6.2.1 向量基本定理-2021-2022学年新教材高中数学必修第二册【名师导航】同步Word教参(人教B版).docx

1、6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题(重点)2知道平面向量基本定理的含义和基底的含义3会用平面向量基本定理，用基底表示向量(难点)1.通过共线向量基本定理的学习，培养数学运算和逻辑推理素养2借助平面向量基本定理的学习与应用， 提升数学运算及逻辑推理核心素养.通过前面的学习，我们知道可用结论“当存在实数，使得ba时，ba”判定两向量平行对这个结论，思考下面的问题问题1：若实数不存在，ba什么条件下成立？提示a0，b0.问题2：若实数存在且唯一，ab什么条件下成立？提示a0.问题3：若实数

2、存在且不唯一，ab什么条件下成立？提示a0且b0.1共线向量基本定理如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得ba.在共线向量基本定理中：(1)ba时，通常称为b能用a表示(2)其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有.思考1：在共线向量基本定理中，为什么要求a0?提示若a0，则0b，但是00，从而ba中的实数具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数，使得ba.2平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxayb.3基底平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，如果cxayb，则称xayb为c在基

3、底a，b下的分解式思考2：设e1，e2是平面向量的一组基底，则e1，e2中可能有零向量吗？平面向量的基底唯一吗？提示平面向量基本定理的前提条件是e1，e2不共线，若e1，e2中有零向量，而零向量和任意向量共线，这与定理的前提矛盾，故e1，e2中不可能有零向量；同一平面的基底可以不同，只要它们不共线1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若a，b是同一平面内两个不共线向量，则xayb(x，y为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()(4)基底向量可以是零

4、向量()(1)(2)(3)(4)(1)根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由不共线向量a，b线性表示(3)当e1与e2共线时，结论不一定成立(4)基底向量是不共线的，一定是非零向量2如图，向量e1，e2，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a用基底e1，e2表示为()Ae1e2B2e1e2C2e1e2D2e1e2Ba2e1e2.3若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2De1e2，e1e2De1e2与e1

5、e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底4设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.因为向量ab与a2b平行，所以abk(a2b)，则所以.共线向量基本定理的应用【例1】已知两个非零向量a，b不共线，ab，a2b，a3b.(1)证明：A，B，C三点共线；(2)试确定实数k，使kab与akb共线思路探究(1)根据共线向量基本定理证明；(2)利用共线向量基本定理建立方程组求解解(1)因为ab，a2b，a3b，则a2b(ab)b，而a3b(ab)2b，于是2，所以A，B，C三点共线(2)因为kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b

6、.又因为非零向量a，b不共线，所以一定有k0且k10，解之得，k1.利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ab(b0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得的值1已知e1，e2是两个不共线的向量，而ak2e1e2与b2e13e2是两个共线向量，则实数k_.2或由题设知，所以3k25k20，解得k2或.用基底表示向量【例2】已知在ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点若a，b，用a，b表示，.思路探究把，分别放在一个封闭三角形中，利用线

7、性运算不断地向基底靠拢解由题意，得()a(ba)ab，a(ba)ab，a(ba)ab.(变结论)例2中，用，表示.解()2.用基底表示向量的方法(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设cxayb，其中x，yR，然后得到关于x，y的方程组求解2(一题两空)向量a在基底e1，e2下可以表示为a2e13e2，若a在基底e1e2，e1e2下可表示为a(e1e2)(e1e2)，则_，_.由条件得2e13e2(e1e2)(e1e2)，所以，解得平面向量基本定理的综

8、合应用探究问题1在向量等式xy中，若xy1，则三点P，A，B具有什么样的位置关系？提示三点P，A，B在同一直线上在向量等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.2平面向量基本定理的实质是什么？提示平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解【例3】平面内有一个ABC和一点O(如图)，线段OA，OB，OC的中点分别为E，F，G，BC，CA，AB的中点分别为L，M，N，设a，b，c.(1)试用a，b，c表示向量，；(2)求证：线段EL，FM，GN交于一点且互相平分思路探究本题主要考查平面向量基本定理及应用(1)结合图形，利用向量的加、减法容易表示出向量，；(

9、2)要证三条线段交于一点，且互相平分，可考虑证明O点到三条线段中点的向量相等解(1)由题意得a，(bc)，(bca)同理：(acb)，(abc)(2)证明：设线段EL的中点为P1，则()(abc)设FM，GN的中点分别为P2，P3，同理可求得(abc)，(abc)，即EL，FM，GN交于一点，且互相平分1任意一向量基底表示的唯一性的理解条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2任意一向量基底表示的唯一性的应用平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方

10、法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解3如图所示，在OAB中，a，b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求. 解()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.一、知识总结1判定向量平行的结论结合共线向量基本定理及其推论能解决共线问题2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化

11、归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决二、方法归纳转化与化归三、常见误区在应用平面向量基本定理时要注意等式a1e12e2中，e1，e2不共线这个条件，若没有指明，则应对e1，e2共线的情况加以考虑1如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B平面内任一向量a都可以表示为a1e12e2，其中1，2RC1e12e2不一定在平面内，1，2RD对于平面内任意一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对A考查平面向量基本定理因为e1，e2不共线，所以1e12e20，只能

12、120.B选项1，2R不对，应该是唯一数对；C选项1e12e2一定在平面内；D选项应该是唯一一对2若D点在ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()A.B.C. D.C4rs，()rs，r，s，3rs.3设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2 B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2B因为6e18e22(3e14e2)，所以(6e18e2)(3e14e2)，所以3e14e2和6e18e2不能作为基底4已知A，B，D三点共线，且对任意一点C，有，则_.A，B，D三点共线，存在实数t，使t，则t()，即t()(1t)t，即.5已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.解a，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2不共线，解得ca2b.