3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质（学案）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、3.3.2 第2课时 抛物线的简单几何性质【学习目标】课程标准学科素养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.能综合利用抛物线的几何性质解决相关的综合问题1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【经典例题】题型一 与抛物线有关的定点问题点拨：求与抛物线有关的定点问题的步骤例1 已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点【跟踪训练】1已知点A、B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点题型二 与抛物

2、线有关的定值问题点拨：求与抛物线有关的定值问题的步骤例2 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值【跟踪训练】2 已知抛物线C：y22px(p0)，过点(2，0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点，且2.(1)求抛物线C的方程；(2)点M坐标为(2，0)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，求证：为定值题型三 与抛物线有关的最值问题点拨：解决与抛物线有关的最值问题的思路求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一

3、点到定点的距离的最值、求抛物线上一点到定直线的距离的最值解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决例3 求抛物线yx2上的点到直线4x3y80的最小距离【跟踪训练】3 如图，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积【当堂达标】1.如图，已知点F为抛物线C：y24x的焦点，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，点D为准线l与x轴的

4、交点，则DAB的面积S的取值范围为_2.设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值3.若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证OAOB.4.如图，已知抛物线y24x的焦点为F，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；(2)连接MN，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，证明：为定值【参考答案】【经典例题】例1解：(1)因为抛物线y22px(p0)的焦点坐标为

5、(1,0)，所以1，所以p2所以抛物线C的方程为y24x(2)当直线AB的斜率不存在时，设A，B，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简得t232所以A(8，t)，B(8，t)，此时直线AB的方程为x8当直线AB的斜率存在时，设其方程为ykxb(k0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立得化简得ky24y4b0根据根与系数的关系得yAyB，因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，即xAxB2yAyB0，即2yAyB0，解得yAyB0(舍去)或yAyB32，所以yAyB32，即b8k，所以ykx8k，即yk(x8)，综上所述，直线AB过x轴上一定点(8,0)【跟踪训练】1 解：(1)设A

6、(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2px1，y2px2，OAOB，x1x2y1y20yy4p2x1x24p2y1y2y1y24p2x1x24p2(2)证明：y2px1， y2px2，得yy2p(x2x1)，直线AB的斜率为直线AB的方程为yy1(xx1)，即yx，也就是y(x2p)直线AB过定点(2p,0 )例2 解：(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB，即.又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以

7、x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB1.【跟踪训练】2 解：(1)设l的方程为xmy2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得my20.所以y1y22pm，y1y24p.所以x1x2y1y2y1y244p2，所以p，所以抛物线C的方程为y2x.(2)证明：因为M坐标为(2，0)，所以，由(1)可得y1y2m，y1y22，所以0为定值例3 解：法一：设A(t，t2)为抛物线上的点，则点A到直线4x3y80的距离d.当t时，d有最小值，最小值为.法二：如图，设与直线4x3y80平行的抛物线的切线方程为4x3ym0，由消去y得3x24xm0，1612m0，m.故最小距离为.

8、【跟踪训练】3 解：由解得或由题图可知，A(4，4)，B(1，2)，则|AB|3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|.2y04，(y01)294，DAB的面积S的取值范围为(4，)2. 解：(1)如图1，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连AF交抛物线于P点，故最小值为，即(2)如图2，把点B的横坐标代入y24x中，得y，因为2，所以B在抛物线内部，自B作B

9、Q垂直准线于Q，交抛物线于P1此时，由抛物线定义知：|P1Q|P1F|那么|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314即最小值为43.证明：由消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.4. 解：(1)依题意，设AB的方程为xmy2，代入y24x，得y24my80，从而y1y28.(2)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为xny1，代入y24x，消去x得y24ny40，所以y1y34，同理y2y44，由(1)知y1y28，所以2为定值.