上海市杨浦区2022届高三上学期一模试题（12月） 数学试题答案.pdf

1、1评分参考 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1.2.1,2 3.1 4.4 5.60 6.2 23 7.5 8.8 9.180 10.511.2 104 12.34n 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13.D 14.C 15.C 16.B 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）证明：因为 M、N 为线段11A B、11C B 的中点，所以 MN 11

2、AC.2 分 因为11AC AC，所以 MN AC.2 分 所以,A C N M 四点共面.2 分（2）作1C ECN于点 E，2 分 因为1CCAC，BCAC，所以 AC 平面11BCC B 又1C E 平面11BCC B，可得：1ACC E 由、得：1C E 平面 ACMN ENMC1B1A1CBA2连接 AE，则1C AE为直线1AC 与平面 ACNM 所成的角；2 分 由：190ACC，3CA、14CC，可得：15C A；由：190CC N，14CC，12C N，可得：14 24205C E2 分可得：1114 5sin25C EC AEC A，即14 5arcsin 25C AE所以

3、直线1AC 与平面 ACNM 所成角的大小为4 5arcsin 25 2 分 另解：以C 为坐标原点，CA、CB、1CC 所在直线为,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.2 分则(0,0,0)C，(3,0,0)A，1(3,0,4)A，1(0,4,4)B，1(0,0,4)C（1）证明：因为点 M、N 为线段11A B、11C B 的中点，所以3(,2,4)2M、(0,2,4)N所以：3(,0,0)2NM，(3,0,0)CA 所以：2CANM，即CA NM2 分 所以,A C N M 四点共面；2 分（2）解：直线1C A的一个方向向量为1(3,0,4)C A，2 分设平面 ACNM 的一个

4、法向量为(,)nu v w，向量(3,0,0)CA，向量(0,2,4)CN，由0n CA，0n CN可得：30u，且240vw，即0,2uvw 取平面 ACMN 的一个法向量为(0,2,1)n 2 分 3设直线1AC 与平面 ACNM 所成角为，则1144 5sin2555C A nC A n，2 分 所以直线1AC 与平面 ACNM 所成角的大小为4 5arcsin 25.2 分 18（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解：（1）()2 sin(2)04f xx，2 分解得：24xk，即28kxkZ，2 分又0,x，所以：38x、78，即函数()f x

5、在0,上的零点为 38、78.2 分（2）()sincosf xxx，2()(sincos)3cos2g xxxx1s i n 23 c o s 212 s i n(2)3xxx ，4 分因为0,4x所以52,336x，所以1sin(2),132x，2 分所以函数()g x 的值域为2,3.2 分 19（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）解（1）2111121214.455ama，2 分 32111214.414.8855ama，4 分 4 所以2a、3a 分别是14.4 和14.88毫克.（2）由条件：1am，*11 ()5nnaamnN，2 分 151

6、5()454nnamam，151044amm.所以54nam是以14 m为首项，15为公比的等比数列.2 分 1511445nnamm，即1511445nnamm,2 分 因为数列na单调递增，且5lim4nnam,所以 5254 m，即20m，所以m 的最大值为20.2 分 20（本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）解：（1）由122F F 可知：22c，即1c.由椭圆定义，1MNF的周长44 2a，即2a,所以：2221bac,2 分 所以椭圆C 的方程：2212xy.2 分（2）设(1,)pPy、(,)QQQ xy，由10Qx

7、 ，可得1Qx ，2 分由2112Qy，得：122QFQy，2 分 11211222F QPSF FFQ.2 分 NMF1F2OxyPQ5（3）若存在以1FQ、1F P 为邻边的矩形1F PEQ，使得点 E 在椭圆C 上。设(1,)PPy、(,)QQQ xy,向量1(2,)PF Py、1(1,)QQFQxy,因为 1F PEQ 为矩形所以111F PF QF E且11F PFQ ,2 分 所以 2,QPQE xyy且2(1)0QPQxy y,2 分 因为 点Q、E 在椭圆C 上,所以：222212212QQQPQxyxyy，2 分解得：1Qx 或22Qx （22 舍）,2 分所以满足要求的点Q

8、 横坐标为 1 或 22.21（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）解：（1）1()f x 与1()g x 具有性质(,2)P I,2 分 2()fx 与2()gx 不具有性质(,2)P I.2 分（2）证明：假设存在0 xR，使得0()0g xs，2 分 设函数()g x 的一个周期为T，由于定义域为 R，可以不妨设0T,则对一切*nN，均有0()g xnTs,由条件，对于02sa，存在区间(,)IM，6使得()()()g xf xg xa.2 分 在中取0MxnT，且*nN，则0(,)xnTM，由0()g xnTa，所以2ss，即0s 矛盾！假设错误，即()0g x.2 分（3）设一次函数为()(0)g xkxb k.则12bkxx对一切,1 mx恒成立.记：2F xxkxb，11Fkb，2111222mmmFkb，2F mmkmb 212321)1(21mkmmFmF,2 分 212132121)(mkmmmFmF.2 分 两式相减，得2212)1(212)(mFmFmF.故：21242m 解得2211 m.2 分 当且仅当 11FF m，112mF 时等号成立,此时：22 2k，22 2b ,所以：()22 222 2g xx时，m 取得最大值221.2 分