8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）.docx

1、8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【学习目标】素 养 目 标学 科 素 养1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式；2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积；3.能够解决球的内接和外切问题。1.数学运算;2.逻辑推理【自主学习】一 圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底 侧面积：S侧 表面积：S 圆锥底面积：S底 侧面积：S侧 表面积：S 圆台上底面面积：S上底 下底面面积：S下底 侧面积：S侧 表面积：S 二 圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱Sh 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h

2、圆锥V圆锥Sh 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台(S)h 圆台上底面圆的半径为r，面积为S，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h三 球的表面积和体积公式1球的表面积公式S (R为球的半径).2球的体积公式V .思考：用一个平面去截球体，截面是什么平面图形？试在球的轴截面图形中，展示截面图与球体之间的内在联系用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如下图所示若球的半径为R，截面圆的半径为r，OOd.在RtOOC中，OC2OO2OC2，即R2r2d2.【经典例题】题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积例1-1已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直

3、线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A12 B12 C8 D10例1-2已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为_.【跟踪训练】1 (1)圆台的上、下底面半径分别为10 cm、20 cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180，则圆台的表面积为_cm2.(结果中保留)(2)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是_.题型二圆柱、圆锥、圆台的体积点拨：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列

4、出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.例2-1 把长、宽分别为4、2的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积例2-2 如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )A5 B6 C20 D10【跟踪训练】2 (1)圆台上、下底面面积分别是，4，侧面积是6，这个圆台的体积是()A. B2 C. D.(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16，则圆锥的体积是()A B C64 D128题型三球的体积与表面积点拨：求球的体积与表面积的策略(1)计算球的体积或表面积,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或

5、表面积公式求解.(2)球的截面特点当截面过球心时,截面圆的半径即为球的半径;球心与截面圆圆心的连线垂直于截面;若球的半径为R,截面圆的半径为r,则球心到截面的距离为d=例3-1 球的体积是，则此球的表面积是()A12B16 CD例3-2一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是()A12 cm3 B36 cm3 C64 cm3D108 cm3【跟踪训练】3 (1)两个球的体积之比为8:27，那么这两个球的表面积之比为()A2:3B4:9 C.: D.:(2)两个半径为1的铁球，熔化成一个球，则这个大球的半径为_题型四 球的相切问题1.要注意球心的位置，

6、一般情况下，由于球的对称性，球心在几何体的特殊位置，比如几何体的中心或长方体对角线的中点等.2.解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算.例4-1 一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_.例4-2 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_.【跟踪训练】4 (1)圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为_.(2)若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为()A4(rR)2B4r2R2 C4rR D(Rr)2【当堂达

7、标】1.球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于()A. B1 C2 D32.若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是_.3.一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_.4.圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为_ _.5.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_ _cm.6.轴截面为正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为2，求球的体积【当堂达标】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的

8、面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键2.球的表面积和体积仅与球半径有关，因此求球的表面积和体积的问题可转化为求球半径的问题解决3.解决球与其他几何体的切接问题时，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算【参考答案】【自主学习】2r2 2rl 2r(rl) r2 rl r(rl) r2 r2 (rlrl) (r2r2rlrl) r2h r2h (r2rrr2)h 4R R3 【经典例题】例1-1 B解析：因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为2，底面圆的直径为2，

9、所以该圆柱的表面积为2()22212.例1-2 2 解析：由题意，母线长l2，底面半径为1，所以侧面积为122.【跟踪训练】1 (1) 1 100 解析：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，因为扇环的圆心角是180，故cSA210 cm，所以SA20 cm.同理可得SB40 cm，所以ABSBSA20 cm，所以S表面积S侧S上底S下底(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.(2)1 解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，则，解得r1，l2例2-1：解:设圆柱的底面半径为r，母线长为l.如图所示，当2r4，l2时，r，hl2，V圆柱r2h，当2r

10、2，l4时，r，hl4，V圆柱r2h.综上所述，这个圆柱的体积为或.例2-2 D解析： 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为22520，故所求几何体的体积为10.【跟踪训练】2 (1)D解析：设圆台的高为h，上底面的半径为r，下底面的半径为R，母线长为l.由题可知r2，R24，则r1，R2.又因为圆台的侧面积为6，所以l(rR)6，所以l2.因为h2(Rr)2l2，所以h.故圆台的体积V(4). (2)A 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥的轴截面是等腰直角三角形，2r，即lr，由题意得，侧面积S侧rlr216，r4l4，高h4圆锥的体积VSh424，

11、故选A例3-1 B 解析：设球的半径为R，则由已知得R3，解得R2故球的表面积S表4R216.例3-2 B解析：设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示.在RtOO1A中，O1A cm，OO12 cm，球的半径ROA3(cm)，球的体积V3336(cm3).【跟踪训练】3 (1)B 解析：两个球的体积之比为827，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，可知两球的半径比为23，从而这两个球的表面积之比为49，故选B.(2) 解析：两个小铁球的体积为213，设大铁球的半径为R，则大铁球的体积R3，所以大铁球的半径为.例4-1 解析：由题意可知球是

12、正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为.例4-2 解析：设正方体的棱长为a，则6a218，a.设球的半径为R，则由题意知2R3，R.故球的体积VR33.【跟踪训练】4 (1) 100 解析：如图，由条件知，O1A3，OO14，所以OA5，所以球的表面积为100. (2)C 解析：如图为球与圆台的轴截面，过D作DEBC，设球的半径为r1，则在RtCDE中，DE2r1，CERr，DCRr，由勾股定理得4r(Rr)2(Rr)2，解得r1(舍负)故球的表面积为S球4r4Rr.【当堂达标】1.D 解析：设球的半径为r，则由题意得r34r2，解得r3.2.12解析：易知圆锥的高h4，所以V圆锥3241

13、2.3. 4S 解析：设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，底面周长c2R.故圆柱的侧面积为S圆柱侧c2(2R)2424S.4.168 解析：先画轴截面，再利用上、下底面半径和高的比求解.圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.5. 2 解析：正六棱柱体积为622212，圆柱体积为22，所求几何体体积为12.6.解：如图所示，作出轴截面，因为ABC是正三角形，所以CDAC2，所以AC4，AD42，因为RtAOERtACD，所以.设OER，则AO2R，所以，所以R.所以V球R33.所以球的体积等于.