8.6.3 平面与平面垂直(析训练）-2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列（人教A版2019必修第二册）.docx

1、2021-2022学年高一数学【考题透析】满分计划系列(人教A版2019必修第二册)8.6.3平面与平面垂直一、单选题1设为两条直线，为两个平面，则下列命题中假命题是（）A若，则B若，则C若，则D若，则2已知m，n为两条不同的直线，和是两个不同的平面，下列为真命题的是（）ABCD3已知长方形，、分别为、中点，将其沿折起，折成直二面角，则下列说法正确的是（）A与成角为B与平面成角为C平面垂直于平面D三棱锥的体积为4已知平面和直线，则下列命题中正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则5如图，已知平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，AD4，BC8，AB6，在

2、平面内有一个动点P，使得APDBPC，当平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90时，则PAB的面积的是（）A12B16CD6如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中错误的是（）AB平面平面C和与平面所成的角相等D异面直线与所成的角和异面直线与所成的角相等7已知直线m，n是平面，外的两条直线，且m，n，则（）AmnBmnCnDn8已知直线，平面，则（）A若，则B若，则C若，则D若，则9已知三条不同的直线，两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A若，则或B若，则C若，则D若，则10如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABAC，BC6，A1B1A1C14，AA15，平面BCC1B1平面AB

3、C，则该三棱台外接球的体积为（ ）ABCD11在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为（）ABCD12以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：；是等边三角形；三棱锥是正三棱锥平面平面其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个二、多选题13已知，是二个不重合的平面，是直线给出下列命题，其中正确的命题有（）A若上两点到的距离相等，则B若，则C若，且，则D若直线满足：，且，则14设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）A，B，C，D，15如图，正方形与正方形边长均为1，平面与平面互相垂直，P是上的一个动点，则（）

4、A的最小值为B当P在直线上运动时，三棱锥的体积不变C的最小值为D三棱锥的外接球表面积为16如图，直接三棱柱，为等腰直角三角形，且，分别是，的中点，分别是，上的两个动点，则（）A与一定是异面直线B三棱锥的体积为定值C直线与所成角为D若为的中点，则四棱锥的外接球表面积为17如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面 ，截面与直线平行，与交于点 ，则下列判断正确的是（ ）A为的中点B与所成的角为C平面平面D点与点到平面的距离相等18如图直角梯形中，E为中点.以为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且则（）A平面平面BC二面角的大小为D与平面所成角的正切值为三、填空题19给出下列命题：同时垂直于一条直线的两个

5、平面互相平行一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直；设为平面，若，则；设为平面，若，则其中所有正确命题的序号为_20已知在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为_21在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，.若为三棱锥外接球上的动点，则点到平面距离的最大值为_.22已知三棱锥ABCD中，BCCD2，BD2，ABD是等边三角形，平面ABD平面BCD，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为_.23已知菱形的边长为，若沿对角线将折起，所得的二面角为钝二面角，且A，四点所在球的表面积为，则四面体的体积为_24如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点是侧棱的中点，点、分别是侧面、

6、底面内的动点，且平面，平面，则点的轨迹的长度为_四、解答题25如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点，F为AC和BD的交点（1）证明：PB平面AEC；（2）证明：平面PAC平面PBD26如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.27已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且.（1）求证：平面平面；（2）若，且为的中点，求三棱锥的体积.28如图，在三棱柱中，四边形是菱形，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，求点到平面的距离.29如图，在三棱柱中，为棱的中点，平

7、面(1)试确定点的位置，并证明平面；(2)若是等边三角形，且平面平面，求四面体的体积30如图，在四棱锥中，分别是，的中点，（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值参考答案：1C【详解】A.若，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确；B.若，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确；C.若，则可能相交，可能平行，C错误；D.若，则的法向量平行，所以，D正确.故选：C.2C【详解】A. ，则也可在平面内，故选项A不正确.B. ，则也可在平面内, 故选项B不正确.C. 成立两平行线，平面，必垂直于内的两条相交直线，则必定垂直于内那两条相交直线，故, 故C正确.D. ，则也可是异面直

8、线的关系.故选项D不正确.故选：C3C【详解】如图所示，将其沿折起，折成直二面角，补成正方体A连接，为等边三角形为异面直线与成角，为，不正确B底面，与平面成角为，因此不正确；C由正方体的性质可得：，平面，平面，平面垂直于平面，正确；D三棱锥的体积因此不正确故选：C4D【详解】对于A：若，则或或与相交，故选项A不正确；对于B：若，则与相交但不一定垂直，故选项B不正确；对于C：若，则或或与相交，故选项C不正确；对于D：若，则，由面面垂直的性质定理可知选项D正确；故选：D.5C【详解】解：由题意，平面平面，A、B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，PAD与PBC是直角三角形，又

9、APDBPC，PADPBC，又AD4，BC8，PB2PA如图，由DA，CB，平面，平面，可得平面PAD，平面PBC，则APB为平面PAD与平面PBC所成二面角的平面角为90，AB6，设PAx，则PB2x，x2+4x236，得PAB的面积的是S故选：C6D【解析】【分析】对A，证明出平面，由线面垂直的性质可判断；对B，证明出平面即可证明；对C，设，连接，易得即为与平面所成的角，即为与平面所成的角；对D，可得异面直线与所成的角小于，.【详解】底面为正方形，底面，底面，平面，又平面，故A正确；底面为正方形，底面，平面，平面，平面平面，故B正确；设，连接，平面，即为与平面所成的角，即为与平面所成的角，

10、易得，为中点，故C正确；，异面直线与所成的角，且，又平面，平面，即异面直线与所成的角为，故D错误.综上，只有D选项错误.故选：D.7C【解析】【分析】用排除法，做出长方体ABCDA1B1C1D1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，令面ADD1A1为，面ABCD为，在长方体中根据线面位置关系分析每一选项,判断其真假，得出答案.【详解】如图，做出长方体ABCDA1B1C1D1，在长方体ABCDA1B1C1D1中，令面ADD1A1为，面ABCD为，对于A，若直线CB1为m，则m，若CC1为n，则n，显然mn是假命题；对于B，此命题和上一命题是一样的，所以也是假命题；对于C.设，在平面内任取一点（）

11、，在平面内，过点作直线 ，则由，可得，又，则 由，所以 ，故C正确.对于D，若直线CB1为m，则m，若CC1为n，则n，显然n是假命题；故选：C.8B【解析】【分析】对ABCD，在长方体中一一验证：对ACD取返利否定，对B利用面面垂直的判定定理证明.【详解】在长方体ABCD-EFGH中，如图示：对于A：若，则,取平面ABCD为，即直线AB为l，CD为m，则，但是，所以不成立，故A不正确；对于B：因为， 作平面，使得，且，由线面平行的性质可得：.因为，所以，又，所以.故B正确；对于C：若，则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线EH为l，此时满足“”，但是，所以不满足，故C不正确；对于D：若，

12、则，取平面ABCD为，平面ADHE为，直线BC为l，直线EH为m，此时满足“，”但是相交，不满足.故D错误.故选：B【点睛】要判断一个命题错误，举一个反例就可以了；要证明一个结论正确，需要严格的证明.9B【解析】【分析】根据线面位置关系逐项判断即可得出答案.【详解】选项A中，可得，又或 ，选项A正确；选项B中，又 ，则，选项B错误；选项C中，或 ，又时，； 时，选项C正确；选项D中，又 ，选项D正确故选：B.10A【解析】【分析】根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，如下图所示：显然，因为平面BCC1B1平面ABC，平面BCC1B1平面ABC，

13、所以平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线上，设球心为因为ABAC，BC6，A1B1A1C1，所以，因此，当在线段上时，如下图所示：设，由勾股定理可知：，所以球的体积为：，当不在线段上时，如下图所示：，由勾股定理可知：，方程组无实数解，故选：A【点睛】关键点睛：根据球心的位置分类讨论是解题的关键.11C【解析】【分析】取中点，过作平面，三棱锥的外接球球心在上，设球心为，求得球的半径后可得表面积【详解】如图，取中点，中点，连接，是等边三角形，则因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，过作平面，则，因为，所以三棱锥的外接球的球心在上，设球心为，连接，设外接球半径为，由已知，在直角

14、梯形中，所以球表面积为故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球表面积，解题关键是打到外接球球心，求出球半径三棱锥的外接球球心在过各面外心与该面垂直的直线上本题中如果求得是负数，说明点位置在相反方向，不是说不存在12C【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD平面ADC，即得BDAC，再根据计算得BAC是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD平面ADC，故BDAC，正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD平面ACD，所以ABACBC，BAC是等边三角形，正确；易知DADBDC，又由知BAC是等边三角形，故正确；取AD得中点E，连接BE，则由BAC是等边三角形可知B

15、EAC， 若平面，则由面面垂直的性质可知已知BE平面ADC，又由知BD平面ADC，但过点B只有一条直线与平面ADC垂直，故错所以正确的个数是3,故选：C.13BC【解析】【分析】分析每一小问的几何意义，应用相关的几何定理即可.【详解】对于A，作图如下：直线AB上的A，B两点到平面 的距离相等，但AB不平行于 ，故A错误；对于B，由于 ，则在平面 内必有一条直线 与l平行，即 ，所以 ，故B正确；对于C，若 ，则在 平面内必有一条直线 ，又 ，有 ，即在平面 内必有一条直线 ，由平行线的传递性得 ， ，故C正确；对于D，由于 可得 ，故D错误；故选：BC.14BCD【解析】【分析】根据线面平行得

16、性质，即可判断A；根据面面垂直得性质即可判断C；根据面面垂直得判定定理即可判断C；根据线面平行得性质即可判断D.【详解】解：对于A，因为，所以，故A正确；对于B，根据面面垂直的性质得，由，当时，故B错误；对于C，由，可得平行或相交，故C错误；对于D，由，可得平行或异面，故D错误.故选：BCD.15BD【解析】【分析】由题可知，可判断A；根据条件可知PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，可判断B；将ADE翻折到与平面ABFE共面，即可判断C；由正方体的性质可判断D.【详解】对于A，连接，易得，故A错误；对于B，P在直线上运动时，PBF的面积不变，D到平面PBF的距离也不变，故三棱锥的体积

17、不变，故B正确；对于C，如图，将ADE翻折到与平面ABFE共面，则当D、P、F三点共线时，取得最小值，故C错误；对于D，将该几何体补成正方体，则外接球半径为，外接球表面积为，故D正确.故选：BD.16BCD【解析】根据特殊位置法可判断A错误；根据三棱锥的体积公式以及等积法可求出三棱锥的体积，可判断B正确；易证平面，C正确；根据球的定义可知四棱锥的外接球球心为的中点，即可根据球的表面积公式判断D正确【详解】对于A项，当，重合时，（即）与是相交直线，故该说法错误；对于B项，由已知可得，又平面平面，所以平面，在矩形中，的面积，又，所以三棱锥的体积，所以该说法正确；对于C项，由平面，得，又，所以平面，

18、所以，所以该说法正确；对于D项，由题意可得四边形为矩形，连接，则矩形外接圆的圆心为的中点，且，过作与点，连接，则，故，所以就是四棱锥的外接球的球心，所以外接球半径，故外接球的表面积，故该说法正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查空间异面直线的位置关系的判断，等积法的应用，以及三棱锥的体积公式，球的表面积公式的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题17ACD【解析】根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角的求法，以及线段两端点到平面距离相等的条件，选出正确答案.【详解】对于A项，连接交于点，连接，如图所示，/面，面 ，且面面，/ ，又四边形是正方形，为的中点，

19、为的中点，故A正确；对于B项，为 与所成的角，面，面 ，在中，故B错误；对于C项，面，面 ，又， 面面，又平面 ，故C正确.因为平面，且为线段的中点，所以点与点到平面的距离相等，所以D正确；故选：ACD.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，解题思路如下：（1）根据线面平行的性质可以判断A项真假；（2）利用异面直线所成角的定义找其平面角，求得大小，判断B项真假；（3）利用面面垂直的判定定理得到平面平面，判断C项真假；（4）根据当平面过线段中点时，线段两端点到平面的距离相等，判断D项真假.18ABC【解析】先证明平面，得，再结合，即证平面，所以平面平面，判断A正确；利用投影判断，判断

20、B正确；先判断即为二面角的平面角，再等腰直角三角形判断，即C正确；先判断为与平面所成的角，再求正切，即知D错误.【详解】由题易知，又，所以，所以，又，所以平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；在平面内的射影为，又为正方形，所以，故B正确；易知即为二面角的平面角，又，所以，故C正确；易知为与平面所成的角，又，所以，故D错误.【点睛】求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是

21、线面成角的正弦值.本题使用了定义法.19【解析】【分析】由线面垂直的性质可判断；由线面平行的性质和线面垂直的性质可判断；举出反例可判断；由面面平行的性质可判断.【详解】根据线面垂直的性质知命题正确；由线面平行的性质和线面垂直的性质知命题正确；由下图知命题不正确；由面面平行的性质知命题正确故答案为：.20【解析】【分析】确定外接球的球心，再根据几何关系计算体积即可.【详解】如图，取的中点，连接，中，又平面平面，且平面平面平面，又三棱锥的外接球球心在直线AD上在上取一点，使得，则为外接球的球心，设球的半径为，解得所以三棱锥的外接球的体积故答案为：.21【解析】【分析】设中点为，可证明，设和的外心分

22、别为和，过和分别作两个平面的垂线交于点即为三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径的长，到平面的距离即可求解.【详解】设中点为，的外心为，的外心为，过点作面的垂线，过点作直线面的垂线，两条垂线的交点即为三棱锥外接球的球心，因为和都是边长为的正三角形，可得，又，所以，所以，又因为，所以面，因为平面，所以平面平面，且，所以四边形是边长为的正方形，所以外接球半径，到平面的距离，故答案为：.22【解析】【分析】由己知得出，再由平面ABD平面BCD，可得出的外心就是三棱锥外接球球心，由此可得半径，从而得面积【详解】因为BCCD2，BD2，所以，所以，取中点，连接，则外心，ABD是等边三角形，又平面ABD平面

23、BCD，平面ABD平面BCD，平面ABD，所以平面，三棱锥外接球球心在上，所以的外心就是三棱锥外接球球心，球面积为故答案为：23【解析】【分析】以等边三角形，的中心，分别作两个平面的垂线，交点为外接球球心，求得各个长度，根据外接球表面积，求得外接球半径，即可求得的值，进而可得，即可得，即可求得点到平面的距离，代入椎体体积公式，即可得答案.【详解】由已知可得，均为等边三角形 以等边三角形，的中心，分别作两个平面的垂线，交点为外接球球心，如图所示，由已知得，则，又外接球的表面积，所以外接球的半径，所以在中，由勾股定理得，所以在中，所以，同理可得，所以，则点到平面的距离因为所以四面体的体积故答案为：

24、24【解析】【分析】由正三棱柱的性质，结合线面平行、线面垂直分析知：在连接侧棱，中点的线段上，在过与平面垂直的平面与面相交的线段上，过作交于，连接，若交面于，连接，应用已知线段长度、相关角的大小，结合勾股定理求到的距离、，即可确定的轨迹为线段过的重心且与平行的线段，进而求其长度.【详解】是侧面内的动点，且平面，点的轨迹是过点与平面平行的平面与侧面的交线，即：连接侧棱，中点的线段，是底面内的动点，面，的轨迹是过与平面垂直的平面与面相交的线段，过作交于，连接，若交面于，连接，易知共面，且面，即EDQ为M-BC-A的平面角，如上图， ，而，而到的距离，可知：，故，即，而，即所在线段过的重心且与平行，

25、由正三棱柱中棱长均为2，故线段的长为：，故答案为：.【点睛】关键点点睛：应用线面平行、线面垂直的性质，判断、运动轨迹的特征，结合几何体的性质，在三角形中应用线段长、角度大小及勾股定理，确定点轨迹的位置.25（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）连接EF，利用中位线定理得出EFPB，故而PB平面AEC；（2）由PA平面ABCD得PABD，结合ACBD可得BD平面PAC，故而平面PAC平面PBD【详解】解：（1）证明：连接EF，四边形ABCD是菱形，F是BD的中点，又E是PD的中点，PBEF，又EF平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC；（2）PA平面ABCD，BD平面ABCD，P

26、ABD，四边形ABCD是菱形，BDAC，又AC平面PAC，PA平面PAC，ACPA=A，BD平面PAC，又BD平面PBD，平面PAC平面PBD【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.26(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可；(2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可.【详解】（1）因为，O是中点，所以，因为平面，平面平面，且平面

27、平面，所以平面因为平面，所以.（2）方法一：通性通法坐标法如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则，设,所以，设为平面的法向量，则由可求得平面的一个法向量为又平面的一个法向量为，所以，解得又点C到平面的距离为，所以，所以三棱锥的体积为方法二【最优解】：作出二面角的平面角如图所示，作，垂足为点G作，垂足为点F，连结，则因为平面，所以平面，为二面角的平面角因为，所以由已知得，故又，所以因为，方法三：三面角公式考虑三面角，记为，为，记二面角为据题意，得对使用三面角的余弦公式，可得，化简可得使用三面角的正弦公式，可得，化简可得将两式平方后相加，可得，由此得

28、，从而可得如图可知，即有，根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，结合的正切值，可得从而可得三棱锥的体积为【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理；方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解.方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速.27（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于，易知，由平面得，进而得平面，由于平面，故即可证得；（2）根据题

29、意易得平面，平面，故根据等体积法得，再根据几何关系求解即可.【详解】解：（1）证明：连接交于， 底面为菱形，为中点， 平面，平面， ， ， 平面， 平面， 平面平面.（2） 平面，平面， 平面，平面，平面， 底面为菱形， 平面，平面平面， 为的中点， 三棱锥的体积，由（1）知得平面， ，所以，所以【点睛】本题考查面面垂直的证明，等体积法求几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据已知条件，利用等体积转化法得.28（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）设，利用余弦定理结合勾股定理可证得，证明平面，可得出，再利用线面垂直和面面垂直的

30、判定定理可证得结论成立；（2）分析得出三棱锥的高为，计算出、的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.【详解】（1）证明：设.四边形是菱形，为棱的中点，.在中，由余弦定理得，解得.，即.，且，平面.平面，.，且，平面.平面，平面平面；（2）由和（1）知，平面，是点到平面的距离.平面，则是以为斜边的直角三角形，点为棱的中点，的面积，的面积.设点到平面的距离为，则.，解得.点到平面的距离为.【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离；（2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平

31、面的距离为.29(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）延长，交的延长线于点N，由平面的基本性质可得点N即为所求，然后利用棱柱的性质及线面平行的判定定理即证；（2）取线段的中点G，由题可得是三棱锥的高，然后利用三角形面积公式及棱锥的体积公式即求.(1)延长，交的延长线于点N，平面，平面又，平面，点N即为所求连接，交直线于点O，连接OM，又M为线段的中点，即M为线段NB的中点在三棱柱中，四边形为平行四边形，O为线段中点，OM为中位线，又平面，平面，平面(2)取线段的中点G，连接由条件知，为等边三角形，且平面平面，平面平面，平面，平面，即是三棱锥的高又，由（1）知，四面体的体积30【详解】（）连接，交于，再连接因为，是的中点，所以是的中点，又是的中点，所以，且平面，平面所以平面；（）过作于，连接，又因为，且所以平面，所以平面，所以平面平面，过作于，又因为平面平面，且平面，所以平面在中，在直角梯形中，则在中，在中，则，所以，从而，又由，知，所以由可得，因为点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，点到平面的距离和点到平面距离相等，所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，所以直线与平面所成角的正弦值为