三角函数求w类型及三角换元应用归类（解析版）.pdf

1、1三角函数求 w 类型及三角换元应用归类目录题型 01 平移型求 w题型 02单调区间及单调性求 w题型 03 对称中心(零点)求 w题型 04 对称轴型求 w题型 05 对称轴及单调性型求 w题型 06“临轴”型求 w题型 07“临心”型求 w题型 08 区间内有“心”型求 w题型 09 区间内无“心”型求 w题型 10 区间内最值点型求 w题型 11 多可能性分析型求 w题型 12 三角应用：三角双换元题型 13 三角应用：无理根号型题型 14 三角应用：圆代换型题型 15 三角应用：向量型换元高考练场题型 01 平移型求 w【解题攻略】平移型求 w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(

2、最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出 值或者范围。1(2023全国高三专题练习)已知函数 f x=sin2x 0，将 y=f x的图像向右平移 4 个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则 的最小值等于()A.2B.4C.6D.82【答案】B【分析】根据题意 4 是周期的整数倍，求出 的表达式，从而求出其最小值.【详解】f x=sin2x 0,f x的周期为 T=22=,将 y=f x的图像向右平移 4 个单位长度后，所得图像与原图像重合，4 是周期的整数倍，4=k ，k Z，=4k,k Z，0，的最小值等于 4.故选：B2(2022全国高三专题练习)将函

3、数 f(x)=12 sin x+6+2(0)的图像向右平移 3 个单位长度后与原函数图像重合，则实数 的最小值是()A.2B.3C.6D.9【答案】C【分析】由题意可知 3 是 f(x)=12 sin x+6+2(0)的周期的倍数，即 3=k 2,k Z，从而可求得答案【详解】解：因为函数 f(x)=12 sin x+6+2(0)的图像向右平移 3 个单位长度后与原函数图像重合，所以 3 是 f(x)=12 sin x+6+2(0)的周期的倍数，设 3=k 2,k Z，所以 =6k,k Z，因为 0，所以当 k=1 时，=6 最小，故选：C【变式训练】1(2021 春浙江杭州高三学军中学校考开

4、学考试)将函数 y=tan x-1 0的图像向左平移 2 个单位长度后，与函数 y=tan x+3的图象重合，则 的最小值等于()A.2-2B.1C.-2D.2【答案】A【分析】平移函数图象后得 y=tan(x+2-1)，根据与 y=tan x+3重合可求解.【详解】函数 y=tan x-1 0的图像向左平移 2 个单位长度后可得，y=tan(x+2)-1=tan(x+2-1)，与函数 y=tan x+3的图象重合，所以 2-1=3+k,k Z，=2+k2,k Z3由 0，所以 min=2-2.故选：A.2(2024云南楚雄云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数 f x=sin x+6(

5、0)的图象向右平移 3 个单位长度后与函数 g x=cos x的图象重合，则 的最小值为()A.1B.2C.4D.5【答案】D【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得-3 +6=2k+2，结合 0 即可求解.【详解】由题意可得 y=f x-3=sin x-3+6=sin x-3 +6=cos x=sin x+2，-3 +6=2k+2，k Z，解得 =-6k-1，k Z，又 0，当 k=-1 时，取得最小值为 5故选：D.3(2023陕西西安西安市大明宫中学校考模拟预测)将 f(x)=sin x+4(0)的图象向左平移 3 个单位长度后与函数 g(x)=cosx 的图象重合，则 的最小值为()

6、A.14B.12C.34D.32【答案】C【分析】根据图象变换可得 y=sin x+3 +4，根据题意结合诱导公式可得 3 +4=2k+2,k Z，运算求解即可得结果.【详解】将 f(x)=sin x+4(0)的图象向左平移 3 个单位长度后，得到 y=f x+3=sin x+3+4=sin x+3 +4=cosx，则 3 +4=2k+2,k Z，解得 =6k+34,k Z，所以当 k=0 时，的最小值为 34.故选：C.题型 02单调区间及单调性求 w【解题攻略】正弦函数4在每一个闭区间 2k-2,2k+2(k Z)上都单调递增，在每一个闭区间 2k+2,2k+32(k Z)上都单调递减余弦

7、函数在每一个闭区间 2k-，2k(k Z)上都单调递增，在每一个闭区间 2k，2k+(k Z)上都单调递减1(上海市川沙中学 2021-2022 学年高三下学期数学试题)设 0，若函数 f(x)=2sinx 在-3,4上单调递增，则 的取值范围是【答案】0,32【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数 f(x)=2sinx 的单增区间，由-2+2k x 2+2k(k Z)，可得：-2+2k x 2+2k，所以-2+2k-32+2k 4，整理即可得解.【详解】根据正弦函数的单调性，可得：-2+2k x 2+2k(k Z)，所以：-2+2k x 2+2k，解得：-2+2k-32+2k 4，整理可得：

8、32-6k 2+8k，当 k=0 有解，解得 0 0)的图象关于直线 x=2 对称，且 f 38=1，f x在区间-38,-4上单调，则 的值为.【答案】2 或 6.【详解】因为 f x的图象关于直线 x=2 对称,故 2 +=k+2,k Z.又 f 38=1,故 38 +=2m+4 或 38 +=2m+34,m Z.-可得 8 =k-2m+4 或 8 =k-2m-4,k Z,m Z.解得 =8 k-2m+2 或 =8 k-2m-2,k Z,m Z又 f x在区间-38,-4上单调,故周期 T 满足 T2-4-38=8 T 4,5且 0,所以 2 4 0 0,0,若 f x在区间 0,2上是单

9、调函数,且 f-=f 0=-f2则 的值为()A.23B.23 或 2C.13D.1 或 13【答案】B分析：由 f x=Asin x+在区间 0,2是有单调性，可得 T 范围，从而得 0 2；由 f-=f 0，可得函数 f x关于 x=-2 对称，又 f 0=-f2，f x有对称中心为4,0；讨论 x=-2 与4,0是否在同一周期里面相邻的对称轴与对称中心即可详解：因为 f x在 0,2单调，T2 2，即 T 2 0 ，则 x=-2 是 f x的一条对称轴，4,0是其相邻的对称中心，所以 T4=4-2=34，T=3 =2T=23.故选 B.2 若函数 f(x)=4sinx sin2 4+x2

10、+cos2x(0)在-2,23上是增函数，则 的取值范围是.【答案】0,34【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后结合三角函数的性质得到关于 的不等式，求解不等式即可确定 的取值范围.【详解】整理函数的解析式有：f x=4sinx 1-cos 2+x2+cos2x=2sinx(1+sinx)+1-2sin2x=2sinx+1结合题意可知函数的最小正周期：T4 23,即 24 23，求解不等式可得 的取值范围是 0,34.63(2022-2021 学年度下学期高三数学备考总动员 C 卷)若函数 f x=sin x+3 1在区间,54 上单调递减，则实数 的取值范围是.【答案】76,43【分

11、析】先由题意可知 2，得到 1 1,1 1 0，由 k+2 x+3 k+,k Z，得 k+6 x k+23,k Z，函数 f x=sin x+3 0的单调减区间为k+6,k+23,k Z 函数 f x在区间,54 上单调递减，,54k+6,k+23,k Z，k+6 k+23 54，解得 k+16 45 k+23,k Z当 k=0 时，16 815，不合题意；当 k=1 时，76 43，符合题意；当 k=2 时，136 3215，显然矛盾，不合题意.实数 的取值范围是76,43故答案为：76,43.题型 03 对称中心(零点)求 w【解题攻略】正弦函数对称中心(k，0)(k Z)余弦函数对称中心

12、2+k，0(k Z)正切函数对称中心k2，0(k Z)71(2023全国高三专题练习)设函数 f(x)=2tan x-6(0)的图象的一个对称中心为6,0，则 f x的一个最小正周期是()A.2B.13C.213D.27【答案】B【分析】由正切函数的对称中心得到 T=3k+1，k Z，再对各选项逐一检验分析即可.【详解】根据题意得 6 -6=k2，k Z，则 =3k+1，又 0，则 T=3k+1，k Z，对于 A，若 2 是 f x的最小正周期，则3k+1=2，得 k=13，与 k Z 矛盾，故 A 错误；对于 B，由3k+1=13 得 k=4，满足条件，故 B 正确；对于 C，由3k+1=2

13、13 得 k=116，与 k Z 矛盾，故 C 错误；对于 D，由3k+1=27 得 k=56，与 k Z 矛盾，故 D 错误.故选：B.2(2022 秋重庆高三统考期中)若存在实数 -2，0，使得函数 y=sin x+6(0)的图象的一个对称中心为，0，则 的取值范围为()A.13，+B.13，1C.13，+D.1，43【答案】C【分析】由题意可得 sin +6=0，则 =k-6,k Z，再根据 0，-2，0，即可得出答案.【详解】解：由题意知，存在 在-2，0使得 y=sin x+6(0)的一个对称中心为，0，即存在 使得 x=时，y=0，代入 x=，则 sin +6=0，即 +6=k，即

14、 =k-6,k Z，因为 0，-2，0，所以 k-6 13，所以 的取值范围为13，+.故选：C.故选：C.8【变式训练】1(2023 春湖北荆州高三沙市中学校考阶段练习)已知 f x=2tan x+0,0,2，由 f 0=2 33可得 2tan=2 33 tan=33，且 2，所以 =6，又因为6,0是 f x的对称中心，故 6 +6=k2,k Z解得 =3k-1,k Z 且 T 4,34，即 4 34 43 0的部分图象如图，f x的对称中心是k2+6,0k Z，则 f3=()A.2 3B.-2 3C.3D.-3【答案】D【分析】f 0 0 可得 A 0，根据辅助角公式可得 f x=A2+

15、3cos x+，由对称中心可得最小正周期为，故 =2.根据 f6=0,可求 A，从而可求 f3.【详解】f 0=A 0,f x=Acosx-3sinx=A2+3cos x+，由 f x的对称中心是k2+6,0k Z，9知 f x的最小正周期 T=，故 =2.故 f6=Acos 3-3sin 3=12 A-32=0,解得 A=3.故 f3=3 cos 23-3 sin 23=-32-32=-3.故选:D.3(2023 秋江苏苏州高三校考阶段练习)设函数 f x=2tan x-3 0的图象的一个对称中心为6,0，则 f x的一个最小正周期是()A.3B.4C.5D.25【答案】C【分析】利用正切型

16、函数的对称性可得出 的表达式，再利用正切型函数的周期公式可求得结果.【详解】因为函数 f x=2tan x-3 0的图象的一个对称中心为6,0，所以，6-3=k2k Z，可得 =3k+2 k Z，0，则 k N，故函数 f x的最小正周期为 T=3k+2 k N，当 k=1 时，可知函数 f x的一个最小正周期为 5.故选：C.题型 04 对称轴型求 w【解题攻略】正弦函数对称轴x=2+2k(k Z)时，ymax=1；x=-2+2k(k Z)时，ymin=-1余弦函数对称轴x=2k(k Z)时，ymax=1；x=2k+(k Z)时，ymin=-11(2022 秋山西长治高三山西省长治市第二中学

17、校校考阶段练习)已知函数 f(x)=Acosx-3sinx(0)的部分图象如图，y=f x的对称轴方程为 x=512+k2k Z，则 f 0=()10A.3B.2C.32D.1【答案】A【分析】根据给定的对称轴方程可得 f(x)的周期，进而求出，再借助函数性质及给定图象求出 A 值作答.【详解】由给定的图象知，f(0)=A 0，f(x)=Acosx-3sinx=A2+3cos(x+)，即 f(x)max=A2+3，因函数 y=f(x)图象的对称轴方程为 x=512+k2k Z，则 y=f(x)的最小正周期 T=，=2T=2，而 f 512=Acos 56-3sin 56=-32(A+1)，显然

18、有 f 512=A2+3，即32(A+1)=A2+3，解得 A=3，所以 f(0)=3.故选：A2(2022全国高三专题练习)若 x=3 是函数 f x=cosx 0图象的对称轴，则 f x的最小正周期的最大值是()A.6B.3C.2D.23【答案】D【分析】根据对称轴可求 的值，从而可求最小正周期.【详解】因为 x=3 是函数 f x=cosx 0图象的对称轴，所以 3=k,k Z,k 0，故 =3k,k Z,k 0，所以 min=3，故 f x的最小正周期的最大值为2min=23，故选：D.【变式训练】111(2021 秋云南昆明高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数 y=sinx+ac

19、osx 的图像关于 x=3 对称，则函数 y=asinx+cosx 的图像的一条对称轴是()A.x=56B.x=23C.x=3D.x=6【答案】D【分析】先由函数 y=sinx+acosx 的图像关于 x=3 对称，求出 a=33，再对 y=asinx+cosx 化简即可求出.【详解】函数 y=sinx+acosx 变为 y=1+a2sin x+，(令 tan=a).因为函数 y=sinx+acosx 的图像关于 x=3 对称，所以 3+=k+2,k Z,解得：=k+6,k Z.所以 a=tan=tan k+6=33.所以函数 y=asinx+cosx=33 sinx+cosx=2 33sin

20、 x+，其中 tan=3,其对称轴方程 x+=k+2,k Z,所以 x=k+2-,k Z.因为 tan=3，所以 =k1+3,k1 Z，所以 x=k+2-=k-k1+6.当 k=k1时，x=6 符合题意.对照四个选项，D 正确.故选：D.2(“超级全能生”高考全国卷 26 省 9 月联考乙卷数学试题)已知向量 a=(sinx,cosx),b=(1,-1)，函数 f(x)=a b，且 12,x R，若 f(x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(3,4)，则 的取值范围是()A.712,15161312,1916B.712,11161112,1516C.12,7121112,19

21、16D.12,11161112,1516【答案】B【解析】an,f(x)=2sin x-4,由 12，得 T=2 ,12 1,由对称轴 x-4=2+k,x=134 +k,k z,假设对称轴在区间 3,4内，可知 316+k4 14+k3,当 k=1,2，3 时，716 712,1116 1112,1516 54，现不属于区间 3,4，所以上面的并集在全集 12 12,R，若 f x的任何一12条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间 3，4，则 的取值范围是A.712,，15161312，1916B.712,，11161112，1516C.12，7121112，1916D.12，111611

22、12，1516【答案】B【详解】f x=sinx-cosx=2sin x-4，又 T2 ，T=2，12，所以 12 0)，对任意的 x R，都有 f(x+1)=f(-x)，且 f(x)在区间-4,12上单调，则 的值为.【答案】23【分析】根据 f(x+1)=f(-x)，得函数 f(x)的对称轴为 x=12，所以有 sin 12 +6=1,可得 12 +6=2+k,k Z，解得 =23+2k,k Z，再分类讨论又 f(x)在区间-4,12上单调递增和递减两种情况，对每一种情况列出关于 的不等式组，解之可求得 的值.【详解】因为 f(x+1)=f(-x)，所以函数 f(x)的对称轴为 x=12，

23、所以 sin 12 +6=1,即 12 +6=2+k,k Z，解得 =23+2k,k Z，0,k 0,k Z,又 f(x)在区间-4,12上单调，所以(1)若 f(x)在区间-4,12上单调递增，则-2+2k x+6 2+2k,k Z 0，131-23+2k x 13+2k,k Z，-4 1-23+2k12 13+2k,，即-14 1-23+2k112 113+2k，解得 83-8k,k Z，所以 0 0，13+2k x 143+2k,k Z，-4 13+2k12 143+2k,，即-14 113+2k112 143+2k，解得 -43-8k,k Z，所以 0 0,(0,2)的一条对称轴为 x

24、=-6，且 f(x)在,43上单调，则 的最大值为()A.52B.3C.72D.83【答案】D【分析】函数 y=sin(x+)的对称轴可表示为：x=k-6(k Z)，f(x)在,43上单调可得 k0 Z，使得k0-6 k0+1-6 43，然后可得 67 k0 23 k0+1，即可分析出答案.【详解】函数 y=sin(x+)的对称轴可表示为：x=k-6(k Z)，f(x)在,43上单调可得 k0 Z，使得k0-6 k0+1-6 43，解得67 k0 23 k0+1又.0,k0=0,1,2,3，当 k0=3 时，可取最大值为 83【变式训练】1(四川省成都市新都区 2020-2021 学年高三诊断

25、测试数学试题)已知函数 f x=2sin x+0满足 f4=2，f=0，且 f x在区间4,3上单调，则 的最大值为14【答案】343【分析】根据函数在区间4,3上单调得 T2 12，再由 f4=2，f=0 得到区间4,的长度恰好为2k-14T，再根据 的范围求得 k 的最大值，进而得到 的最大值.【详解】因为 f x在区间4,3上单调，所以 T2 3-4=12 T 6 2 6 0 0)在-6，4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为 x=34，则 的值可能是()A.13B.23C.1D.43【答案】B【分析】利用正弦函数的图象与性质，列出不等式组，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数 f

26、 x=sinx(0)在-6，4上是单调函数，则满足34 =k+2,k Z4 2，可得 =4k3+23,k Z0 0)的一条对称轴，且函数 y=sin x-4在区间 0，12上不单调，则 的最小值为()A.9B.7C.11D.3【答案】C【分析】根据给定条件，求出 的关系式，再求出函数 y=sin x-4含有数 0 的单调区间即可判断作答.【详解】因直线 x=4 是曲线 y=sin x-4(0)的一条对称轴，则 4 -4=k+2,k N，即15=4k+3,k N，由-2 x-4 2 得-4 x 34，则函数 y=sin x-4在-4,34上单调递增，而函数 y=sin x-4在区间 0,12上不

27、单调，则 34 9，所以 的最小值为 11.故选：C题型 06“临轴”型求 w【解题攻略】若 f x=Asin x+A 0,0的图像关于直线 x=x0对称,则 f x0=A 或 f x0=-A.1(2023 秋四川绵阳高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数 y=Asin x+m A 0,0,0,0,0,0,2的最大值为 4，最小值为 0，所以 A+m=4,m-A=0，所以 A=m=2，又因为该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为 2，所以 T=，则 =2=2，所以函数 y=2sin 2x+2，又直线 x=6 是该函数图象的一条对称轴，所以 2 6+=k+2,k Z，则 =k+6,k

28、Z，因为 0,2，x=-8 是函数 f x的一个16零点，x=8 是函数 f x的一条对称轴，若 f x在区间5,4上单调，则 的最大值是()A.14B.16C.18D.20【答案】A【分析】设函数 f x的最小正周期为 T，根据题意分析得出 2n+14T=4，其中 n N，可得出 =4n+2，利用函数 f x的单调性可得出 的取值范围，可得出 的可能取值，然后对 的值由大到小进行检验，可得结果.【详解】设函数 f x的最小正周期为 T，因为 x=-8 是函数 f x的一个零点，x=8 是函数 f x的一条对称轴，则 2n+14T=8-8=4，其中 n N，所以，T=2n+1=2，=4n+2，

29、因为函数 f x在区间5,4上单调，则 4-5 T2=，所以，20.所以，的可能取值有：2、6、10、14、18.(i)当 =18 时，f x=sin 18x+，f-8=sin-94+=0，所以，-94=k k Z，则 =k+94k Z，-2 2，=4，所以，f x=sin 18x+4，当 5 x 4 时，4-320=7720 18x+4 194=4+34，所以，函数 f x在5,4上不单调，不合乎题意；(ii)当 =14 时，f x=sin 14x+，f-8=sin-74+=0，所以，-74=k k Z，则 =k+74k Z，-2 2，=-4，所以，f x=sin 14x-4，当 5 x 4

30、 时，2+1120=5120 14x-4 0,2 32图象上两条相邻的对称轴，则 =()A.B.34C.23D.317【答案】A【分析】由三角函数的对称性和周期性计算即可.【详解】由题意得：-3=T2=22 =32，故 f x=sin 32 x+，则当 x=3 时，3 32+=k+2 =k k Z，又 2 0，且 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 2.若将函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位后得到 g(x)的图象，且当 x 0,4时，不等式 2m2-m g x恒成立，则 m 的取值范围为()A.-,-112,+B.-,-12 1,+C.-,1-1741+174,+D.-,012,+【答

31、案】B【分析】先求得 f(x)的解析式，再得到 g(x)的解析式，并求得 g(x)在 0,4上的最小值，进而构造关于m 的不等式，解之即可求得 m 的取值范围.【详解】f x=sin x+2 3cos2 x2-3=sin x+3cos x=2sin x+3又 f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为 2，则 f(x)的周期为，则 =2=2，则 f(x)=2sin 2x+3将函数 f(x)的图象向右平移 3 个单位后得到 g(x)的图象，则 g(x)=2sin 2x-3当 x 0,4时，2x-3 -3,6，2sin 2x-3-3,1当 x 0,4时，不等式 2m2-m g x恒成立，则 2m2-m

32、1 恒成立，解之得 m -,-12 1,+故选：B3(2023 春四川成都高三校联考阶段练习)已知直线 x=x1,x=x2是函数 f x=sin x+6,(0)图象的任意两条对称轴，且 x1-x2的最小值为 2，则 f x的单调递增区间是()A.k+6,k+23,k ZB.k-3,k+6,k ZC.2k+3,2k+43,k ZD.2k-12,2k+512,k Z18【答案】B【分析】由题知 T2=2，进而得 f x=sin 2x+6，再求解函数单调区间即可.【详解】解：直线 x=x1,x=x2是函数 f x=sin x+6图象的任意两条对称轴，且 x1-x2的最小值为 2，T2=2 T=2 =

33、2，即 f x=sin 2x+6，令 2x+6 2k-2,2k+2,k Z，解得 x k-3,k+6,k Z，f x的单调递增区间是 k-3,k+6,k Z.故选：B.题型 07“临心”型求 w【解题攻略】函数 y=Asin x+B(A 0,0)的性质：(1)ymax=A+B，ymin=A-B.(2)周期 T=2.(3)由 x+=2+k k Z求对称轴，由 x+=k k Z求对称中心.(4)由-2+2k x+2+2k k Z求增区间；由 2+2k x+32+2k k Z求减区间.1(2023 春广东珠海高三校考)已知函数 f x=sinx+cosx 0的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内

34、，且两个相邻对称中心之间的距离大于 3，则 的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,3【答案】B【分析】利用辅助角化简函数解析式为 f x=2sin x+4 0，分析可知，函数 f x的最小正周期 T 满足 T 23，求出 的取值范围，求出函数 f x图象对称中心的横坐标，可得出 所满足的不等式，即可得出 的取值范围.【详解】因为 f x=sinx+cosx=2sin x+4 0，19因为函数 f x的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 3，所以，函数 f x的最小正周期 T 满足 T 23，即 2 23，则 0 3，由 x+4=k k Z可得 x=4k-14k Z，因为函

35、数 f x的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内，则 4 4k-14 2，可得 4k-12 4k-1，又因为 0 04k-12 3，解得14 k 74，因为 k Z，则 k=1，所以，32 0,0,0,0,2的最大值为 2，即 A+1=2，所以 A=1，又图象相邻两个对称中心之间的距离为 T2=12 2=2,=2，由 f x的图象关于直线 x=12 对称，所以 2 12+=k+2，即 =k+3,k Z，0的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于 3，则 的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,3【答案】B【分析】利用辅助角化简函数解析式

36、为 f x=2sin x+4 0，分析可知，函数 f x的最小正周期 T 满足 T 23，求出 的取值范围，求出函数 f x图象对称中心的横坐标，可得出 所满足的不等式，即可得出 的取值范围.【详解】因为 f x=sinx+cosx=2sin x+4 0，因为函数 f x的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于 3，所以，函数 f x的最小正周期 T 满足 T 23，即 2 23，则 0 3，由 x+4=k k Z可得 x=4k-14k Z，因为函数 f x的图象的一个对称中心的横坐标在区间4,2内，则 4 4k-14 2，可得 4k-12 4k-1，又因为 0 04k-12 3，解得14 k

37、74，因为 k Z，则 k=1，所以，32 0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为 4，则 =()A.2B.4C.8D.1621【答案】B【分析】由正切函数的性质得出 T=2，继而由周期公式得出.【详解】解：设 f x的最小正周期为 T，由函数 f x=3tan x2+3(0)的图象上相邻两个对称中心之间的距离为 4，知 T2=4，T=2，又因为 T=2，所以 2=2，即 2=2=2，则 =4故选：B3(2021 上四川雅安高三统考期末)已知函数 f(x)=tan(x+)0,2，点23,0和76,0是其相邻的两个对称中心，且在区间56,43内单调递减，则 =()A.6B.-6C.3D.-3【

38、答案】A【解析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出 T，然后由 T=求出，然后再代点讨论满足题意的，即可得出答案.【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为 T2，得 T=2 76-23=.则由 T=1 得=1，即得 =1.由 2，且在区间56,43内单调递减，则可得 =-1，f x=tan-x+=-tan x-.由 23-=k2,k Z 得 =23-k2,k Z，因 2，可得 =6 或-3，当 =-3 时，f x=-tan x+3，由 k-2 x+3 k+2,k Z，得 k-56 x k+6,k Z，则函数 f x的单调减区间为 k-56,k

39、+6,k Z，令 k=1，由56,436,76，得函数 f x在56,43上不是单调递减，所以 =-3 不满足题意；当 =6 时，f x=-tan x-6，由 k-2 x-6 k+2,k Z，得 k-3 x k+23,k Z，则函数 f x的单调减区间为 k-3,k+23,k Z，22令 k=1，由56,4323,53，得函数 f x在56,43上单调递减，所以 =6 满足题意；综上可得：=6 满足题意.故选：A.题型 08 区间内有“心”型求 w【解题攻略】求 w 的表达式时，wx+=k1(k1 z)中不要把 k1写成 k,因为后面还有一个 k,wx+=k2(k2z)中不要把 k2写成 k，

40、否则不好研究 w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区 2020 届高考二模数学试题)若函数 f(x)=cos(2x+)(0 )在区间-6,6上单调递减，且在区间 0,6上存在零点，则 的取值范围是()A.6,2B.23，56C.2,23D.3，2【答案】D【分析】由题意结合余弦函数的单调区间可得-3+,3+0,，由余弦函数的零点可得 4-2 0,6，即可得解.【详解】当 x -6,6时，2x+-3+,3+，又 (0,)，2x+-3,43，函数 f(x)=cos(2x+)(0 )在区间-6,6上单调递减，-3+,3+0,，即-3 0+3 ，解得 3 23；令 f(x)=cos(2x

41、+)=0，则 2x+=2+k k Z，即 x=4-2+k2k Z，由 4-2 -4,4，可得当且仅当 k=0 时，4-2 0,6，又函数 f(x)=cos(2x+)(0 )在区间 0,6上存在零点，4-2 0,6，解得 6 0)在 0，)上恰有 6 个零23点，则 的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【解答】解：f(x)=sin x2+14sin 37-x2=sin x2+14cos 2-37-x2=sin x2+14cos x2+14=12 sin x+7当 x=0 时，x+7=7；当 x=时，x+7=+7 因为 f(x)在 0，)上恰有

42、6 个零点，且 0，所以 6 +7 7，解得 417 0)在区间 0，上恰有三个零点，则 的取值范围是 2,83【解答】解：由题意：转化为 y=cos x-3与函数 y=12在区间 0，上恰有三个交点问题，x 0，上，-3 x-3 -3 当 x=0，可得 y=12 根据余弦函数的图象：可得 53 -3 73，解得：2 0，2 0，f x在 0,上有且只有两个零点，k 只能取 1，2，故43 73 ，解得 43 0)，若对于任意实数，f x在区间4,34上至少有 2 个零点，至多有 3 个零点，则 的取值范围是【答案】4,163【分析】原问题转化为 y=sint 在区间4 +,34 +上至少有

43、2 个，至多有 3 个 t，使得 y=sint=12，求 得取值范围，作出可知，满足条件可最短区间长度为 136-6=2，最长区间长度为 176-6=83，由此建立关于 的不等式，解出即可【详解】令 f x=0，则 sin x+=12，令 t=x+，则 sint 12，则原问题转化为 y=sint 在区间4 +,34 +上至少有 2 个，至多有 3 个 t，使得 y=sint=12，求 得取值范围，作出 y=sint 与 y=12 的图象，如图所示，由图可知，满足条件可最短区间长度为 136-6=2，最长区间长度为 176-6=83，2 34 +-4 +83，解得 4 0,x R，若函数 f

44、x在区间2,内没有零点，则 的取值范围为.【答案】0,1814,58【分析】先把 f x化为 f x=2sin 2x-4，求出其零点的一般形式后利用函数 f x在区间2,内没有零点构建关于,k 的不等式组，通过讨论 k 的范围可得 的取值范围.【详解】因为 f x=sin2x-2cos2x+1 0,x R，故 f x=sin2x-cos2x=2sin 2x-4，令 f x=0，则 2x-4=k,k Z，故函数的零点为 x=k2+8,k Z.因为函数在2,内无零点，故存在整数 k，使得k2+8 2k+12+8 ，故 k+14 k+12+18，因 为正实数，故k+12+18 k+14，故 k 34

45、，又k+12+18 0，故 k-1，故 k=-1 或 k=0.当 k=-1 时，0 0)，(x R)，若 f(x)在区间2,内没有零点，则 的取值范围是.【答案】0,1323,56【分析】化简变形 f x，根据三角函数的性质求出 f x的零点，根据条件得出区间 +13,2+13内不存在整数，再根据T2 2 可得 +13,2+13为 0,1或 1,2的子集，从而得出 的范围【详解】f x=sin x+6sin x+23=sin x+6sin x+6+2=12 sin 2x+3令 2x+3=k，可得 x=-6+k2，k Z26令2-6+k2 ，解得 +13 k 0，+13,2+13(0，1)或 +

46、13,2+13(1，2)2+13 1 或 1 +13 2+13 2，解得 0 12，x R，若 f(x)的图像在 x (3，4)内与 x 轴无交点，则 的取值范围是.【答案】712，11161112，1516【详解】f x的图像在 x 3，4内与 x 轴无交点 T2 f x=sinx-12+cos2 x2=22 sin x+4 12 1 由对称中心可知 x+4=k x=1 k-4,k Z 假设在区间 3，4内存在交点，可知 k4-116 k3-112 当 k=2,3,4 时，716 712,1116 1112,1516 54 以上并集在全集 12 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，若

47、函数 g x在2,32上没有零点，则 的取值范围是()A.0,2923,89B.0,89C.0,2989,1D.0,1【答案】A【分析】先由三角函数图象平移规则求得函数 g x=sin x-3，再利用正弦曲线的零点即可求得 的取值范围【详解】将函数 f x=sinx 的图象先向右平移 3 个单位长度，得到 y=sin x-327再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x=sin x-3由函数 g x在2,32上没有零点，则 T2 32-2，则 T 2 由 2 2，可得 0 1假设函数 g x在2,32上有零点，则 x-3=k,k Z，则 x=k+3,k Z由

48、2 k+3 32，可得 2k3+29 -13,k Z又 0 1，则 29,2389,1则由函数 g x在2,32上没有零点，且 0 0)倍，纵坐标不变，得到函数 g x的图象，若函数 g x在2,32上没有零点，则 的取值范围是()A.0,2923,89B.0,89C.0,2989,1D.0,1【答案】A【解析】根据图象变换求出 g(x)的解析式，利用周期缩小 的范围，再从反面求解可得结果.【详解】将函数 f x=cosx 的图象先向右平移 56 个单位长度，得到 y=cos x-56的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的 1(0)倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)=cos x-56(0)

49、，周期 T=2，因为函数 g x在2,32上没有零点，所以 32-2 T2，得 T 2，得 2 2，得 0 1，假设函数 g x在2,32上有零点，令 g(x)=0，得 x-56=k+2，k Z，得 x=k+43，k Z，则 2 k+43 32，得 89+2k3 83+2k，k Z，又 0 1，所以 29 23 或 89 1，又函数 g x在2,32上有零点，且 0 1，所以 0 0，0 )，f 0=22，f4=0，f x在 0,4内有相邻两个最值点，且最小值点距离 y 轴近，则 的最小正整数值为()A.5B.7C.9D.10【答案】C【分析】由 f 0=22 结合已知条件可得 =34+2k，

50、由 0 可求出 =34，再由 f4=0，可知 4 +34=k，结合 2=T 8，从而可选出正确答案.【详解】解析：因为 f 0=sin=22，结合已知，知 =34+2k(k Z)，又因为 0 ，所以 =34，所以 f x=sin x+34因为 f4=sin 4 +34=0，所以 4 +34=k，k Z，解得 =4k-3，k Z又因为 2=T 8，所以当 k=3 时，的最小正整数值为 9故选:C.2 已知函数 f x=sin x+0,2的图象关于点 M-6,0及直线 l:x=3 对称，且f x在2,不存在最值，则 的值为()A.-3B.-6C.6D.3【答案】C【解析】根据对称得到 T=21+2

51、k,k N，根据没有最值得到 T ，得到 T=2，=1，再根据对称中心得到 =m+6,m Z，得到答案.【详解】函数 f x=sin x+0,2的图象关于点 M-6,0及直线 l:x=3 对称.则 T4+kT2=3+6=2,T=21+2k,k N.f x在2,不存在最值，则 T ，故 k=0 时满足条件，T=2，=1.f-6=sin-6+=0，则-6+=m,=m+6,m Z.29当 m=0 时满足条件，故 =6.故选：C.【变式训练】1(2022 年全国高考乙卷数学(理)试题变式题 13-16 题)已知函数 f(x)=sin x+6,0，若 f4=f 512且 f(x)在区间4,512上有最小

52、值无最大值，则 =【答案】4 或 10#10 或 4【分析】根据 f4=f 512可求出 f(x)的一条对称轴，根据该对称轴可求出 的表达式和可能取值，结合 y=sinx 的图像，根据 f(x)在区间4,512上有最小值无最大值判断 的取值范围，从而判断 的取值.【详解】f(x)满足 f4=f 512，x=4+5122=3 是 f(x)的一条对称轴，3 +6=2+k，=1+3k，k Z，0，=1,4,7,10,13,.当 x 4,512时，x+6 4 +6,512 +6，y=sinx 图像如图：要使 f(x)在区间4,512上有最小值无最大值，则：2 4 +6 3232 512 +6 52 4

53、 163或52 4 +6 7272 512 +6 92 283 525，此时 =4 或 10 满足条件；区间4,512的长度为：512-4=512-312=6，当 13 时，f(x)最小正周期 T=2 213 0,0 ，若 f-3=0，对任意 x R 恒有 f x f3，在区间15,5上有且只有一个 x1使 f x1=3，则 的最大值为()A.1234B.1114C.1054D.1174【答案】C【分析】根据 f x的零点和最值点列方程组，求得,的表达式(用 k 表示)，根据 f x1在15,5上有且只有一个最大值，求得 的取值范围，求得对应 k 的取值范围，由 k 为整数对 k 的取值进行验

54、证，由此求得 的最大值.【详解】由题意知-3 +=k1,3 +=k2+2,k1,k2 Z，则=3 2k+14,=2k+14,其中 k=k1-k2，k=k2+k1又 f x1在15,5上有且只有一个最大值，所以 5-15=215 2T，得 0 0,0,2，两个等式：f-4+x-f-4-x=0,f4-x+31f4+x=0 对任意的实数 x 均恒成立，且 f x在 0，316上单调，则 的最大值为A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】由函数 f x的图象关于直线 x=-4 和点4,0对称可得：4-4=T4+k T2 k N，即 =2k+1 k N，结合选项检验 =3 与 =1 即可.【详

55、解】因为两个等式：f-4+x-f-x-x=0,f4-x+f4+x=0 对任意的实数 x 均恒成立，所以 f x的图象关于直线 x=-4 和点4,0对称，所以 4-4=T4+k T2 k N，因为 T=2，所以 =2k+1 k N.因为 f x在 0,316上单调，所以 316-0=316 T2=，所以 163，由选项知，只需要验证 =3.4 当 =3 时，f x=Acos 3x+，因为 f4-x=-f4+x对任意的实数 x 均恒成立，所以 3 4+=k+2 k Z，因为 2，所以 =-4，所以 f x=Acos 3x-4，可以验证f x在 0,316上不单调，5 当 =1 时，f x=Acos

56、 x+，因为 f4-x=-f4+x对任意的实数 x 均恒成立，所以4+=k+2 k Z，因为 2 所以 =4 所以 f x=Acos x+4，可以验证 f x在0,316上单调，所以 w=1.故选 A.题型 11 多可能性分析型求 w【解题攻略】解决函数 f x=Asin x+综合性问题的注意点(1)结合条件确定参数 A,的值，进而得到函数的解析式(2)解题时要将 x+看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解(3)解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化321 函数 f(x)=sin(x+)0,|2，已知-6,0为 f(x)图象的一个对称中心，直线 x=1312为

57、 f(x)图象的一条对称轴，且 f(x)在1312,1912上单调递减记满足条件的所有 的值的和为 S，则 S 的值为()A.125B.85C.165D.185【答案】A【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到 1312 +6=T4+kT 或 1312+6=3T4+kT,k Z，由 f(x)在1312,1912上单调递减可以得到 1912 -1312 T2，算出 的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：1312 +6=T4+kT 或 1312+6=3T4+kT,k Z 54 =14+k 2 或 54=34+k 2 =25(1+4k)或 =25(3+4k),k Z f(x)在1312,1912

58、 上单调递减，1912 -1312 T2 2 12 2 2当 =25(1+4k)时，取 k=0 知 =25此时 f(x)=sin 25 x+15，当 x 1312,1912时，25 x+15 2,710满足 f(x)在1312,1912 上单调递减，=25 符合取 k=1 时，=2，此时 f(x)=sin 2x+3，当 x 1312,1912时，2x+3 52,72满足 f(x)在1312,1912 上单调递减，=2 符合当 k-1 时，2 也舍去当 =25(3+4k)时，取 k=0 知 =65 此时 f(x)=sin 65 x+5，当 x 1312,1912时，3365 x+5 32,211

59、0，此时 f(x)在1312,1912 上单调递增，舍去当 k-1 时，2 也舍去综上：=25 或 2，S=25+2=125.故选：A.2(北京市西城区北京师范大学附属实验中学 2021-2022 学年高三上学期 12 月月考数学试题)已知点 A 6,32,B 4,1,C2,0，若三个点中有且仅有两个点在函数 f x=sinx 的图象上，则正数 的最小值为.【答案】4【分析】由条件利用正弦函数的图象特征，进行分类讨论，求得每种情况下正数 的最小值，再进行比较从而得出结论【详解】若只有 A 6,32,B 4,1两点在函数 f(x)=sinx 的图象上，则有 sin 6=32，sin 4=1，si

60、n 2 0，则 6=2k+3,或 =2k+23,k Z 4=2k+2,k Z 2 k,k Z，即=12k+2,或 =12k+4,k Z=8k+2,k Z 2k,k Z，求得 无解若只有点 A 6,32,C2,0在函数 f(x)=sin(x)的图象上，则有 sin 6=32，sin 2=0，sin 4 1，故有 6=2k+3,或 6=2k+23,k Z 2=k,k Z 4 2k+2,k Z，即=12k+2,或 =12k+4,k Z=2k,k Z 8k+2,k Z，求得 的最小值为 4若只有点 B 4,1,C2,0在函数 f(x)=sinx 的图象上，则有 sin 6 32，sin 4=1，sin

61、 2=0，故有 4=2k+2,k Z 2=k,k Z 6 2k+3,且 6 2k+23,k Z，34即=8k+2,k Z=2k,k Z 12k+2 且 12k+4,k Z，求得 的最小正值为 10，综上可得，的最小正值为 4，故答案为：4【变式训练】1(北京市东城区 2021-2022 学年高三上学期数学试题)已知函数 f(x)=2sin(x+)(0)，曲线 y=f x与直线 y=3 相交，若存在相邻两个交点间的距离为 6，则 的所有可能值为【答案】2 或 10【分析】令 2sin(x+)=3，解得 x+=2k+3,k Z 或 x+=2k+23,k Z，根据存在相邻两个交点间的距离为 6，得到

62、 x 2-x 1=3w=6 或 x 2-x 1=53w=6，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数 f(x)=2sin(x+)(0)，曲线 y=f x与直线 y=3 相交，令 2sin(x+)=3，即 sin(x+)=32，解得 x+=2k+3,k Z 或 x+=2k+23,k Z，由题意存在相邻两个交点间的距离为 6，结合正弦函数的图象与性质，可得 23-3+2k=w(x 2-x 1),k Z，令 k=0，可得 x 2-x 1=3w=6，解得 w=2.或 73-23+2k=w(x 2-x 1),k Z，令 k=0，可得 x 2-x 1=53w=6，解得 w=10.故答案为：2 或 10.2

63、(上海市晋元高级中学 2022 届高三数学试题)已知 A=y y=sin n+,n Z，若存在 使得集合 A 中恰有 3 个元素，则 的取值不可能是()A.27B.25C.2D.23【答案】A【分析】利用赋值法逐项写出一个周期中的元素，再结合三角函数诱导公式判断是否存在 符合题意即可.【详解】解：对 A，当 =27，y=sin 27 n+，函数的周期为 T=2=227=7 在一个周期内，对 n 赋值35当 n=0 时，y=sin；当 n=1 时，y=sin 27+；当 n=2 时，y=sin 47+；当 n=3 时，y=sin 67+；当 n=4 时，y=sin 87+=sin-67+；当 n

64、=5 时，y=sin 107+=sin-47+；当 n=6 时，y=sin 127+=sin-27+；令 =2 时，sin=sin 2=1。sin 27+2=sin-27+2=cos 27。sin 47+2=sin-47+2=cos 47sin 67+2=sin-67+2=cos 67所以存在 使得 n=1 时的 y 值等于 n=6 时的 y 值，n=2 时的 y 值等于 n=5 时的 y 值，n=3 时的y 值等于 n=4 时的 y 值.但是当 n 等于 0、1、2、3 时，不存在 使得这个 y 值中的任何两个相等所以当 =27 时，集合 A 中至少有四个元素，不符合题意，故 A 错误；对

65、B，当 =25，y=sin 25 n+，函数的周期为 T=2=225=5在一个周期内，对 n 赋值当 n=0 时，y=sin；当 n=1 时，y=sin 25+；当 n=2 时，y=sin 45+；当 n=3 时，y=sin 65+=sin-45+；当 n=4 时，y=sin 85+=sin-25+；令 =2，sin 2=1sin 25+2=sin-25+2=cos 25。sin 45+2=sin-45+2=cos 45所以当 =25 时，符合题意，故 B 正确；对 C，当 =2，y=sin 2 n+，函数的周期为 T=2=22=4在一个周期内，对 n 赋值当 n=0 时，y=sin；当 n=

66、1 时，y=sin 2+=cos；当 n=2 时，y=sin +=-sin；当 n=3 时，y=sin 32+=-cos；36令 =0，则 sin0=-sin0=0，cos0=1，-cos0=-1所以当 =2 时，符合题意，故 C 正确；对 D，当 =23，y=sin 23 n+，函数的周期为 T=2=223=3在一个周期内，对 n 赋值当 n=0 时，y=sin；当 n=1 时，y=sin 23+；当 n=2 时，y=sin 43+；令 =0，sin0=0，sin 23=32，sin 43=-32所以当 =23 时，符合题意，故 D 正确.故选：A.3(2021 淮北二模)已知函数 f(x)

67、=2sin(x+)(0)满足 f4=2，f()=0，且 f(x)在区间4,3上单调，则满足条件的 个数为()A.7B.8C.9D.10【解答】解：设函数的最小正周期为 T，由于函数 f(x)=2sin(x+)(0)满足 f4=2，f()=0，故 T4-kT2=-4=34，解得 T=31+2k，所以 =2(1+2k)3(k Z)，由于函数 f(x)在区间4,3上单调，故 3-4 T2，故 T 6，=2T 12，即 2(1+2k)3 12，解得 k 172，由于 k N+，所以 k 取 0，1，2，3，4，5，6，7，8故 的取值为 9 个；故选：C题型 12 三角应用：三角双换元【解题攻略】形如

68、 x2+y2=a(a 0),x23+y2=t(t 0),x2-xy+y2=1，x2+y2+z2=a(a 0)等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是-1，1，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住 2 点：（1）设置的角度要使三角函数的范围为-1，1，37(2)根号要能直接开出来.就如本题来讲，令 x=cos,0,，此时 cos -1,1，sin 0，于是1-x2=1-cos2=sin=sin.1(2023全国高三专题练习)设 x、y R 且 3x2+2y2=6x，求 x2+y2的取值范围是.【答案】0,4【分析】解法一：利用条件 3

69、x2+2y2=6x，将 x2+y2转化为二次函数，进而可确定 x2+y2的范围解法二：由 3x2+2y2=6x 得 x-12+y232=1，设x-1=cosy=62 sin，则 x2+y2=-12 cos-22+92，再结合余弦函数及二次函数的性质计算可得.【详解】解法一：3x2+2y2=6x，y2=3x-32 x2 0，可得 0 x 2 x2+y2=x2+3x-32 x2=-12 x-32+92，令 f x=-12 x-32+92，x 0,2，显然函数 f x在 0,2上单调递增，f 0=0，f 2=4，即 f x 0,4，x2+y2的取值范围是 0,4解法二：由 3x2+2y2=6x 得

70、x-12+y232=1，设x-1=cosy=62 sin，即x=1+cosy=62 sin，则 x2+y2=1+2cos+cos2+32 sin2=1+2cos+32-12 cos2=-12 cos2+2cos+52=-12 cos-22+92令 t=cos，t -1,1，g t=-12 t-22+92，t -1,1，显然 g t在-1,1上单调递增，所以 g t 0,4，即-12 cos-22+92 0,4，所以 x2+y2的取值范围是 0,4.故答案为：0,42(2020江西校联考模拟预测)若等差数列 an满足 a21+a23=2，且 a1 1，求 a2+a3a1+a2的取值范围()A.(

71、-1,1)B.-1,1C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1 1,+)【答案】B【分析】设 a1=2cosa3=2sin，-,)，根据 a1 1 求出 的范围，利用等差中项的性质得到 a2，再利用同角公式可求得结果.38【详解】设 a1=2cosa3=2sin，-,)，又 a1 1，2cos 1，即 cos 22,1，-4,4，a2=a1+a32=22 cos+22 sin，a2+a3a1+a2=22 cos+22 sin+2sin2cos+22 cos+22 sin=3sin+cossin+3cos=3tan+1tan+3=3-8tan+3，又 -4,4，所以 tan -1,1，所以 3-

72、8tan+3 -1,1，a2+a3a1+a2-1,1故选：B【变式训练】1(2021宁夏石嘴山高三石嘴山市第三中学校考阶段练习)已知 a,b R，a2+b2=4，求 3a+2b 的取值范围为()A.-,4B.-2 13,2 13C.4,+D.-,-2 13 2 13,+【答案】B【分析】根据题意，设 a=2sin，b=2cos，那么 3a+2b=6sin+4cos，结合三角函数的有界限，即可得到答案.【详解】由题意知，a,b R 且 a2+b2=4，设 a=2sin，b=2cos，0,2)那么 3a+2b=6sin+4cos=62+42sin +=2 13sin +，其中 tan=23，因为

73、sin +的取值范围是-1,1，所以-2 13 3a+2b 2 13，即 3a+2b 的取值范围为-2 13,2 13.故选：B2(江西省抚州市金溪一中等七校 2021-2022 学年高三考试数学试题(B 卷)已知 x、y 满足 x23+y2=1，则 u=2x+y-4+3-x-2y的取值范围为()A.1，12B.0，6C.0，12D.1，13【答案】D【详解】由题意，令 x=3cos,y=sin，所以 2x+y=2 3cos+sin=13sin(+)4，所以 2x+y-4=4-2x-y，因为 x+2y=3cos+2sin=7sin(+)0,v 0 u=cos,v=sin,0,2因此 2x+1+

74、3y+1=2u+3v=2cos+3sin=13sin(+),tan=23,0,4因为 +，+2 sin(+)(sin,1,sin=213，所以 2 0 可得原不等式等价于 k 1+x1+x，两边平方，利用均值不等式求解即可.【详解】因为 x 0，所以1+x 0，所以不等式可化为 k 1+x1+x，设 =1+x1+x，x 0，则 0，则 2=1+x+2 x1+x=1+2 x1+x，因为 x 0，所以 1+x 2 x，当且仅当 x=1 时取等号，所以 2=1+2 x1+x 1+1+x1+x=2，即 0 2，所以 k 2,+)，故答案为：2,+)2(新疆莎车县第一中学 2022 届高三上学期第三次质

75、量检测数学试题)函数 y=x-4-x2 的值域为【答案】-2 2,2【分析】函数的定义域为-2,2，设 x=2cos 将原函数转化为关于 的三角函数，利用同角三角函数基本关系以及辅助角公式，余弦函数的性质即可求解.【详解】由 4-x2 0 可得-2 x 2，即函数的定义域为-2,2。所以设 x=2cos，0,，则 y=2cos-4-4cos2=2cos-2sin=2 222 cos-22 sin=2 2cos +4，因为 0,，所以 +4 4,54，所以 cos +4-1,22，所以 y=2 2cos +4-2 2,2，41所以函数 y=x-4-x2 的值域为-2 2,2，故答案为：-2 2,

76、2.3(2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(七)数学(理)试题)已知 a,b,c -4,4，则|a-b|+|b-c|+2|c-a|的最大值为.【答案】8【分析】设 x=|a-b|,y=|b-c|,z=|c-a|，不妨设 a b c，再利用三角换元，结合三角函数的有界性，即可得答案.【详解】设 x=|a-b|,y=|b-c|,z=|c-a|，不妨设 a b c，则 x2=a-b,y2=b-c,z2=a-c，故 x2+y2=z2，所以，可设 x=zcos,y=zsin 0 2，0 z 2 2，则x+y+2z=z(sin+cos+2)=z2sin +4+2 z(2+2)=2 2 2 2

77、=8，当且仅当 a=4,b=0,c=-4 时取等号即|a-b|+|b-c|+2|c-a|的最大值为 8.故答案为：8.题型 14 三角应用：圆代换型【解题攻略】圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应 x，正弦对应 y(x-a)2+(y-b)2=R2的参数方程是：x=Rcos+ay=Rsin+b1(上海市第二中学 2020-2021 学年高三下学期 5 月月考数学试题)知点 A(2,0)，点 P 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，将点 P 绕点 O 逆时针旋转 90 得点 Q，线段 AP 的中点为 M，则|MQ|的最大值是【答案】1+52【分析】设 P(cos,s

78、in)，则 Q(-sin,cos)，则 M2+cos2,sin2，从而得|MQ|=2+cos2+sin2+sin2-cos2，利用降幂公式、辅助角公式及平方关系化简，再根据正弦型函数得值域即可得解.【详解】解：由题可知，设 P(cos,sin)，则 Q(-sin,cos)，42因为 A(2,0)，所以线段 AP 的中点 M 得坐标为2+cos2,sin2，所以|MQ|=2+cos2+sin2+sin2-cos2=(cos+2)2+4sin(cos+2)+4sin2+sin2-4sincos+4cos24=9+4cos+8sin2=9+4 5sin(+)2，其中 tan=12，因为 sin(+)

79、-1,1，所以当 sin(+)=1 时，|MQ|取最大值为 1+52.故答案为：1+52.2 设圆 O:x2+y2=1 上两点 A x1,y1，B x2,y2满足：OA OB=-12，则 x1-2y1+x2-2y2 的取值范围是.【答案】152,15【解析】【分析】首先由数量积公式可得 AOB=120，再根据绝对值的几何意义得 h=x1-2y15+x2-2y25表示两点 A，B 分别到直线 x-2y=0 的距离之和，再以直线 x-2y=0 为 x 轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示 h，根据角的范围求值域.【详解】由 OA OB=-12，得 AOB=120.设 h=x1-2y15+x2-

80、2y25表示两点 A，B 分别到直线 x-2y=0 的距离之和.取直线 x-2y=0 为 x 轴重新建立直角坐标系后，则 h 表示两点 A，B 分别到 x 轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设 A cos,sin，B cos +120,sin +120则有 h=sin+sin +120.由对称性，不妨设点 B 在 x 轴上或上方，即-120 60.所以 h=sin+sin +120,0 60-sin+sin +120,-120 0，0 60 时，h=sin+sin +120=12 sin+32 cos=sin +60，得 +60 60,120，则 h 32,1，当-120 0 时，h=-sin

81、+sin +120=-32 sin+32 cos=-3sin -30，43-30 -150,-30，此时 h 32,3综上得32 h 3，从而得 x1-2y1+x2-2y2=5h 152,15.故答案为：152,15【变式训练】1 已知 A xA,yA是单位圆(圆心在坐标原点 O)上任一点，将射线 OA 绕 O 点逆时针旋转 3 到OB 交单位圆于点 B xB,yB，则 2yA-yB的最大值为.【答案】3【分析】设 A(cos,sin)，则 B cos +3,sin +3，代入要求的式子由三角函数的知识可得解【详解】设 A(cos,sin)，则 B cos +3,sin +3，2yA-yB=2

82、sin-sin +3=32 sin-32 cos=3sin -6，2yA-yB的最大值为3，故答案为：32 设圆 O:x2+y2=1 上两点 A x1,y1，B x2,y2满足：OA OB=-12，则 x1-2y1+x2-2y2的取值范围是.【答案】152,15【分析】首先由数量积公式可得 AOB=120，再根据绝对值的几何意义得 h=x1-2y15+x2-2y25表示两点 A，B 分别到直线 x-2y=0 的距离之和，再以直线 x-2y=0 为 x 轴重新建立直角坐标系后，利用三角函数表示 h，根据角的范围求值域.【详解】由 OA OB=-12，得 AOB=120.设 h=x1-2y15+x

83、2-2y25表示两点 A，B 分别到直线 x-2y=0 的距离之和.取直线 x-2y=0 为 x 轴重新建立直角坐标系后，则 h 表示两点 A，B 分别到 x 轴的距离之和.在新的直角坐标系下，设 A cos,sin，B cos +120,sin +120。则有 h=sin+sin +120.由对称性，不妨设点 B 在 x 轴上或上方，即-120 60.所以 h=sin+sin +120,0 60-sin+sin +120,-120 0，0 60 时，h=sin+sin +120=12 sin+32 cos=sin +60，得 +60 60,120，则 h 32,1，44当-120 0,0 ，

84、将函数f x的图象先向右平移 6 个单位长度，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，所得的图象与 y=cosx 图象重合，则()A.=12，=6B.=12，=3C.=2，=56D.=2，=3【答案】C【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换可得到变化后的函数解析式，结合所得的图象与 y=cosx 图象重合，求得参数，即得答案.【详解】将函数 f x的图象先向右平移 6 个单位长度后，得到 y=f x-6=sin x-6+=sin x-6 +的图象，再将横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 y=sin 2 x-6 +的图象，由于得到的函数的图象与 y=cosx 图象重合，故 =2，

85、-6 +=2+2k,k Z，所以 =56+2k k Z，又 0 ，所以 =56，故选：C2(湖南省长沙市长郡中学 2020-2021 学年高三上学期月考(二)数学试题)已知函数 f x=sin 3x+3-2sin x+cos 2x+2，其中 ，若 f x在区间6,23上单调递减，则 的最大值为【答案】56【详解】f x=sinx+2x+2-2sin x+cos 2x+2=sin x+，由 2k+2 x+2k+32，解得 2k+2-x 2k+32-，6 x 23 是其子集，故2k+2-62k+32-23，解得 2k+3 2k+56 ，由于 0)的图象的一个对称中心为(，0)，则 的取值范围为()

86、49A.13,+B.13,1C.13,+D.1,43【答案】C【分析】根据正弦型函数的对称性进行求解即可.【详解】由于函数 y=sin x+6(0)的图象的一个对称中心为,0，所以 +6=k k Z，所以 =k-6，由于 -2,0，则-2 k-6 0，所以可得：k-2k+13 0k Zk-2k+13k Z 13，故选：C4(2023安徽滁州安徽省定远中学校考一模)已知直线 x=-6 是函数 f x=2sin 2x+2图象的一条对称轴，则 f x在 0,2上的值域为()A.-1,1B.1,2C.-1,2D.-1,2【答案】D【分析】先由对称轴求出，再求 f x在 0,2上的值域即可.【详解】直线

87、 x=-6 是函数 f x=2sin 2x+2图象的一条对称轴，2 -6+=2+k，k Z，=56+k，k Z，0,(0,2)的一条对称轴为 x=-6，且 f(x)在,43上单调，则 的最大值为()A.52B.3C.72D.8350【答案】D【分析】函数 y=sin(x+)的对称轴可表示为：x=k-6(k Z)，f(x)在,43上单调可得 k0 Z，使得k0-6 k0+1-6 43，然后可得 67 k0 23 k0+1，即可分析出答案.【详解】函数 y=sin(x+)的对称轴可表示为：x=k-6(k Z)，f(x)在,43上单调可得 k0 Z，使得k0-6 k0+1-6 43，解得67 k0

88、23 k0+1又.0,k0=0,1,2,3，当 k0=3 时，可取最大值为 836(2023全国统考高考真题)已知函数 f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，直线 x=6 和 x=23 为函数 y=f x的图像的两条相邻对称轴，则 f-512=()A.-32B.-12C.12D.32【答案】D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入 x=-512 即可得到答案.【详解】因为 f(x)=sin(x+)在区间6,23单调递增，所以 T2=23-6=2，且 0，则 T=，w=2T=2，当 x=6 时，f x取得最小值，则 2 6+=2k-2，k Z，则 =2k-56，k

89、 Z，不妨取 k=0，则 f x=sin 2x-56，则 f-512=sin-53=32，故选：D.7(2020海南海口高三海南中学校考阶段练习)已知点 P1，P2为曲线 y=2sinx-cosx(x R)(常数 0)的两个相邻的对称中心，若该曲线在点 P1，P2处的切线互相垂直，则 的值为.【答案】33【分析】由 y=2sinx-cosx=3sin x-,tan=22,令 x-=k,k Z 可得对称中心为P1 ,0和 P2 +,0,利用导数求得斜率,使得 k1k2=-1,整理可得 22+2 22tan+2tan2=51tan2+1,进而求解.【详解】由题,y=2sinx-cosx=3sin

90、x-,tan=22,令 x-=k,k Z,当 k=0 时,一个对称中心为 P1 ,0；当 k=1 时,可得相邻的对称中心为 P2 +,0,因为 y=2sinx-cosx,所以 y=2cosx+sinx,所以 k1=2cos+sin,k2=2cos +sin +=-2cos-sin,所以 k1k2=-2cos+sin2=-1,即 22cos2+2 22sincos+2sin2=1,所以 22cos2+2 22sincos+2sin2=sin2+cos2,等式两边同时除以 cos2,得 22+2 22tan+2tan2=tan2+1,解得 =33,故答案为:338(四川省内江市威远县威远中学校 2

91、022-2023 学年高三数学试题)已知函数 f(x)=sin x+3(0)，若 f(x)在 0,23上恰有两个零点，且在-4,24上单调递增，则 的取值范围是.【答案】52,103【分析】由 f(x)在 0,23上恰有两个零点，令 x+3=k，k Z，可得53 2383 23，令-2+2k x+3 2+2k，k Z，可得 f(x)在-56,6上单调递增，从而有-56-46 24 0，联立求解即可得答案.【详解】解：由题意，令 x+3=k，k Z，得 x=3k-3，k Z，f(x)的第 2 个、第 3 个正零点分别为 53，83，53 2383 23，解得 52 0，解得 0 0)倍得到，若函

92、数 g(x)在2,32上没有零点，则 的取值范围是()A.0,49B.49,89C.49,89D.0,89【答案】A【分析】由函数 f(x)=cosx，根据三角函数的图象变换得到 g x=cos x-6，令 g x=cos x-6=0，结合函数零点存在的条件建立不等式求解即可.【详解】函数 f(x)=cosx，向右平移 6 个单位长度，得 y=cos x-6，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的 1(0)倍得到 g x=cos x-6，令 g x=cos x-6=0，得 x-6=k+2，所以 x=1 k+23，若函数 g(x)在2,32上没有零点，则需 T2 32-2=，所以 2

93、2，所以 0 1，若函数 g(x)在2,32上有零点，则 2 1 k+23 32，当 k=0 时，得 12 23 32，解得 49 43，当 k=1 时，得 12 53 32，解得 109 103，综上：函数 g(x)在2,32上有零点时，49 43 或 109 103，所以函数 g(x)在2,32上没有零点，0 0，|2，-4 为 f(x)的零点，且 f(x)f4恒成立，f(x)在区间-12,24上有最小值无最大值，则 的最大值是【答案】15【分析】由题意可得 x=4 是 y=f(x)图像的对称轴，而 x=-4 为 f(x)的零点，从而可得 2n+14 2=2，n Z，由 f(x)在区间-1

94、2,24上有最小值无最大值，可得周期 T 24+12=8，从而可求得 16，然后对 =15 进行检验即可53【详解】由题意知函数 f x=sin x+0，2，x=4 为 y=f(x)图象的对称轴，x=-4 为 f(x)的零点，2n+14 2=2，n Z，=2n+1 f(x)在区间-12，24上有最小值无最大值，周期 T 24+12=8，即 2 8，16 要求 的最大值，结合选项，先检验 =15，当 =15 时，由题意可得-4 15+=k，=-4，函数为 y=f(x)=sin 15x-4，在区间-12，24上，15x-4 -32，38，此时 f(x)在 x=-12 时取得最小值，=15 满足题意

95、则 的最大值为 15.故答案为：15.11(河北省衡水市第十四中学 2020-2021 学年高三四调数学试题)已知函数 f(x)=cos(x+)0，|2，x=-4 为 f(x)的零点，x=4 为 y=f(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，6上单调，则 的最大值为【答案】5【分析】先根据 x=-4 是 f x的零点，x=4 是 y=f x图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得 的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对 赋值验证找到适合的最大值即可【详解】由题意可得 4-4=k2 T+T4，即 2=2k+14 T=2k+14 2，解得 =2k+1,k N+，又因为 f x在18，6上

96、单调，所以 6-18=9 T2=12 2，即 9，因为要求 的最大值，令 =7，因为 x=4 是 y=f x的对称轴，所以 74+=k，k Z，又 2，解得 =4，所以此时 f x=cos 7x+4，f x在-28,328上单调递减，即 f x在18，,328上单调递减，在328，6上单调递增，故 f x在18，6不单调，同理，令 =5，f x=cos 5x-4，f x在20，520上单调递减，因为18，620，520，所以 f x在18，6单调递减，满足题意，所以 的最大值为 5.12(江苏省泰州中学 2020-2021 学年高三上学期第二次检测数学试题)已知非负实数 x，y 满足542x2

97、+4xy+2y2+x2y2=9，则 2 2(x+y)+xy 的最大值为.【答案】4 2+1【分析】由 2x2+4xy+2y2+x2y2=9，得 2(x+y)2+(xy)2=9，用换元法，令 x+y=32 sin，xy=3cos，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.【详解】由题意得：2(x+y)2+(xy)2=9，令 x+y=32 sin，xy=3cos，又 x，y 为非负实数，sin 0,cos 0(x+y)2=x2+y2+2xy 4xy，32 sin2 12cos，sin2 83 cos，即 1-cos2 83 cos，解得 0 cos 13，2 23 sin 1.故 2 2(x+y)

98、+xy=2 2m+n=6sin+3cos=3 5sin(+)(其中 sin=55)，cos=13，即 sin 2-=13 55，2-，即 +2又 y=sinx 在 0,2上单调递增，当 cos=13 时，+取得最大值，故当 sin=2 23，cos=13 时，2 2(x+y)+xy 取得最大值，最大值为 4 2+1.故答案为：4 2+113 函数 y=x+-x2+10 x-23 的最小值为【答案】5-2【分析】整理 y=x+-x2+10 x-23 得：y=x+2-x-52，利用 2-x-52 0 作三角换元得：x-5=2cos，0,，即可整理函数为：y=2sin +4+5，利用三角函数的性质即

99、可得解.【详解】原函数可化为：y=x+2-x-52.由 2-(x-5)2 0|x-5|2，令 x-5=2cos，0,那么 y=2cos+5+2sin=2sin +4+5.因为 +4 4,54，所以 sin +4-22,1，所以函数的最小值为 5-2.14(广东省清远市恒大足球学校 2020 届高三上学期九月月考数学试题)若 x2+y2=2，那么 2x-3y 的最大值为.【答案】26【分析】设 x=2sin,y=2cos，利用三角函数有界性得函数的最大值.【详解】设 x=2sin,y=2cos，所以 2x-3y=2 2sin-3 2cos 8+18=26，所以 2x-3y 的最大值为26.故答案为：265515 在同一个平面内，向量 OA,OB,OC的模分别为 1,1,2,OA与 OC的夹角为，且 tan=7,OB与 OC的夹角为 45，若 OC=mOA+nOBm,n R，则 m+n=【答案】3【详解】以 OA 为 x 轴，建立直角坐标系，则 A 1,0，由 OC的模为2 与 OA与 OC的夹角为，且 tan=7知，cos=210,sin=7 210，可得 C15,75,B cos +45,sin +45，B-35,45，由 OC=mOA+nOB可得15,75=m-35 n,45 n,15=m-35 n75=45 nm=54,n=74，m+n=3，故答案为 3.