新高一数学衔接教材（学生版）.pdf

1、第一章 函数的基础第三讲 基本不等式 第三讲 基本不等式 1010第六讲 逻辑用语 第六讲 逻辑用语 2828第五讲 集合的关系与运算 第五讲 集合的关系与运算 2222第四讲 元素与集合 第四讲 元素与集合 1616第一讲 乘法公式与因式分解 第一讲 乘法公式与因式分解 11第二讲 不等式的含义与解法 第二讲 不等式的含义与解法 55第一章 章末总结 第一章 章末总结 3434第二章 函数的共性第九讲 函数奇偶性及其应用第九讲 函数奇偶性及其应用 4747第十讲 函数对称性第十讲 函数对称性 5252第七讲 函数概念与有界性 第七讲 函数概念与有界性 3636第八讲 函数单调性及其应用第八讲

2、 函数单调性及其应用 4343第二章 章末总结 第二章 章末总结 5757第三章 函数的变换第十三讲 对勾函数和二次分式型函数 第十三讲 对勾函数和二次分式型函数 7272第十五讲 函数零点与分段函数 第十五讲 函数零点与分段函数 8686第十四讲 二次函数及其变换 第十四讲 二次函数及其变换 7979第十一讲 一次函数及其变换 第十一讲 一次函数及其变换 5959第十二讲 反比例函数与一次分式函数 第十二讲 反比例函数与一次分式函数 6666第三章 章末总结 第三章 章末总结 94941第一讲 乘法公式与因式分解第一讲 乘法公式与因式分解整式的乘法公式整式的乘法公式模块一模块一课堂精讲在初中

3、，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主要学习了两个基本的乘法公式平方差公式和完全平方公式。平方差公式a2-b2=a-b(a+b)完全平方公式a b2=a2 2ab+b2例 1 化简：9-4 5高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中,我们将拓展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。由于 a+b3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3于是有：完全立方和公式a+b3=a3+3a

4、2b+3ab2+b3将完全立方和中的 b 换成-b,得到完全立方差公式:完全立方差公式a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3由完全立方和公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2=a3+b3,即(a+b)(a+b)2 3ab=a3+b3于是有：立方和公式a3+b3=a+b(a2-ab+b2)仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立方差公式的由来。立方差公式a3-b3=a-b(a2+ab+b2)例 2 计算下列代数式(1)(4+m)(16 4m+m2)(2)15 m 12 n125 m2+110 mn+14 n2以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a

5、+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2于是有:三项和平方公式a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc将上式中的 c 全部换成-c 得到如下公式:a+b-c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc例 3 计算：x22x+1322随堂练习练1 若 x+y=6，x2+y2=20，x-y 等于()A.2B.-2C.4D.2练2 若 a2-ab=7-m，b2-ab=9+m，则 a-b 的值为()A.2B.2C.4D.4练3 计算：(1)(a+2)(a 2)(a4+4a2+16)(2)(x2+2xy+y2)(x2 xy+y2)2练4 已知 x2 3x-1

6、=0，求 x3+1x3 的值因式分解因式分解模块二模块二课堂精讲1.因式分解的概念把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。2.提公因式法分解因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把 ma+mb+mc=m(a+b+c).的分解方法称为提公因式法。3.公式法分解因式利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式分解的方法称为公式法分解因式。例 4 已知 ab=-2，a-3b=5，求 a3b-6a2b2+9ab34.十字相乘法分解二次三项式利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。举例：3x2+11x+10=0 5x+6x=11

7、x 3x2+11x+10=0(x+2)(3x+5)=0 x3x52一拆：拆出二次项与常数项的因式三书写：横向书写拆出的式子二判：交叉相乘和为一次项可用该方法5.主元法分解因式形如 Ax2+By2+Cx+Dy+E 的代数式可以采用主元法进行分解。m2-k2+5m+3k+4=m2+5m-k2+3k+4=m2+5m+(-k+4)(k+1)=(m-k+4)(m+k+1)将 m 作主元，k 作常数mm(-k+4)(k+1)(-k+4+k+1)m=5m主元法分解因式6.双(长)十字相乘法形如 Am2+Bmk+Ck2+Dm+Ek+F 的代数式的因式分解。3步骤:运用十字相乘法分解前的二次三项式;在这个十字相

8、乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右端，使这两因数与含 k 的项交叉之积的和等于原多项式中含 k 的一次项 Ek,同时这两个因数与含 m 的项的交叉之积的和等于原多项式中含 m 的一次项 Dm.m2-2mk-8k2-m-14k-6=(m-4k-3)(m+2k+2)mm-4k2k2-37.试根待定系数法对于一元三次代数式 Ax3+Bx2+Cx+D 先将其化简为系数为 1 的形式：A x3+BA x2+CA x+DA。若上述代数式有有理根，则：DA 所有因数中有一个必是方程的根。x3-9x+10=(x-2)(x2+ax-5)=(x-2)(x2+2x-5)待定系数设出剩余因

9、式 将式子展开，与原式对比 可得：a=2 10 的因子 1，2，5 代入原式可得：x=2 时原式=0，得因式:(x-2)检查一元二次代数式能否继续因式分解例 5(2022 湖南模拟改编)设 x3+ax+b=0，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是()A.a=-3，b=2B.a=-3，b=-2C.a=-4，b=3D.a=1，b=2随堂练习练5 分解因式 x3-1练6 利用十字相乘法分解因式：(1)x2+(a+2)x+2a(2)x2-(3+t)x+3t练7 分解因式：(1)xy-1+x-y(2)2x2+xy-y2-4x+5y-6(3)x3-3x2+4.练8(2021 春 邯郸高一期中)已知在

10、底面半径为 3、母线长为 5 的圆锥中内接一个高为 2 的圆柱。(1)求圆柱的体积；(2)在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1)中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的高；若不存在，请说明理由。4课后提升巩固1 分解因式(1)x2+3x+2(2)x2+2x-15.巩固2 已知 a+b=7，ab=-2求：(1)a2+b2的值；(2)(a-b)2的值巩固3 分解因式：(1)x3+2x2-5x-6(2)x3-2x2-15x+16巩固4 把下列各式分解因式：(1)x2-(a+b)x+ab(2)(x+y)2-(3+a)|x+y|+3a.巩固5 分解因式：(1)x3+9+3x2+3x；(2)2x2+

11、xy-y2-4x+5y-6巩固6 如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边长都为 n 的小正方形，五块是长为 m，宽为 n 的全等小长方形，且 m n.(以上长度单位：cm)(1)用含 m、n 的代数式表示图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和；(2)观察图形，可以发现代数式 2m2+5mn+2n2可以因式分解为 _；(3)若每块小长方形的面积为 10cm2，四个正方形的面积和为 58cm2，试求 m+n2的值。mmmnn5第二讲 不等式的含义与解法第二讲 不等式的含义与解法一元二次不等式一元二次不等式模块一模块一课堂精讲初中阶段我们比较系统的学

12、习了一元二次方程与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与 x轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与 x 轴交点的横坐标。今天我们将探寻二次函数、二次方程与一元二次不等式的关系。我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系：kx+n 0 的解集表示的是一次函数 y=kx+n 在 x轴上方时对应的自变量取值范围的集合。由此，我们可以知道:任意一个一元不等式，其含义是：不等式 0 的解集表示不等式对应的函数在 x轴上方时对应自变量取值范围的集合；不等式 0(a 0)的不等式称为一元二次不等式。2.一元二次不等式的解法(1)令 ax2+bx+c=0，计算：=b

13、2-4ac当 0 时，解出方程两根：x1,x2；(2)令 y=ax2+bx+c，作出函数草图；(3)根据不等式的含义翻译不等式，读取解集。注：作草图时只需画 x 轴。很多学生作函数草图习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应先画抛物线，再根据题意加 x 轴和 y 轴以 a 0 为例：0=0 0y 0 xx1x2xx0 xx x2x -b2a全体实数y 0 xx1x2xx0 xx1 x 0 恒成立的条件是a 0 0ax2+bx+c 0 恒成立的条件是 a 0 06随堂练习练1 解下列不等式(1)2x2-x-1 0(2)6x2+5x 0 的解集。原不等式可以化为：(x+a 1)(x a)0练

14、3 已知对于任意实数 x，kx2-2x+6 恒为正数，求实数 k 的取值范围。练4 已知不等式 ax2+bx+c 0(a 0)的解是 x 3，求不等式 bx2+ax+c 0 的解。练5(2021 秋 惠州高一期末)已知不等式(1-a)x2-4x+6 0 的解集是-3 x 1(1)求常数 a 的值；(2)若关于 x 的不等式 ax2+mx+3 0 的解集为全体实数，求 m 的取值范围。练6(2021 秋 泸州高一期末)已知函数 y=2x2-2ax+1(1)若 y b 的解集为-1 x a+1-x7分式型不等式分式型不等式模块二模块二课堂精讲1.分式不等式形如 ax+bcx+d 0 的不等式称为分

15、式不等式。2.分式不等式的解法将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需要注意分式有意义的条件：分母不为 0。转化方法：ax+bcx+d 0 (ax+b)(cx+d)0 (ax+b)(cx+d)0ax+bcx+d 0(ax+b)(cx+d)0cx+d 0ax+bcx+d 0(ax+b)(cx+d)0cx+d 0例 3 解不等式：x 3x+7 0随堂练习练7 解下列不等式(1)2x-3x+1 0(0(0(0”，则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0；8随堂练习练9 解不等式：(x-2)2(x-3)3(x+1)0练10 解不等式：(x-3)(x+1)(x2+4x+4)0练11 解不等式(1)

16、x-2 3x(2)x3-1(x+2)(x-3)0课后提升巩固1 解下列不等式：(1)x2-2x-8 0(2)x2-4x+4 0(3)x2-x+2 1(2)2x-1x+2 3巩固3 已知对于任意实数 x，kx2-2x+k 恒为正数，求实数 k 的取值范围。巩固4 已知不等式 ax2+bx+1 0 的解为-12 x 13，求 a 和 b 的值，并解不等式 bx2-5x-a 09巩固5(2021 秋 顺义区高一期末)已知不等式 ax2-5x+2 0(1)若 1 是不等式的一个解，求 a 的取值范围；(2)若 ax2-5x+2 0 的解集是 12 x 2，求不等式-ax2+(2a+3)x-6 0 时，

17、解关于 x 的不等式；(2)当 2 x 3 时，不等式 ax2-x+1-a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。巩固7 已知 f(x)=ax2+bx+c(1)当 a=-1，b=2，c=4 时，求 f(x)1 解集；(2)当 f(1)=f(3)=0，且当 x (1,3)时，f(x)1恒成立，求实数 a 的最小值10第三讲 基本不等式第三讲 基本不等式基本不等式基本不等式模块一模块一课堂精讲我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。由完全平方公式：a-b2=a2+b2-2ab我们知道,平方具有

18、非负性，所以上面的代数式满足：a2+b2-2ab 0 a2+b2 2ab，该不等式在数学中具有重要的作用，我们把：a2+b2 2ab 中 a和 b 代换为a 和b，可得：a+b2ab.1.基本不等式对于任意两个正实数 a，b 有：a+b2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立。我们称不等式 a+b2ab 为基本不等式，也称均值不等式。其中 a+b2叫a，b 的算术平均值，ab 叫做 a，b 的几何平均值。2.基本不等式的几何解释作一圆，直径为 AB，过 C 作垂线，连接 AC、BC设 AD=a，BD=b，则圆的半径 OH=a+b2由 ACDBCD 可得：ADCD=CDBD CD2=AD BD，C

19、D=ab由图可得不等式：OH CD 恒成立，当且仅当CD=OH，即 OA=OB 时取等号。ABCODH3.基本不等式的变形应用应用条件：一正、二定、三相等变式一：a+b 2 ab，用求 a+b 的最小值。变式二：a2+b2 ab，用于求 ab 积的最大值。例 1 当 x 0 时，求 x+1x 的最小值。随堂练习练1(2021 秋 阎良区高一期末)函数 y=x+4x-1(x 1)的最小值是()A.3B.4C.5D.6练2(2021 秋 高要区校级期中)若 x 1，则函数 y=x+9x-1 的最小值为()A.6B.7C.8D.9练3 设 x 0，则 3-3x-1x 的最大值是()A.3B.3-2

20、2C.-1D.3-2 311练4 当直线在 x 轴上和 y 轴上的截距(直线与坐标轴的交点离原点的距离)分别为 a,b 时，直线的解析式可以用 xa+yb=1 表示。已知直线 l 过点 P(1,2),与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O为坐标原点。(1)若 OAB 的面积为 254，求直线 l 的方程；(2)求 OAB 的面积的最小值。练5(2020 新课标改编)ABC 中角 A,B,C 所对边为 a，b，c。已知：A=120,a=3，求 ABC 周长的取值范围。构造法解决二元最值构造法解决二元最值模块二模块二课堂精讲由模块一的知识,我们知道了：在任意的正二项式中，我们可以通过套用基本

21、不等式来解决正二项式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式的最值呢？例 2(2022 春 渝中区校级月考)已知正实数 x，y 满足 xy+2x-2=0，则 4x+y 的最小值是()A.2B.4 2-2C.4 3-2D.6上面的例题，利用代入消元的方法，消去了一个未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类改写二元代数式的方法。1.数字“1”的构造题目给定二元变量关系 mx+ny=t 时，我们可以将不等式化为：mt

22、x+nt y=1然后在问题所涉及的二元代数式中构造“1”,再将上面改写的“1”代入化简，会出现：axby+cydx 分子分母倒置的形式，再使用均值不等式即可求最值。axby+cydx 2axby cydx=2acbd(出现定值)。12例 3(2021 秋 凉州区期末)已知 ab 0，a+b=1，则1a+1b 的最小值为()A.0.5B.1C.2D.42.结构化构造通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写。例 4 若正实数 x，y 满足 x+y=1，则4x+1+1y 的最小值为3.初识成立与恒成立我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对于成立与恒成立的翻

23、译如下：设词结论a h(x)恒成立a h(x)min有解a h(x)max成立a h(x)maxa h(x)恒成立a h(x)max有解a h(x)min成立a h(x)min例 5(2021 秋 兰山期中)已知 a 0，b 0，a+2b=ab，若 2a+b 2m2-9 恒成立，则 m 的最大值()A.1B.2C.3D.7随堂练习练6 已知正实数 x，y 满足 x+y=2，则 1x+4y 的最小值为()A.92B.5C.9D.10练7 已知 x 0，y 0，2x+y=2，则 1x+2y 的最小值是()A.1B.2C.4D.6练8(2021 秋 湛江期末)已知 a 0，b 0，且 2a+1b=1

24、，则 2a+b 的最小值是()A.8B.9C.10D.11练9(2021 秋 城厢区校级期中)已知 m 0，n 0，m+n=1，则 1m+2n+1 的最小值为()A.1B.52+2C.32+2D.103练10 设 a 0，b 0，1a+4b=2，则使得 a+b m恒成立，求 m 的取值范围是()A.(-,9)B.(0，1C.-,92D.(-，813练11 若 x 0，y 0，且 2x+1y=1，x+2y m2+7m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.-8 m 1B.m 1C.m 8D.-1 m 0,y 0)，且1x+1+1y 的最小值为 m(1)求 m；(2)若关于 x 的不等式 ax2

25、-ax+m 0 的解集为全体实数，求 a 的取值范围。练13 已知函数 y=x+mx-1(m 0)(1)若 m=1，求当 x 1 时函数的最小值；(2)当 x 0)(1)在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内?练15 某产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m 万元(m 0)满足：x=3-km+1(k 为常数)，不搞促销，该产品年销售量是 1 万件。已知 2022 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售

26、价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍(成本为固定投入和再投入)。(1)求产品利润 y 与年促销费用 m 的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?课后提升巩固1(2021 秋 南阳期中)设 x 0，y 0，2x+1y=1，则 2x+y 的最小值为()A.7B.8C.9D.10巩固2(2021 秋 桐庐县校级月考)已知 x 0，y 0，且 x+2y=1，则 1x+1y 的最小值是()A.2+1B.3+2 2C.2-1D.3-2 2巩固3(2021 秋 湖北月考)若正实数 m，n 满足 2m+1n=1，则 2m+n 的最小值为()A.4 2B.6C.2 2D.9巩固4 设 a 0，b

27、0，1a+9b=1，若不等式 a+b m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.(-，8B.(-，16C.(-，7D.16，+)15巩固5 若实数 x+2y=4 x 1,y 12，则1x-1+12y-1 的最小值为()A.12B.1C.43D.2巩固6 已知 x 0，y 0，且 x+2y=1，2x+1y m2+7m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.-8 m 1B.m -8 或 m 1C.-1 m 8D.m -1 或 m 8巩固7 设 x 0，y 0，设 2x+3y=1，若 3x+2y m2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.x|x -6 或 x 4B.x|x -4 或 x

28、 6C.x|-6 x 4D.x|-4 x 6巩固8(1)x 1)的最小值。巩固9 函数 y1=x2-6x+3x,y2=mx,x 0(1)求 y1的最大值与最小值；(2)当 1 x 5 时，y1 y2恒成立，求实数 m 的取值范围。巩固10 某旅游公司在相距为 100km 的两景点间开设了一个游船观光项目。游船最大时速为 50km/h，游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为 20km/h 时，燃料费用为每小时 60 元。其它费用为每小时 240 元，单程的收入为 6000 元。(1)当游船以 30km/h 航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？(利润=收入-成本)(2)游船的航速

29、为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？16第四讲 元素与集合第四讲 元素与集合集合的概念与表示集合的概念与表示模块一模块一课堂精讲情境 1，说到集合，相信同学对这个名词并不陌生，我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词。问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口令，eg:“高一（1）班全体学生，集合！”这里所谈到的“集合”有什么特点？“高一（1）班的高个子男生，集合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？设计意图：让学生理解集合中元素的特征:确定性。情境 2,请仿照下列叙述，介绍你初中毕业的学校及班级情况：我来自第三十一中学初三（2）班，全班共有学生 45 人，其中男生 22

30、人，女生 23 人。问题：情景中的“学校”“班级”“男生”“女生”等概念有什么共同的特征？设计意图：通过对这些概念，感知集合含义：“一定范围内可以确定的，不同对象的全体”。情境 3:高一（1）班全体同学参加校运会进场方阵.问题：同学们会通过变换方阵展示高一（1）班风采。方阵变换前后，高一（1）班同学只是位置改变了是吗？设计意图：通过同班同学位置的改变，让学生理解集合中元素的特征：无序性。1.元素与集合的概念元素：一般地，把研究的对象统称为元素，常用小写拉丁字母 a，b，c，表示.集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称集).用大写拉丁字母 A、B、C 表示.集合中元素具有的特性：确定性、无序性

31、、互异性。2.常用数集常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记 法NN或 N+ZQR例 1 判断下列各组能否构成一个集合,说明理由。(1)所有著名的数学家；(2)全校身高超过 185cm 的部分女生；(3)方程 x2-1=0 的所有实数根；(4)大于-5 的所有负数3.自然语言法描述集合定义：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法。典例：云南昆明海拔 1000m 以上的山有五华山、盘龙区长虫山、西山区西山、金殿、碧鸡山 4.图示法（Veen 图）表示集合定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部表示集合，这种图称为 Veen 图。A1,2,3,4AB5.列举法表示集合定义：把集

32、合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。17典例：“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋；“方程 x2-3x+2=0 的所有实数根”组成的集合可以表示为 1,2。使用列举法时，需要注意以下几点：(1)元素间用“，”分隔开并且元素不能重复；(2)元素无顺序，如集合 1,3,5,7与集合 3,1,5,7表示同一个集合；(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。4.描述法表示集合定义：一般地，设 A 是一个集合，我们把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素

33、x 所组成的集合表示为 x A|P(x)，这种表示集合的方法称为描述法。典例：不等式 x-7 3 的解集 x R|x-7 1可以写为 x|x 1;(2)写简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、集合图形等；(3)不能出现未被说明的字母，如 x Z|x=2m中 m 未被说明，故元素是不确定的；(4)所有描述的内容都要写在花括号内，如“x Z|x=2m,m N”不符合要求，应将“m N”写进“”中，即 x Z|x=2m,m N；(5)多层描述时，应当准确适用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如 x|x 1 或 x 0，(1)当 k=-3 时，求集合 A；(2)若 A=R，求实数 k 的取值范

34、围。19元素与集合的关系元素与集合的关系模块二模块二课堂精讲1.元素与集合的关系关系概 念记 法读 法属 于a 是集合 A 的元素，就说 a属于集合 Aa Aa 属于集合 A不属于a 不是集合 A 中的元素，就说 a 不属于集合 Aa Aa 不属于集合 A例 3 设集合 A=x|x 2，则()A.2 AB.3 AC.3 AD.3 A2.元素的特性性质含 义示 例确定性对于任意一个元素，要么它属于某个指定集合，要么它不属于该集合，二者必居其一集合 A=1,2,3，则 1 A，4 A互异性同一个集合中的元素是互不相同的，相同的元素只出现一次方程 x2-2x+1=0 的根构成的集合只有一个元素 1，

35、不出现两个重复的 1无序性集合中的元素没有先后顺序，任意改变集合中元素的排列顺序，它们仍然表示同一集合集合 1,2和 2,1是同一个集合例 4 A=x，x2(x R)，若 1 A，则 x=例 5 若 2 1，a2+1，a+1，则 a=()A.2B.1 或-1C.1D.-1随堂练习练1给出关系：12 R；2 Q；|-3|N；|-3|Z；0 N，正确的有几个()A.1B.2C.3D.4练2下列关系中正确的是()A.2 RB.0 N*C.13 QD.2 Z练3已知集合 M=a，2a-1，2a2-1，若 1 M，则M 中所有元素之和为()A.3B.1C.-3D.-1练4A=1,2,3，集合 B=z z

36、=x-y,x,y A，则集合 B 中元素的个数为()A.4B.5C.6D.7练5已知集合 P=-1，2a+1，a2-1，若 0 P，则实数 a 的取值集合为()A.-12,-1B.-1，1C.-12,1D.-12,-1,120练6用符号“”或“”填空(1)0N，5N，16N；(2)2-3+2+3x|x=a+6b，a Q，b Q练7含有三个实数的集合既可表示为 b,ba,0，也可表示为 a，a+b，1，则 a+b 值为。练8已知集合 A=x ax2-3x+2=0，若 A 中至少有一个元素，则 a 的取值范围是练9设集合 A 中含有三个元素 3，x，x2-2x(1)求实数 x 应满足的条件；(2)

37、若-2 也是集合 A 的一个元素，求实数 x练10已知集合 A=x R|ax2-3x+2=0(1)集合 A 中的方程无解，求实数 a 的取值范围；(2)若 A 是单元素集，求 a 的值及集合 A课后提升巩固1 下面给出的选项中，能组成集合的是()A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家C.无限接近于 4 的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体巩固2 A=x Z|-1 x 2，则()A.3 AB.5 AC.2 AD.0 A21巩固4 若集合 x|ax2-x+1=0 中只有一个元素，则实数 a 的值为()A.14B.0C.4D.0 或 14巩固5 根据所学，用符号“”或“”填空。(1)

38、设 A 为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A；(2)若 A=x|x2=x，则-1A；(3)若 A=x|x2+x-6=0，则 3A；(4)若 A=x N|1 x 10，则 8A，9.1A巩固6 方程的解集为 x R|2x2-3x-2=0，用列举法表示为巩固7 已知集合 B=a，a2，2，1 B，则实数 a 的值为巩固8 用列举法表示下列集合：(1)A=x|x(x2-4)=0，x R；(2)B=(x,y)|x+y=52x-y=1；(3)C=x N|-3 2x+1 5巩固9 集合 A=x R|ax2+2x+1=0，a R(1)若 12 A，用列举法表示 A；(2)若 A 中有且仅有一个

39、元素，求 a 的值组成的集合 B巩固10 已知 A=x|ax2+2x+1=0，a R(1)若 1 A，用列举法表示 A；(2)当 A 中有且只有一个元素时，求 a 的值组成的集合 B22第五讲 集合的关系与运算第五讲 集合的关系与运算集合的关系集合的关系模块一模块一课堂精讲情境 1 观察集合：E 为第一中学高二(5)班全体女生组成的集合，F 为这个班全体同学组成的集合问题：集合 F 都包含集合 E 的元素吗？设计意图：通过实际生活，体会集合关系中一个集合中的“任意一个元素”与另一集合中元素的关系。情境 2 我们知道，实数可以比较大小，如 1 0,B=x|x -1，尝试用数轴表示集合 A、B，你

40、能说出集合 A 与集合B 之间的关系吗？设计意图：让学生在观察过程中对集合关系与元素的关系有初步的感知。1.子集一般地，两个集合 A，B，若集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A B(或 B A)读作“A 含于 B”(或 B 包含 A)AB或(A)B特别提醒：“A 是 B 的子集”含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的 x A，能推出 x B当 A 不是 B 的子集时，我们记作“A (或 B)”，读作：“A 不包含于 B”(或“B 不包含 A”)2.集合相等若集合 A 是集合 B 的子集(A B)，且

41、集合 B 是集合 A 的子集(B A)，则此时两集合元素一样，那么就说集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B3.真子集若 A B 且 A B，就说集合 A 真包含于集合 B(或集合 B 真包含集合 A)，那么集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B 或(B A)AB4.空集定义：不含任何元素的集合叫空集，用符号 表示规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，空集本身没有真子集。例 1 已知集合 A=x|x=2n，n N*，B=x|x=2n，n N*，则()A.A BB.B AC.A B=D.A=B23例 2 下列各组中 M、P 表示同一集合的是()A.M=3，-1，P=(3,-

42、1)；B.M=(3,1)，P=(1,3)；C.M=y|y=x2-1，P=t|t=x2-1；D.M=y|y=x2-1，P=(x,y)|y=x2-1随堂练习练1下列集合与集合 A=1，3 相等的是()A.(1,3)B.(1,3)C.x|x2-4x+3=0D.(x,y)|x=1，y=3练2若集合 M=x|x 6，a=5，则下面结论中正确的是()A.a MB.a MC.a MD.a M练3设集合 P=y|y=x2+1)，M=x|y=x2+1，则集合 M 与集合 P 的关系是()A.M=PB.P MC.M PD.P M练4若 A=1，2，B=(x,y)|x A，y A，则集合 B 的子集个数为()A.4

43、B.8C.16D.32练5已知集合 A=2，4，a2，B=2，a+6，若 B A，则 a=()A.-3B.-2C.3D.-2 或 3练6已知集合 A=x|ax2+2x+1=0，a R，(1)若 A 只有一个元素，求 a 值，并求出这个元素；(2)若 A 是空集，求 a 的取值范围；(3)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围练7已知 y=x2-2mx+1，m 为常数。(1)若 y 0 的解集为空集，求 m 的取值范围(2)若 A=x|1 x 2 是 B=x|x2-2mx+1 0 的子集，求 m 的取值范围。24集合的运算集合的运算模块二模块二课堂精讲我们知道，实数有加、减、乘、除等运算。

44、集合是否也有类似的运算呢？观察下面的集合，类比实数的加法运算，你能说出集合 A 与集合 B 之间的关系吗？(1)A=1,3,5，B=1,3,4,6，C=1,3,4,5,6(2)A=x/x 是有理数，B=x/x 是无理数,C=x/x 是实数在上述两个问题中，集合 A，B 与集合 C 之间都具有这样一种关系：集合 C 是由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的。1.并集一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集,记作 A B（读作“A 并 B”），即 A B=xx A 或 x BABAB例 3 若集合 M=-2，-1，1，集合 N=0，1，则

45、 M N 等于()A.-2，-1，0，1B.-2，-1，1C.-2，-1，0D.12.并集的性质A A=AA =AA B=AB A若 x (A B)，则 x A 或 x B.A B=x0 A 且 x0 B3.交集一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为集合 A 与 B 的交集,记作 A B（读作“A 交 B”），即 A B=xx A 且 x BABA B例 4 已知集合 A=x|2x-1 5，B=3，4，5，6，则 A B=()A.B.3C.3，4，5，6D.4，5，64.交集的性质A A=AA =A B=A A B.若 x (A B)，则 x A 且 x B例 5(202

46、1 荔湾区校级模拟)已知集合 A=(x，y)|x+ay-a=0，B=(x，y)|ax+(2a+3)y-1=0若 A B=，则实数 a=()A.3B.-1C.3 或-1D.-3 或 1在研究问题时，我们经常需要确定研究对象的范围。例如，从小学到初中，数的研究范围逐步地由自然数到正分数，再到有理数，引进无理数后，数的研究范围扩充到实数。在不同范围研究同一个问题，可能有不同的结果。例如：方程 x-2x2-3=0 的解集，在有理数范围内只有一个解 2，即:x Q/x-2x2-3=0=2在实数范围内有三个解：2，3，-3，即:x R/x-2x2-3=0=2,3,-3255.全集一般地，一个集合含有所研究

47、问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U6.补集对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作 UA，即:UA=xx U 且 x AAUUA例 6 集合 A=x|1 x 2，那么 RA=()A.(-，1)(2，+)B.(-，1 2，+)C.(-,1)2，+)D.(-，1 (2,+)随堂练习练1(2021 北京卷)已知集合 A=x|-1 x 1，B=x|0 x 2，则 A B=()A.x|0 x 1B.x|-1 x 2C.x|1 x 2D.x|0 x 1练2(2021 汕头二模)已知全集为实

48、数集 R，集合 A=x|(x+1)(2-x)0，则 RA=()A.x|-1 x 2B.x|x 2C.x|x -1，或 x 2D.x|-1 x 2练3(2021 湖北模拟)设集合 A=x|x2-16 0，B=x|x2-5x-6 0，则 A B=()A.x|-1 x 4B.x|-1 x 4C.x|-4 x 6D.x|-4 x 6练4(20215 月份模拟)集合 A=x N|x2-2x 0，B=-1，0，1，2，则 A B=()A.0，1，2B.-1，0，1，2C.1，2D.-1，0，1练5(2021 河北模拟)集合 M=x|0 x 4，N=x|x-1 2，则 M N=()A.(0，4)B.1，5)

49、C.(0，5)D.1，4)练6(2021 新高考)全集 U=1，2，3，4，5，6，A=1，3，6，B=2，3，4 则 A UB=()A.3B.1，6C.5，6D.1，3练7(2021 毕节市模拟)已知全集 U=N，集合 A=x x-3x-1 0，x N，则 UA=()A.2B.1，2C.2，3D.0，1，226练8设集合 A=2，3，5，B=x Z|x2-6x+m 0，A B=3，则 A B=()A.2，3，4B.1，2，3，4，5C.2，3，5D.2，3，4，5练9已知集合 A=x|2 x 3，集合 B=x|a x a+4，若 A B=，求实数 a 的取值范围练10已知 A=x x-2x+

50、3 0，B=x 1-a x 2a+3(1)若 a=1，求 RA B；(2)问题：已知 _，求实数 a 的取值范围。从下面的三个条件中选一个填在上面进行解答。A B=B A B=R A B=课后提升巩固1 设集合 A=x|x2-2x-3 0，B=x|1 x 3，则()A.A BB.A=BC.A BD.A B=巩固2(2021 河南模拟)已知集合 A=x|x2+x-6 0，B=x|1-x 2，则 A B=()A.-3，-1B.-3，1C.1，2D.-1，2巩固3(2021 北仑区校级模拟)已知 A=1，2，3，274，5，6，B=y|y 3，则 A RB=()A.1，2，3，4，5，6B.1，2C

51、.3，4，5，6D.4，5，6巩固4 设集合 M=x|2x-x2 0，N=x|x a，若 M N，则实数 a 的取值范围是()A.a 2C.a 2D.a 2巩固5 集合 A=x|x2+x-6 0，B=x|1-x 2m，且 A B=x|-1 x 2，则 m=()A.2B.0C.-1D.1巩固6(2021B 卷模拟)设全集为 R，A=x|y=x-1，B=y|y=x-1，则 B RA=()A.0，1)B.0，1C.0D.巩固7(2021 广州二模)已知集合 P=x|-3 x 1，Q=y|y=x2+2x，则 P (RQ)=()A.-3，-1)B.-1，1C.(-，-1D.(-，1巩固8 集合A=x|-

52、2 x 5，B=x|m+1 x 2m-1，若 B A，则 m 的 范 围 是巩固9 若集合 A=x|x2+2ax+1=0 的子集只有一个，求实数 a 的取值范围为巩固10 设全集 U=R，集合 A=x|-1 x 0，满足 B C=C，求实数 a 的取值范围。巩固11 集合 A=x|-3 x 7，B=x|m+1 x 2m-1(1)若 B A，求实数 m 的取值范围；(2)当 x R 时，没有元素 x 使 x A 与 x B 同时成立，求实数 m 的取值范围。28第六讲 逻辑用语第六讲 逻辑用语充要条件充要条件模块一模块一课堂精讲在初中，我们已经对命题有了初步的认识。一般地，我们把用语言、符号或式

53、子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。中学数学中的许多命题可以写成“若 p，则 q”或“如果 p，那么 q”等形式。其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论。本节主要讨论这种形式的命题。下面我们将进一步考察“若 p，则 q”形式的命题中 p 和 q 的关系，学习数学中的三个常用的逻辑用语充分条件、必要条件和充要条件。下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？(1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；(2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；(3)若 x2-4x+3=0，则 x；(4)若平面内两

54、条直线 a 和 b 均垂直于直线 l，则 a b在命题(1)(4)中，由条件 p 通过推理可以得出结论 q，所以它们是真命题。在命题(2)(3)中，由条件 p不能得出结论 q，所以它们是假命题。1.充分条件与必要条件一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可以推出 q，记作p q，并且说，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件。如果“若 p，则 q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作 p q此时，我们就说 p 不是 q的充分条件，q 不是 p 的必要条件。唯一性：给定条件 p,由 p 推出 q 成立时，q 推出的结果不

55、唯一，则必要性不成立。eg:x=1 x=1，x=1 x=1，则 x=1 是 x=1 的充分不必要条件。不等式推论：小范围不等式成立 大范围不等式成立，反之不成立(小可推大，大不可推小)例 1 设 p:x 2，q:x2 2，p 是 q 成立的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件下列“若 p，则 q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；(2)若两个三角形全等，则两个三角形周长相等；29(3)若一元二次方程 ax2 bx c 有两个不相等的实数根，则 ac b”是“ac 2 b

56、c 2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件练2“|x-1|2”是“x 3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件练3 已知 p：x k，q：(x+1)(2-x)0，如果 p 是 q的充分不必要条件，则实数 k 的范围是()A.2，+)B.(2，+)C.1，+)D.(-，-1练4(多选)若 x2-x-2 0 是-2 x a 的充分不必要条件，则实数 a 的值可以是()A.1B.2C.3D.4练5 一元二次方程 ax2+2x+1=0，(a 0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a 0C.a 1练6 x R

57、，则“|x-2|0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件练7“一元二次方程 x2+x+m=0”有实数解的一个充分不必要条件是()A.m 14D.m 430练8 已知集合 A=x|m-1 x m2+1，B=x|x2-4 0，且“x A”是“x RB”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围。逻辑用语逻辑用语模块二模块二课堂精讲1.命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句叫做命题。分类:真命题、假命题命题的真假即为语句描述内容的对与错。形式:“若 p，则 q”2.四种命题原命题：若 p 则 q逆命题：若 q 则 p否命题：若 p 则 q逆否命题

58、：若 q 则 p原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假3.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题。(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题。(3)全称命题与特称命题的符号表示及否定1 全称命题 p：x ,p(x)，它的否定 p：x0,p(x0).其否定是特称命题。2 特称命题 p：x0,p(x0),它的否定p：x ,p(x).其否定是全称命题。31随堂练习练10 下列命题为真命

59、题的是()A.x0 R，使 x20 0D.x R，有 x2 0练11 下列命题是真命题且是全称量词的是()A.对 a，b R，都有 a2+b2-2a-2b+2 0B.菱形的两条对角线相等C.x R，x2=xD.一次函数在定义域上是单调函数练12 若命题“x 0，3，都有 x2-2x-m 0“是假命题，则实数 m 的取值范围是()A.(-，3B.-1，+)C.-1，3D.3，+)练13 已知命题 p:x R，ax2+x+1 0，若命题 p是假命题，则 a 的取值范围为()A.a 14D.a 14 或 a=0练14 给出下列四个命题中：命题“若 x 2 且 y 3，则 x+y 5”为假命题。命题“

60、若 x2-4x+3=0，则 x=3”的逆否命题为：“若 x 3，则 x2-4x+30 0”。“x 1”是“|x|0”的充分不必要条件关于 x 的不等式|x+1|+|x-3|m 的解集为R，则 m 4。其中所有正确命题的序号是。练15 已知命题 p：x R，m+1x2+1 0，命题 q：x R，x2-mx+1 0 恒成立.若 p q 为假命题，则实数 m 的取值范围为()A.m 2B.m -2 或 m -1C.m -2 或 m 2D.-1 2”是“x2-3x+2 0”的充分不必要条件巩固2(2022 呼和浩特一模)集合 A=x|x 0，B=x|x-2 0，则 x A 是 x B 的()A.充分不

61、要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分他不要条件巩固3(2022 天津模拟)设 x R，则“x 3”是“x2 3x”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件巩固4(2022 岳阳楼区校级一模)“x=2022”是“x2-2022x+2021=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件巩固5(2022 春 新罗区校级月考)已知集合 A=x 2x+1x-1 1，B=x|(x-1)(2x+m)0(1)当 m=1 时，求 A B；(2)已知“x A”是“x B”的必要条件，求实数 m的取值范围巩固6(2021

62、 秋 番禺区校级期中)已知命题 P:x R，使 x2-4x+m=0 为假命题(1)求实数 m 的取值集合 B；(2)设 A=x|3a x 0(1)若 p 是 q 的充分条件，求实数 m 的取值范围；(2)是否存在 m，使得 p 是 q 的必要条件？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由巩固8 设命题 p：对任意 x 0,1，不等式 2x-2 m2-3m 恒成立；命题 q：存在 x -1,1，使得不等式 x2-x-1+m 0 成立.(1)若 p 为真命题，求实数 m 的取值范围；(2)若命题 p、q 有且只有一个是真命题，求实数 m的取值范围.巩固9 p:x0 R，使得 ax02-2x0-

63、1 0 成立；q：方程 x2+(a-3)x+a=0 有两个不相等正实根；(1)写出 p；(2)若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围；(3)若命题“p 或 q”为真命题，且“p 且 q”为假命题，求实数 a 的取值范围34第一章 章末总结第一章 章末总结1.本章内容让我们接触了集合的基本概念与逻辑用语的基本学习，这些内容将在接下来的函数学习中对函数性质的数学描述起到关键的作用；另外是初中和高中阶段的一个灰色知识：整式乘法公式的拓展和因式分解的方法，这些技能将在后面对于解析函数的分析与研究起到事半功倍的作用；而基本不等式则向我们介绍了关于二元最值的求解方法和技巧。请将本章内容作一个简单的归

64、纳总结。2.完成以下知识填空 基 础乘法公式平方差公式：完全平方和：三项和平方：a+b+c2=b 换成-ba-b+c2=b 换成-b联系：(a+b)2=(a b)2+4ab完全立方和：a+b3=立方和公式：a3+b3=3.(2021 秋 沧州期末)已知集合 A=x x-4x-1 0，B=x|a+1 x 2a(1)当 a=2 时，求 A B；(2)若 B RA=，求实数 a 的取值范围354.利用基本不等式的知识解决下列问题：(1)已知 x 3，求4x-3+x 的最小值；(2)已知 x，y 是正实数，且 x+y=4，求 1x+3y 的最小值(3)已知正实数 x，y 满足 x+y=2，若不等式 2

65、x+12y m2+4m 恒成立，求实数 m 的取值范围。5.第一届全国青年运动会将于 2015 年 10 月 18 日在福州举行主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为 15 年已知每厘米厚的隔热层建造成本是 4 万元，设每年的能源消耗费用为 C(万元)，隔热层厚度为 x(厘米)，两者满足关系式：C=k2x+5(0 x 10，k 为常数)若无隔热层，则每年的能源消耗费用为 6 万元.15 年的总维修费用为 10 万元记 W 为 15 年的总费用(总费用=隔热层的建造成本费用+使用 15 年的能源消耗费用+15 年的总维修费用)(1)求 W 关于 x 的表达式；(2)请

66、问当隔热层的厚度为多少厘米时，15 年的总费用 W 最小，并求出最小值36第七讲 函数概念与有界性第七讲 函数概念与有界性函数的概念函数的概念模块一模块一课堂精讲初中阶段，我们学习了函数的概念与简单的函数。初中阶段函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，我们就把 x称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。大家思考：由初中定义出发，y=1 是函数吗？1.函数的概念设 A，B 是两个非空的数集，如果按某种确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 f(

67、x)和它对应，那么称 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y=f(x)，x A。其中所有输入值 x 组成的集合A 叫作函数 y=f(x)的定义域。所有输出值 y 组成的集合叫作函数 y=f(x)的值域。例 1 下列图象中，可作为函数图象的是xy xyxyxyxyxy2.函数三要素由前面函数的定义可知，两个变量关系要构成函数关系，需要具备以下三个要素:定义域、对应关系 f、值域。函数定义域的约束常常有以下几类较为重要：1 分式的分母不能为零；2 对数的真数大于零；3 根号下被开方数大于等于零。零指数幂的底数不能为 03.函数的有界性(第一性质)高等数学中对函数有界性有严格的定

68、义。中学阶段，我们为了研究函数性质的便捷性，把定义域、值域、渐近线的约束通称为函数的有界性。4.区间概念(a，b 为实数，且 a b)定义名称符号数轴表示x|a x b闭区间a，bxabx|a x b开区间(a，b)xabx|a x b半开半闭区间a，b)xabx|a a x|x a区间(-，+)a，+)(a，+)(-，a37例 2 求下列函数的定义域。(1)y=x+1 2x+1-1-x(2)y=2x2-3x-2+14-x.例 3 下列选项中能表示同一个函数的是()A.y=x+1 与 y=x2-1x-1B.y=x2+1 与 s=t2+1C.y=2x 与 y=2x(x 0)D.y=(x+1)2与

69、 y=x2随堂练习练1 下列对应关系中 A 到 B 的函数的是()A.A R，B R，x2+y2=1B.A=-1,0,1，B=1,2，f：x y=|x|+1C.A=R，B=R，f：x y=1x-2D.A=Z，B=Z，f：x y=2x-1练2 下列各组函数中表示同一函数的是()A.y=20与 y=xxB.y=1 与 y=x|x|xC.y=x2+x 与 y=x x+1D.y=x+1 与 y=3(t+1)3练3 下列四个命题(1)f(x)=有意义；(2)f(x)表示的是含有的代数式(3)函数 y=2x(x N)的图象是一直线；(4)函数 y=的图象是抛物线，其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3

70、D.0练4 函数 f(x)=x-2x2+1 的定义域为()A.(-1，2B.2，+)C.(-,-1)1，+)D.(-,-1)2，+)练5 已知函数 f(x)=2x+1，x 0，3x2，x 0，且 f(x0)=3，则实数 x0的值为()A.-1B.1C.-1 或 1D.-1 或-1338练6 若函数 f(x)=x2+ax+1 的定义域为实数集R，则实数 a 的取值范围为()A.(-2，2)B.(-，-2)(2，+)C.(-，-2 2，+)D.-2，2练7 f(x)=-x2+1，x 0，1x-1，x 0，则 f(f(2)=.练8 f(x)=x+2x，且 f(a)=f(2)，则=.练9 已知 f(x

71、)=11+x(x R 且 x -1)，g(x)=x2+2(x R)(1)求 f(2)，g(2)的值(2)求 f(g(2)的值练10 已知函数 f x=3x2+5x-2.(1)求 f 3，f a+1的值；(2)若 f a=-4，求 a 的值.练11 已知函数 f(x)=4-x+1x+3 的定义域为集合 A，集合 B=x|a-1 x 1+a(1)求集合 A 与 RA；(2)若 B A，求实数 a 的取值范围练12 已知 f(x)=1-x1+x(x -1).求：(1)f(0)及 f f12的值；(2)f(1-x)及 f(f(x).39函数抽象与解析(选)函数抽象与解析(选)模块二模块二课堂精讲从前面

72、函数的定义可以看出，我们把初中阶段的特殊函数推广到了广义函数的定义。数学本身就是抛开具体的事情，只是简单的把数与数之间的关系表示出来，是一种工具。函数的本质也是一种特殊的对应关系。1.抽象函数定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。例如：y=f(x),y=f(2x-1),y=f(x-1)都是抽象的对函数进行描述，并没有相应的解析式的表达。对于抽象函数而言，我们任然可以用一些通用的研究方法研究抽象函数的有界性。这中间用的最多的是“换元法”。2.换元法定义：引入一个或多个新的变量代替原来某些变量，将问题所给形式化繁为简的方法。换元法其实是初中阶段的整体代换思想，但初中阶段的代换过于粗糙。

73、由前面对函数的定义可知，我们所谓的换元法，也是一种函数的对应关系，根据函数三要素的约束，可得完整换元法的步骤:1 设出新元(对应关系)，；2 解确定新元的范围(定义域、值域)；3 用新元表示旧元(代换的关键)。例 4 已知函数 y=f(x)定义域是-2,3，则 y=f(2x-1)的定义域是()A.B.C.D.对于一些确定的函数，我们需要借助其解析式来辅助研究函数性质。初中阶段重点介绍了一些初等函数解析式的求解方法：待定系数法。高中阶段我们将拓展求解析式的方法。3.待定系数法求解析式已知函数的类型，我们可以设出函数的解析式，用待定系数法求求未知参数，进而得到函数解析式。例 5 已知一次函数 f(

74、x)满足 f(f(x)=4x+6,求函数 f(x)的解析式。4.换元法求解析式对于对应关系下抽象的表达描述 y=f(2x-1)等，根据前面对换元法的介绍，我们可以借助换元法来求解函数解析式。例 6 已知函数 f(x+1)=x+2 x,则 f(x)的解析式为.5.方程组法求解析式对于含有两个对应关系描述的解析式(eg:f(x)f1x或 f(x)f(x)，我们可以用方程组法分别求出函数解析式。40例 7 已知函数 f(x)满足 f(x)+2f1x=x，求函数 f(x)的解析式。6.赋值法求函数解析式对于一些二元结构的抽象描述，我们可以对 x,y进行赋值，通过赋值求解析式。例 8 设 f(x)是 R

75、 上的函数，且满足 f(0)=1，并且对任意实数 x，y，有 f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求 f(x)的解析式随堂练习练1(2018 秋 新余期末)已知函数 y=f(x)定义域是-2，3，则 y=f(2x-1)的定义域是()A.0,52B.-1，4C.-12,2D.-5，5练2(2021 秋 五华区校级期中)已知函数 f(x+1)的定义域为-1，0)，则 f(2x)的定义域是()A.-12,0B.0,12C.-2，0)D.0，2)练3(2020 秋 峨山县校级期中)已知 f(x+1)的定义域为-2，3)，f(x-2)的定义域是()A.-2，3)B.-1，4)C.0，5)D.1，

76、6)练4 已知函数 f(x)定义域为(0,+)，则函数 F(x)=f(x+2)+3-x 定义域为()A.(-2，3B.-2，3C.(0，3D.(0,3)练5 已知函数 f(x)的定义域为 2，8，则函数 h(x)=f(2x)+9-x2 的定义域为()A.4，16B.(-，1 3，+)C.3，4D.1，3练6(2021 秋 湖南期中)已知 f(x)是一次函数，且满足 f(f(x)=f(x)+2，求 f(x)在 1，2 上的值域练7(1)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求 f(x)；(2)已知 f(x)满足 2f(x)+f1x=3x，求 f(x)41练

77、8(2020 秋 新津县月考)已知 f(x-2)=x-1(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x -1，8 时，求函数 g(x)=2x-f(x)值域练9 已知函数 f(x)满足 f 1-x2=x(1)求 f(x)的解析式；(2)求函数 y=f 1-x2-f(x)的值域课后提升巩固1 对于函数 f:A B，若 a A，则下列说法错误的是()A.f(a)BB.f(a)有且只有一个C.若 f(a)=f(b)，则 a=bD.若 a=b，则 f(a)=f(b)巩固2 下列各组函数表示同一函数的是()A.f(x)=x2，g(x)=(x)2B.f(x)=1，g(x)=x0C.f(x)=x+1，g(x)=

78、x2-1x-1D.f(x)=x，g(x)=3 x3巩固3 f(x)=x+3+(x+2)0定义域是()A.-3，+)B.-3，-2)C.-3，-2)(-2，+)D.(-2,+)巩固4 设 f(x)=x-2,x 10ff(x+6),x 0，若 f(x)=5，则 x 的值是()A.-2B.2 或-52C.2 或-2D.2 或-2 或-5242巩固6 若函数 f(x)的定义域为 1，3，则函数 g(x)=f(2x-1)x-1的定义域为()A.(1，2B.(1，5C.1，2D.1，5巩固7 设函数 f(x)=12 x-1(x 0)1x(x 0 时，求 f(a)，f(a-1)的值巩固10(1)求函数 f(

79、x)=4-x+1x 定义域；(2)求函数 g(x)=x+1x-2(x 2)的最小值巩固11(2020 秋 辽源期末)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=x+3(1)求函数 f(x)的解析式；(2)当 x 1，2 时，若函数 g(x)=x f(x)-2ax+2 的最小值为-14，求 a 的值43第八讲 函数单调性及应用第八讲 函数单调性及应用单调性与函数最值单调性与函数最值模块一模块一课堂精讲我们知道画出函数图象，通过观察和分析图象特征，可以得到函数的一些性质。观察下列函数图象，请你说说它们自变量与因变量之间的变化趋势。xyOxy-1 O1观察上面的函数图可知：第一

80、幅图象，y 随 x 的增大而增大；第二幅图象在 x -,-1,0,1上y 随 x 的增大而减小，在 x -1,0,1,+上 y 随x 的增大而增大。这样的性质描述在高中阶段我们称之为函数单调性。在高中阶段，我们很难画出复杂的函数在连续情况下的图象，由此我们需要借助代数运算的方法来辅助我们判断函数的单调性。下面我们将用符号语言刻画这种性质。画出 f(x)=x2的图象如下：xx1yx2f(x1)f(x2)由图象可以看到：图象在 x 轴左侧部分从左到右是下降的，即当 x 0 时，f(x)随 x 的增大而减小。用符号语言描述:取 x1，x2-,0，得 f(x1)=x21,f(x2)=x22，当 x1

81、f(x2)这时函数 f(x)=x2在区间-,0上是单调递减的。1.函数单调性：设任意实数 x1、x2 a,b,且 x1 x2.那么：f(x1)f(x2)0 f(x)在 a,b 上是减函数。f(x1)x1x2f(x2)xyf(x1)x1x2f(x2)xy例 1 若 f(x)在 R 上递减且 f(2m-1)f(2a)B.f(a2)f(a)C.f(a2+a)f(a)D.f(a2+1)f(a)练2 下列函数在(1，+)上单调递增的是()A.y=-3x-1B.y=2xC.y=x2-4x+5D.y=|x-1|+2练3 函数 f(x)=x+1,x 0 x-1,x 0 成立，则必有()A.f(x)在 R 上是

82、增函数B.f(x)在 R 上是减函数C.函数 f(x)先增后减D.函数 f(x)先减后增练5 函数 f(x)在(-,0 上单调递增，且 f(-2)=3，则 f(2x-3)3 的 x 的取值范围是练6(2021 秋 安康期末)已知函数 y=f(x)在定义域(-1,1)上是增函数，且 f(1-a)f(2a-1)，则a 的取值范围是练7)函数 y=1-axa+1在 0，2 上是减函数，则实数 a 的取值范围是练8 已知函数 f(x)=2x-1(1)判断函数 f(x)在(1,+)上的单调性并证明；(2)若 x 2，6，求函数 f(x)的最值。45练9(2017 秋 宝安区期末)已知函数 f(x)=ax

83、-bx+1(a,b N*)，f(1)=12 且 f(2)0)，工厂若想在第 6 天获得最大利润，求 n 的范围。练11 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c R，a 0)，f(-2)=f(0)=0，f(x)的最小值为-1(1)求函数 f(x)的解析式；(2)设 g(x)=f(-x)-mx+1，若 g(x)在-1，1上是单调函数，求实数 m 的取值范围；(3)设 h(x)=f(x)-nx+2，若 h(x)在-1，1 上的最小值是 1，求实数 n 的值。46课后提升巩固1 函数 y=f(x)在 R 上为增函数，且 f(2m)f(-m+9)，则实数 m 的取值范围是()A.(-，-3

84、)B.(0，+)C.(3，+)D.(-，-3)(3，+)巩固2 定义在 R 上的函数 f x，对任意的 x1,x2 R(x1 x2)，都有 f x1-f x2x1-x2 0，且 f 3=2，则不等式 f x-1 2 的解集为()A.(-,2B.2,+)C.(-,4D.4,+)巩固3(2021 秋 深圳校级月考)函数 y=(x+1)-2的递增区间是.巩固4(2021 秋 三明期中)函数 f(x)=4x2-kx-8 在2，10 上具有单调性，k 的范围巩固5 f(x)=ax+bx 经过点 A(1,0)，B 2,-32(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在(0,+)上的单调性并证

85、明；(3)求 f(x)在区间12,1上的值域。巩固6(2021 秋 沈阳期中)若 f(x)是定义在(0,+)上的函数满足 f xy=f(x)-f(y)，当 x 1 时，f(x)0(1)判断并证明函数的单调性；(2)若 f(2)=1，解不等式 f(x+3)-f1x 247第九讲 函数奇偶性及应用第九讲 函数奇偶性及应用函数奇偶性函数奇偶性模块一模块一课堂精讲前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质。下面我们将继续研究函数的其他性质。画出并观察函数 f(x)=x2,g(x)=x的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？xx1yx2f(x1)f(x

86、2)xx1yx2f(x1)f(x2)可以发现，这两个函数的图象都关于 y 轴对称。类比单调性的计算环节，我们可以得到：若 x1+x2=0 时，有:f(x1)=f(x2)，即 f(x1)=f(-x1)1.函数奇偶性一般的，设函数 y=f(x)的定义域为 D，如果对D 内的任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，则这个函数叫奇函数。如果对 D 内的任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数。如果函数 f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性.奇 函 数偶 函 数前 提定义域关于原点对称图 示yxyx计算式f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)对称性

87、f(x)关于原点对称f(x)关于 y 轴对称特 点在 x=0 处有定义，则：f(0)=0对任意的 x，都有f(x)=f(x)例 1 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=|x|(x2+1)；(2)f(x)=x+1x；(3)f(x)=|x+1|-|x-1|；(4)f(x)=x-2+2-x；(5)f(x)=1-x2+x2-1(6)f(x)=x2+x,x 0随堂练习练1 函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时，f(x)=2x+1，则 f(3)等于()A.-7B.7C.-5D.5练2(2017 秋 龙海市校级期中)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数，且 f(x)在 0，+)

88、上是减函数，若 f(a)f(-2)，则 a 的取值范围是()A.a -2B.a 2C.a -2 或 a 2D.-2 a 248练3 已知偶函数 f(x)在区间 0，+)单调递增，则满足 f(x+2)f(x)的 x 取值范围是()A.(2,+)B.(-,-1)C.-2，-1)(2，+)D.(-1,2)练4 已知函数 f(x)=x2+ax+b，且 f(x+2)是偶函数，则 f(1)，f52，f72的大小关系是()A.f52 f(1)f72B.f(1)f72 f52C.f72 f(1)f52D.f72 f52 f(1)练5 设偶函数 y=f(x)的定义域为-5,5，若当 x 0,5 时，y=f(x)

89、的图象如图所示，则不等式 y=f(x)0,f(x)x 0(x-a)f(x)0,xf(x-a)0或 ba 0 ab 同号。ab 0 或 ba 0 时，f(x)为增函数，f(3)=0 不等式 xf(x)0 时，f(x)=x2+x+1求函数 f(x)的解析式。随堂练习练8 已知 f(x)=ax2+bx 是定义在 a-1，2a 上的偶函数，那么 a+b 的值是()A.-13B.13C.-12D.12练9 函数 f(x)=2-x2x的图象关于()A.x 轴对称B.原点对称C.y 轴对称D.直线 y=x 对称练10(2009 秋 杭州期中)若函数 y=(2+x)(m-x)为偶函数，则 m=()A.-2B.

90、2C.-2D.2练11 已知 y=f(x)为奇函数，当 x 0 时 f(x)=x(1-x)，则当 x 0 时，f(x)=()A.x(x-1)B.-x(x+1)C.x(x+1)D.-x(x-1)练12 已知函数 f(x)=g(x)+2，x -3，3，且 g(x)满足 g(-x)=-g(x)，若 f(x)的最大值和最小值分别为 M、N，则 M+N=()A.0B.2C.4D.6练13 若 f(x)=x+a,x 0是奇函数，则()A.a=1，b=-1B.a=-1，b=1C.a=1，b=1D.a=-1，b=-1练14 已知函数 f(x)在定义域 R 内为偶函数，并且 x 0 时解析式为 f(x)=2x2

91、-4x+7求：(1)x 0 时，f(x)=x2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)求关于 m 的不等式式 f(2m-8)+f(5-m)0 的解集51课后提升巩固1(2021 齐齐哈尔开学)函数 y=f(x)是奇函数，图象上有一点为(a，f(a)，则图象必过点()A.(a，f(-a)B.(-a，f(a)C.(-a，-f(a)D.a,1f(a)巩固2 函数 f(x)=2x-x 的图像关于()A.y 轴对称B.直线 y=-x 对称C.坐标原点对称D.直线 y=x 对称巩固3 已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x 0时，f(x)=x3-8，则 f(x-2)0 的解集为()A.x|-3 x -

92、1B.x|-3 x 2C.x|-3 x 3D.x|-1 x 1 或 1 x 1 的解集是()A.x|-1 x 3B.x|x 2C.x|x 2D.x|x 3巩固7 已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在 0，+)上是增函数，如果 f(ax+1)f(x-2)在 x 12,1上恒成立，则实数 a 的取值范围是()A.-2，1B.-5，0C.-5，1D.-2，0巩固8 已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 是定义在a-1，2a 的偶函数，则 a+b=巩固9(2020 秋 兰州期末)已知函数 f(x)=x-1x(1)求：函数 f(x)的定义域；判断函数 f(x)的奇偶性并说明理由；(2)判断函数

93、f(x)在(0,+)上的单调性，并用定义加以证明52第十讲 函数对称性第十讲 函数对称性函数的轴对称函数的轴对称模块一模块一课堂精讲通过上一讲我们对偶函数的学习，我们知道偶函数的图象是关于 y 轴对称的，这是一种特殊的轴对称，思考函数是否会具备其它的对称轴。前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的一些性质。下面我们将继续研究函数的对称性。1.函数的轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数图像的对称轴。由二次函数出发，我们知道二次函数的对称轴为：x=a，由图可以得到：f(a+x)=f(a-x)xa-xaa+xx

94、x点的对称性计算公式：x0=x1+x22y0=y1+y22xyPAx1Bx2x0y1y2y0由点的对称性出发，我们可以对轴对称的抽象关系做一般性的推广：y=f(x)图象关于 x=a 对称f(a+x)=f(a-x)f(2a-x)=f(x).y=f(x)图象关于 x=a+b2对称f(a+mx)=f(b-mx)例 1 若函数 f(x)=x2+ax-2 对任何实数 x 都有 f(1-x)=f(1+x)成立，则 f(x)的值域为()A.-1，+)B.-2，+)C.-3，+)D.0，+)例 2 若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称，则 f(-2)值是随堂练习练1(

95、2020 秋 凉州区校级月考)已知 y=f(x-1)是偶函数，则函数 f(x)图象的对称轴是()A.x=1B.x=12C.x=-1D.x=-1253练2 定义域为 R 的函数 f(x)，对 x 都有 f(x)=f(2-x)，则下列选项一定正确的是()A.f(-x)为偶函数B.f(x-1)为偶函数C.f(1-x)为偶函数D.f(x-2)为偶函数练3 二次函数 f(x)的二次项系数为正数，且对任意项 x R 都有 f(x)=f(4-x)成立，若 f(1-2x2)2B.x -2 或 0 x 2C.-2 x 0D.x 0练4(2015 天津模拟)已知 y=f(2x+1)是偶函数，则函数 y=f(2x)

96、的图象的对称轴是()A.x=12B.x=2C.x=-12D.x=1练5(2021 春 沙坪坝区校级期末)已知定义在 R 上的函数 f(x+1)的图像关于直线 x=-1 对称，当 x 0 时，f(x)=-x2-2x，若 f(3-a)f(2a)，则实数 a的取值范围是()A.(-3,1)B.(1,+)C.(-，-3)(1，+)D.(-，-1)(3，+)练6 写出一个同时具有下列性质的函数 f(x):f(x)=f(2-x)；当 x (1,+)时，f(x)单调递减练7 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足 f(2+x)=f(2-x)，若方程 f(x)=0 有且仅有三个根，且 x=0 为其一个根，

97、则其它两根为练8(2016 泸州模拟)已知定义域为 R 上的偶函数 f(x)在 0，+)上单调递增，且 f12=0，则不等式 f(x-2)0 的解集是练9 若函数 f(x)=(x2-1)(-x2+ax-b)的图象关于直线 x=2 对称，则 ab=54函数的中心对称函数的中心对称模块二模块二课堂精讲1.函数的中心对称如果一个函数的图像沿一个点旋转 180，点两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数图像的对称中心。由初中阶段的反比例函数出发，我们观察下列函数图象，思考由中心对称出发可以得那些结论。ybaf(a+x)a+xa-xf(a-x)yxy观察上图可知，当函数的

98、对称中心为(a,b)时，可得：f a+x+f a-x=b+y+b-y=2b2.中心对称的抽象表达由点的对称坐标出发，结合上面的例子，我们可得到函数 y=f(x)图象关于a+b2，c2成中心对称时函数的抽象表达：f a+x+f b-x=c例 3 设 R 上定义的函数 y=f(x)，对任意 x R 都有f(x)+f(-x)=1，则这个函数的图象关于()A.原点对称B.y 轴对称C.点 0,12对称D.点(0,1)对称3.函数周期性函数 f x定义域内任意的 x，存在一个不等于 0的常数 T，使得 f x+T=f x恒成立，则称 f x是周期函数，T 是它的一个周期。一般 T 是 f x的周期，则

99、kT k Z也是 f x的周期。yx最小周期 Txx+Tf(x)f(x+T)4.周期性与对称性关系若一个函数 f(x)具有:中心对称、轴对称、周期性中任意两个条件，则第三个也必然成立。若 f(x+a)=f(x+b)或 f(x-a)=f(x-b)，则T=b-a若 f(x)关于点 a，0，(b，0)对称，则 f(x)是周期函数，且 T=2|a-b|；若 f(x)图象有两条对称轴 x=a，x=b，则 f(x)是周期函数，且 T=2|a-b|；若 f(x)关于点(a，0)对称，且关于 x=b 对称，则 f(x)是周期函数，且 T=4|a-b|；例 4(2022 辽宁模拟)已知函数 y=f(2x+1)的

100、图象关于直线 x=1 对称，函数 y=f(x+1)关于点(1,0)对称，则下列说法正确的是()A.f(1)=0B.f(1-x)=f(1+x)C.f(x)的周期为 2D.f(x)=f32-x55随堂练习练10(2017 春 崇文区校级期末)函数 f(2x+1)是奇函数，则函数 f(x)的对称中心为()A.(0,0)B.(1,0)C.(-1,0)D.12，0练11 若 R 上的偶函数 f(x)满足 f(1-x)=f(1+x)，当-1 x 0 时，f(x)=2x(1-x)，则 f92=()A.12B.-12C.32D.-32练12(2022 福州模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足f(2-x)=

101、2-f(x)，若 f(x)的图象关于直线 x=3 对称，则下列选项中一定成立的是()A.f(-3)=1B.f(0)=0C.f(3)=2D.f(5)=-1练13 已知定义在 R 上的函数 y=f(x)满足条件f x+32=-f(x)，且函数 y=f x-34是奇函数，由下列四个命题中不正确的是()A.函数 f(x)是周期函数B.函数 f(x)的图象关于点-34,0对称C.函数 f(x)是偶函数D.函数 f(x)的图象关于直线 x=34 对称练14 定义在 R 上的 f(x)是奇函数，对 x R 都有 f(2+x)=f(2-x)，当 f(-1)=-2 时，f(2009)=()A.-4B.0C.-2

102、D.2练15(多选)函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，则下列结论成立的是()A.f(x+1)为偶函数B.f(1+x)=f(1-x)C.f(1+x)+f(1-x)=0D.f(1)=0练16 已知函数 f(x)=x+2x-1-1(1)记 g(x)=f(x+1)，证明：g(x)图象关于原点对称(2)若方程 f(x)=t(x2-2x+3)|x|有三个解，求实数 t 的取值范围56课后提升巩固1 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 y=f(x)的图象关于直线 x=13 对称，则 f-23=()A.0B.1C.-1D.2巩固2 已知定义域为 R 的偶函数 f(x)满足 f(1+x)=f

103、(1-x)，f12=1，则 f-32=()A.-32B.-1C.1D.32巩固3(2022 保定模拟)已知函数 f(x)=x3+ax2+x+b 的图象关于点(1,0)对称，则 b=()A.-3B.-1C.1D.3巩固4(多选)函数 f(x)的图象关于直线 x=1 对称，那么()A.f(2-x)=f(x)B.f(1-x)=f(1+x)C.函数 y=f(x+1)是偶函数D.函数 y=f(x-1)是偶函数巩固5(2017 秋 分宜县校级月考)已知 y=f(2x-1)为奇函数，y=f(x)与 y=g(x)图象关于 y=x 对称，若 x1+x2=0，则 g(x1)+g(x2)=()A.2B.-2C.1D

104、.-1巩固6 若函数 f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=2 对称，则 f(x)的最小值为()A.0B.-15C.-16D.-18巩固7 设函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足 f(x-2)=-f(x)对一切 x R 都成立，又当 x-1，1 时，f(x)=x3，则下列四个命题：函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数；当 x 1，3 时，f(x)=(2-x)3；函数 y=f(x)的图象关于 x=1 对称；函数 y=f(x)的图象关于(2,0)对称其中正确的命题是巩固8 对于定义在实数集 R 上的函数 f(x)，若存在常数 t，使得任意的 x R 都有

105、 f(t+x)+f(t-x)=0，则函数 f(x)的图象关于 x 轴上的点 P(t,0)对称(1)若 f(x)是 R 上单调函数且其图象关于点 P(t,0)对称，证明：函数 f(x)有唯一零点；(2)已知函数 g(x)=x3+3x2-2，证明：函数 g(x)的图象关于 x 轴上的点 P 对称，并求出点 P 的坐标57第二章 章末总结第二章 章末总结1.本章内容是对函数所具备的共有性质的抽象学习。我们知道对于可作图的函数，其基本性质可以由图象得到，而高中阶段已经从初中阶段的特例函数推广到了一般函数，对于大部分函数，我们无法作出其函数图象，由此我们需要用一套代数计算的方法去判断函数性质，这也是本章

106、的教学核心。通过本章的学习，请你对本章所学内容经行归纳总结，用架构图表示。2.通过本章的内容学习，请完成以下填空。(1)形如 y=C（C 为常数）的函数称之为，是六个基本初等函数之一。其图像是一条的直线，不具备。主要用于解决含参的问题。像这种有解析的函数我们统称为解析函数，没有解析的函数称为，例如：y=f(2x-1)(2)函数问题，优先考虑。例如：奇偶性成立的前提条件是。中学阶段主要的定义域约束条件是：1 分式的；2 对数的真数大于零；3 根号下；4 零指数幂(3)函数单调性是分析求解函数最值的关键步骤，在选择题中我们可以借助以下性质计算快速判断函数单调性：1 增函数+增函数=；减函数+减函数

107、=2 添加根号单调性；变倒数、加负号单调性(4)奇偶性是一种特殊的，利用对称性我们可以解决很多问题。奇偶性的主要用途：1 借助奇偶性的抽象草图，解决抽象不等式；2 借助奇偶性对称的特点，求解；3 利用奇偶性对称的特点解决的问题,例如：f(-a)+f(a)。583.(2022 山西三模)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(-x)，且在区间(1,+)上单调递增，则满足f(1-x)f(x+3)的 x 的取值范围为()A.(-1,+)B.(-,-1)C.(-1,1)D.(-,1)4.(2021 秋 郫都区校级月考)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(-,0)上单调递增，且 f(3

108、)=0，则满足 xf(x+1)0 的 x 的取值范围是()A.(-，-4 0 2，+)B.(-，-2 0，1 4，+)C.-4，-1 0，2D.(-，-4 -1，0 2，+)5.(2022 春 安徽期中)已知函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)-1(x，y R)，当 x y 时，f(x)-f(y)x-y 0 成立，且 f(1)=2(1)求 f(0)，并证明函数 g(x)=f(x)-1 的奇偶性；(2)当 x 0，9，不等式 f(x)+f(m-2 x)3 恒成立，求实数 m 的取值范围59第十一讲 一次函数及其变换第十一讲 一次函数及其变换一次函数的图象性质一次函数的图象性质模块

109、一模块一课堂精讲初中阶段我们学习了一次函数，介绍了函数的性质，函数、方程与不等式之间的关系。高中阶段将对一次函数做更全面的补充与拓展。1一次函数图象性质解析式f(x)=kx+b参数k 代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度.k=tan=y1 yox1 xob 代表直线的纵截距，含义是直线与 y 轴相交的点的纵坐标.图 像k 0,b 0k 0,b 0yxyxk 0k 0,b 1”是“函数 f(x)=kx+2 为 R 上的增函数”的(填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”)2.一次函数的平移变换初中阶段，我们学习了函数平移变换的通法:左加右减，上加下减。一次函数图像的平

110、移变换：f(x)=kx+b 图象向左(右)平移 m 个单位得到：f(x m)=k(x m)+b；f(x)=kx+b 图象向上(下)平移 h 个单位得到：f(x)h=kx+b h；3一次函数的翻折变换以 f(x)=2x+1 与 f(x)=2x+1、f(x)=2 x+1 为例：(1)f(x)图象是将 f(x)在 x 轴上方图象保留，将x 轴下方的图象作 x 轴翻折后得到。yxy=f(x)yxy=f(x)对称翻折(2)函数 f(x)图象是将函数 f(x)在 y 轴右侧的图象不变，把 y 轴左侧的图象去掉，再将 y 轴右侧图象作 y 轴翻折到左侧得到。yxy=f(x)yxy=f(x)对称翻折60例 2

111、 已知函数 f(x)=-x2+2x-1，x 1|x-1|，x 1，若 f(a2-4)f(3a)，则实数 a 的取值范围是()A.(-4，1)B.(-，-4)(1，+)C.(-1，4)D.(-，-1)(4，+)通过上面对一次函数图像的翻折变换的介绍，我们将用来解决以下问题：一次绝对值不等式的解法以及一次绝对值函数图像、性质的分析。4.一次绝对值不等式对于 f(x)a 型不等式的解法：(以 2x+1 5 为例,还可以两边同时平方转化为一元二次不等式求解)解出 y=f(x)的零点：令 y=2x+1 中 y=0 x=12 在同一坐标系中画出 y=f(x)与 y=a 的图象 解出翻折前 f(x)=a 实

112、根，由对称得出翻折后实根：根据图像，得出 f(x)a 的解集：yxy=2x+1-3-122y=5例 3 不等式|5-2x|3 的解集是()A.(1,4)B.(-,1)C.4，+)D.(-，1)(4，+)例 4(2021 秋 河东区校级期中)若关于 x 的不等式 3-|x-a|x2在(-,0)上有解，则实数 a 的取值范围是()A.-134，3B.-3,134C.-,-134D.(3,+)随堂练习练1 已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1)-f(x)=2x+9，则函数 f(x)的解析式为()A.f(x)=x+3B.f(x)=x-3C.f(x)=2x+3D.f(x)=2x-361练2 不

113、等式|x+1|2 的解集是()A.x|x 1B.x|-3 x 1C.x|-3 x 1D.x|x -3 或 x 1练3(2021 秋 西 城 区 校 级 期 中)设 x R，则“x-12 12”是“x 1”的()条件A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要练4(2017 春 钦南区校级期中)若关于 x 的不等式|x-1|+x a 无解，则实数 a 的取值范围是()A.(-,1)B.(，1C.(1,+)D.1，+)练5(2022 连云港二模)若不等式|x-1|a 的一个充分条件为 0 x 0B.a 0C.a 1D.a 1练6(2018 秋 碑林区校级月考)集合 P=x|x R，

114、|x-1|kx+1”为真，则 k 的取值范围练9 作出下列函数的图像(1)画出函数 f(x)=|2x+4|-3 的图像(2)画出函数 f(x)=2|x-1|+2 的图像练10 已知函数 f(x)=2|x-2|+ax(x R)(1)若 f(a)=3，求实数 a 的值；(2)若 f(x)有最小值，求实数 a 的取值范围；(3)设 g(x)为定义在 R 上的奇函数，且当 x 0时，g(x)=f(x)，求 g(x)的解析式62多绝对值和差函数多绝对值和差函数模块二模块二课堂精讲通过前面的学习，我们知道了 f(x)=kx+n是一次函数经过翻折变换以后得到的。初中阶段我们就知道了一元一次的问题可以借助数轴

115、分析，现在我们重新从另外一个角度来认识绝对值函数。函数 f(x)=x-n的几何意义是：数轴上任意一点到数 n 对应的点的距离，由几何意义出发，我们可以知道：动点运动到 n 的位置时，距离最小，f(x)min=0;动点到 n 的距离是对称的，f(x)是对称函数由上面的背景出发：对于多绝对值函数的和差问题，我们任然可以借助数轴分析。思考：动点到两点甚至更多点的距离和和距离差有什么样的性质。1盆函数 f(x)=x-a+x-b由于其独特的函数外形，我们将函数 f(x)=x-a+x-b称之为盆函数.f(x)=x-a+x-b=-2x+a+b,x babxf(x)=x-a+x-b正方形函数性质：函数是对称函

116、数，对称轴为 x=a+b2当 x a,b时，有:f(x)min=b-a(b a)2.盆函数的变换通过上面对盆函数的分析，我们可以知道：对于多绝对值的问题，分析方法采用的是去绝对值的原理，将绝对值函数拆分为分段函数研究。对于函数 f(x)=mx-a+nx-b我们也可以采用去绝对值的原理来研究，但是去绝对值过于浪费时间，由此我们可以直接记住函数的结论：当 f(x)=mx-a+nx-b时，f(x)的最小值在 x1=am 或 x2=bn 处取得，将二者代入解析式，谁小谁就时函数的最小值。变换后的函数不再具备对称性。例 5(2021 秋 上高县月考)若关于 x 的不等式|x-2|+|2x+3|a 对任意

117、 x R 恒成立，则 a 的取值范围为()A.(-,7)B.-,72C.0，7)D.0,722.绝对值的差函数解析式f(x)=x-a-x-b图 象a ba bxyabxyab对称性 函数关于(a+b2,f(a+b2)对称最 值当 x=a 时，有最小值 f(a)=-a-b当 x=b 时，有最大值 f(b)=a-b63例 6(2021 秋 金东区期中)已知 f(x)=|x-4|-|x+2|，若 f(a+1)f(2a)，则 a 的取值范围是()A.-1，1B.-1，3C.(1,3)D.(-3,1)随堂练习练11 若关于 x 的不等式|x+1|+|x-2|a 的解集不是空集，则实数 a 的取值范围是(

118、)A.3，+)B.(3,+)C.1，+)D.(1,+)练12(2021 春 郑州期末)若关于 x 的不等式|x-3|+|x+a|5 有解，则实数 a 的取值范围是()A.(-，-8)(2，+)B.(-8,2)C.(-，-2)(8，+)D.(-2,8)练13 已知函数 f(x)=|x-m|+|x+3|(1)当 m=1 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)2m-5 有解，求实数 m 的取值范围练14(2022 自贡模拟)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-b|(a，b R+)(1)当 a=1，b=2 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)求不等式 f(x)f(

119、x+1)的解集64课后提升巩固9(2021 秋 于都县校级月考)绝对值不等式|x-3|4 的解集为()A.(-,-1)B.(7,+)C.(-1,7)D.(-，-1)(7，+)巩固10(2021 秋 宝安区期末)若 p:|x-2|3，则 p成立的一个充分不必要条件是()A.-1 x 6B.-2 x 5C.-1 x 5D.0 x 6巩固11(2021 春 中牟县期中)若关于 x 的不等式|x-1|+|x+2|a 在 R 上无解，则()A.a 1B.a 1C.a 0)”的必要不充分条件，则正实数 m 的取值范围是巩固15(2022 春 华州区)已知函数 f(x)=|x+1|(1)求 f(x)3 的解

120、集；(2)若 g(x)=f(x)+|x-2|，求 g(x)的最小值巩固16(2021 秋 渭南月考)已知函数 f(x)=|3x-1|+|3x+2|(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)若关于 x 的方程 f(x)+t2-4t=0 有实数解，求实数 t 的取值范围65巩固17(2021 秋 昆明)已知 f(x)=|x-2|+|x-3|(1)解不等式 f(x)3；(2)记 f(x)的最小值为 m，若 a，b 都是正数，且 1a+2b=m，证明：a+2b 9巩固18(2021 秋 江阴市校级月考)已知函数 f(x)=|x-a|+|x+2|(a R)(1)当 a=-1 时，解不等式 f(x)3x；

121、(2)已知 a 0，b 0，f(x)的最小值为 m，且 m+b=4，求 1a+ab+1 的最小值66第十二讲 反比例函数与一次分式函数第十二讲 反比例函数与一次分式函数反比例函数的平移变换反比例函数的平移变换模块一模块一课堂精讲1.反比例函数图象性质解析式f(x)=kx图 像k 0k 0 时，y 随 x的增大而减小；当 x 0 时，y 随 x 的增大而增大；当 x 0图像向右平移 a 个单位，向上平移b 个单位可以转化为 y=kx-a+byxf(x)=kx平移变换yxf(x)=kx-a+bx=ay=b反比例函数 y=kx 具有两条渐近线：x=0，y=0，所以在研究反比例函数的平移变换时，要考虑

122、到渐近线位置的改变。3.一次分式函数形如 f(x)=cx+dax+b 这样的函数称为一次分式函数该类型函数的研究方法：分离常数法。在函数的分子上配出分母的形式：f(x)=ca ax+b+d-cbaax+b 列项：f(x)=ca+d-cbaax+b.令 k=d-cba，t=ca，则函数f(x)=t+kax+b,其图像如下：yxf(x)=cx+dax+bx=-bay=ca 由图可得 f(x)=cx+dax+b 的性质：f(x)定义域-,-ba、-ba,+f(x)值域-,ca、ca,+f(x)在-,-ba、-ba,+上单调递减.注：一次分式简记：x 前面的系数作比，再去掉是函数的值域。分母不为 0

123、可以解出定义域和单调区间。例 1(20223 月模拟)函数 f(x)=2x-33x+1 值域()A.-,1313,+B.-,3232,+C.-,-13-13,+D.-,2323,+67例 2 已知函数 f(x)=2xx-1(1)求 f(x)的定义域、值域及单调区间；(2)判断并证明函数 g(x)=xf(x)在区间(-,0)上的单调性(3)g(x)是定义在(-,0)上的函数，不等式 g(t-1)g(-t)恒成立，求 t 的取值范围。随堂练习练1“函数 y=kx 在(0，+)上是减函数”是“函数 y=kx 在 R 上是增函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

124、不必要条件练2 已知函数 f x=2xx-1，则 f x在区间 2,6上的最大值为()A.125B.3C.4D.5练3 函数 y=-|x-a|与 y=ax+1 在区间 1，2 上都是严格减函数，则 a 的取值范围为()A.(-，0)B.(-1，0)(0，1C.(0，1)D.(0，1练4(2022 春 增城区期末)已知函数 f(x)=x-1x+1，则函数中为奇函数的是()A.f(x-1)+1B.f(x-1)-1C.f(x+1)+1D.f(x+1)-1练5(2021 秋 青山区校级月考)已知函数 f x+1x-1的定义域为(-2,0)，则 f(2x-1)的定义域为()A.-12，12B.(-5,-

125、1)C.0,23D.-3,-13练6 在平面直角坐标系中分别作出函数 f(x)=2+6x-1 和 f(x)=-2-8x-2 的图像。68练7(2021 秋 贵阳期末)函数 y=f(x)是(-，0)(0，+)上的偶函数，当 x 0 时，函数 f(x)的解析式练8(2021 秋 长宁区期末)已知函数 y=ax+1x+2(1)若 a=1，请研究函数 y=x+1x+2 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并做出大概图像；(2)是否存在 a，使得该函数在区间 1，+)上是严格增函数，并且函数值不恒为正，若存在，求出符合条件的 a 的取值范围；若不存在，请说明理由练9(2021 秋 贵池区期中)函数 f(x)

126、=2x-3x+2(1)求 f(-a)+f(a-4)的值；(2)利用单调性的定义证明：函数 f(x)在(-2,+)上单调递增练10(2021 秋 城厢区校级期中)已知函数 f(x)是定义在(-4,4)上的奇函数，满足 f(2)=1，当-4 0 以后的图象保留，并且将 x 0 的图象对称翻折到x 0yxf(x)=kx翻折变换f(x)=kxxyk 02.一次分式的翻折变换yxf(x)=kx-a+bx=ay=byxf(x)=kx-a+bx=ay=b对称翻折yxf(x)=kx-a+bx=ay=byxf(x)=kx-a+bx=ay=b随堂练习练11 画出 f(x)=x-1x+1的图象，并且求出函数在1,+

127、上的值域。练12(2021 桂林期末改编)函数 f(x)=1-3x+2(1)用定义证明函数 f(x)在 3，5 上单调递增；(2)在坐标系中画出函数 f(x)的草图，并求函数的值域。70课后提升巩固1(2020 秋 浉河区校级月考)若函数 f(x)满足 f(x)=x+3x+2，则 f(x)在 1，+)上的值域为()A.(-，1B.0，43C.-，43D.1，43巩固2(2021 秋 威海期末)设函数 f(x)=1-x1+x，则下列函数的图像关于原点对称的是()A.y=f(x-1)+1B.y=f(x-1)-1C.y=f(x+1)+1D.y=f(x+1)-1巩固3 请作出以下函数的图象f(x)=2

128、x+1x-2f(x)=2x+1x-2f(x)=2 x+1x-2巩固4 已知函数 f(x)=2xx-1(1)分别作出 y=f(x)y=f(x)y=f(x)的图像；(2)求 f(x)的定义域、值域及单调区间。巩固5(2021 秋 东莞市月考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时，f(x)=4xx+4(1)求函数 f(x)的解析式；(2)证明：函数 f(x)在区间(-,0)上单调递减71巩固6 已知函数 y=2x-3x+1(1)作出这个函数的大致图象；(2)讨论关于 x 的方程 2x-3x+1=t 的根的个数。巩固7(2021 石景山期末)已知函数 f(x)=2xx+1(1)用

129、定义证明 f(x)在(1,+)上单调递增；(2)对任意 x 2，4 都有 f(x)m 成立，求实数 m 的取值范围巩固8(2021 秋 陇县期末)已知 f 1-xx=1-x(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断函数 f(x)在 0，+)上的单调性，并用定义法加以证明巩固9 已知定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数，且当x (0,+)时，f(x)=x-1x+1(1)求函数 f(x)在 R 上的解析式；(2)判断函数 f(x)在(-,0)上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；(3)解不等式 f(t2-t+1)f(|t|)72第十三讲 对勾函数和二次分式型函数第十三讲 对勾函数和二次分式型

130、函数对勾函数对勾函数模块一模块一课堂精讲通过前面对基本不等式的学习，我们了解了求“ax+bx(a,b 0)”最值的方法，但是均值不等式由于其应用条件的局限性，对于我们解决函数最值带来了极大的瓶颈。今天我们将在初中的正比例与反比例函数基础上，学习新函数 f(x)=ax+bx。由于独特的外形被我们称之为“对勾函数(双勾函数)”。大家可以思考正比例与反比例的叠加函数会呈现什么样的性质？（极限思想的初等介绍了了解）1.对勾函数的图象性质解析式f(x)=ax+bx图 像a 0,b 0a 0,b 0,x R)在 x=2时取得最小值，则实数 a=例 2(2017 秋 兴隆县校级月考)已知函数 f(x)=px

131、+qx(p，q 是常数)，且满足 f(1)=52，f(2)=174(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若对任意的 x 0,12关于 x 的不等式 f(x)2-m 恒成立，求实数 m 的取值范围73随堂练习练1(2017 秋 思明区校级期中)对于函数 y=x+4x，当 x 13,4时，y 的取值范围是()A.y 4 y 0)当 x=a 时，y 取最小值 b，则 a+b=()A.10B.14C.12D.8练3(2015 秋 来宾期末)若 f(x)=x+4x，则下列结论正确的是()A.f(x)的最小值为 4B.f(x)在(0,2)上单调减，在(2,+)上单调递增C.f(x)的最大值为 4D.f(x

132、)在(0,2)上单调增，在(2,+)上单调递减练4 若关于 x 的不等式 x+4x a2-3a 对任意实数x 0 恒成立，则实数 a 的取值范围为()A.a|-1 a 4B.a|a -2 或 a 5C.a|a -1 或 a 4D.a|-2 a 5练5(2021 秋 怀柔区期末)函数 f(x)=x2+2x(x 0)的最小值是练6(2017 秋 如皋市期中)已知函数 f(x)=x+1x(x 0)，若在 a，a+2)上有最小值和最大值，则实数a 的取值范围是练7(2016 秋 辛集市校级期中)已知函数 f(x)=x+ax+b(x 0)，其 中 a，b R 若 对 任意 的 a 12，2，不等式 f(

133、x)10 在 x 14，1上恒成立，则b 的取值范围为74练8 已知 f(x)=x+4x(1)证明：f(x)在 2，+)单调递增；(2)解不等式：f(x2-2x+4)f(7)练9(2017 秋 武进区期中)如图，已知直线 y=kx+6-k 与曲线 y=2+4x 在第一象限和第三象限分别交于点 A 和点 B，分别由点 A、B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 M、N，记四边形 AMBN 的面积为 S(1)求出点 A、B 的坐标及实数 k 的取值范围；(2)当 k 取何值时，S 取得最小值，并求出 S 的最小值xyABMN75二次型分式函数（选）二次型分式函数（选）模块二模块二课堂精讲我们前面介绍了一

134、次分式函数，接下来，我们思考：可不可以将一次分式函数推广大二次分式函数？1二次分式函数形如 f(x)=cx+dax+b、x2+x+x+n、x+nx2+x+x+x+n 型的函数统一称之为分式型函数。对于任意一个函数，我们最终的核心目标是为了搞定最优解问题，所以才产生了很多函数分析的方法。对于二次型我们也将对其最值经行研究。2.对勾函数求二次型分式函数值域利用函数方法求值域时用的最多的是：换元分常法1 cx+dax+b 型：令 t=ax+b x=1a t-b代换分子 x,然后裂项，转化为：y=A+Bt(反比例函数)2 x2+x+x+n型：令 t=x+n x=t-n 代换 x,然后裂项，转化为：y=

135、At+Bt+C(对勾函数)3x+nx2+x+型：令 t=x+n x=t-n 代换x,同除 t，转化为：y=1At+Bt+C(对勾倒函数)4x+x+n 型：令 t=x+n x=t2-n 代换分子后裂项，转化为：y=At+Bt+C(对勾函数)注：x+x+n x+2x+n还可对根式下用方法例 3 函数 f(x)=x2+5x2+4的最小值为例 4当 x 12 时，函数 y=x2+x+12x-1最小值为从上面的换元分常分析中我们发现，产生了一个新函数：对勾倒函数。在分析中我们可以借助对勾函数分析求解对勾倒函数的最值，也可以直接用函数的性质求解函数的最值3.对勾倒函数形如：y=1At+Bt+C的函数称之为

136、对勾倒函数，其图象走势如下图所示：xyba-baf(x)=1x+1x4.换元判别法求值域令 y=h(x)g(x)h(x)=yg(x)，换元过程要求等式成立，说明 h(x)-yg(x)=0 有解。在二元问题中要让方程有解，可以用约束出 y 的取值范围。76例 5 已 知 函 数 f(x)=x+ax2+1(a R)的 值 域 是-14,m，则常数 a=，m=随堂练习练10(2022 惠 州 二 模)已 知 x 52，则 f(x)=x2-4x+5x-2有()A.最大值 52B.最小值 52C.最大值 2D.最小值 2练11(2021 秋 凉州区期末)函数 y=x2+1x(x 0)的值域为()A.1，

137、+)B.(1,+)C.2，+)D.(2,+)练12 非零实数 a，b 满足 a 2+b 2=4，若函数 y=ax+bx2+1 有最大值 M 和最小值 m，则 M-m=练13 已 知 函 数 y=mx2+8x+nx2+1的 定 义 域 为(-,+)，值域为 1，9，则：m=，n=练14(2021 秋 台州期中)设函数 f(x)=ax+bx2+1 是定义在(-1,1)上的奇函数，且 f12=45(1)求函数 f(x)的解析式；(2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性定义证明77练15(2021 秋 西陵区校级期中)已知函数 f(x)=x2+1ax+b 是其定义域内的奇函数，且 f(

138、1)=2，(1)求 f(x)的表达式；(2)设 F(x)=xf(x)(x 0)，求 F(1)+F(2)+F(3)+F(2021)+F12+F13+F12021的值练16(2021 秋 黄梅县校级期末)(1)已知函数 h(x)=x+4x，x 1，8，求函数 h(x)的最大值和最小值；(2)已知函数 f(x)=4x2-12x-32x+1，x 0，1，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值域；(3)对于(2)中的函数 f(x)和函数 g(x)=-x-2a，若对于任意的 x1 0，1，总存在 x2 0，1，使得g(x2)=f(x1)成立，求实数 a 的值课后提升巩固1(2017 秋 凌源市校级月

139、考)函数 f(x)=x+4x,x 1,5，则函数 f(x)的最小值为()A.4B.5C.295D.529巩固2 函数 y=x2-4x+4x-1(x 1)的值域是()A.1，+)B.(-，1C.(-，0D.0，+)巩固3 下列说法不正确的是()A.x+1x(x 0)的最小值是 2B.x2+5x2+4的最小值是 2C.x2+2x2+2的最小值是2D.若 x 0，则 2-3x-4x 的最大值是 2-4 378巩固4(2016 春 泸州期末)已知函数 f(x)=x+ax(x 0,a 0)在 x=3 时取得最小值，则 a=巩固5(2020 秋 滕州市)已知函数 f(x)=x+4x(1)求 f(f(2)；

140、(2)判断函数 f(x)在 2，4 上的单调性，并证明；(3)关于 x 的不等式 x+4x m 在区间 2，4 上有解，求实数 m 的取值范围。巩固6(2021 秋 平 舆 县 月 考)已 知 函 数 f(x)=mx+nx2+1 是定义域为(-1,1)的奇函数，且 f12=25(1)求 m，n 的值，并用函数单调性的定义来判断函数 f(x)的单调性；(2)解不等式 f(2x+1)+f(x)0巩固7(2021 秋 东城区期末)函数 f(x)=2x2+1(1)判断 f(x)在区间 0，+)上的单调性，并用函数单调性的定义给出证明；(2)设 g(x)=f(x)-k(k 为常数)有两个零点 x1，x2

141、，且 x1 x2，当 x1 0)具有性质：在(0，t 上是减函数，在(t，+)上是增函数。(1)已知 f(x)=2x+42x-1-5,x 1,3，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)=x2-mx+4，若对任意 x1 1，3，总存在 x2 1，3，使得 g(x2)0a 0 xx0=-b2ayxx0=-b2ay对称轴直线 x=-b2a顶 点-b2a,4ac-b24a增减性x -b2a 时，单调递增x -b2a 时，单调递减最 值当 x=-b2a 时y 有最小值当 x=-b2a 时y 有最大值例 1 函数 y=x2+2mx+1 在 2,+

142、)单调递增，则实数 m 的取值范围是()A.-2,+)B.2,+)C.(-,2)D.(-,22.二次函数的平移变换平移方法：左加右减，上加下减。以二次函数 y=x2的图象为例(1)y=x2的图象向左平移 1 单位长度后解析式：y=x+12；向右平移 1 单位长度后解析式：y=x-12(2)y=x2的图象向上平移 2 单位长度后的解析式：y=x2+2；向下平移 2 单位长度后解析式：y=x2-2xy向左平移 1 单位向右平移 1 单位xy向下平移2单位向上平移2单位3.二次函数的翻折变换以 y=2x2+2x-1 与 y=2x2+2x-1、y=2 x2+2 x-1 图象间的关系为例：(1)函数 y

143、=2x2+2x-1的图象是将函数 y=2x2+2x-1 在 x 轴上方的图象保留，再将 x 轴下方的图象作关于 x 轴对称得到。(2)函数 y=2 x2+2 x-1 对 x 取绝对值的图象，是将函数 y=2x2+2x-1 在 y 轴右侧的图象保持不变，y 轴左侧的图象去掉，再将 y 轴右侧的图象作关于 y 轴对称得到。xyy=2x2+2x-1的图像y=2 x2+2 x-1 的图像y=2x2+2x-1 的图像第一步：画出原图第二步：进行翻折xyxy80例 2(2021 秋 南乐县月考)已知函数 f(x)=|x+2|-|2-x|，g(x)=x2-2|x|+t(t R)(1)f(x)a 的解集为 R

144、，求实数 a 的取值范围；(2)若 f(x)a 2)，则实数 m 的取值范围为()A.14,4B.14,4C.74,2D.74,2练6(2021 秋 沙坪坝区期中)设实数 x，y 满足 x+y=4，则x2+y2-2x+2y+2 的最小值为()A.2B.4C.2 2D.881练7(2022 河南模拟)二次函数 f(x)=ax2+2x+c(x R)值域为 0，+)，则 1c+4a 的最小值()A.-4B.4C.8D.-8练8(2021 秋 和平区校级期中)若函数 f(x)=-x2+4ax 与 g(x)=2x-2a+1x-2a在区间 1，2 上都是减函数，则 a 的取值范围是()A.(-，1B.-1

145、2,1C.-12,12D.-12,12练9(2021 秋 河南月考)函数 f(x)=ax2+x+b(1)若不等式 f(x)0)的最小值练10 设函数 f(x)=|x2-4x+3|，x R(1)在区间 0，4 上画出函数 f(x)的图象；(2)写出该函数在 R 上的单调区间练11(2021 秋 龙凤区校级期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0)在闭区间 p,q 上的最大值为 M，最小值为 m，其中对称轴 x0=-b2a,区间 p,q 上的中点 t=12(p+q).xx0 p q图 1xx0pqt图 2xx0pqt图 3xx0p q图 4(1)当 x0 p 时，则 f(x)

146、min=f(p)=m，f(x)max=f(q)=M；参照图 1(2)当 p -b2a t 时，则 f(x)min=f(-b2a)=m，f(x)max=f(q)=M；参照图 2(3)当 t -b2a q 时，则 f(x)min=f(-b2a)=m，f(x)max=f(p)=M；参照图 3(4)当 q -b2a 时，则 f(x)min=f(q)=m，f(x)max=f(p)=M.参照图 4例 3(2021 秋 秀英区校级期中)函数 y=f(x)为偶函数，当 x 0 时，f(x)=x2+2ax+1(1)当 x 0)的零点：x1,x2,判别式：=b2-4ac,对称轴：x0=-b2a(1)方程 f(x)

147、=0 在区间 m,n上无解.xnma 0f(n)f(m)x0f(m)0f(n)0 0m x0 0nf(n)或xf(m)ma 0nf(n)f(m)0f(n)0n x0 xf(m)mx1x2a 0nf(n)f(m)0f(n)083(2)方程 f(x)=0 在区间 m,n上有一解.xf(n)nx0a 0mf(m)f(m)0f(n)0=0m x0 nxf(n)mx1x2a 0f(m)n或xf(m)mx1x2a 0f(n)nf(m)f(n)0 0(3)方程 f(x)=0 在区间 m,n上有两解xf(m)m x1x2a 0nf(n)f(m)0f(n)0 0m x0 0，f(x)f(2)f(1)B.f(2)

148、f(1)f()C.f(2)f()f(1)D.f(1)f(2)f()巩固2(2021 秋 浙江月考)已知函数 f(x+2)=x+2 x+2，则 f(x)的最小值是()A.-1B.2C.1D.0巩固3(2022 春 湖北期中)f(x)=-x2-3tx+8t，则“f(x)图象恒在 x 轴下方”是“-2 t 0 的解集为(-1,1)，求 a 和 b；(2)若 f(1)=3，若 a 0，b 0，求 1a+1b 的最小值，并指出取最小值时 a 和 b 的值；巩固9(2021 秋 天津期末)已知函数 f(x)=2x2+mx+n 的图象过点(1,-1)，且满足 f(-2)=f(3)(1)求函数 f(x)的解析

149、式；(2)求函数 f(x)在 a，a+2 上的最小值；(3)若 x0满足 f(x0)=x0，则称 x0为函数 y=f(x)的不动点函数 g(x)=f(x)-tx+t 有两个不相等且正的不动点，求 t 的取值范围86第十五讲 函数零点与分段函数第十五讲 函数零点与分段函数分段函数分段函数模块一模块一课堂精讲初中阶段我们接触过一些简单的分段函数问题。所谓分段函数就是自变量在不同的定义区间上有不同的解析式。对于分段函数的问题，我们可以借助图象辅助解题，图象是最直观体现函数性质的方法。1.分段函数形如 y=f(x),x a,bg(x),x b,c 的函数称为分段函数。2.分段函数的作图规则1 确定函数

150、的分段点，在坐标系中画出虚线；2 在各自的区间上画出函数图像；3 计算分段点处二者的函数值，进而确定函数图象是连续还是间断的。3.函数作图的细节作图分析问题时，我们虽是作的草图，但还需注意以下细节，这些细节可能会影响由图得到的结论。1 体现函数性质的特殊点或者直线需进行标注，如对称的点或直线，所过定点(含参一次函数过定点)2 需注意初等函数渐近线。有渐近线的函数经过翻折变换后仍然有渐近线(对于方程根的个数和最值问题需重点注意渐近线)。3 部分问题中初等函数的最值点和零点需标注。4 直角坐标系要求尺子作图，不要徒手画！函数图尽量要使趋势与教学图象保持一致，不要过于夸张，避免因作图不规范影响结论。

151、例 1(2021 秋 辽 源 期 末)已 知 函 数 f(x)=x+2x+2,x 12在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是()A.-，-12B.(-,0)C.-,-12D.-34，-12随堂练习练1(2021 秋 张 掖 期 末)已 知 f(x)=x-4(x 6)2x-3(x 6)，则 f(3)为()A.-1B.2C.3D.-1 或 387练2(2021 秋 武 江 区 校 级 期 末)已 知 f(x)=-x+6,x 0 x2+1,x 1,若 f(x)=8，则 x=()A.-3 或 1B.-3C.1D.3练4(2021 秋 福 州 期 末)已 知 函 数 f(x)=x3+1,x 0ax3+

152、b,x 0为偶函数，则 2a+b=()A.3B.32C.-12D.-32练5(2021 秋 西 青 区 期 末)若 函 数 f(x)=x+2x,2 1在 R 上为减函数，则 a 的取值范围是()A.(0,+)B.-,12C.12,1D.12,+练7(2021 秋 邯 郸 期 中)设 函 数 f(x)=|x|-1,x -1,+)2f(x+2),x (-,-1)，若对任意的 x m，+)，都有 f(x)-4，则 m 的最小值是()A.-4B.-6C.-132D.-112练8(2020 秋 南昌县校级月考)若函数 f(x)=b-32x+b-1(x 0)-x2+(2-b)x(x 0)在 R 上为增函数

153、，则实数b 的取值范围是88练9(2021 秋 广陵区校级期中)已知函数 f(x)=1-1x,x 11x-1,0 x 1(1)当 0 a b，f(a)=f(b)时，求 1a+1b 的值；(2)若存在正实数 a、b(a b)使得函数 y=f(x)的定义域为 a，b 时，值域为 ma，mb(m 0)，求 m的取值范围练10(2021 秋 锡山区校级期中)已知函数 f(x)=-x2-ax+3a(0 x 1)ax(1 x 2)(1)当 a=1 时，求 f(x)的值域；(2)函数 y=f(x)能否成为定义域上的单调函数，如果能，则求出实数 a 的范围；如果不能，则给出理由；(3)f(x)-2 在其定义域

154、上恒成立，求实数 a 的取值范围89函数零点与方程解函数零点与方程解模块二模块二课堂精讲初中阶段阶段我们分别学习了函数、方程、不等式之间的相互关系。现在，我们通过对前面内容的学习，加深了这些知识的关系：方程和不等式都是函数的一种特殊情况，都是由函数演化得来的，而不等式与函数之间的临界状态是方程，所以研究方程解也是我们研究函数的一个重要环节。1.函数零点对于函数 y=f x，我们把使 f x=0 的实数 x叫做 y=f x的零点。这样，函数 y=f x的零点就是方程 f x=0 的实数解，也就是函数 y=f x的图象与 x 轴的公共点的横坐标。yxf(a)abf(b)x0零点所以方程 f x=0

155、 有实数根 函数 y=f x图象与 x 轴有交点 函数 y=f x有零点。由初中方程的定义出发，我们可以知道，方程只需要满足：含有未知数；必须是等式。从上面 2个条件出发，我们可以知道:不仅仅 f x=0 是方程，f x=a 也是方程。2.常数函数形如 y=a（a 为常数）的函数称之为常数函数。图象是一条平行于 x 轴的直线，不具备单调性。xyy=a类比函数零点，我们可以得到：方程 f x=a 有n 个实数根 函数 y=f x图象与函数 y=a 有 n个交点 函数 y=f x-a 有 n 个零点。例 3 函数 f(x)=x2-3 x+1,若 f(x)=a 有 3 个不相等的实数根，则 a=例

156、4(2021 奉 新 县 校 级 三 模)已 知 函 数 f(x)=|x|+2,x 22x2-12x+19,x 2，若方程 f(x)-a=0 的实根之和为 6，则 a 的取值范围为()A.(1，3B.1，3C.(1，4D.(3,4)90随堂练习练11(2022 海口)函数 f(x)=|x|+1x，则()A.f(x)的定义域为 RB.f(x)是奇函数C.f(x)在(0,+)上单调递减D.f(x)有两个零点练12(2021 秋 海淀区校级期中)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时，f(x)=2x-x2，则下列说法正确的()A.f(x)(-1，0)在上为增函数B.f(x)的最大

157、值为 2C.方程 f(x)-1=0 有四个不相等的实数根D.当 x ax2-4x+3,x a，若函数 f(x)恰有 2 个零点，则 a的取值范围是()A.1，3)4，+)B.(-，1C.(3，4D.(1，3 (4,+)练14(2020 和 平 区 二 模)已 知 函 数 f(x)=1-x1+x,x 0 x2+2x+1,x 0 时，f(x)=x3-2则函数 f(x+2)的所有零点之和为91练16(2021 春 福 州 期 末)已 知 f(x)=2-x,x 1x2-4x+a,x 1，若 a=1，且 f(m)=1，则 m=；若对任意的 t 0，函数 y=f(x)-t-1 有两个零点，则实数 a 的取

158、值范围是练17(2020 秋 番禺区校级期中)已知函数 f(x)=-x+2(x 1)x2(-1 x 1)x+2(x -1)(1)求 f f52的值；(2)画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间；(3)若方程 f(x)=m 有四个根，求实数 m 的取值范围，并求出这四个根的和练18(2021 秋 天津期中)已知函数 f(x)=x2+1ax+b是定义域上的奇函数，且 f(-1)=-2(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若方程 f(x)=m 在(0,+)上有两个不同的根，求实数 m 的取值范围；练19 设函数 f(x)=1x+ax+b，a，b R(1)若函数 y=f(x)-2 为奇函数

159、，且函数 f(x)在(0，1 上单调递减，在 1，+)上单调递增，求函数 f(x)的解析式；(2)当 a=1 时，方程 f(x)=12 x 在区间12，2有两个不同的实数根，求实数 b 的最小值；92课后提升巩固1(2022 春 如 皋 市 期 中)已 知 函 数 f(x)=x2-1,x 0,1x,x 0 时，f(x)的最大值为 13巩固3(2021 秋 沙河口区校级期中)设函数 f(x)=2x-1,x 0,+)x2-4,x (-,0)，又 g(x)=f(x)-1，则函数 g(x)的零点可以是()A.1B.5C.-5D.-1巩固4(2021 秋 通 辽 月 考)已 知 函 数 f(x)=x2-

160、2ax+5,x x0若 f(x)有且只有 2 个零点，则实数x0的取值范围是93巩固7(2021 春 开封期末)已知函数 f(x)是以 4 为周 期 的 函 数，且 当-1 x 3 时，f(x)=1-x2,-1 x 11-|x-2|,1 0(1)求不等式 f(x)5 的解集；(2)若函数 g(x)=f(x)-m22 有三个零点，求实数m 的取值范围巩固9(2021 秋 莲湖区校级期中)已知函数 f(x)=2x+1x+1(1)判断函数在区间 0，+)上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)若 g(x)=f(x),x 0,+)-x2+ax+a,x (-,0)在 R 上是单调函数，求实数 a 的取值

161、范围94第三章 章末总结第三章 章末总结1.本章内容在函数性质的基础上以初中三大函数为出发点，加入了函数的四大变换：平移、对称、翻折和伸缩。并且介绍了我们求解函数最值常见的两个函数模型：一次分式函数和二次分式函数。通过本章的学习，请你对函数的四大类变换作一个简单的归纳总结，以草图的形式展示。952.(2021 秋 玄武区校级期中)已知函数 f(x)=ax2+ax+1 的定义域为 A(1)当 a=4 时，写出 f(x)单调增区间；(2)若 A=R，求 a 的取值范围；(3)若 1，4 A，求 a 的取值范围3.(1)已知 a R，函数 f(x)=x+4x-a+a 在区间 1，4 上的最大值是 5

162、，a 的取值范围(2)函数 f(x)=|x|+2,x 1x+2x,x 1设 a R，若关于 x 的不等式 f(x)x2+a 在 R 上恒成立，求 a 的取值范围函数的形成与发展自 17 世纪近代数学产生以来，函数一直处于数学的核心位置.数学和科学的绝大部分都与函数内容有关，在数学、物理和其他学科中，函数关系随处可见。17 世纪的科学家们致力于力与运动的研究，如计算天体的位置，远距离航海中对经度和纬度的测量，炮弹的速度对于高度和射程的影响，圆柱体的体积和表面积是其底面半径的函数，气体膨胀的体积是温度的函数，运动物体的路程是时间的函数等等。诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系，并根据这种关系

163、对事物的变化规律作出判断，如根据炮弹的发射角和初速度推测它能达到的高度和射程这正是函数概念产生和发展的背景。函数这个数学名词是莱布尼兹在 1694 年开始使用的，以描述曲线的一个相关量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数。此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。1718 年，莱布尼茨的学生，瑞士数学家约翰 伯努里（en:Johann Bernoulli）把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”并且强调了函数需要用公式来

164、描述。后来，数学家认为这不是判断函数的标准。只要一些变量变化，另一些变量随之变化就可以了。所以，1755 年，约翰 伯努里的学生欧拉（Leonhard Euler）在无穷分析引论一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或 常量 以任何一种方式构成的解析表达式”。例如 f(x)=sin(x)+x3。1775 年，欧拉在微分学原理一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度，函数的概念仍然是比较模糊的。随着对微积分研究的深入，18 世纪末 19

165、世纪初，人们对函数的认识向前推进了德国数学家狄利克雷在 1837 年时提出：“如果对于 x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么 y 是 x 的函数”这个定义较清楚地说明了函数的内涵:只要有一个法则，使得取值范围中的每一个 x，有一个确定的 y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示。例如，狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为 1；当自变量取无理数时，函数值为 0它只能用对应的语言予以表达。19 世纪的数学家开始对数学的各个分支作规范整理。维尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）提出将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，因而更趋向于欧拉的定义。19 世纪 70 年代以后，随着集合概念的出现，函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述。通过扩展函数的定义，数学家能够对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至 20 世纪初时它们仍被视作“怪物”。直到后来，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达。这与我们学习函数的过程是一样的，先要了解为什么学习函数；再次考虑从那些方面对函数就行研究；最后用严谨的、精确的语言对函数性质经行描述。