8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-2021-2022学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019必修第二册）.docx

1、高一数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第二册)8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【考点梳理】考点一圆柱、圆锥、圆台的表面积图形表面积公式旋转体圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2r(rl)圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Sr(rl)圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧(rlrl)表面积：S(r2r2rlrl)考点二圆柱、圆锥、圆台的体积几何体体积说明圆柱V圆柱Shr2h圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆锥V圆锥Shr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h圆台V圆台(S)h(r2rrr2)h圆台上

2、底面圆的半径为r，面积为S，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h知识点三球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S4R2(R为球的半径).2.球的体积公式VR3.【题型归纳】题型一：圆柱的表面积和体积1一个圆柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则这个圆柱的体积为（）ABCD2已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCD3设甲乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为.若它们的侧面积相等，且，则的值是（）A2BCD题型二：圆锥的表面积和体积4如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚

3、动了3周，则（）A圆锥的母线长为18B圆锥的表面积为27C圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60D圆锥的体积为5圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积是（）ABCD6若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（）ABCD题型三：圆台的表面积和体积7圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开图的扇环的圆心角为180，则这个圆台的侧面积为（）A600B300C900D4508已知圆台上下底面的半径分别为1和2，表面积为，则这个圆台的体积为（）ABCD9如图，在四边形ABCD中，DAB=90，ADC=135，AB=5，CD=2，AD=2，则四边形ABCD绕AD

4、所在直线旋转一周所成几何体的表面积为（）A(60+4)B(60+8)C(56+8)D(56+4)题型四：球的表面积和体积10若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（）Acm3Bcm3Ccm3Dcm311已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，且正四棱锥的底面面积为6，侧面积为，则球的表面积为（）ABCD12底面为正方形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥的五个顶点在同一球面上，若该棱锥的底面边长为，侧棱长为，则这个球的表面积为（）A32B36C48D72【双基达标】一、单选题13圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为

5、（）A6B7C8D914已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，平面ABC，若球O的体积为，则该三棱锥的体积是（）AB5CD15已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，底面BCD是边长为的正三角形，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的表面积为（）ABCD16牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积.刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即，从而计算出.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（）AB1CD17已知一个母线长为的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则

6、该圆锥的侧面积为（）ABCD18已知正四面体的表面积为，且、，四点都在球的球面上，则球的体积为（）ABCD19已知圆柱的母线长是2，它的两个底面圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的表面积为（）ABCD20已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为（）ABCD21已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为（）ABCD【高分突破】一：单选题22一个长、宽、高分别为80cm、60cm、100cm的长方体形状的水槽装有适量的水，现放入一个直径为40c

7、m的木球（水没有溢出）如果木球正好一半在水中，一半在水上，那么水槽中的水面升高了（）AcmBcmCcmDcm23已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，平面ABC，若该三棱锥的体积是，则球O的表面积是（）ABCD24已知三棱锥的底面是正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD25在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块喝冷饮降温，如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个半径为的球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积是（）ABCD26若圆台的高为4，母线长为5，侧面积为45，则圆台的上、下底面的

8、面积之和为（）A9B36C45D8127已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为与圆锥底面所成角为，若的面积为12，则该圆锥的侧面积为（）ABCD二、多选题28圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（）A母线长是20B表面积是C高是D体积是29已知一个圆柱底面半径为，高为，则下列关于此圆柱描述正确的是（）A侧面展开图是一个正方形B表面积是C体积是D此圆柱有内切球30如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，则（）A该圆锥的母线长为5B该圆锥的体积为C该圆锥的表面积为D三棱锥体积的最大值为1231已知一圆锥底面圆的直径为3，高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面

9、体，并且正四面体在圆锥内可以任意转动，则a的值可以为（）ABC1D32一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积与球的表面积相等B圆锥的侧面展开图的圆心角为C圆柱的表面积为D圆柱的体积等于球与圆锥的体积之和33在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为了一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一

10、个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元B用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满C斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为D过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米三、填空题34已知某圆柱的上、下底面圆周均在半径为的球面上，且该圆柱的侧面积和体积的数值相等，则该圆柱的高_35点A，B，C在球O表面上，若球心O到截面的距离为，则该球的体积为_.36已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为_37如图所示的圆台，在轴截面中，且，则该圆

11、台的体积为_；侧面积为_38如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的表面积为_39如图1所示的几何模型是由一个半圆和矩形组成的平面图形，将半圆沿直径折成直二面角（如图2）后发现，在半圆弧（不含、点）上运动时，三棱锥的外接球始终保持不变，若，则该三棱锥外接球的表面积为_四、解答题40圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角为180，那么圆台的表面积是多少？(结果中保留)41已知底面为正三角形，顶点在底面的正投影是正三角形的中心的三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切求：（1）棱锥的全面积；（2）球的半径42已知圆锥的侧

12、面展开图为半圆，母线长为.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.43（1）如图1，在直角梯形中，梯形绕着直线旋转一周，求所形成的封闭几何体的表面积；（2）有一个封闭的正三棱柱容器，高为12，内装水若干（如图2，底面处于水平状态），将容器放倒（如图3，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点F，E，分别为所在棱的中点，求图2中水面的高度.44如图所示，四边形是直角梯形，其中，若将图中阴影部分绕旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案详解】1C【详解】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，因

13、为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，所以，所以，所以圆柱的体积为.故选：C.2A【详解】设正方形边长为，圆柱底面半径为，易知圆柱高为，全面积为，而侧面积为，所以全面积与侧面积之比这故选：A3B【详解】设两个圆柱的底面半径和高分别为，和，由，得，则，由圆柱的侧面积相等，得，即，所以.故选：B.4D【详解】设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，又圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以，解得，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，则，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120

14、，故选项C错误；圆锥的高，所以圆锥的体积为，故选项D正确故选：D5D【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和母线即可.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为圆锥的表面积为，所以，解得，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，解得，所以，所以圆锥的体积为：，故选：D6A【解析】【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积【详解】设底面半径为，由高为，所以，所以母线长为，所以侧面积为故选：A7A【解析】【分析】根据给定条件求出圆台的母线长，再利用圆台侧面积公式计算得解.【详解】圆台的上底面圆

15、半径，下底面圆半径，设圆台的母线长为l，扇环所在的小圆的半径为x，依题意有：，解得，所以圆台的侧面积.故选：A8C【解析】【分析】根据圆台的上下底面积可计算出其上下底面的半径与周长，根据周长之比计算出展开图的扇形半径之比，根据扇环的面积求出母线l的长度，由两个半径、高、母线构成的直角梯形中求出圆台的高，带入圆台的体积公式即可得出答案【详解】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长，大扇形弧长， 由知道，上底面的面积为，下底面的面积为，则圆台的侧面积，解得，所以高，圆台的体积， 故选：C.9A【解析】【分析】首先根据题意得到四边形绕所在直

16、线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，再计算其表面积即可.【详解】四边形绕所在直线旋转一周所成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，如图所示：因为，所以圆台下底面面积，又因为，所以，所以圆台的侧面积.圆锥的侧面积.所以几何体的表面积为.故选：A10A【解析】【分析】设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，根据表面积和棱长的关系求出棱长，进而可得半径，再用体积公式求球的体积即可.【详解】设球的半径为R cm，正方体棱长为a cm，6a26，a1cm，即2R1，Rcm，球的体积故选：A.11C【解析】【分析】根据底面积和侧面积计算正四棱锥的的高，再求解外接球的半径进而求解外接球的表面积.【详

17、解】设正四棱锥的高为，顶点到底边的距离为，外接球的半径为，则根据题意有 解得，又正四棱锥的高，底边的一半和顶点到底边的距离为直角三角形的三边长 解得 根据外接球的性质可知，球 O的表面积为，选项C正确.故选：C.12A【解析】【分析】设底面中心为E，根据题意PE平面ABCD，则根据球的性质可知，球心O在线段PE上，进而利用勾股定理求出球的半径，然后求出球的表面积.【详解】如图，设底面中心为E，根据题意PE平面ABCD，则根据球的性质可知，球心O在线段PE上，因为该棱锥的底面边长为，侧棱长为，所以，则，利用勾股定理：，设外接球的半径为，故，解得.所以.故选：A.13B【解析】【分析】设圆台较小底

18、面半径为r，由圆台的侧面积公式可计算出结果【详解】设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7. 故选：B.14A【解析】【分析】三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，由球的体积求出的长度，再求出，由三棱锥体积公式求解即可.【详解】因为，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，则可将三棱锥放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即为球直径，,又，解得,所以三棱锥的体积，故选：A15D【解析】【分析】由三棱锥体积求出高，进而得出球体半径和球心到底面BCD距离关系，结合勾股定理可求出球体半径，即

19、可求解球O的表面积.【详解】如图，设为球体球心，为底面的中心，连接,因为底面为边长为的正三角形，所以，所以当三棱锥体积的最大值时，三点共线，此时，解得，则球的半径，则，在中，由勾股定理可得，即，解得，故球O的表面积.故选：D16C【解析】【分析】计算出，即可得出结论.【详解】由题意，所有棱长都为的正四棱锥的体积为，故选：17D【解析】【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解.【详解】解：将圆心角化为弧度为：，设圆锥底面圆的半径为由圆心角、弧长和半径的公式得：，即由扇形面积公式得：所以圆锥的侧面积为.故选：D.18C【解析】【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的

20、等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果.【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，所以该正四面体的表面积为，所以，又正方体的面对角线可构成正四面体，若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1，所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为故选：C.19D【解析】【分析】先根据圆柱的外接球的性质，利用勾股定理求出圆柱的底面圆的半径，再由圆柱的表面积公式，求出圆柱的表面积

21、.【详解】解：由题可知，圆柱的母线长，则圆柱的底面圆的半径为：，所以圆柱的表面积为：.故选：D.【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于利用圆柱的外接球的性质求出圆柱的底面圆的半径.20D【解析】【分析】由等腰直角三角形绕斜边旋转所得几何体圆锥体的性质，应用圆锥侧面积公式求几何体表面积即可.【详解】曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，如下图示，其表面积是两个圆锥的侧面积之和，圆锥的底面圆半径为，母线长为2，则该几何体的表面积故选：D21B【解析】【分析】依题意求得圆锥的底面半径和高，进而可求得与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积.【详解】设圆锥的

22、底面半径为，依题意知圆锥的高，则，所以，所以与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积.故选：B.22B【解析】【分析】根据木球在水中的体积等于水槽上升的体积，即可求解出水槽中水面上升的高度.【详解】直径为40cm的木球，一半在水中，一半在水上，可得木球在水中的体积V；木球在水中的体积等于水槽上升的体积，水槽上升的体积为Sh水槽上升的高度h故选：B23D【解析】【分析】根据题意证求出的长，因为三棱锥放入长方体内，所以长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，因此求出的长度结合球的表面积公式即可求出结果.【详解】解：因为，易知三角形ABC为等腰直角三角形，又平面ABC，所以PB为三棱锥的高，因为三棱锥的体积，

23、所以，则可将三棱锥放入长方体内，如图长方体的体对角线即为球直径，即为球直径，设球O的半径为r，则，所以球O的表面积故选：D24D【解析】【分析】根据题意画出图形，证得三棱锥为正三棱锥，结合球的截面性质求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】如图所示，过点作平面，连接交于，所以，又由且，所以平面，可得，同理可证，则为等边的垂心，即中心，则三棱锥为正三棱锥，设其外接球的球心为，则再上，连接，在等边中，由，可得，则，设三棱锥的外接球的半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.25A【解析】【分析】由图形，分别求圆锥的底面半径和高，由圆锥和球的体积求出高脚杯内水的体积.

24、【详解】作，垂足为，则球的半径，此时，水面半径，设加入小球后水面以下的体积为，原来水的体积为，球的体积为.所以水的体积为.故选：A26C【解析】【分析】设圆台的两底面半径分别为,利用圆台侧面积公式求得，利用勾股定理求得，进而求得，然后利用圆的面积公式求得上下底面积的和.【详解】设圆台的两底面半径分别为,则侧面积，；又圆台的高为4，母线长为5，,即,，圆台的上下底面积的和为，故选：C27B【解析】【分析】由，可得，再由的面积求出，由线面角可求出圆锥的底面半径，进而可求出侧面积【详解】由圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，即，可得.由的面积为，可得，即，解得，由与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面

25、半径为，所以该圆锥的侧面积，故选：B28ABD【解析】【分析】如图所示，设圆台的上底面周长为，由已知求得母线长，即可求得高，再利用表面积和体积公式即可求得表面积和体积，从而得出答案.【详解】解：如图所示，设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高，体积，表面积.故选：ABD29ABC【解析】【分析】根据圆柱的几何性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】依题意，圆柱的底面半径，高，A，底面周长为，所以侧面展开图是一个正方形，A正确.B，圆柱的表面积为，B正确.C，圆柱的体积为，C正确.D，由于底面直径为，所以此圆柱没有内切球，D错误.故选：ABC30A

26、BD【解析】【分析】利用圆锥的的几何特征和面积，体积公式求解.【详解】该圆锥的母线长为，A正确；该圆锥的体积为，B正确；该圆锥的表面积为，C错误；当时，的面积最大，此时，三棱锥体积的最大值为，D正确故选：ABD31ACD【解析】【分析】根据题意可知，当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球，结合内切、外接球问题，即可求解.【详解】根据题意可知，当最大时，该正四面体外接于圆锥的内切球.设圆锥内切球的圆心为，半径为，圆锥的底面圆心为，半径为，顶点为，作出轴截面，连接，如图所示.因为，所以，所以为等边三角形，且为的中心，则.结合正方体的外接球问题，易知棱长为的正四面体的外接球半径为，故，解得.故选：A

27、CD.32AD【解析】【分析】选项A通过计算圆柱的侧面积，球的表面积可判定；选项B通过假设圆锥的侧面展开图的圆心角为，推出母线长与高相等的矛盾来判定；选项C通过计算圆柱的表面积来判定；选项D通过计算圆柱的体积，球与圆锥的体积之和来判定.【详解】由题知，该圆柱的底面圆半径为，高为，该圆锥的底面圆半径为，高为，该球的半径为.选项A：圆柱的侧面积为，球的表面积为，故选项A正确；选项B：若圆锥的侧面展开图的圆心角为，则其母线满足，而母线长应大于高，矛盾，故选项B错误；选项C：圆柱的表面积为，故选项C错误；选项D： 圆柱的体积为，球与圆锥的体积之和为，故选项D正确；故选：AD.33ABC【解析】【分析】

28、根据圆锥的母线长为20，底面半径为，分别求圆锥的侧面积，体积和轴截面判断.【详解】如图所示：由题意知：，A. 圆锥的侧面积为：，所以若每100平方厘米的斗笠面需要价值1元的材料，此斗笠的制作费为元，故正确；B. ，圆锥的体积为，所以用此斗笠盛水，则需要立方厘米的水才能将斗笠装满，故正确；C. ，则，所以，所以斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，故正确；D.由C知斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为，所以过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为平方厘米，故错误；故选：ABC34【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r，分别求出圆柱的侧面积和体积，列出方程，解

29、出r的值，再利用勾股定理求出h即可.【详解】设圆柱的底面半径为，则由题意得，得，所以故答案为：35【解析】【分析】根据截面圆性质，先求出截面圆半径，然后由求得球半径，从而求得体积【详解】因为，所以，所以三角形外接圆半径，又球心O到截面的距离为，所以球的半径为球体积为故答案为：36#【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，根据圆锥的表面积为，得到，再由圆锥的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，因为圆锥的表面积为，所以，即，又圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以这个圆锥的体积为.故答案为：37 【解析】【分析】将圆台

30、看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，则圆台体积为大圆锥体积减去小圆锥体积，圆台侧面积为大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积.【详解】将圆台看成是圆为底的大圆锥切去圆为底的小圆锥，大小圆锥的顶点为，如图所示，在经过的轴截面上，从点做垂线于，显然且.，又为的边的中位线，得则，解得则圆台的体积为圆为底，高为的圆锥体积减去以圆为底，高为的圆锥体积，即 圆台的侧面积.故答案为：；.38【解析】【分析】设球体半径为可得，根据棱锥的体积求，进而求半球的表面积.【详解】如图，连接，交点为，设球的半径为，由题意知：则，四棱锥的体积为，解得，该半球的表面积为故答案为：39【解析】【分析】设半圆的圆心为，设外接球的球心

31、为，则面，取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，由勾股定理可得半径的长，从而得到外接球的表面积.【详解】由题意，如图，将半圆沿直径折成直二面角，设半圆的圆心为，可得半圆面，设外接球的球心为，则面，取的中点，则垂直平分，即为外接球的半径，且四边形为长方形，是直角三角形，所以半径，三棱锥的高不变，三棱锥外接球的半径，从而可得该三棱锥外接球的表面积故答案为：40表面积为1100cm2.【解析】【分析】计算得到，再利用圆台的表面积公式计算得到答案.【详解】如图，设圆台的上底面周长为c.因为扇环的圆心角是180，所以cSA210，故SA20.同理可得SB40，所以ABSBSA20，因此S表面积S侧S上

32、S下(r1r2)AB(1020)201022021100(cm2).故圆台的表面积为1100cm2.41（1）96 ；（2）2【解析】【分析】（1）利用正三棱锥底面为正三角形，侧面为等腰三角形，计算可得侧面的高AF，计算即得解；（2）借助AOGAFE，利用边长比例关系即得解【详解】（1）由题意，三棱锥为正三棱锥，如图所示正三棱锥ABCD，假设顶点在底面的正投影为，则为底面正三角形的中心，作于，故为中点由题意可知AE1，CD2，EFCD，侧面的高AF，S全322296（2）设内切球的半径为R，圆心为，与平面切于点，由正三棱锥的对称性可知在高上，且故AOGAFE即，R242（1）；（2）.【解析】

33、（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高，再由求出的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB剪开，侧展图如图所示：设，在半圆A中， 弧长，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为；（2）设圆柱的高，在中，所以，即，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.43（1）；（2）9【解析】【分析】（1）旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的，由圆柱与圆锥侧面，圆柱的一个

34、底面构成旋转体的表面，由此可得表面积；（2）两个图形中水体积相等，一个是正三棱柱，一个直四棱柱，由柱体体积公式计算可得【详解】（1）依题意，旋转后形成的几何体可以看作一个圆柱中挖去了一个圆锥后形成的.由，可知，. 其表面积圆柱侧面积+固锥侧面积+圆柱下底面积 （2）F，E，分别为所在棱的中点，.所以棱柱的体积梯形BCFE， 设图2中棱柱水面的高度为h，则，即水面高度为9.【点睛】本题考查旋转体的概念，考查圆柱圆锥的侧面积公式，柱体的体积公式，考查学生的空间想象能力，运算求解能力，属于中档题44（1）；（2）.【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，.故所求几何体的表面积为.（2），所求几何体体积为.