数学答案：福建省部分地市2024届高中毕业班4月诊断性质量检测数学试题答案及评分参考.pdf

1、数学参考答案及评分标准第 1 页 共 12 页绝密启用前试卷类型：A福建省部分地市 2024 届高中毕业班 4 月诊断性质量检测数学试题答案及评分参考2024.4一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CDABBCAD1已知复数 z 满足(1)i1 iz （i 是虚数单位），则 z A 1B1C iDi解析：ii1 iz ，i1z ，即iz ，故选 C.2已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，5cos5，(,2)P m为其终边上一点，则 m A 4B 4C 1D1解析：5cos5，2

2、tan2m，1m ，故选 D.3函数223()1xf xx的图象大致为解析：结合该函数为偶函数，及 03f可判断应选 A.4在菱形 ABCD 中，若|ABADAB，且 AD在 AB上的投影向量为AB，则 A12B 12C22D22解析：由已知 ABADAB知该菱形中 ABADBD，由 D 向 AB 作垂线，垂足即为 AB 中点，12，故选 B.5已知5log 2a，2logba，1()2bc，则数学参考答案及评分标准第 2 页 共 12 页A.cbaB.cabC.abcD.bca解析：55log 2log 51a，2log0ba，1()12bc ，cab，故选 B.6棱长为1的正方体1111A

3、BCDA B C D中，点 P 为1BD 上的动点，O 为底面 ABCD 的中心，则OP 的最小值为A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知 ACBD，1ACDD，且1BDDDD，AC 平面1BDD，易知当OP 平面1BDD，且1OPBD时，OP 的长度最小，在1RTBDD中,不难求得66OP，故选 C.7若直线 yaxb与曲线exy 相切，则 ab的取值范围为A(,eB2,eCe,)D2,)解析：设切点为00(,e)xx，则0e,xa 切线方程为000e()exxyxx，则00(1)exbx，00(2)exabx，设00()(2)exf xx，则00()(1)exfxx，易知函

4、数()(1)ef xf，又(2)02f，故可判断选 A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于1,e 时，11eeabab 最大，亦可知选 A.）8已知函数()2sin(3sincos)f xxxx(0)在(0,)3上单调递增，且对任意的实数 a，()f x 在(,)a a 上不单调，则 的取值范围为A5(1,2B5(1,4C 1 5(,2 2D 1 5(,2 4解析：()2sin(3sincos)2sin(2)33f xxxxx，()f x 在(0,)3上单调递增，2332，54，对任意的实数 a，()f x 在区间(,)a a 上不单调，()f x 的周期2T，222T，12，1524，故选

5、D二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分数学参考答案及评分标准第 3 页 共 12 页题号91011答案ABDACDBC9双曲线2222:13xyC aa(0)a 的左、右焦点分别为1F，2F，且C 的两条渐近线的夹角为，若12|2F Fe（e 为C 的离心率），则A1a B3 C2e DC 的一条渐近线的斜率为3解析：易知该双曲线实半轴为 a，虚半轴为3a，半焦距为 2a，离心率22aea，焦距 44a，即1a ，选项 A 正确，选项 C 错误；易知 C 的两条渐近

6、线的斜率为33aka ，这两条渐近线的倾斜角分别为 3和 23，C 的两条渐近线的夹角为 3，选项 B，D 正确；综上所述，应选 ABD.10.定义在 R 上的函数()f x 的值域为(,0)，且(2)()()0fxf xy f xy，则A(0)1f B2(4)(1)0ffC()()1f x fxD()()2f xfx 解析：令0 xy，则 2000ff，函数()f x 的值域为(,0)，(0)1f ，选项 A 正确；令1x ，0y，则2(2)(1)ff，令2x，0y，则24(4)(2)(1)fff ，选项 B 错误；令0 x，则(0)()()0ff y fy，()()(0)1f y fyf

7、，即()()1f x fx，选项 C 正确；()0f x，()0fx，()()2()()2f xfxf x fx()()2f xfx ，故选项 D 正确；综上所述，应选 ACD.11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)nnnXn第 次投出正面,第 次投出反面,记 A表示事件“120XX”，B 表示事件“21X ”，C 表示事件“1231XXX ”，则数学参考答案及评分标准第 4 页 共 12 页A B 和C 互为对立事件B事件 A 和C 不互斥C事件 A 和 B 相互独立D事件 B 和C 相互独立解析：考查选项 A，事件 B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项

8、 A 错误；考查选项 B，事件 A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项 B 正确；考查选项 C，易知12211()()22P AC，1()2P B，事件 AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB，1()()()4P ABP A P B，故选项 C 正确；考查选项 D，由选项 AC 可知311()()28P BC，1()2P B，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()()28P CC，()()()P BCP B P C，故选项 D 错误；综上所述，应选 BC三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分12.160；13.2；14

9、.22mm；1或 2 12.62()xx的展开式中常数项为解析：易知该二项展开式通项为662()rrrC xx，当3r 时，得到常数项为 160，故应填160 13某圆锥的体积为3 3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为解析：设该圆锥的母线长为l，底面圆半径为 r，根据侧面展开图为半圆得 2rl，即2lr，又根据圆锥体积得2221333rlr，解得1r ，2l，故应填 2 14.设nT 为数列na的前 n 项积，若nnTam，其中常数0m 则2a（结果用 m 表示）；若数列 1nT为等差数列，则 m 解析：易知112mTa，12221)(2ma aaam，解得222amm，故应填 22mm

10、；（方法一）211111111111111nnnnnnnnTTmamamammaammma(2)n，数学参考答案及评分标准第 5 页 共 12 页若数列1nT为等差数列，则2111nnmmaa为常数 d，若0d，则11na (2)n 恒成立，即1na(1)n 恒成立，2m；若0d，则1211nndmdmaa ，2,11dmdm解得1,1,dm综上所述，若数列1nT为等差数列，则1m ，或2m，故应填1或 2（方法二）1nT为等差数列，111nndTT(2)n，易知112Tm，且 12(1)nndTm，当2n 时，nnTam，1nnnTTmT，111nnmTT ，由 12(1)nndTm，可得2

11、2(1)1(2)m ndndm，2(1)1(2)mdnmdm 对于任意 n 恒成立，1,21(2)0,mmdm 或0,21(2)0,dmdm 解得1,1,md或0,2,dm综上所述，若数列1nT为等差数列，则1m ，或2m，故应填1或 2 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13 分）ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且 sinsinaCcB，23C.（1）求 B 的大小；（2）若ABC的面积为 3 34，求 BC 边上中线的长.解：（1）sinsinaCcB，由正弦定理，得sinsinsinsinACCB，2 分 0C，si

12、n0C，sinsinAB，3 分 0A，0B，AB，5 分ABC，且23C，6B.6 分数学参考答案及评分标准第 6 页 共 12 页（2）依题意 3 31sin42 abC，7 分 AB，ab，8 分223 3123sin4234aa，解得3a，10 分设边 BC 的中点为 D，3,32CDAC，在ACD中，由余弦定理知2222cosADACCDAC CDC33221323cos4234，12 分 BC 边上中线的长为212.13 分16（15 分）如图，在三棱柱111ABCA B C中，平面11ACC A 平面 ABC，12ABACBCAA，16AB.（1）设 D 为 AC 中点，证明：A

13、C 平面1A DB；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值（第 16 题图）解：（1）D 为 AC 中点，且2ABACBC，在ABC中，有 BDAC，且3BD，1 分平面11ACC A 平面 ABC，且平面11ACC A 平面 ABCAC，BD平面11ACC A，2 分1A D 平面11ACC A，1BDAD，3 分16AB，3BD，13A D，4 分数学参考答案及评分标准第 7 页 共 12 页1AD ，12AA，13A D，由勾股定理，有1ACA D，6 分 ACBD，1A DBDD，AC 平面1A DB，7 分（2）如图所示，以 D 为原点，DA，DB，1DA 所在

14、直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz，可得(1,0,0)A，1(0,0,3)A，(0,3,0)B，9 分1(1,0,3)AA ，(1,3,0)AB ，10 分设平面11A AB 的法向量为(,)x y zn，则由10,0,AABA nn得30,30,xzxy 令3x，则1y ，1z ，(3,1,1)n，12 分由（1）可知，BD平面11ACC A，平面11ACC A 的一个法向量为(0,3,0)BD，13 分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为，5cos|5|353BDBDn|n|，平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为55 15 分数学

15、参考答案及评分标准第 8 页 共 12 页17（15 分）从一副扑克牌中挑出 4张 Q 和 4张 K，将其中 2张Q 和2张K装在一个不透明的袋中，剩余的 2张 Q 和 2张K放在外面现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q，则把它放回袋中；若抽出 K，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张 Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的 K全部置换为 Q.（1）在操作 2次后，袋中K的张数记为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n ()nN次后，恰好将袋中的K全部置换为Q”为nA，记()nnPP A.（i）在第1次取到Q 的条件下，求总共 4次操作恰好完成置换的概率；（ii）

16、试探究1nP 与nP 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意 X 的取值可能为 0，1，2，1 分当0X 时，即第一次取出 K，第二次也取出 K，211(0)22318P X，2 分当1X 时，即第一次取出 Q，第二次取出 K，或第一次取出 K，第二次取出Q，2223135(1)2222223 1488P X，3 分当2X 时，即第一次取出 Q，第二次也取出 Q，221(2)22224P X，4 分 X 的概率分布列为5 分 X 的数学期望1519()0128848E X 6 分（2）（i）记事件“第1次取到 Q”为 B，事件“总共 4次操作恰好完成置换”为C，则1()2P B，7 分依题意

17、，若第1次取出 Q，则剩余的3 次操作，须将袋中 K全部置换为 Q，若第 2次亦取出Q，则第3次和第 4次均须取出K，X012P185814数学参考答案及评分标准第 9 页 共 12 页其概率为 1221122+22+23+132；8 分若第 2次取出 K，则第3 次须取出Q，第 4次须取出 K，其概率为 1231322+23+13+164；9 分13()53264(|)1()322P CBP C BP B，即在第1次取到Q 的条件下，总共 4次操作恰好完成置换的概率为 532 10 分（ii）（方法一）由题可知若事件1nA 发生，即操作2n 次后，恰好将袋中的 K全部置换为Q，当第1次取出Q

18、，则剩余的1n 次操作，须将袋中 K全部置换为Q，概率为212+22nnPP；12 分当第1次取出K，则从第 2次起，直到第1n 次均须取出 Q，且第2n 次取出 K，概率为 23113()()2+23+13+184nn；14 分1+113()284nnnPP15 分（方法二）由题可知若事件1nA 发生，即操作2n 次后，恰好将袋中的 K全部置换为Q，则一定有第2n 次（最后一次）取出 K，当第1n 次（倒数第二次）取出 Q，则须在之前的 n次操作中的某一次取出 K，概率为 333+14nnPP；12 分当第1n 次（倒数第二次）取出 K，则从第1次起，直到第 n次均须取出Q，概率为32211

19、11()()()2+22+23+1822nnn；14 分133+1()42nnnPP15 分18（17 分）在直角坐标系 xOy 中，已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，过 F 的直线 l 与C 交于 M，N 两点，且当 l 的斜率为1时，|8MN|（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点 P，直线 PO 与C 交于点Q（异于原点）记线段 MN 的中数学参考答案及评分标准第 10 页 共 12 页点为 R，若|3QR，求MNQ面积的取值范围解：(1)不妨设l 的方程为2pxmy，11(,)M x y，22(,)N xy，联立l 与C 的方程，得2220ympyp，1 分

20、122yymp，212y yp，2 分则21212|()22(1)MNxxpm yypp m，3 分由题可知当1m 时，|8MN，2p，4 分C 的方程为24yx5 分(2)由(1)知1222Ryyym，将 R 的纵坐标 2m 代入1xmy，得2(21,2)Rmm，6 分易知C 的准线方程为1x ，又l 与C 的准线交于点 P，2(1,)Pm，7 分则直线OP 的方程为2mxy，8 分联立OP 与C 的方程，得22ymy，2(,2)Q mm，9 分Q，R 的纵坐标相等，直线QRx 轴，11 分222|21|1QRmmm ，12 分MNQQRMQRNSSS121|2 QRyy32222(1)12

21、|mmQR，14 分点Q（异于原点），0m，15 分|3QR，13|QR，3222|6 3QR，即(2,6 3MNQS17 分19（17 分）若实数集 A，B 对aA，bB，均有(1)1baab，则称 AB具有 Bernoulli型关系.（1）判断集合|1Mx x，1,2N 是否具有 Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合|1Sx x，|Tx xt，若 ST具有 Bernoulli 型关系，求非负实数 t 的取值范围；数学参考答案及评分标准第 11 页 共 12 页（3）当*n N 时，证明：1215()81nkkknk解：（1）依题意，MN是否具有 Bernoulli 型关系，

22、等价于判定以下两个不等式对于1x 是否均成立：1(1)1xx，2(1)12xx，2 分1x，1(1)1xx，22(1)1212xxxx MN具有 Bernoulli 型关系4 分（2）（方法一）令()(1)1bf xxbx，xS，(0,)b ，则1()(1)1bfxbx，5 分当1b 时，显然有(1)1baab，(1)1bxxb 成立；6 分当1b 时，若 10 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x 在区间(1,0)上单调递减，若0 x，则1(10)10b，即(0)0f，若0 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x 在区间(0,)上单调递增，()f x 的

23、最小值为(0)0f，()(0)0f xf，(1)(1)0bxbx，(1)1bxxb 成立；8 分当 01b时，若 10 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x 在区间(1,0)上单调递增，若0 x，则1(10)10b，即(0)0f，若0 x，则10(1)(1)1bxx，即()0fx，()f x 在区间(0,)上单调递减，()f x 的最大值为(0)0f，()(0)0f xf，(1)(1)0bxbx，即(1)1bxbx，当 xS，且 01b时，(1)1bxxb 不能恒成立，10 分综上所述，可知若 ST具有 Bernoulli 型关系，则|1Tx x，非负实数 t 的取值范围为

24、1,)11 分（方法二）当1b，或 01b时，与方法一相同；8 分数学参考答案及评分标准第 12 页 共 12 页当1b 时，若10ab ，(1)01baab，(1)1baab，若10ab ，则1ab ，又1b ，101b，由方法一的结论，可知11(1)11bababab ，即1(1)1baba，9 分10ab，且(1,)a ，1(1)(1)bbbaba，即1(1)baba，即(1)1baab；10 分若集合|1Sx x，|Tx xt具有 Bernoulli 型关系，则|1Tx x，非负实数 t 的取值范围为为1,)11 分（3）11122222211()()(1)1kkkkkkkk，12 分

25、显然211k ，且1012k，由（2）中的结论：当 01b时，(1)1bxxb，可知122231111(1)1+122kkkkk，13 分当2k 时，33121(1)11124()4(1)(1)4(1)(1)kkkkkkk kkkk k，1221111(1)14(1)(1)kkkkk k，2k，15 分当1n 时，1215()81nkkknk显然成立；16 分当2n 时，1122122311()2()124(1)4(1)11nnnkkkkkkkkkk kkk21111111151524(1)(1)242(1)84(1)8nknnnnkkk kn nn n，综上所述，当*n N 时，1215()81nkkknk.17 分