江苏南菁高中、常州一中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司常州一中 2023-2024 第二学期阶段质量调研高二数学一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的，1.已知直线 1:210lxay=与直线 2:210lxy+=垂直，则 a=（）A.-1 B.1 C.2 D.4 2.已知()3f xx=，则0(1)(1)limxfxfx+=（）A.0 B.-3 C.2 D.3 3.抛物线212xy=的焦点坐标为（）A.1,04 B.1,08 C.10,4 D.10,8 4.设正项等比数列 na的前n 项和为nS，若32127Saa=+，则公比q 为（）A.2 或-3

2、 B.3 C.2 D.-3 5.若双曲线22221(0,0)yxabab=的渐近线方程为32yx=，且过点()2 2,3，则双曲线的标准方程为 A.22168yx=B.22186yx=C.22134yx=D.22143yx=6.已知等差数列 na和 nb的前n 项和分别为nnS T，若342nnsnTn+=+，则57210aabb+=+（）A.3713 B.11113 C.11126 D.3726 7.已知椭圆22:182xyC+=和点()2,1P，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，若四边形OAPB 为平行四边形，则直线l 的方程为（）A.5202xy=B.3202xy+=C.220 xy

3、=D.220 xy+=8.定义在 R 上的函数()f x 的导函数是()fx，对任意 R，有()()0fxf x，则“2x”的（）学科网（北京）股份有限公司A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 二多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.已知椭圆222:1(1)xCyaa+=的上顶点为 B，左右焦点分别为12,F F，则下列说法正确的是（）A.若12BFBF，则2a=B.若椭圆C 的离心率为32，则2a=C.当2a=时，过点1F

4、 的直线被椭圆C 所截得的弦长的最小值为 12 D.若直线1BF 与椭圆C 的另一个交点为11,2A BFF A=，则232a=10.已知等差数列 na的首项12a=，公差8d=，在 na中每相邻两项之间都插入k 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 nb，以下说法正确的是（）A.86nan=B.当3k=时，2nbn=C.当3k=时，29b不是数列 na中的项 D.若9b 是数列 na中的项，则k 的值可能为 7 11.若函数()21xf xe=+，其导函数为()fx，则下列说法正确的是（）A.函数()f x 没有极值点 B.()fx是奇函数 C.点()0,1 是函数()f x 的

5、对称中心 D.(),10 xR x f x 三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 12.已知1F，2F 为椭圆22:1164xyC+=的两个焦点，P 是椭圆C 上的点，且120PF PF=，则三角形12PF F学科网（北京）股份有限公司的面积为_.13.数列 na满足：()*1122,Nnnnaaann+=，12a=，720a=；令12nnnba=，则数列 nb的前n 项和为_.14.过点(),P a b 可以作函数()lnf xx=两条互相垂直的切线，则实数a 的取值范围是_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.（13 分

6、）已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足21nnSa=.（1）求数列 na的通项公式；（2）已知22lognnnbaa=+，求数列 nb的前 n 项和为nT.16.（15 分）（1）已知函数()()212 ln22f xxa xx a=+R，在区间()1,2 上存在减区间，求a 的取值范国；（2）已知函数()()3211132af xxxax=+.讨论函数的单调性；17.（15 分）已知正项数列 na满足()*111,2nnnaaana+=+N.（1）证明：数列11na+是等比数列；（2）若12nnnnba a+=，数列 nb的前n 项和为nS.证明：1nS.18.（17 分）已知函数2(

7、)ln3()f xxaxx aR=+.（1）若函数()f x 在点(1,(1)f处的切线方程为=2y，求函数()f x 的极值；（2）若1a=，对于任意12,1,10 x x，当12xx恒成立，求实数m 的取值范围.19.（17 分）如图，已知椭圆22122:1(0)xyEabab+=与椭圆222:1124xyE+=有相同的离心率，点()3,1P在椭圆1E 上.过点 P 的两条不重合直线 12,l l 与椭圆1E 相交于,Q H 两点，与椭圆2E 相交于,A B 和,C D 四点.学科网（北京）股份有限公司（1）求椭圆1E 的标准方程；（2）求证：APDBQDSS=；（3）若BQDPDHBP=

8、，设直线 12,l l 的倾斜角分别为,，求证：+为定值.学科网（北京）股份有限公司参考答案单选题 1-8BDDB CACA 7.【详解】由于()2212182+=，所以 P 在椭圆C 上，设OP 的中点为 D，则11,2D，则直线 AB 过点D，且 D 是 AB 的中点，设()()1122,A x yB xy，则：222211221,18282xyxy+=+=，两式相减并化简得121212122184yyyyxxxx+=+，所以12121212111,242yyyyxxxx=，即直线 AB 的斜率为12，所以直线 AB 也即直线l 的方程为()111,22022yxxy+=.故选：C 9.【

9、答案】ABD【详解】对于A 项，若12BFBF，因12BFBF=，可得1bc=，则2a=，故A 项正确；对于 B 项，由2222132aea=可解得：2a=，故 B 项正确；对于 C 项，2a=时，椭圆22:14xCy+=，因过点1F 的直线被椭圆C 所截的弦长的最小值为通径长，即22112ba=，故C 项错误；对于D 项，如图，因为()()10,1,0BFc，设点(),A m n，由112BFF A=可得()(),12,cmc n=+，解得：31,22cA，代入椭圆222:1xCya+=中，可得2291144ca+=，即()2291344aa=，解得：232a=，D项正确.10.【答案】AB

10、D【详解】对于 A，由题意得()28186nann=+=，A 正确；对于 B，新数列的首项为 2，公差为1024=2，故()2212nbnn=+=，B 正确；对于 C，由 B 选项知2958b=，令8658n=，则8n=，即29b是数列 na的第 8 项，C 错误；对于 D，插入k 个数，则1122323434,kkkab ababab+=，则等差数列 na中的项在新的等差数列 nb中对应的下标是以 1 为首项，1k+为公差的等差数列，于是()()111nnkab+=，而9b 是数列 na的项，令()()1119nk+=，当7k=时，2n=，D 正确.故选：ABD 11.【答案】ACD 学科网

11、（北京）股份有限公司12.根据椭圆定义可知1228PFPFa+=，由勾股定理可得22212448PFPFc+=，所以可得()()2221212122644816PFPFPFPFPFPF=+=，因此可得三角形12PF F 的面积为12142SPFPF=.故答案为：4 13.【详解】数列 na满足：()*1122,Nnnnaaann+=，即为1121nnnnaaaaaa+=，所以 na是等差数列，设公差为d，由12a=，720a=，可得2620d+=，解得3d=，则23(1)31nann=+=，112(31)2nnnnban=，数列 nb的前n 项和为012212 25 28 2(34)2(31)

12、2nnnSnn=+，23122 25 28 2(34)2(31)2nnnSnn=+，上面两式相减可得()12123 222(31)2nnnSn=+()12 1 223(31)21 2nnn=+，化简可得()4342nnSn=+.14.(0,1 或者()0,1 15.答案：（1）当1n=时，1121aa=-，解得11a=，当2n 时，1121nnSa=，式子-得122nnnaaa=，故12nnaa=，因为110a=，所以0na，所以12nnaa=，所以 na是以 1 为首项，2为公比的等比数列，所以12nna=；（2）212log41nnnnbaan=+=+，()()012144440 1221

13、1 41114nnnTnn n=+=()14132nn n=+.16.【答案】（1）1,2()22afxxx=+，若函数()f x 在区间()1,2 上存在减区间，等价于()1,2x，使得()220afxxx=+成立，可得()1;2x）使得222xxa=，故 12a ，解得12a，则a的取值范围为1,2.（2）()()3211132af xxxax=+定义域为()()()R,11fxxax=+，令()0fx=得1xa=或1x=当11a时，令()0fx得1x 或1xa，令()0fx得11ax 即2a 得1xa 或1x ，令()0fx得 11xa 时，()f x 在()1,1a单调递减，在()()

14、,1,1,a+上单调递增，当2a=时，()f x在 R 上单调递增：当2a，所以1nS，函数()f x 单调递增，学科网（北京）股份有限公司当1,12x时，()0fx可变形为()()1212mmf xf xxx，即()()1212mmf xf xxx因为12,1,10 x x，且12xx，所以函数()myf xx=在1,10上单调递减.令2()()ln3,1,10mmh xf xxxxxxx=+则21()230mh xxxx=+在1,10 x上恒成立，即3223mxxx+在1,10 x上恒成立 设32()23F xxxx=+，则2211()661622F xxxx=+=+.因为当1,10 x时

15、，()0F x，所以函数()F x 在1,10上单调递减，所以32min()(10)2 103 10101710F xF=+=，所以1710m，即实数m 的取值范围为(,1710.19.（1）由题意知，两椭圆有相同的离心率，则有22412ba=，223ab，又点()3,1P在椭圆1E 上，有22311ab+=，解得226,2ab=，所以椭圆1E 的标准方程为22162xy+=.（2）要证APDBQDSS=，即证 APBQ=，设()()()(),AABBPPQQA xyB xyP xyQ x y，学科网（北京）股份有限公司当直线 1l 斜率不存在时，由椭圆对称性可知 APBQ=成立，当直线 1l

16、 斜率存在时，设斜率为1k，则 AB 方程为()113ykx=，由()12213162ykxxy =+=得()()()222211113166 33 1360kxkkxk+=，()2211122113 1366 36,3131pQPQkkkxxx xkk+=+，由()122131124ykxxy =+=得()()()222211113166 33 13120kxkkxk+=，()2211122113 13126 36,3131ABABkkkxxx xkk+=+，得PQABxxxx+=+，PABQxxxx=，211PAAPkxx=+，211BQBQkxx=+，则有 APBQ=.所以APD与 BQ

17、D等底等高，有APDBQDSS=.（2）由（2）可知 APBQ=，同理有 CPDH=，由|BQDPDHBP=，可得|APDPCPBP=，则有 APBPCPDP=，设直线CD 的斜率为2k，直线CD 方程为()213ykx=，设()(),CCDDC xyD xy，由()222131124ykxxy =+=得()()()222222223166 33 13120kxkkxk+=，()2222222223 13126 36,3131CDCDkkkxxx xkk+=+，222211CPDPCPDPkxxkxx=+，221111APBPAPBPkxxkxx=+，所以()()222111CPDPAPBPkxxxxkxxxx+=+，即()()()()22222111CDPCDPABPABPkx xxxxxkx xxxxx+=+，化简得21221222113131kkkk+=+，即2122kk=，由题意21kk，所以120kk+=，所以+=.