[32251457]解密09 平面向量（讲义）-【高频考点解密】2022年高考数学（理）二轮复习讲义 分层训练（全国通用）.docx

1、解密09 平面向量考点热度 内容索引核心考点1 平面向量的概念及线性运算核心考点2 平面向量的基本定理及坐标表示核心考点3 平面向量的数量积及向量的应用高考考点三年高考探源预测平面向量的概念及线性运算2021全国甲卷理科142021全国甲卷文科132021全国乙卷理科142021全国乙卷文科132020新课标全国142020新课标全国52019新课标全国 82019新课标全国 32019新课标全国III 13 从近五年的高考情况来看，本节在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理，平面向量基本定理的应用与坐标计算，以及向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题

2、，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，多以选择题、填空题形式考查，本节在高考中主要考查主要以小题的形式出现，难度不大平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的数量积及向量的应用核心考点一 平面向量的概念及线性运算考法 平面向量的概念及线性运算变式一 平面向量的概念1、（2021全国高一课时练习）给出如下命题：向量的长度与向量的长度相等；向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个公共终点的向量，一定是共线向量；向量与向量是共线向量，则点，必在同一条直线上其中正确的命题个数是（ ）A1B2C3D4【答案】B【解析】根据向量的基本概念，对每一个命题进行分

3、析与判断，找出正确的命题即可【详解】对于，向量与向量，长度相等，方向相反，故正确；对于，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故错误；对于，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故正确；对于，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故错误；对于，向量与是共线向量，点，不一定在同一条直线上，故错误综上，正确的命题是故选：B技巧点拨对于向量的概念问题：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件，要特别注意零向量的特殊性具体应关注以下六点：(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性(3)共线向量即

4、平行向量，它们均与起点无关(4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量(5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈(6)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量(7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.变式二 平面向量的线性运算1、（2022北京人大附中高二期末）如图，在四面体中，D为BC的中点，E为AD的中点，则可用向量，表示为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据向量加法的平行四边形法则（三角形的中线），即可将用，表示出来.【详解】连接，则即.故选：B

5、.2、（2022湖北高三期末）在中，点E满足，则（ ）ABC3D6【答案】B【解析】根据题中所给的条件 利用相应公式求得结果.【详解】中，所以，故选：B.3、（2022全国高三专题练习）已知是平面上的两个不共线向量，向量，若，则实数（ ）A6BC3D【答案】B【解析】两向量平行，则，结合是平面上的两个不共线向量列出方程组，求出的值.【详解】，向量，是平面上的两个不共线向量，故选：B技巧点拨平面向量的线性运算是高考考查的热点内容，题型以选择题、填空题为主，难度较小，属中、低档题，主要考查向量加法的平行四边形法则与三角形法则及减法的三角形法则或向量相等，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要

6、素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”常见的平面向量线性运算问题的求解策略：(1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来(2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.变式三 共线向量

7、定理及其应用1、（2021四川石室中学模拟预测（文）已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）A2BCD【答案】C【解析】由题意结合向量共线的充分必要条件整理计算即可求得最终结果.【详解】因为与共线，所以，所以.因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得.故选：C.2、（2021安徽合肥市第八中学高三阶段练习（文）如图，在中，P为上一点，且满足，则m的值为（ ）ABCD【答案】C【解析】结合几何关系得，由三点共线推论即可求解.【详解】由可得，即，因为三点共线，所以.故选：C技巧点拨共线向量定理的主要应用：（1）证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使a=b，则a与b共线【注】对于向量

8、共线定理及其等价定理，关键要理解向量a与b共线是指a与b所在的直线平行或重合向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个.（2）证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线【注】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足(x，yR)，则P，A，B共线xy=1.（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值核心考点二 平面向量的基本定理及坐标表示变式一 平面向量基本定理的应用1、（2020海南高二期末）如图，

9、在平行四边形中，相交于点，点在线段上，且，若（，），则（ ）ABCD【答案】C【解析】以为基底表示出，求得，从而确定正确答案.【详解】由为平行四边形，又，而（，），则故选：C.2、（2021全国全国模拟预测）如图，平面四边形ABCD中，则（ ）ABCD2【答案】B【解析】法一：构建以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴的直角坐标系，应用坐标表示，结合平面向量基本定理求x、y即可求值；法二：过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，利用向量加法的平行四边形法则可得求x、y，进而求值；法三：应用转化法，结合平面向量数量积的运算律、及已知条件构建方程求x、y即可.【详解】法

10、一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，由，则且，又，即，由，有，解得，故.法二：如图，过C作交AB的延长线于E，作交AD的延长线于F，.由，及，易知：B是线段AE的中点，于是.由，得，易知，则，故，于是，又，即.法三：设，由，得，由，得，又，则.又，于是，故.故选：B.技巧点拨1对平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础（2）平面向量的一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组（3）用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a=1e1

11、2e2的形式，是向量线性运算知识的延伸2应用平面向量基本定理表示向量的实质应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的3应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等4用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件

12、和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.变式二 平面向量的坐标运算1、（2019北京高三期末（文）已知向量，若 ，则实数的值为（ ）ABC2或D或1【答案】D【解析】利用向量共线可得，求解即可得解.【详解】因为向量，且 ，所以，即，解得或故选：D2、（2021四川省南充高级中学高二阶段练习（文）设a0，b0，若A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，则的最小值为（ ）A9B8C6D4【答案】B【解析】由向量共线得到，再由均值不等式得到，又因为，即可得到结果.【详解】共线， ，

13、；（当且仅当，即，时，等号成立）.故选：B.技巧点拨平面向量坐标运算的技巧1向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标2解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用.【注】（1）要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标（2）向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的变式三 平面向量共线的坐标表示及运算1、（2021辽宁丹东高

14、一期末）已知向量，若，则（ ）ABCD3【答案】C【分析】先根据向量平行得到正余弦间的关系，再弦化切，进而用正切和公式展开代入即可.【详解】因为，所以，易知，所以，所以.故选：C.2、（2017全国高二单元测试）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，m(a2，b2)，n(tan A，tan B)，且mn，那么ABC一定是()A锐角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰或直角三角形【答案】D【解析】由得, 结合正弦定理得即或,所以或,ABC是等腰或直角三角形,故选D.点睛:本题考查平面向量共线的坐标表示以及正弦定理解三角形的应用,属于中档题. 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径

15、：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换需要注意时有两种情况, 或,即三角形为等腰或直角三角形.3、（2020吉林辽源高三期末（理）若平面向量与向量平行，且，则（ ）ABC或D【答案】C【分析】求得后根据平行向量满足求解即可.【详解】由题.又且平面向量与向量平行.故,即或.故选：C【点睛】本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.技巧点拨平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式呈现，难度一般不大，属中低档题，且常见题型及求解策略如下：1利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 (

16、)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量2利用两向量共线求参数如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，则的充要条件是”解题比较方便3三点共线问题A，B，C三点共线等价于与共线4利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解.核心考点三 平面向量的数量积及向量的应用变式一 平面向量数量积的运算1、（2021黑龙江哈尔滨市第一中学校高三期末（理）已知向量，则下列说法错误的是（ ）A若，则的值为B的最小值为C若，则的值为D若与的夹角为钝角，则的取值范围是且【答案】A【解析】由平面向量共线的坐标表示可判断A选项；

17、利用平面向量模长的坐标表示可判断BC选项；分析可知且与不共线，求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，若，则，解得，A错；对于B选项，B对；对于C选项，因为，即，解得，C对；对于D选项，若与的夹角为钝角，则，解得，又因为与不共线，则，可得，故的取值范围是且，D对.故选：A.2、（2021湖南长沙一中高二期末）已知等边的边长为2，点、分别为、的中点，则（ ）ABCD【答案】D【解析】取为基底，利用平面向量基本定理表示出，进行数量积运算即可.【详解】在中，取为基底，则.因为点、分别为、的中点，所以.所以.故选：D技巧点拨平面向量数量积的类型及求法：1平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角

18、公式；二是坐标公式.2求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.【注】（1）在平面向量数量积的运算中，不能从ab=0推出a=0或b=0成立实际上由ab=0可推出以下四种结论：a=0，b=0；a=0，b0；a0，b=0；a0，b0，ab（2）实数运算满足消去律：若bc=ca，c0，则有b=a在向量数量积的运算中，若ab=ac(a0)，则不一定有b=c（3）实数运算满足乘法结合律，但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线变式二

19、平面向量数量积的应用1、（2022广西河池高二期末（文）若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）ABCD【答案】D【解析】依题意可得且与不共线，根据向量数量积的坐标表示及向量共线的充要条件得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以，解得且，所以；故选：D2、（2021四川凉山彝族自治州教育科学研究所一模（文）中，则在方向上的投影为（ ）ABCD【答案】A【解析】利用余弦定理求出的长，再利用平面向量数量积的几何意义可求得结果.【详解】由余弦定理可得，即，解得，因此，则在方向上的投影为.故选：A.技巧点拨平面向量数量积主要有两个应用：(1)求夹角的大小

20、：若a，b为非零向量，则由平面向量的数量积公式得(夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题(2)确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【注】在求的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角如在等边三角形ABC中，与的夹角应为120而不是60.变式三 平面向量的模及其应用1、（2021河南温县第一高级中学高三阶段练习（文）已知向量，若在上的投影为，则（ ）ABCD【答案】C【解析】由向量投影求得向量夹角的余弦值，然后把向量的模转化为数量积运算【详解】依题意

21、，故，故，故选：C.2、（2017浙江绍兴二模）向量，满足，若的最小值为，则（ ）A0B4C8D16【答案】C【解析】由已知得，然后把平方转化为数量积的运算，利用二次函数知识得最小值，从而求得【详解】，所以，由题意，解得故选：C3、（2021江西兴国县将军中学高二阶段练习（文）在中，且，则取最小值时的值为（ ）ABCD【答案】B【解析】对平方，利用平面向量的数量积公式和已知条件，可知，根据二次函数的性质，即可求出结果.【详解】因为所以当时，取最小值.故选：B.技巧点拨利用平面向量数量积求模及范围、求参数的取值或范围问题是高考考查数量积的一个重要考向，常以选择题、填空题的形式呈现，具有一定的综合

22、性，且平面向量的模及其应用的常见类型与解题策略如下：(1)求向量的模解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解(2)求模的最值或取值范围解决此类问题通常有以下两种方法：几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围(3)由向量的模求夹角此类问题的求解其实质是求向量模方法的逆运用.变式四 平面向量的应用1、（2021广东深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）A正方形B平行四边形C菱形

23、D梯形【答案】B【解析】根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.【详解】在四边形ABCD中， ，所以，且，所以四边形为平行四边形故选：B2、（2021江西高三阶段练习（文）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点为内一点（含边界），若，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】D【解析】设，以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围【详解】设，以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，所以，即.3、（2022全国高三专题练习）设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）

24、ABCD【答案】B【解析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.【详解】如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，设，在直角中，得，所以，令，得，又，得，所以，所以 ，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B故选：D.4、（2022北京人大附中高二期末）如图，正方体的边长为6，点，分别在边，上，且，点P在正方形的边上，且，则满足条件的点的个数是（ ）A0B2C4D6【答案】C【解析】建立平面直角坐标系，写出点和的坐标，分别在正方形的各条

25、边上设出点的坐标，根据向量数量积坐标运算得出关于的一元二次方程，判断该方程的解的个数即可.【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，建系如图：因为正方形边长为6，所以 若点在边上，设，则，即，无解；若点在边上，设，则，则或，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，即，故在边上有两个点满足条件；若点在边上，设，则，则或，故在边上有两个点满足条件；综上所述，共有6个点满足条件.故选：D.技巧点拨1向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量与函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题

26、通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法3向量的两个作用：(1)载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；(2)工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题4向量中有关最值问题的求解思路：一是“形化”，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是“数化”，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题【注】常见的向量表示形式：(1)重心若点G是的重心，则或(其中P为平面内任意一点)反之，若，则点G是的重心(2)垂心若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心(3)内心若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心(4)外心若点O是的外心，则或.反之，若，则点O是的外心.