-1m y+32，E-32,3mEF=9+9m2，SAEB=12 AE BEsinAEB=12 AB EF=12(6m2+6)9+9m2 9AE BE 18sinAEB 18，综上 AE BE 18，D 对，选 ACD.11.cos2A+cos2B+2sinC=2，SABC=14，cosAcosBsinC=14，以下正确的是()A.sinC=2sin A+2sin B

11、B.AC2+BC2=3C.AB=2D.sinA+sinB=62【答案】ACD【解析】1-22sin A+1-22sin B+2sinC=2,2sin A+2sin B=sinC，A 正确.对于 B，AC2+BC2=AB2=2，B 错.由2sin A+2sin B=sinAcosB+cosAsinB sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)=0，A,B 为锐角，若 A+B 2则A 2-BB 2-A，sinA cosB，sinB cosA，矛盾，舍去，A+B 10.828根据小概率值 =0.001 的独立性检验，我们推断 H0不成立即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关.16

12、.(15 分)已知数列 an 中，a1=3，an+1n=ann+1+1n(n+1).（1）证明：数列 nan 是等差数列；（2）给定正整数 m，设函数 f(x)=a1x+a2x2+amxm，求 f(-2).【解析】（1）an+1n=ann+1+1n(n+1)，(n+1)an+1=nan+1，(n+1)an+1-nan=1 nan 是以 1 为公差的等差数列.（2）1a1=3，nan=3+(n-1)1=n+2，an=n+2nf(x)=a1+2a2x+3a3x2+mamxm-1f(x)=3+4x+5x2+(m+2)xm-1，xf(x)=3x+4x2+(m+1)xm-1+(m+2)xm，-，(1-x

13、)f(x)=3+x+x2+xm-1-(m+2)xm，x=-23f(-2)=3+-21-(-2)m-11-(-2)-(m+2)(-2)m3f(-2)=3+-2-(-2)m3-(m+2)(-2)m=73-m+73(-2)mf(-2)=79-m3+79(-2)m.17.(15 分)如图所示的四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD.BC AD，AB AD.（1）证明：平面 PAB 平面 PAD；（2）若 PA=AB=2，AD=3+1，BC=2，P,B,C,D 在同一个球面上，设该球面的球心为 O.（i）证明：O 在平面 ABCD 上；（ii）求直线 AC 与直线 PO 所成角的余弦值.【解析】

14、（1）AB AD，又 PA 平面 ABCD，AB 平面 ABCD，PA ABAD PA=A，AD,PA 平面 PAD，AB 平面 PADAB 平面 PAB，平面 PAB 平面 PAD.（2）PA 平面 ABCD，PA AD，AB,AD,AP 两两垂直，分别以 AB,AD,AP 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz.则 B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3+1,0)，P(0,0,2)法一：（i）设球心 O(x,y,z)，半径 R，OP=ROB=ROC=ROD=R，x2+y2+(z-2)2=R(x-2)2+y2+z2=R(x-2)2+(y-2)2+z2=Rx2+(y-3-1)

15、2+z2=R，x=0y=1z=0R=3O(0,1,0)，O 平面 ABCD.法二：（i）设 BCD 外接圆圆心为 O1，易知 BC 中垂线为 y=1；BD 中垂线为 y=23+1 x+1，联立解得 O1(0,1,0)，由于 PO1=3,BO1=3，所以 PO1=BO1，此时 O 与 O1重合，故 O 在平面 ABCD 上.（ii）AC=(2,2,0)，PO=(0,1,-2)cos =|cos|=|ACPO|AC|PO|=26 3=2318.(17 分)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 2 23，下顶点为 A，右顶点为 B，|AB|=10.（1）求 C 的方程；（2）

16、已知动点 P 不在 y 轴上，点 R 在射线 AP 上，且满足|AP|AR|=3.（i）设 P(m,n)，求 R 的坐标（用 m,n 表示）；（ii）设 O 为坐标原点，Q 是 C 上的动点，直线 OR 的斜率是直线 OP 的斜率的 3 倍，求|PQ|的最大值.【解析】方法一：（1）a2+b2=10e=ca=2 23a2+b2=101-b2a2=89 a2=9b2=1，x29+y2=1.（2）Q(x0,y0)，A(0,-1)，P(m,n)，|AP|AQ|=3，AP=(m,n+1)，AP AQ=3，AQ=(x0,y0+1)mx0+(n+1)y0=2-n，AP:y=n+1mx-1，Q 在 AP 上

17、，y0=n+1mx0-1 (n+1)x0-my0=m，联立 x0=3mm2+(n+1)2y0=-m2-n2+n+2m2+(n+1)2（3）k1=kOQ=-m2-n2+n+23m，k2=kOP=nm，3k2=k1 3nm=-m2-n2+n+23m，M(x1,y1)x21=9-9y21 m2+(n-4)2=18 P 轨迹为以 C(0,4)为圆心，3 2 为半径的圆|PM|max=|MC|max+r=x21+(y1-4)2+3 2=9-9y21+y21-8y1+16+3 2=-8y21-8y1+25+3 2，当 y1=-12 时，|PM|max=3 3+3 2.方法二：（1）由题意知ca=2 23a

18、2+b2=10a2-b2=c2 a=3b=1椭圆：x29+y2=1.（2）设 AQ=AP，A(0,-1)，AP AQ=AP AQ=AP2=3，=3m2+(n+1)2 AQ=3m2+(n+1)2(m,n+1)=3mm2+(n+1)2,3(n+1)m2+(n+1)2 Q3mm2+(n+1)2,3(n+1)m2+(n+1)2-1（3）k1=3(n+1)-m2-(n+1)23m，k2=nm3(n+1)-m2-(n+1)23m=3nm，m2+n2+8n-2=0 P 在圆 B:x2+(y+4)2=18 上运动，B(0,-4)，M(x0,y0)|PM|MB|+3 2=x20+(y0+4)2+3 2=9-9y

19、20+y20+8y0+16+3 2=-8y20+8y0+25+3 2 3 3+3 2当且仅当 y0=12 时取“=”第三问方法三：（ii）kOR=yRxR=3kOP=3nm=3(n+1)m2+(n+1)2-13mm2+(n+1)2=3(n+1)-m2+(n+1)23m m2+(n+4)2=18，即 P 在以 G(0,-4)为圆心，半径为 r=3 2 的圆上运动，所以|PQ|PG|+|QG|=r+|QG|=3 2+|QG|，Q 在椭圆 C 上，故可设为(3cos,sin)，|QG|2=92cos +(sin+4)2=-82sin +8sin+25=-8 sin-122+27 27当 sin=12

20、，即 Q 为 3 32,12，且 P,Q,G 三点共线且 P 在 QG 射线上时取到最大值，此时|QG|max=3 3，所以|PQ|max=3(2+3).19.(17 分)设函数 f(x)=5cosx-cos5x.（1）求 f(x)在 0,4的最大值；（2）给定 (0,)，设 a 为实数，证明：存在 y (a-,a+)，使得 cosy cos；（3）若存在 t 使得对任意 x，都有 5cosx-cos(5x+t)b，求 b 的最小值.【解析】（1）f(x)=-5sinx+5sin5x=5(sin5x-sinx)，令 f(x)=0，得：sin5x=sinx，则有 5x=x+2k 或 5x=-x+

21、2k（k Z），即：x=k2 或 x=6+k3；因为 x 0,4，所以 x=0 或 x=6，f(0)=4，f 6=3 3，f 4=3 2，所以，函数f(x)=5cosx-cos5x 在区间 0,4的最大值为 3 3.（2）法一：不妨设 a (0,2)，若 a cos 在 0,2)内是 0,)(2-,2)，每个小段的长度为；由余弦函数的周期性，SC 可以表示为kZ2k,2k+)，相邻区间间距为 2(k+1)-(2k+)=2-2，(0,)；区间 I=(a-,a+)，假设 I 与 S 没有交集，即 I 完全包含在 SC 中，因为 SC 是由许多长度为 的小区间组成的，而 I 的长度是 2，所以 I

22、不可能完全包含在任何一个长度为 的小区间内；因此，该假设不成立，I 必须与 S 有交集，即：存在 y a-,a+，使得 cosy cos.法三：由于 cosx 周期为 2 且为偶函数，不妨设 a 0,若 a ，则取 y=a a-,a+，cosy=cosa cos若 a ，则取 y=a-,a+，cosy=cos cos法四：可取 c=a-2k，其中 k 为整数，-c 分情况讨论-情况：当|c|时，取 y=a，则 cosy=cosa=cosc cos-情况：当|c|时-(i)当 c 0 时，c+，故取 z=(c,c+，y=z+2k (c+2k,c+2k，即 y (a,a+，且 cosy=cosz=

23、cos cos-(ii)当 c 0 时，c-，取 z=-c-,c)，y=z+2k c+2k-,c+2k)，即 y a-,)，且 cosy=cosz=cos(-)=cos cos综上：当 (0,)时，对于任意的实数 a，均存在 y a-,a+，使得 cosy cos备注：当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：当 =2，则 cos=0，满足 cosy cos=0 的 y 在2,32，对于任意的 a R，区间 a-2,a+2的长度是，因为2,32的长度也是，所以无论怎样平移，这两个区间都会有重叠的部分。就是：“给定 =2 和 a R，存在 y a-,a+，使得 cosy co

24、s”。据此，打开解题思路，再按照一般情况去书写。（3）本问题意：要找到最小的实数 b，使得存在 R 使得 5cosx-cos(5x+)b 对 x R 恒成立，换句话说，就是：我们需要调整参数 的值，使得函数 g(x)=5cosx-cos(5x+)的最大值尽可能小，这个最小的最大值就是 b 的最小值；方法一：g(x)=5cosx-cos(5x+t)，下证 b=3 3 为所求.若 b 3 3，不妨设 t -,)，则|g(x)|3 3，x R有 g-t6=5cos-t6-cos 5-5t6+t=5cos t-6+cos t-6=6cos t-63 3g-t6=5cos+t6-cos-5-5t6+t=

25、6cos+t6 3 3cos t-632，cos t+632，t -,)，则 t-6-3,0，t+6 0,3则t-6 6 t0矛盾若 b=3 3，则取 t=0，f(x)=5cosx-cos5x=5cosx-(165cos x-203cos x+5cosx)=20t3-16t5,t=cosx证明 t -1,1 有 20t3-16t5 3 3，t=32时取等下证 t6(20-16t2)2 27 x3(20-16x)2 27，x 0,1均值：323 x3(20-16x)24055=85 x3(20-16x)2 27，得证.方法二：由余弦函数周期性可令 0,2).当 =0 时，5cosx-cos(5x

26、+)2=5cosx-(165cos x-203cos x+cosx)2=2109(2cos x)3158-322cos x2 2109 32cos x+2 158-322cos x55=27 b 3 3 bmin=3 3当 (0,2)时，取 x=-6-6,6，则 5cosx-cos(5x+)=5cosx-cos 5+6=6cosx 3 3 bmin=3 3综上可得：bmin=3 3法三：令 g(x)=-5sinx+5sin(5x+)=0，即：sin(5x+)=sinx解得：5x+=x+2k 或 5x+=-x+2k，（k Z）即：x=-4+k2 或 x=-6+6+k3，（k Z）当 x=-4+k

27、2，即 5x+=x+2k 时，cos(5x+)=cosx，g(x)=4cosx；当 x=-6+6+k3，即 5x+=-x+2k 时，cos(5x+)=-cosx，g(x)=6cosx；函数 g(x)=5cosx-cos(5x+)的最大值出现在极值点，因此我们需要比较 4cosx 和6cosx 的最大值，由于 6cosx 的系数更大，因此 g(x)的最大值主要由 6cosx 决定，我们让6cosx 尽可能小，也就是让 cosx 尽可能小；调整参数，使得函数 g(x)的最大值尽可能小当 =0 时，极值点为 x=6+k3，在这些点上，cosx 的最大值是 cos 6=32因此 g(x)的最大值为 6

28、cos 6=3 3；对于其他的，cosx 的最大值不会小于32，因此 g(x)的最大值不会小于 3 3.法四：由(1)知：b=3 3 时，=0 满足要求下证 3 3 是极小的：若 b b这是一个矛盾！法五：只需考虑 t 0,2)，设函数 g(x)=5cosx-cos(5x+t)，则有g-t6=5cos-t6-cos 5-t6=6cos-t6因为 t 0,2)，所以-t6-6,6，因此 6cos-t6 3 3，即 g-t6 3 3。令 t=0，g(x)=f(x)，由(1)得，f(x)在 0,4上的最大值为 3 3，当 x 4,2时，由(1)得，方程 sin5x=sin x 仅有一个解 x=2，因

29、为 f 4=-5 2 0，所以当 x 4,2时，f(x)0，f(x)单调递减，即 f(x)f 4=3 2。当 x 2,时，f(x)=-f(-x)0，故 f(x)在 0,2 上的最大值为 3 3，因为 f(x)是周期为 2 的函数，所以 f(x)的最大值为 3 3。由 g-t6 3 3 可得 b 3 3，因为 t=0 时 g(x)=f(x)3 3，所以 bmin 3 3。综上所述，b 的最小值为 3 3。备注：1.本题第 3 问，当考生无法打开解题思路时，可以从简单的、特殊情况开始尝试，如：=0时，g0(x)=5cosx-cos5x，计算可知：g0(x)=5cosx-cos5x 的最大值确实是 3 3.对于其他的，g(x)的最大值不会比 3 3 更小；2.第（1）问的设置，也为第（3）问做好铺垫，g0 6=5cos 6-cos 56=3 3.(1)f(x)=-5sinx+5sin5x=5(sin5x-sinx)=10cos3x sin2xf(x)在 0,6，6,4故 f(x)max=f 6=3 3因此，bmin=3 3