圆锥曲线40个专题学生版.pdf

1、专题 1：曲线与方程的概念一、单选题1.设方程(x+y-3)x2+y2-2x=0 表示的曲线是()A.一个圆和一条直线B.一个圆和一条射线C.一个圆D.一条直线2.方程 C：y2=x2+1x2 所对应的曲线是()A.B.C.D.3.在平面直角坐标系中，定义 d A,B=max x1-x2,y1-y2为两点 A x1,y1，B x2,y2的“切比雪夫距离”，又设点 P 及 l 上任意一点 Q，称 d P,Q的最小值为点 P 到直线 l 的“切比雪夫距离”，记作 d P,l，给出下列三个命题：对任意三点 A、B、C，都有 d C,A+d C,B d A,B；已知点 P 3,1和直线 l：2x-y-

2、1=0，则 d P,l=43；到定点 M 的距离和到 M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.其中正确的命题有()A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个4.方程x-1 ln x2+y2-1=0 所表示的曲线的图形是()A.B.C.D.5.如果命题“坐标满足方程 f x,y=0 的点都在曲线 C 上”不正确，那么以下正确的命题是()A.曲线 C 上的点的坐标都满足方程 f x,y=0B.坐标满足方程 f x,y=0 的点有些在 C 上，有些不在 C 上C.坐标满足方程 f x,y=0 的点都不在曲线 C 上D.一定有不在曲线 C 上的点，其坐标满足方程 f x,y=06.已知直线 l 的

3、方程是 f x,y=0，点 M x0,y0不在直线 l 上，则方程 f x,y-f x0,y0=0 表示的曲线是()A.直线 lB.与 l 垂直的一条直线C.与 l 平行的一条直线D.与 l 平行的两条直线第 1 页 共 158 页7.方程 3y2-xy=1 表示的曲线满足()A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.以上说法都不对8.方程 x-1=1-y-12 表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一个圆D.两个半圆二、多选题9.已知点 A,B 的坐标分别是(-1,0),(1,0)，经过点 A,B 的直线相交于点 M，且它们的斜率分别为 k1,k2，下列命题是真命题的

4、有()A.若 k1+k2=2，则 M 的轨迹是椭圆(除去两个点)B.若 k1-k2=2，则 M 的轨迹是抛物线(除去两个点)C.若 k1 k2=2，则 M 的轨迹是双曲线(除去两个点)D.若 k1 k2=2，则 M 的轨迹是一条直线(除去一点)三、填空题10.设函数 y=f(x)由方程 x|x|+y|y|=1 确定，下列结论正确的是(请将你认为正确的序号都填上)f(x)是 R 上的单调递减函数；对于任意 x R，f(x)+x 0 恒成立；对于任意 a R，关于 x 的方程 f(x)=a 都有解；f(x)存在反函数 f-1(x)，且对任意 x R，总有 f(x)=f-1(x)成立.11.关于曲线

5、 C:x2-xy+y2=4，给出下列四个结论：曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴、y 轴对称；曲线 C 恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点都不在圆 x2+y2=3 的内部；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2其中，正确结论的序号是12.已知点 P(x,y)在以原点为圆心的单位圆上运动，则点 Q(xy,x+y)的轨迹方程是13.已知命题 p:方程 x2-2y2-2x-1=0 表示的图形是双曲线的一支和一条直线；命题 q:已知椭圆 E:y29+x2=1,过点 P 12,12的直线与椭圆 E 相交于 A、B 两点,且弦 AB 被点 P 平分,则直

6、线 AB 的方程为 9x+y-5=0.则下列四个命题 p q;p q;p (q);(p)q 中,是真命题的是(只写出序号).第 2 页 共 158 页14.关于曲线 C,1x2+1y2=1，有如下结论：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线 x y=0 对称；曲线 C 是封闭图形，且封闭图形的面积大于 2；曲线 C 不是封闭图形，且它与圆 x2+y2=2 无公共点；曲线 C 与曲线 D:|x|+|y|=2 2 有 4 个交点，这 4 点构成正方形其中所有正确结论的序号为15.关于曲线 C:x2+y4=1 的下列说法：(1)关于点(0,0)对称；(2)关于直线 x 轴对称；(3)关于直线 y

7、=x 对称；(4)是封闭图形，面积小于；(5)是封闭图形，面积大于；(6)不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是16.平面直角坐标系中，A(-1,0),B(1,0)，若曲线 C 上存在一点 P，使 PA PB 0上不同的两点，且 OA OB，点 D 1，2且 OD AB 于点 D.(1)求 p 的值；(2)过 x 轴上一点 T t，0t 0的直线 l 交 C 于 M x1，y1，N x2，y2两点，M，N 在 C 的准线上的射影分别为 P，Q，F 为 C 的焦点，若 SPQF=2SMNF，求 MN 中点 E 的轨迹方程.7.若动点 M 到定点 A 0,1与定直线 l:y=3 的距离之和为

8、4.(1)求点 M 的轨迹方程，并画出方程的曲线草图；(2)记(1)得到的轨迹为曲线 C，问曲线 C 上关于点 B 0,t(t R)对称的不同点有几对？请说明理由.第 4 页 共 158 页8.已知直线 x=-2 上有一动点 Q，过点 Q 作直线 l，垂直于 y 轴，动点 P 在 l1上，且满足 OP OQ=0(O 为坐标原点)，记点 P 的轨迹为 C(1)求曲线 C 的方程；(2)已知定点 M-12，0，N12，0，点 A 为曲线 C 上一点，直线 AM 交曲线 C 于另一点 B，且点 A 在线段 MB 上，直线 AN 交曲线 C 于另一点 D，求 MBD 的内切圆半径 r 的取值范围9.已

9、知 C1：(x-1)2+y2=1，C2：(x+1)2+y2=25(1)若直线 L 与 C1相切，且截 C2的弦长等于 2 21，求直线 L 的方程(2)动圆 M 与 C1外切，与 C2内切，求动圆 M 的圆心 M 轨迹方程10.如图，设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px p 0上原点以外的两个动点，已知 OA OB，OM AB求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线11.设椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为22，已知 A a,0、B 0,-b，且原点到直线 AB 的距离等于 2 33.，()求椭圆 E 的方程；()已知过点 M 1,0的直线交椭圆 E 于 C、D 两点

10、，若存在动点 N，使得直线 NC、NM、ND 的斜率依次成等差数列，试确定点 N 的轨迹方程.第 5 页 共 158 页12.已知抛物线 C：x2=2y，过点 Q(1,1)的动直线与抛物线 C 交于不同的两点 A,B，分别以 A,B 为切点作抛物线的切线 l1、l2，直线 l1、l2交于点 P.(1)求动点 P 的轨迹方程；(2)求 PAB 面积的最小值，并求出此时直线 AB 的方程.13.已知点 A-2,0，B 2,0，动点 S x,y满足直线 AS 与 BS 的斜率之积为-34，记动点 S 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程，并说明曲线 C 是什么样的曲线；(2)设 M，N 是曲线

11、 C 上的两个动点，直线 AM 与 NB 交于点 P，MAN=90.求证：点 P 在定直线上；求证：直线 NB 与直线 MB 的斜率之积为定值.14.已知点 A 1,0，E，F 为直线 x=-1 上的两个动点，且 AE AF，动点 P 满足 EP OA，FO OP(其中 O 为坐标原点).(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 相交于两不同点 M、N，如果 OM ON=-4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点的坐标.15.已知椭圆 C 的方程为 x2+y22=1，点 P(a，b)的坐标满足 a2+b22 1，过点 P 的直线 l 与椭圆交于 A B两点，点 Q

12、为线段 AB 的中点，求：(1)点 Q 的轨迹方程；(2)点 Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数.第 6 页 共 158 页16.已知点 A(-2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为-14 记 M 的轨迹为曲线C(1)求曲线 C 的方程，并说明是什么曲线；(2)设直线 l 不经过点 P(0,1)且与曲线 C 相交于点 D E 两点若直线 PD 与 PE 的斜率之和为 2，证明：l 过定点17.在直角坐标系内，点 A，B 的坐标分别为-2,0，2,0，P 是坐标平面内的动点，且直线 PA，PB 的斜率之积等于-14，设点 P 的轨迹为 C.(1)求轨迹 C

13、的方程；(2)设过点 1,0且倾斜角不为 0 的直线 l 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求证：直线 AM，BN 的交点在直线 x=4 上.18.过椭圆 C 外一点 P x0,y0作椭圆 C:x25+y24=1 的切线 l1，l2，切点分别为 A，B，满足 l1 l2.(1)求 P 的轨迹方程(2)求 ABP 的面积(用 P 的横坐标 x0表示)(3)当 P 运动时，求 ABP 面积的取值范围.第 7 页 共 158 页专题 3：用方程研究曲线的性质一、单选题1.方程为 2x2-4x+y4=2 的曲线，给出下列四个结论：关于 x 轴对称；关于坐标原点对称；关于 y 轴对称；1-2 x 1+2

14、，-2 y 2；以上结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.42.如图，半椭圆 x2a2+y2b2=1(x 0)与半椭圆 y2b2+x2c2=1(x 0)组成的曲线称为“果圆”，其中 a2=b2+c2,a 0,b c 0.A1,A2和 B1,B2分别是“果圆”与 x 轴，y 轴的交点.给出下列三个结论：2c a 2b；若 A1A2=B1B2，则 a:b:c=5:4:3；若在“果圆”y 轴右侧部分上存在点 P，使用 A1PA2=90，则 12 ca 0的点的轨迹称为双纽线 C.已知点 P x0,y0是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有()双纽线经过原点 O；双纽线 C 关于原点 O 中心对

15、称；-a2 y0 a2；双纽线 C 上满足 PF1=PF2的点 P 有两个.A.B.C.D.7.曲线 C 为：到两定点 M-2,0、N 2,0距离乘积为常数 16 的动点 P 的轨迹.以下结论正确的个数为()(1)曲线 C 一定经过原点；(2)曲线 C 关于 x 轴、y 轴对称；(3)MPN 的面积不大于 8；(4)曲线 C 在一个面积为 64 的矩形范围内.A.1B.2C.3D.48.已知曲线 C：x xa2-y yb2=1，下列叙述中错误的是()A.垂直于 x 轴的直线与曲线 C 只有一个交点B.直线 y=kx+m(k,m R)与曲线 C 最多有三个交点C.曲线 C 关于直线 y=-x 对

16、称D.若 P1(x1,y1)，P2(x2,y2)为曲线 C 上任意两点，则有 y1-y2x1-x2 0第 9 页 共 158 页9.关于曲线 C:x4+y2=1，给出下列四个命题：曲线 C 关于 x 轴对称；曲线 C 关于直线 y=x 对称；点 P(k,k-2)(k 0)可能在曲线 C 上；曲线 C 围成的面积小于；上述命题中，真命题的个数为()A.1B.2C.3D.410.笛卡尔 牛顿都研究过方程 x-1x-2x-3=xy，关于这个方程表示的曲线有下列说法，其中正确的有()A.该曲线不关于 y 轴对称B.该曲线关于原点对称C.该曲线不经过第三象限D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数

17、二、多选题11.双纽线最早于 1694 年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系 xOy中，把到定点 F1-a,0，F2 a,0距离之积等于 a2 a 0的点的轨迹称为双纽线 C.已知点 P x0,y0是双纽线 C 上一点，下列说法中正确的有()A.双纽线 C 关于 x 轴对称B.-a2 y0 a2C.双纽线 C 上满足 PF1=PF2的点 P 有两个D.PO的最大值为2a12.在平面直角坐标系 xOy 中，P x,y为曲线 C:x2+4y2=2+2 x+4 y上一点，则()A.曲线 C 关于原点对称B.x -1-3,1+3C.曲线 C 围成的区域面积小于 18D.P

18、 到点 0,12的最近距离为3213.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线 C:x2+y23=16x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论正确的是()A.曲线 C 经过 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)B.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2C.曲线 C 围成区域的面积大于 4D.方程 x2+y23=16x2y2(xy 0)表示的曲线 C 在第一象限和第三象限第 10 页 共 158 页14.数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我

19、们熟悉的 符号，我们把形状类似 的曲线称为“曲线”.经研究发现，在平面直角坐标系 xOy 中，到定点 A(-a,0)，B(a,0)距离之积等于 a2(a 0)的点的轨迹 C 是“曲线”.若点 P x0,y0是轨迹 C 上一点，则下列说法中正确的有()A.曲线 C 关于原点 O 中心对称；B.x 的取值范围是-a,a；C.曲线 C 上有且仅有一个点 P 满足|PA|=|PB|；D.PO2-a2的最大值为 2a2.15.关于曲线 y24+x x=1 的以下描述，正确的是()A.该曲线的范围为：y R，x 1B.该曲线既关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称C.该曲线与直线 2x+y=0 有两个公共点

20、D.该曲线上的点到坐标原点的距离的最小值为 116.已知曲线 C 的方程是 x-xx2+y-yy2=2，则下列结论正确的是()A.曲线 C 与两坐标轴有公共点B.曲线 C 既是中心对称图形，又是轴对称图形C.若点 P,Q 在曲线 C 上，则 PQ的最大值是 4 2D.曲线 C 围成的面积为 8+4三、填空题17.在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程 C1:x+y=1；C2:x4+y4=1，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线 C1关于 y=x 对称；乙：曲线 C2关于原点对称；丙：曲线 C1与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S1 12；丁：曲线

21、C2与坐标轴在第一象限围成的图形面积 S2 0.当 m=1 时，曲线 W1与 W2有 4 个公共点；当 0 m 1，曲线 W1围成的区域面积等于 W2围成的区域面积；m 0，曲线 W1围成的区域内整点(即横、坐标均为整数的点)个数不少于曲线 W2围成的区域内整点个数.其中，所有正确结论的序号是20.在平面直角坐标系中，关于曲线 y2=x3-2x+1，下列说法中正确的有该曲线是有界的(即存在实数 a,b,使得对于曲线上任意一点 A x,y，都有 x a，|y|b 成立)；该曲线不是中心对称图形；该曲线是轴对称图形；直线 x=m m 0与该曲线至少有 1 个公共点.21.数学中的数形结合，也可以组

22、成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线 C：x2+y23=16x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线 C 经过 5 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2；曲线 C 围成区域的面积大于 4；方程 x2+y23=16x2y2 xy 0表示的曲线 C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是第 12 页 共 158 页22.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+xy 就是其中之一(如图)给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 6 个整点(即横纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上

23、存在到原点的距离超过2 的点；曲线 C 所围成的“心形”区域的面积小于 3其中，所有错误结论的序号是23.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 C:x2+y2=1+|xy|就是其中之一(如图)，给出下列三个结论：曲线 C 恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过2.曲线 C 所围成的“花形”区域的面积小于 4.其中，所有正确结论的序号是24.已知曲线 C 的方程x225+y29=1，给出下列 4 个结论：曲线 C 是以点(-4,0)和(4,0)为焦点的椭圆的一部分；曲线 C 关于 x 轴、y 轴、坐标原点 O 对称；若点 P(x,y)在曲

24、线 C 上，则 x 5，|y|3；曲线 C 围成的图形的面积是 30其中，所有正确结论的序号是25.已知曲线 C 的方程 2x4+y=4，有以下说法：曲线 C 过原点曲线 C 与 x 轴有两个交点曲线 C 关于 x 轴，y 轴对称 P(x,y)为曲线 C 上任意一点，则 y 4其中全部正确的是第 13 页 共 158 页专题 4：椭圆的定义与方程一、单选题1.如图所示，已知椭圆 C:x24+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2，点 M 与 C 的焦点不重合，分别延长 MF1,MF2到 P,Q,使得 MF1=23 F1P，MF2=23 F2Q，D 是椭圆 C 上一点，延长 MD 到 N，QD

25、=35 QM+25 QN，则 PN+QN=()A.10B.5C.6D.32.如图所示，在圆锥内放入两个球 O1，O2，它们都与圆锥相切(即与圆锥的每条母线相切)，切点圆(图中粗线所示)分别为 C1，C2.这两个球都与平面 相切，切点分别为 F1，F2，丹德林(GDandelin)利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的交线为椭圆，F1，F2 为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为 30，C1，C2的半径分别为 1，4，点 M 为 C2上的一个定点，点 P 为椭圆上的一个动点，则从点 P 沿圆锥表面到达 M 的路线长与线段 PF1的长之和的最小值是()

26、A.6B.8C.3 3D.4 3第 14 页 共 158 页3.已知椭圆 x24+y2b2=1 0 b b 0的两个焦点 F1，F2与短轴的两个端点 B1，B2都在圆 x2+y2=1 上，P 是 C 上除长轴端点外的任意一点，F1PF2的平分线交 C 的长轴于点 M，则 MB1+MB2的取值范围是()A.2,5B.2,6C.2,7D.2,2 26.已知 F1、F2是椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点，点 P 是椭圆上任意一点，以 PF1为直径作圆 N，直线 ON 与圆 N 交于点 Q(点 Q 不在椭圆内部)，则 QF1 QF2=()A.2 3B.4C.3D.17.已知 F 是椭圆 x2a2

27、+y2b2=1(a b 0)的一个焦点，若直线 y=kx 与椭圆相交于 A,B 两点，且 AFB=60，则椭圆离心率的取值范围是()A.32，1B.0，32C.0，12D.12，18.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左右焦点分别为 F1，F2，点 A 是椭圆上一点，线段 AF1的垂直平分线与椭圆的一个交点为 B，若 AB=3F2B，则椭圆 C 的离心率为()A.13B.33C.23D.639.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x-4y=0 交椭圆 E于 A，B 两点，若|AF|+|BF|=4，点 M 到直线 l

28、 的距离等于 45，则椭圆 E 的焦距长()A.2B.2 3C.3D.4第 15 页 共 158 页10.一光源 P 在桌面 A 的正上方，半径为 2 的球与桌面相切，且 PA 与球相切，小球在光源 P 的中心投影下在桌面产生的投影为一椭圆，如图所示，形成一个空间几何体，且正视图是 RtPAB，其中 PA=6，则该椭圆的短轴长为()A.6B.8C.4 3D.311.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)，F1,F2为左右焦点，点 P(2,3)在椭圆 C 上，F1PF2的重心为 G，内心为 I，且有 PM=(x-1)2+y2=x2-2x+1+4-2x2=6-(x+1)2(为实数)，则

29、椭圆方程为()A.x28+y26=1B.x216+y24=1C.x29+5y227=1D.x210+y25=1二、填空题12.圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 所在平面上与 P 不重合的一个定点，P 是圆上任意一点，线段 PA 的垂直平分线 l 和直线 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是椭圆；双曲线；抛物线；圆；一个点13.已知椭圆x216+y2=1 的左右焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上任意一点，过 F2作 F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为点 Q，过点 Q 作 y 轴的垂线，垂足为 N，线段 QN 的中点为 M，则点 M 的轨迹方程为14.点 F 为椭

30、圆 x29+y28=1 的右焦点，M 在椭圆上运动，点 P 1,-2，则 MPF 周长的最大值为15.如图，把椭圆 x216+y29=1 的长轴 AB 八等分，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则 P1F+P2F+P3F+P7F的值为第 16 页 共 158 页16.已知椭圆 C：x29+y24=1，点 M 与 C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A,B，线段MN 的中点在 C 上，则 AN+BN=_17.已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 M 4,4，若点 P 为椭圆 C 上的一个

31、动点，则 PM-PF1的最小值为18.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点为 F，直线 x=m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点.当 ABF 的周长最大时，ABF 的面积为 b2，则椭圆 C 的离心率 e=19.一动圆 M 与圆 C1：x+12+y2=25 内切，且与圆 C2：x-12+y2=1 外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是20.若复数 z 满足 z+i+z-i=4，则 z 在复平面内对应点的轨迹方程是(结果要求化简)21.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，点 P 为椭圆 C 上一点，满足 F1F2 PF2=0，PF1F2

32、的面积为 2 33，直线 PF1交椭圆 C 于另一点 Q，且 PF1=3F1Q，则椭圆 C 的标准方程为22.圆 x2+y2=1 的切线与椭圆 x24+y23=1 交于两点 A,B 分别以 A,B 为切点的 x24+y23=1 的切线交于点 P，则点 P 的轨迹方程为第 17 页 共 158 页专题 5：椭圆的对称性一、单选题1.椭圆 x29+y28=1 的左右焦点为 F1，F2，P 为椭圆上第一象限内任意一点，F1关于 P 的对称点为 M，关于F2的对称点为 N，则 MF1N 的周长为()A.8B.10C.16D.222.如图，椭圆 C 的方程为 x24+y23=1，F1，F2分别为椭圆的左

33、、右焦点，点 P、Q 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且 PF1 QF2，则 PF1+QF2的取值范围为()A.2,4B.3,4C.1,4D.1.5,43.椭圆 x24+y23=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过 F2作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，过 P 与原点 o 的直线交椭圆于另一点 Q，则 F1PQ 的周长为()A.4B.8C.4+13D.2+134.已知 A、B 分别是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点，M、N 是椭圆 C 上两点关于 x 轴对称，若 AM、BN 的斜率之积为 49，则椭圆 C 的离心率是()A.63B.53C.5 39D.5 295.已知

34、椭圆 x216+y29=1 及以下 3 个函数：f(x)=x；f(x)=sinx；f(x)=cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有()A.1 个B.2 个C.3 个D.0 个6.设椭圆 :x2a2+y2b2=1(a b 0)，若四点 P1(1,1)，P2(0,1)，P3-1,32，P4 1,32中恰有三点在椭圆 上，则不在 上的点为()A.P1B.P2C.P3D.P4第 18 页 共 158 页7.设 P、Q 是椭圆 x24+y2=1 上相异的两点.设 A 2,0、B 0,1.命题甲：若 AP=AQ，则 P 与 Q 关于 x 轴对称；命题乙：若 BP=BQ，则 P 与 Q 关于 y

35、 轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是()A.甲和乙都是真命题B.甲是真命题，乙是假命题C.甲是假命题，乙是真命题D.甲和乙都是假命题8.若点 A，B 是椭圆 x24+y2=1 上关于原点对称的两点，F 是椭圆的右焦点，则 ABF 面积的最大值是()A.4B.2 3C.2D.39.已知椭圆 C：x24+y23=1，其左右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上一动点，则满足 F1PF2为 45 的点 P有()A.0 个B.1 个C.2 个D.4 个10.椭圆的离心率为22，F 为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与 F 关于直线 y=x+4 对称，则椭圆的方程为()A.x218+y

36、29=1B.x29+y218=1C.x218+y29=1 或 x29+y218=1D.x28+y24=1 或 x24+y28=1二、填空题11.已知椭圆 x22+y2=1 上存在相异两点关于直线 y=x+t 对称，请写出两个符合条件的实数 t 的值12.如图，两个椭圆 x225+y29=1,x29+y225=1 内部重叠区域的边界记为曲线 C,P 是曲线 C 上任意一点，给出下列三个判断：P 到 F1(-4,0),F2(4,0),E1(0,-4),E2(0,4)四点的距离之和为定值；曲线 C 关于直线 y=x,y=-x 均对称；曲线 C 所围成区域面积必小于 36.上述判断中所有正确命题的序号

37、为第 19 页 共 158 页13.已知椭圆 x24+y2=1，P 是椭圆的上顶点，过点 P 作直线 l，交椭圆于另一点 A，设点 A 关于原点的对称点为 B，则 SPAB的最大值为14.如图，已知 F1,F2分别是椭圆 x24+y23=1 的左，右焦点，A，B，C 是椭圆上 x 轴上方的三点，且 AF1 BO CF2(O 为坐标原点)，则 AF1+CF2OB的取值范围是15.已知椭圆 x2a2+y2=1 的左、右焦点为 F1、F2，点 F1关于直线 y=-x 的对称点 P 仍在椭圆上，则 PF1F2的周长为16.椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点 F(c，0)关于直线 y=b

38、c x 的对称点 Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是三、双空题17.已知椭圆的方程为 x29+y24=1，过椭圆中心的直线交椭圆于 A,B 两点，F2是椭圆右焦点，则 ABF2的周长的最小值为，ABF2的面积的最大值为第 20 页 共 158 页四、解答题18.已知椭圆 x24+y23=1，试确定的 m 取值范围，使得对于直线 y=4x+m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.19.已知椭圆 x22+y2=1 上两个不同的点 A、B 关于直线 y=mx+12 m 0对称(1)若已知 C 0,12，M 为椭圆上动点，证明：MC102；(2)求实数 m 的取值范围；(3)求 AOB 面积的最大值(O

39、为坐标原点)20.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 1,32，离心率为 12，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若点 P x0,y0(y0 0)在椭圆 C 上，求证；直线 PF2与直线 PF1关于直线 l：x0 x4+y0y3=1 对称.第 21 页 共 158 页专题 6：椭圆的离心率问题一、单选题1.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，I，G 分别为 PF1F2的内心和重心，当 IG x 轴时，椭圆的离心率为()A.13B.12C.32D.632.第

40、 24 届冬季奥林匹克运动会，将在 2022 年 2 月 4 日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”(先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会)国家根据规划，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点 A 和短轴一端点 B 分别向内层椭圆引切线 AC，BD(如图)，且两切线斜率之积等于-916，则椭圆的离心率为()A.34B.74C.9

41、16D.323.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的右焦点和上顶点分别为点 F c,0b c和点 A，直线 l:6x-5y-28=0 交椭圆于 P,Q 两点，若 F 恰好为 APQ 的重心，则椭圆的离心率为()A.22B.33C.55D.2 554.设椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的焦点为 F1，F2，P 是椭圆上一点，且 F1PF2=3，若 F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为 R，r，当 R=4r 时，椭圆的离心率为()A.45B.23C.12D.155.已知 F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 F1PF2=3，则椭圆和双曲线的离心率倒数

42、之和的最大值为()A.4 33B.3 34C.2D.2 3第 22 页 共 158 页6.已知 F1(-c,0)，F2(c,0)为椭圆 x2a2+y2b2=1 的两个焦点，P(不在 x 轴上)为椭圆上一点，且满足 PF1 PF2=c2，则椭圆离心率的取值范围是()A.33,22B.13,12C.33,1D.0,227.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的左右焦点分别为 F1，F2，点 Q 为椭圆上一点.QF1F2的重心为 G，内心为 I，且 GI=F1F2，则该椭圆的离心率为()A.12B.22C.13D.23二、填空题8.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦

43、点分别为 F1，F2，点 P 为椭圆 C 上不与左右顶点重合的动点，设 I，G 分别为 PF1F2的内心和重心.当直线 IG 的倾斜角不随着点 P 的运动而变化时，椭圆 C 的离心率为9.如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球 O2的半径分别为 3 和 1，球心距离 O1O2=8,截面分别与球 O1，球 O2切于点 E，F，(E，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于10.设椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a

44、b 0)的左、右顶点分别为 A，B，P 是椭圆上不同于 A，B 的一点，设直线AP，BP 的斜率分别为 m，n，则当 ab 3-23mn+2mn+3(ln|m|+ln|n|)取得最小值时，椭圆 C 的离心率是11.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点为 F，经过坐标原点 O 的直线交椭圆于 A B 两点，M、N 分别为线段 AF、BF 的中点，若存在以 MN 为直径的圆恰经过坐标原点 O，则椭圆的离心率的取值范围为第 23 页 共 158 页12.已知斜率为 1 的直线 l 经过椭圆 M:x2a2+y2b2=1 的左焦点，且与椭圆 M 交于 A，B 两点，若椭圆 M 上存

45、在点 C，使得 ABC 的重心恰好是坐标原点，则椭圆 M 的离心率 e=13.已知中心在原点的椭圆 C 的一个端点为 A3,0，直线 l:y=2x+1.若 C 上存在相异的两点 M，N 关于 l 对称，则椭圆 C 离心率的取值范围是14.已知点 P 为直线 ax+y-4=0 上一点，PA,PB 是椭圆 C:x2a2+y2=1 a 0的两条切线，若恰好存在一点 P 使得 PA PB，则椭圆 C 的离心率为15.已知点 P 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上一点，过点 P 的一条直线与圆 x2+y2=a2+b2相交于 A,B 两点，若存在点 P，使得|PA|PB|=a2-b2，则椭圆的

46、离心率取值范围为16.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0左顶点为 A，O 为坐标原点，若椭圆上存在点 M 使 OM MA，则椭圆的离心率 e 的取值范围是17.已知 F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 F1PF2=4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为18.已知椭圆 C1:x2a21+y2b21=1(a1 b1 0)与双曲线 C2:x2a22-y2b22=1(a2 0,b2 0)有相同的焦点 F1、F2，点 P 是两曲线的一个公共点，e1,e2分别是两曲线的离心率，若 PF1 PF2，则 4e12+e22的最小值为第 24 页 共 158 页专题 7：椭

47、圆中的定点问题1.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)，点 M2,1在椭圆上，椭圆 E 上存在点 N 与左焦点 F 关于直线 y=x 对称(1)求椭圆 E 的方程；(2)若 A B 为椭圆的左、右顶点，过点 T(4,m)(m 0)的直线 TA，TB 与椭圆相交于点 P Q 两点，求证：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标.2.已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 M 1,32，且其右焦点与抛物线 C2:y2=4x 的焦点 F 重合，过点 F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于 P，Q 两点(1)求椭圆 C1的方程；(2)设 O 为坐标原点，线段 OF 上是否存在

48、点 N(n,0)，使得 QP NP=PQ NQ？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，说明理由；(3)过点 P0(4,0)且不垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A，B 两点，点 B 关于 x 轴的对称点为 E，试证明：直线 AE 过定点3.已知椭圆：x24+y2=1，斜率为 k 的直线 l 与椭圆 有两个不同的公共点 A、B，的左、右焦点分别为 F1、F2.(1)若直线 l 经过点 F1，求 ABF2的周长；(2)若 k=1，求 AOB 面积的取值范围；(3)若 k=1，P-4,0，直线 PA 与椭圆 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 的另一个交点为 D，求证：直线 CD 过定点，并求出

49、定点的坐标.第 25 页 共 158 页4.已知椭圆 :x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为22，M 是椭圆上的动点，MF1F2的最大面积为 1(1)求椭圆 的方程；(2)求证：过椭圆 :x2a2+y2b2=1(a b 0)上的一点 T x0,y0的切线方程为：x x0a2+y y0b2=1；(3)设点 P 是直线 l:x=2 上的一个动点，过 P 做椭圆 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 是否过定点？若是，求出这个定点坐标，否则，请说明理由5.已知椭圆 C：x22+y2=1 的右焦点为 F，过点 F 的直线(不与 x 轴重合)与椭圆 C 相

50、交于 A，B 两点，直线 l：x=2 与 x 轴相交于点 H，过点 A 作 AD l，垂足为 D.(1)求四边形 OAHB(O 为坐标原点)的面积的取值范围.(2)证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E 的坐标.6.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0过点 2,0，离心率为 12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设点 M 为椭圆 C 的上顶点，A、B 是椭圆 C 上两个不同的动点(不在 y 轴上)，直线 MA、MB 的斜率分别为 k1、k2，且 k1k2=3，求证：直线 AB 过定点 N 0,-533.7.已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1 a b 0过 A-2,0、B 0,

51、1两点.(1)求椭圆 M 的离心率；(2)设椭圆 M 的右顶点为 C，点 P 在椭圆 M 上(P 不与椭圆 M 的顶点重合)，直线 AB 与直线 CP 交于点 Q，直线 BP 交 x 轴于点 S，求证：直线 SQ 过定点.第 26 页 共 158 页8.已知 F 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左焦点，焦距为 4，且 C 过点 P3,1.(1)求 C 的方程;(2)过点 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2，若 l1与 C 交于 A,B 两点，l2与 C 交于 D,E 两点，记 AB 的中点为 M,DE 的中点为 N，试判断直线 MN 是否过定点，若过点，请求出定点坐标;若不过

52、定点，请说明理由.9.如图，已知椭圆 C：x2a2+y2=1 a 1的左焦点为 F，直线 y=kx k 0与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 FA FB=0 时，k=33.(1)求 a 的值；(2)设线段 AF，BF 的延长线分别交椭圆 C 于 D，E 两点，当 k 变化时，直线 DE 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.10.已知斜率为的 34 的直线 l 与椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0交于点 A,B，线段 AB 中点为 D-1,1，直线 l 在 y 轴上的截距为椭圆 C 的长轴长的 716 倍.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 P,Q,M,N 都

53、在椭圆上，且 PQ,MN 都经过椭圆 C 的右焦点 F，设直线 PQ,MN 的斜率分别为 k1,k2，k1+k2=-1，线段的中点分别为 G,H，判断直线 GH 是否过定点，若过定点.求出该定点，若不过定点，说明理由.11.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x23+y2=1 的左顶点为 A，点 P、Q 是椭圆 C 上的两个动点(1)当 P、O、Q 三点共线时，直线 PA、QA 分别与 y 轴交于 M，N 两点，求 AM AN的值；(2)设直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1，k2，当 k1k2=-1 时，证明：直线 PQ 恒过一个定点 R第 27 页 共 158 页12.已知：椭圆 C:

54、x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点为 F1 F2，椭圆 C 截直线 x=c 所得线段 MN 的长为2，三角形 F1MN 的周长为 4 2.(1)求 C 的方程；(2)若 A，B 为 C 上的两个动点，且 AF2M=BF2M.证明：直线 AB 过定点，并求定点的坐标.13.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，直线 y=x+6 与圆 x2+y2=b2相切.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 交于 A、B 两点(A、B 不是左、右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点，证明：直线 l 过定点，并求出该定点坐标14

55、.已知 P 0,1为椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上的一点，焦距长为 2 PA、PB 为椭圆的两条动弦，其倾斜角分别为，且 +=4 0 4，0 b 0)的离心率为32，且经过点 A(2,0).()求椭圆 C 的方程；()不过点 A 的直线 l 与椭圆交于 P,Q 两点，以线段 PQ 为直径的圆经过点 A，证明：直线 l 过定点.第 28 页 共 158 页专题 8：椭圆中的定值问题1.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P 是椭圆 C 上一点，且 PF1F2的周长是 6(1)求椭圆 C 的方程；(2)设斜率为 k 的直

56、线交 x 轴于 T 点，交曲线 C 于 A，B 两点，是否存在 k 使得 AT2+BT2为定值，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由2.已知 F1，F2分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，M 为 C 上的动点，其中 M 到 F1的最短距离为 1，且当 MF1F2的面积最大时，MF1F2恰好为等边三角形.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)斜率为 k 的动直线 l 过点 F2，且与椭圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，那么，PF2|AB|是否为定值？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由.3.已知椭圆 x2a2+y2b2

57、=1(a b 0)的左焦点为 F，过 F 的直线 x-4 3y+3=0 与椭圆在第一象限交于 M 点，O 为坐标原点，三角形 MFO 的面积为34(1)求椭圆的方程；(2)若 ABC 的三个顶点 A，B，C 都在椭圆上，且 O 为 ABC 的重心，判断 ABC 的面积是否为定值，并说明理由4.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a 0,b 0)的离心率为 12，并且经过 P 0，3点(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过点 P 的直线与 x 轴交于 N 点，与椭圆的另一个交点为 B，点 B 关于 x 轴的对称点为 B，直线 PB 交 x 轴于点 M，求证：OM ON为定值第 29 页 共 15

58、8 页5.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A，B，上顶点为 D，过右焦点 F(1,0)的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，点 P 在 x 轴上方，当 PQ x 轴时，OP AD(O 为坐标原点).(1)求椭圆 C 的标准方程.(2)设直线 AP 交直线 BQ 于点 M，直线 BP 交直线 AQ 于点 N，则 MFN 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.6.已知经过原点 O 的直线与离心率为22 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0交于 A，B 两点，F1、F2是椭圆 C 的左、右焦点，且 AF1F2面积的最大值为 1.(1)求椭圆

59、C 的标准方程；(2)如图所示，设点 P 是椭圆 C 上异于左右顶点的任意一点，过点的椭圆 C 的切线与 x=-2交于点 M.记直线 PF1的斜率为 k1，直线 MF2的斜率为 k2，证明：k1 k2为定值，并求出该定值.7.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的一个焦点和抛物线 y2=12x 的焦点相同，且椭圆过点-2,2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 y=kx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 OA，OB 为邻边作平行四边形 OACB，点 C 在椭圆上，问平行四边形 OACB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由.第 30 页 共 158 页8

60、.以椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的中心 O 为圆心，a2+b2 为半径的圆称为该椭圆的“准圆”已知椭圆 C 的长轴长是短轴长的2 倍，且经过点(2,1)，椭圆 C 的“准圆”的一条弦 AB 所在的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点(1)求椭圆 C 的标准方程及其“准圆”的方程；(2)当 OM ON=0 时，证明:弦 AB 的长为定值9.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，且过点 P 1,32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A，B 是椭圆 C 上的两点，且直线 OA，OB 的斜率之积为-34，点 M 为线段 OA 的中点，连接 BM 并延长

61、交椭圆 C 于点 N，求证：SOMBSAMN 为定值.10.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右两个焦点分别是 F1，F2，焦距为 2，点 M 在椭圆上且满足 MF2 F1F2，MF1=3 MF2.()求椭圆 C 的标准方程；()点 O 为坐标原点，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且 OA OB，证明1|OA|2+1|OB|2 为定值，并求出该定值.11.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的焦距为 2 3，且过点 A3,12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于 M 点

62、，若 MA=1AF，MB=2BF，求证：1+2为定值.第 31 页 共 158 页12.已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点，OA+OB与 a=3,-1共线(1)求椭圆的离心率；(2)设 M 为椭圆上任意一点，且 OM=OA+OB,R，证明：2+2为定值13.已知 F1，F2为椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，点 P 1,2 33在椭圆上，且过点 F2的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，AF1B 的周长为 4 3.(1)求椭圆 E 的方程；(2)对于椭圆 E，问否存在实数，使得 AF2+BF2=A

63、F2 BF2成立，若存在求出 的值；若不存在，请说明理由.14.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率 e=12，D 1,32为椭圆上一点.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 F 为椭圆 C 的右焦点，过点 F 的直线 l 交椭圆(异于椭圆顶点)于 A、B 两点，试判断1AF+1BF是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.第 32 页 共 158 页专题 9：椭圆中的定直线问题1.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0过点6,1，且离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过右焦点 F 且不与 x 轴重合的直线与椭圆交于 M，N 两点，已知 D 3,0

64、，过 M 且与 y 轴垂直的直线与直线 DN 交于点 P，求证：点 P 在一定直线上，并求出此直线的方程.2.已知点 P 是离心率为 12 的椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)上位于第一象限内的点，过点 P 引 x 轴、y 轴的平行线，交 y 轴、x 轴于 M，N 两点，交直线 y=-ba x 于 Q，R 两点，记 OMQ 与 ONR 的面积分别为 S1，S2，且 S1+S2=3()求椭圆的方程；()设椭圆 C 的上、下顶点分别为 B1，B2，过点 D 0,1的直线与椭圆相交于 E，F 两点，证明：直线 EB2，FB1的交点 G 在一定直线上，并求出该直线方程3.已知椭圆 C:x2

65、a2+y2b2=1 a b 0的右焦点 F1与抛物线 y2=4x 的焦点重合，原点到过点 A a,0,B 0,-b的直线距离是 2 217(1)求椭圆 C 的方程(2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且只有一个公共点 P，过 F1作 PF1的垂线与直线 l 交于点 Q，求证：点 Q 在定直线上，并求出定直线的方程第 33 页 共 158 页4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为63，且过点 0,1如图所示，斜率为 k k 0且过点-1,0的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于

66、点 G，若 F 在射线 OE 上，且 OG2=OE OF(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求证：点 F 在定直线上5.已知椭圆 C:x24+y22=1，点 P 4,1为椭圆外一点(1)过原点作直线交椭圆 C 于 M、N 两点，求直线 PM 与直线 PN 的斜率之积的范围；(2)当过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于两个不同点 A、B 时，线段 AB 上取点 Q，满足 AP QB=AQ PB，证明：点 Q 总在某定直线上6.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12,A,B 分别是它的左、右顶点，F 是它的右焦点，过点 F 作直线与 C 交于 P,Q(异于 A,B)

67、两点，当 PQ x 轴时，APQ 的面积为 92.(1)求 C 的标准方程;(2)设直线 AP 与直线 BQ 交于点 M，求证:点 M 在定直线上.7.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右顶点分别为点 A，B，且 AB=4，椭圆 C 离心率为 12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的右焦点，且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，直线 AM，BN 的交于点 Q，求证：点 Q 在直线 x=4 上.第 34 页 共 158 页8.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率 e=12，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上的动点，PF的最大值

68、为 3.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，过点 F 作直线交椭圆 C 于 M，N 两点，直线 AM、BN 交于点 T，试探究点 T 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.9.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为 2 3.(1)求 a，b 的值；(2)当过点 P 6,0的动直线 l 与椭圆 C 交于不同的点 A，B 时，在线段 AB 上取点 Q，使得 AP BQ+AQ BP=0，问点 Q 是否总在某条定直线上？若是

69、，求出该直线方程，若不是，说明理由.10.如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2上顶点为 A，过点 A 与 AF2垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q，且 F1恰是 QF2的中点，若过 A，Q，F2三点的圆与直线 l:x-3y-3=0 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M，N 为椭圆 C 的长轴两端点，直线 m 过点 P 4,0交 C 于不同两点 G，H，证明：四边形 MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程第 35 页 共 158 页11.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右

70、顶点，AB=2 2，离心率 e=22.F 是右焦点，过 F 点任作直线 l 交椭圆于 M，N 两点.(1)求椭圆的方程；(2)试探究直线 AM 与直线 BN 的交点 P 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由.12.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，F1，F2分别为 E 的左、右焦点，过 E 的右焦点 F2作 x 轴的垂线交 E 于 A，B 两点，F1AB 的面积为2(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在与 x 轴不垂直的直线 l 与 E 交于 C，D 两点，且弦 CD 的垂直平分线过 E 的右焦点 F2？若存在，求出直线 l 的

71、方程；若不存在，请说明理由第 36 页 共 158 页专题 10：椭圆中的范围问题1.已知椭圆 C：x24+y2=1，直线 y=kx 与椭圆 C 交于 A,A1两点，点 A x1,y1位于第一象限，B x2,y2是椭圆 C 上一点，且 AB AA1，设 D x1,-y12(1)证明：A1,D,B 三点共线；(2)求 AA1B 面积的最大值2.如图，过椭圆 x22+y2=1 的左右焦点 F1,F2分别做直线 AB,CD，交椭圆于 A,B,C,D 四点，设直线 AB 的斜率为 k(k 0)(1)求|AB|(用 k 表示)；(2)若直线 AB,CD 的斜率之积为-12，求四边形 ACBD 面积的取值

72、范围3.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，且经过点 A2,62.设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆 C 上的一个动点(异于椭圆 C 的左、右端点).(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P 作椭圆 C 的切线 l，过点 F1作 l 的垂线，垂足为 Q，求 QF1F2面积的最大值.第 37 页 共 158 页4.已知离心率为32 的椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的两个焦点分别为 F1、F2过 F1的直线交椭圆于 A、B 两点，且 ABF2的周长为 8(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若过点 P m,0m 1作圆 O:x2+y2=

73、1 的切线 l 交椭圆 E 于 M、N 两点，求 MNO 面积的最大值5.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，且过点 P 1,32，设 M F 分别是椭圆 E 的左、右焦点(1)是椭圆 E 的标准方程；(2)若椭圆 E 上至少有个不同 11 的点 Pi(i=1,23,)，使得 FP1，FP2，FP3，组成公差为 d 的等差数列，求公差 d 的取值范围(3)若过右焦点 F 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点，过左焦点 M 的直线交椭圆 E 于 C，D 两点，且 AB CD，求 AB+CD的最小值6.已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a b 0)的一个焦点为 F

74、(-1,0)，且椭圆 M 过点 T 1,32(1)求椭圆 M 的方程；(2)过点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 P，Q，求 FPQ 面积的最大值第 38 页 共 158 页7.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点 1,e，且 e=32，其中 e 为椭圆 C 的离心率.若 A，B 分别是椭圆 C 的上顶点与右顶点，动直线 y=kx k 0与椭圆 C 交于 E，F 两点，其中点 E 在第一象限.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 AEB，AFB 的面积分别为 S1，S2，求 S2S1 的最小值，并求出此时 k 的

75、值.8.已知 F1，F2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，弦 AB 经过点 F2，若 AF2=2 F2B，tanAF1B=34，且 F1F2B 的面积为 2(1)求椭圆的方程；(2)若直线 y=k x-11 k 2，与 y 轴交于点 P，与椭圆 C 交于 M，N 两点，线段 MN 的垂直平分线与 y 轴交于点 Q，求 MNPQ的取值范围9.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0经过一点 1，32，左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆上一动点，当 PF2垂直于 x 轴时，PF2=12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过点 F1，斜率为 k 的直线 l

76、 交椭圆于 A,B 两点，且 AOB 为钝角(O 为坐标原点)，求 k 的取值范围.第 39 页 共 158 页10.如图所示，已知点 F1、F2是椭圆 C1:x22+y2=1 的两个焦点，椭圆 C2:x22+y2=经过点 F1、F2，点 P 是椭圆 C2上异于 F1、F2的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆 C1的交点分别是 A、B 和 C、D.设 AB、CD 的斜率分别为 k1、k2.(1)求证：k1 k2为定值；(2)求 AB CD的最大值.11.已知椭圆 C:x2a2+y23=1 a 3的离心率为 12，过点 0,1的直线 l 与 C 有两个不同的交点 A，B，线段 AB 的中点为

77、 D，O 为坐标原点，直线 l 与直线 OD 分别交直线 x=4 于点 M，N.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求线段 MN的最小值.12.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的一个焦点为 F 1,0，且经过点 1,22，A，B 是椭圆上两点，AB=2(1)求椭圆方程；(2)求 OA OB的取值范围第 40 页 共 158 页13.如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为 12，过椭圆右焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB 与 CD当直线 AB 的斜率为 0 时，AB=4()求椭圆的方程；()求使 AB+CD取最小值时直线 AB 的方程第 41 页 共 158

78、页专题 11：椭圆中的存在探索性问题1.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0，长轴为 4，不过坐标原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 与椭圆 C有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 M，直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值-14.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 过右焦点 F2，问 y 轴上是否存在点 D，使得三角形 ABD 为正三角形，若存在，求出点 D 坐标，若不存在，请说明理由.2.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，M 为椭圆上一动点，当 MF1F2的面积最大时，其内切圆半径为 b3，椭圆 E 的左、

79、右顶点分别为 A，B，且|AB|=4(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)过 F1的直线与椭圆相交于点 C，D(不与顶点重合)，过右顶点 B 分别作直线 BC，BD 与直线 x=-4相交于 N，M 两点，以 MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由3.椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 A(-2，0)，且离心率为22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 P(4，0)任作一条直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.在 x 轴上是否存在点 Q，使得 PQM+PQN=180？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由4.已知 A、B 分别

80、为椭圆 E:x2a2+y2=1(a 1)的左顶点和下顶点，P 为直线 x=3 上的动点，AP BP的最小值为 594(1)求 E 的方程；(2)设 PA 与 E 的另一交点为 D，PB 与 E 的另一交点为 C，问：是否存在点 P，使得四边形 ABCD 为梯形，若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由第 42 页 共 158 页5.已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，且过点(2,2)(1)求椭圆 G 的方程；(2)过点 M(0,1)斜率为 k(k 0)的直线 l 交椭圆 G 于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 N使得 ANM=BNM(点 N 与点 M 不

81、重合)，若存在，求出点 N 的坐标，若不存在，请说明理由6.已知椭圆 C:x2a2+y23=1(a 0)的焦点在 x 轴上，且经过点 E 1,32，左顶点为 D，右焦点为 F(1)求椭圆 C 的离心率和 DEF 的面积；(2)已知直线 y=kx+1 与椭圆 C 交于 A，B 两点，过点 B 作直线 y=t(t 3)的垂线，垂足为 G，判断是否存在常数 t，使得直线 AG 经过 y 轴上的定点？若存在，求 t 的值；若不存在，请说明理由7.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0.左焦点 F-1,0，点 M 0,2在椭圆 E 外部，点 N 为椭圆 E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为

82、 2 5+4.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)点 B C 为椭圆 E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线 AB AC 分别与 y 轴交于 P Q 两点，试判断以 PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.8.已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 A(0,1),B(0,-1)，离心率为63(1)求椭圆 C 的方程及焦点的坐标；(2)若点 M 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，过原点且与直线 MA 平行的直线与直线 y=3 交于点 P，直线 MB 与直线 y=3 交于点 Q，试判断以线段 PQ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若

83、不过定点，请说明理由第 43 页 共 158 页9.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率 e=22，过右焦点 F c,0的直线 y=x-c 与椭圆交于 A，B 两点，A 在第一象限，且 AF=2(1)求椭圆 C 的方程；(2)在 x 轴上是否存在点 M，满足对于过点 F 的任一直线 l 与椭圆 C 的两个交点 P，Q，都有 MP MQ为定值？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由10.已知椭圆 C1:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12,P 1,32为椭圆上一点，A,B 为椭圆上不同两点，O 为坐标原点，(1)求椭圆 C 的方程；(2)线段 AB 的中

84、点为 M，当 AOB 面积取最大值时，是否存在两定点 G,H，使 GM+HM为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由11.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为63，短轴长为 2 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 A，B 是椭圆 C 上的两个不同的动点，以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点 O.是否存在以 O 为圆心的定圆恒与直线 AB 相切？若存在，求出定圆方程；若不存在，请说明理由.第 44 页 共 158 页12.已知椭圆的焦点在 x 轴上，它的一个顶点为(0,1)，离心率 e=25，过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B

85、两点(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 M(m,0)是线段 OF 上的一个动点，且(MA+MB)AB，求 m 的取值范围；(3)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 C、B、N 三点共线？若存在，求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由13.已知椭圆的焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦点，离心率 e=25，过椭圆的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线 l，交椭圆于 A、B 两点(1)求椭圆的标准方程；(2)设点 M(m,0)是线段 OF 上的一个动点，且(MA+MB)AB，求 m 的取值范围；(3)设点 C 是点 A 关于

86、x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 C、B、N 三点共线？若存在，求出定点 N 的坐标，若不存在，请说明理由14.已知动点 P 到点(-6,0)的距离与到直线 x=-4 63的距离之比为32.(1)求动点 P 的轨迹 C 的标准方程；(2)过点 A(-4,0)的直线 l 交 C 于 M，N 两点，已知点 B(-2,-1)，直线 BM，BN 分别交 x 轴于点 E，F.试问在 x 轴上是否存在一点 G，使得 BE GF+GE BF=0？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由.第 45 页 共 158 页专题 12：椭圆向量结合问题1.已知定点 O2 2,0，点 P

87、为圆 O1：x+22+y2=32(O1为圆心)上一动点，线段 O2P 的垂直平分线与直线 O1P 交于点 G(1)设点 G 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程；(2)若过点 O2且不与 x 轴重合的直线 l 与(1)中曲线 C 交于 D，E 两点，当 O1D O1E取最大值时，求 O1DE 的面积2.已知椭圆 C：x23+y2=1，过点(-1,0)的直线 l 交椭圆 C 于点 A，B.(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，求|AB|；(2)在 x 轴上是否存在定点 P，使 PA PB为定值？若存在，求点 P 的坐标及 PA PB的值；若不存在，说明理由.3.已知椭圆 C1：x24+y2=1，F

88、1,F2为 C1的左、右焦点.(1)求椭圆 C1的焦距；(2)点 Q2,22为椭圆 C1一点，与 OQ 平行的直线 l 与椭圆 C1交于两点 A、B，若 QAB 面积为 1，求直线 l 的方程；(3)已知椭圆 C1与双曲线 C2：x2-y2=1 在第一象限的交点为 M(xM,yM)，椭圆 C1和双曲线 C2上满足 x xN的所有点(x,y)组成曲线 C若点 N 是曲线 C 上一动点，求 NF1 NF2的取值范围.第 46 页 共 158 页4.如图，椭圆 C:x216+y24=1 的右顶点为 A，上顶点为 B，动直线交椭圆 C 于 M、N 两点，且满足 MON=90，过原点 O 作 OH MN

89、，垂足为 H.(1)求点 H 的轨迹方程；(2)求 HA HB的取值范围.5.设椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的右顶点为 A，上顶点为 B，离心率为53，|AB|=13.(1)求椭圆的方程；(2)设直线 l:y=kx(k b 0，A，B 为椭圆的左、右顶点，点 N 0,-2，连接 BN 交椭圆 C 于点 Q，ABN 为直角三角形，且 NQ:QB=3:2(1)求椭圆的方程；(2)过 A 点的直线 l 与椭圆相交于另一点 M，线段 AM 的垂直平分线与 y 轴的交点 P 满足 PA PM=154，求点 P 的坐标.8.平面直角坐标系 xOy 中，经过椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a

90、 b 0)的一个焦点的直线 x-y-2=0与 C 相交于 A、B 两点，H 为 AB 的中点，且 OH 的斜率为-59.(1)求椭圆 C 的方程.(2)直线 l1过椭圆 C 的右焦点 F 且与椭圆 C 交于 P、Q 两点，点 G 为椭圆的左顶点，直线 l2:x=6，连接GP、GQ 并延长与直线 l2分别交于点 M、N，点 R m,0、S n,0，且 m2+n2=1.求 RM SN的取值范围.9.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的焦距为 2 3，且过点 A3,12.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，交 y 轴于

91、 M 点，若 MA=1AF，MB=2BF，求证：1+2为定值.第 48 页 共 158 页10.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)过点 1,22，焦距为 2.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P(0,m)作两条直线 l1，l2且 l1 l2，l1切椭圆 C 于 M，l2交椭圆 C 于 A，B 不同两点，求 OA OB的取值范围.11.如图，已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线 AF2交椭圆于另一点 B(1)若 F1AB=90，求椭圆的离心率(2)若椭圆的焦距为 2，且 AF2=32 F2B，求椭圆的方程1

92、2.已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)过点(6,2)且离心率为63 设 P 为圆 x2+y2=3 上任意一点，过点 P 作该圆的切线交椭圆于 E，F 两点(1)求椭圆的方程；(2)试判断 PE PF是否为定值？若为定值，则求出该定值；否则，请说明理由第 49 页 共 158 页13.定义：已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，把圆 x2+y2=a2b2a2+b2 称为该椭圆的协同圆.设椭圆 C:x24+y22=1 的协同圆为圆 O(O 为坐标系原点)，试解决下列问题：(1)写出协同圆圆 O 的方程；(2)设直线 l 是圆 O 的任意一条切线，且交椭圆 C 于 A,B 两点

93、，求 OA OB的值；(3)设 M,N 是椭圆 C 上的两个动点，且 OM ON，过点 O 作 OH MN，交直线 MN 于 H 点，求证：点 H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.14.是否存在过点 E 0,-4的直线 l 交椭圆 x216+y212=1 于点 R、T，且满足 OR OT=167？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由第 50 页 共 158 页专题 13：椭圆的应用问题一、单选题1.如图所示，“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭

94、圆轨道绕月飞行，若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a1-c1=a2-c2；a1+c1=a2+c2；c1a2 a1c2；c1a1 c2a2.其中正确的是()A.B.C.D.2.设函数 y=f x的图象由方程 x x4+y y2=1 确定，对于函数 f x给出下列命题：P1：x1,x2 R，x1 x2，恒有 f x1-f x2x1-x2 0 恒成立；则下列正确的是()A.P1 P2B.P1 P3C.P2 P3D.P1 P3第 51 页 共 158 页3.光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双

95、曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图，一个光学装置由有公共焦点 F1、F2的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 F1发出，依次经 与 反射，又回到了点 F1，历时 t1秒；若将装置中的 去掉，如图，此光线从点 F1发出，经 两次反射后又回到了点 F1，历时 t2秒；若 t2=8t1，则 与 的离心率之比为()A.3:4B.2:3C.1:2D.1:24.2020 年北京时间 11 月 24 日我国嫦娥五号探月飞行器成功发射.嫦娥五号是我国探月工程“绕、落、回”三步走的收官之战，经历发射入轨、地月转移、近月制动、环月飞行、着陆下降、月面工作、月面上升、交会对

96、接与样品转移、环月等待、月地转移、再入回收等 11 个关键阶段.在经过交会对接与样品转移阶段后，若嫦娥五号返回器在近月点(离月面最近的点)约为 200 公里，远月点(离月面最远的点)约为 8600 公里，以月球中心为一个焦点的椭圆形轨道上等待时间窗口和指令进行下一步动作，月球半径约为 1740 公里，则此椭圆轨道的离心率约为()A.0.32B.0.48C.0.68D.0.825.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为 e，设地球半径为 R，该卫星近地点离地面的距离为 r，则该卫星远地点离地面的距离为()A.1+e1-e r+2e1-e RB.1+e1-e r+e1-

97、e RC.1+e1-e r+2e1+e RD.1-e1+e r+e1+e R第 52 页 共 158 页6.椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为 x24+y23=1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为()A.2B.4C.6D.87.已知水平地面上有一篮球，球的中心为 O，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆(如图)，在平面直角坐标系中，椭圆中心 O 为原点，设椭圆的方程为 x24+y22=1，篮球与地面的接触点为 H，则|OH|的长为()A.62B.2C.32D.10

98、38.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:如图，卫星在以地球的中心为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地心的连线)在相同的时间内扫过的面积相等设该椭圆的长轴长、焦距分别为 2a，2c.某同学根据所学知识，得到下列结论:卫星向径的取值范围是 a-c,a+c卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大其中正确的结论是()A.B.C.D.第 53 页 共 158 页9.如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，

99、经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线 C 的方程为 x2+4y2=4，其左、右焦点分别是 F1，F2，直线 l 与椭圆 C 切于点 P，且|PF1|=1，过点 P 且与直线 l 垂直的直线 l 与椭圆长轴交于点 M，则F1M:F2M=()A.2:3B.1:2C.1:3D.1:310.仿照“Dandelin 双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面如图，底面半径为 1 的圆柱内两个内切球球心距离为 4，现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为()A.12B.33C.22D.32第 54

100、 页 共 158 页二、多选题11.如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P 处变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点处第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，且轨道的右顶点为轨道的中心.设椭圆与的长半轴长分别为 a1和 a2，半焦距分别为 c1和 c2，离心率分别为 e1和 e2，则下列结论正确的是()A.c1=a2+c2B.a1+c1 2 a2+c2C.e2=2e1-1D.椭圆比椭圆更扁12.嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020 年 12 月我国嫦娥五号“探月工程”首次实现从月球无人采样返回.某校航天兴趣小组利用计算机

101、模拟“探月工程”，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动(俗称“踩刹车”)后，以 vkm/s 的速度进入距离月球表面 nkm 的环月圆形轨道(月球的球心为椭圆的一个焦点)，环绕周期为 ts，已知远月点到月球表面的最近距离为 mkm，则()A.圆形轨道的周长为 2vtkmB.月球半径为vt2-nkmC.近月点与远月点的距离为 m-n+tkmD.椭圆轨道的离心率为 m-nm+n13.椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 F1，F2是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 F1的小球(小球的半径不计)

102、，从点 F1沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 F1时，小球经过的路程可以是()A.4aB.4cC.2 a+cD.2 a-c第 55 页 共 158 页14.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点 A(离地面最近的点)距地面 m 千米，远地点 B(离地面最远的点)距地面 n 千米，并且 F、A、B 三点在同一直线上，地球半径约为 R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为 2a、2b、2c，则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=(m+R)(n+R)三、填空题15.从椭圆的一个焦点 F1发出的光线射到椭圆上的点

103、 P，反射后光线经过椭圆的另一个焦点 F2，事实上，点P x0,y0处的切线 xx0a2+yy0b2=1 垂直于 F1PF2的角平分线，已知椭圆 C:x24+y23=1 的两个焦点是F1，F2，点 P 是椭圆上除长轴端点外的任意一点，F1PF2的角平分线 PT 交椭圆 C 的长轴于点 T t,0，则 t 的取值范围是16.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分，过对称轴的截口 BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1上，片门位于另一个焦点 F2上.由椭圆一个焦点 F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 F2.已知 BC

104、F1F2，F1B=163，F1F2=4，则截口 BAC 所在椭圆的离心率为第 56 页 共 158 页17.如图是数学家 Germinal Dandelin 用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin 双球”)；在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，设图中球O1，球 O2的半径分别为 3 和 1，球心距离 O1O2=8,截面分别与球 O1，球 O2切于点 E，F，(E，F 是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的离心率等于第 57 页 共 158 页专题 14：双曲线的定义与方程一、单选题1.点 F1、F2分别是双曲线 x2-y23=1 的左、右

105、焦点，点 P 在双曲线上，则 PF1F2的内切圆半径 r 的取值范围是()A.0,3B.0,2C.0,2D.0,12.已知点 P 是双曲线 E：x216-y29=1 的右支上一点，F1、F2是双曲线 E 的左、右焦点，PF1F2的面积为20，给出下列四个命题：点 P 的横坐标为 203 PF1F2的周长为 803 F1PF2大于 3 PF1F2的内切圆半径为 32其中所有正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.43.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0，b 0的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2且斜率为 247 的直线与双曲线在第一象限的交点为 A，若 F2F1+F2A F1A=0

106、，则此双曲线的标准方程可能为()A.x2-y212=1B.x23-y24=1C.x216-y29=1D.x29-y216=14.已知 F1，F2分别是双曲线 C：x24-y23=1 的左，右焦点，动点 A 在双曲线的左支上，点 B 为圆 E：x2+y+32=1 上一动点，则 AB+AF2的最小值为()A.7B.8C.6+3D.2 3+35.设 P 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则以线段 PF2为直径的圆与双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是()A.内切B.外切C.内切或外切D.不相切6.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b

107、 0的左、右顶点分别是 A,B，双曲线的右焦点 F 为 2,0，点 P 在过 F且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为()A.x22-y22=1B.x2-y23=1C.x23-y2=1D.x24-y24=17.设 F 为双曲线 E：x2a2-y2b2=1(a,b 0)的右焦点，过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，四边形 OAFB 为菱形，圆 x2+y2=c2 c2=a2+b2与 E 在第一象限的交点是 P，且 PF=7-1，则双曲线 E 的方程是()A.x26-y22=1B

108、.x22-y26=1C.x23-y2=1D.x2-y23=1第 58 页 共 158 页8.设 F1,F2分别是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点，O 为坐标原点，过左焦点 F1作直线 F1P与圆 x2+y2=a2切于点 E，与双曲线右支交于点 P，且满足 OE=12 OP+OF1，OE=3，则双曲线的方程为()A.x26-y212=1B.x26-y29=1C.x23-y26=1D.x23-y212=19.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F(7,0)，直线 y=x-1 与其相交于 M，M 两点，MN 中点的横坐标为-23，则此双曲线的方程是()A.x23-y24=1

109、B.x22-y25=1C.x25-y22=1D.x24-y23=110.已知点 P 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)右支上一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，l 为PF1F2的内心，若 SIPF1=SIPF2+13 SIF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为()A.2 2x y=0B.8x y=0C.2x y=0D.3x y=011.已知双曲线 x24-y29=1，F1F2分别是双曲线的左右焦点，存在一点 M，M 点关于 F1点的对称点是 A 点，M 点关于 F2点的对称点是 B 点，线段 MN 的中点在双曲线上，则 NA-NB=()A.4B.4C.8D.812.设双曲

110、线 C：x216-y29=1 的右焦点为 F，过 F 作渐近线的垂线，垂足分别为 M，N，若 d 是双曲线上任一点 P 到直线 MN 的距离，则dPF的值为()A.34B.45C.54D.无法确定13.过双曲线 x2-y215=1 的右支上一点 P，分别向圆 C1:x+42+y2=4 和圆 C2:x-42+y2=1 作切线，切点分别为 M,N，则 PM2-PN2的最小值为()A.10B.13C.16D.1914.已知 F1,F2分别是双曲线 x29-y216=1 的左，右焦点，过 F1引圆 x2+y2=9 的切线 F1P 交双曲线的右支于点 P，T 为切点，M 为线段 F1P 的中点，O 为坐

111、标原点，则 MO-MT=()A.1B.2C.3D.4第 59 页 共 158 页15.如图，已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，|F1F2|=8，P 是双曲线右支上的一点，直线 F2P 与 y 轴交于点 A，APF1的内切圆在边 PF1上的切点为 Q，若|PQ|=2，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.316.已知平面上两点 M(-5,0)和 N(5,0),若直线上存在点 P 使 PM-PN=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中 y=x+1;y=2;y=43 x;y=2x+1.是“单曲型直线”的是()A.和B.和C.和D.和二、填

112、空题17.P 为双曲线 x2-y215=1 右支上一点，M,N 分别是圆 x+42+y2=4 和 x-42+y2=1 上的点，则 PM-PN 的最大值是18.已知椭圆 E:x23+y2=1 的左右顶点分别为 A1，A2，且 B，C 为 E 上不同两点(B，C 位于 y 轴右侧)，B，C 关于 x 的对称点分别为为 B1，C1，直线 BA1、B1A2相交于点 P，直线 CA1、CA2相交于点 Q，已知点 M-2,0，则|PM|+|QM|-|PQ|的最小值为19.已知平面内两个定点 M(3,0)和点 N(-3,0)，P 是动点，且直线 PM,PN 的斜率乘积为常数 a(a 0)，设点 P 的轨迹为

113、 C.存在常数 a(a 0)，使 C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离之和为定值；存在常数 a(a 0)，使 C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离之和为定值；不存在常数 a(a 0)，使 C 上所有点到两点(-4,0),(4,0)距离差的绝对值为定值；不存在常数 a(a 0)，使 C 上所有点到两点(0,-4),(0,4)距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)第 60 页 共 158 页20.如图，圆 x+22+y2=4 的圆心为点 B，A 2,0，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和直线BP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时

114、，点 Q 的轨迹方程为第 61 页 共 158 页专题 15：双曲线的对称性问题一、单选题1.已知 F1，F2是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左，右焦点，若双曲线右支上一点 P 恰好和点 F1关于双曲线 C 的一条渐近线对称，则双曲线 C 的离心率为()A.2B.3C.2D.52.已知点 P，A，B 在双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)上，直线 AB 过坐标原点，且直线 PA，PB 的斜率之积为 13，则双曲线的离心率为()A.2 33B.153C.2D.1023.过双曲线 x24-y28=1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A，B 两点，则满足 AB=8

115、的直线可作的条数为()A.1B.2C.3D.44.已知 F1，F2分别为双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，以 F1F2为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为 M，N，设四边形 F1NF2M 的周长为 p，面积为 S，且满足 32S=p2，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=12 xB.y=22 xC.y=32 xD.y=2 33x5.过双曲线 x2a2-y2=1 a 0的左焦点作直线 l 与双曲线交于 A，B 两点，使得 AB=4，若这样的直线有且仅有两条，则 a 的取值范围是()A.0,12B.2,+C.12.2D.0,12 2,+6.已知双曲线 x2a

116、2-y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 O 为双曲线的中心，点 P 在双曲线右支上，PF1F2内切圆的圆心为 Q，圆 Q 与 x 轴相切于点 A，过 F2作直线 PQ 的垂线，垂足为 B，则下列结论成立的是()A.|OA|OB|B.|OA|0)的左、右焦点，过 F2的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点，若点 A 为 F2B 的中点，且 F1B F2B，则 F1F2=()A.4B.4 3C.6D.98.已知 F 为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左焦点，直线 l 经过点 F，若点 A(a，0)，B(0，b)关于直线 l 对称，

117、则双曲线 C 的离心率为()A.3+12B.2+12C.3+1D.2+19.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的一条渐近线方程为 y=32 x，P 为双曲线上一个动点，F1，F2为其左，右焦点，PF1 PF2的最小值为-3，则此双曲线的焦距为()A.2B.4C.2 5D.2 710.过双曲线 x216-y29=1 的一个焦点 F 作弦 AB，则1|AF|+1|BF|的值等于()A.92B.89C.49D.29二、多选题11.已知双曲线 C:x26-y23=1 的左、右两个焦点分别为 F1、F2，直线 y=kx(k 0)与 C 交于 A、B 两点，AE x 轴，垂足为 E，直线

118、BE 与 C 的另一个交点为 P，则下列结论正确的是()A.四边形 AF1BF2为平行四边形B.F1PF2 9012.若双曲线 C：x2m+y2n=1(mn 0)上，则双曲线 C 的渐近线方程为15.如图所示，已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的右焦点为 F，双曲线 C 的右支上一点 A，它关于原点 O 的对称点 为 B，满足 AFB=90，且 BF=3 AF，则双曲线 C 的渐近线方程是16.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的离心率为 2，左、右焦点分别为 F1,F2，过原点的直线交双曲线于 A,B 两点，点 C 是双曲线上的点，则 kAC kBC

119、=第 64 页 共 158 页专题 16：双曲线的离心率问题一、单选题1.已知点 A 是抛物线 x2=4y 的对称轴与准线的交点，点 F 为抛物线的焦点，点 P 在抛物线上且满足 PA=m PF，若 m 取最大值时，点 P 恰好在以 A,F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为()A.3+1B.2+1C.5+12D.2+122.F1,F2是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线，F1关于直线 l 的对称点为 F1，且点 F1 在以 F2为圆心、以半虚轴长 b 为半径的圆上，则双曲线 C 的离心率为()A.2B.5C.2D.33.已知

120、双曲线 E:x2a2-y2b2=1 的左、右顶点分别为 A、B，M 是 E 上一点，ABM 为等腰三角形，且外接圆面积为 3a2，则双曲线 E 的离心率为()A.2B.2+1C.3D.3+14.设点 F1，F2分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点.点 A，B 分别在双曲线 C 的左，右支上，若 AB=5F1A，AF22=AB AF2，且 AF2 0,b 0的右顶点、右焦点分别为 A，F，过点 A 的直线 l 与 C 的一条渐近线交于点 Q，直线 QF 与 C 的一个交点为 B，若 AQ AB=AQ FB，且 BQ=3FQ，则 C 的离心率为()A.2B.5-1C

121、.2+53D.2+56.已知 F1，F2是双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左，右焦点，过点 F1倾斜角为 30 的直线与双曲线的左，右两支分别交于点 A，B.若 AF2=BF2，则双曲线 C 的离心率为()A.2B.3C.2D.57.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点为 F，关于原点对称的两点 A、B 分别在双曲线的左、右两支上，AF FB=0，3BF=FC且点 C 在双曲线上，则双曲线的离心率为()A.2B.102C.3D.28.已知 F1,F2是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右两个焦点，若双曲线左支上存在一点 P 与

122、点 F2关于直线 y=ba x 对称，则该双曲线 C 的离心率为()A.52B.5C.2D.2第 65 页 共 158 页9.已知 F1，F2分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的左，右焦点，过点 F2的直线与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点，设点 H(xH,yH)，G(xG,yG)分别为 AF1F2，BF1F2的内心，若 yH=3 yG，则双曲线离心率的取值范围为()A.2,+)B.(1,2C.(1,2D.(1,2)10.双曲线上 x2a2-y2b2=1(b a 0)有两点 A、B，O 为坐标原点，F 为双曲线焦点，满足 OA OB，当 A、B 在双曲线上运动时，使得恒1|OA|2

123、+1|OB|2 1|OF|2 成立，则离心率取值范围是()A.2,1+52B.2,3+52C.1+52,2D.1,1+5211.设 F1，F2是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，点 A 是双曲线 C 右支上一点，若 AF1F2的内切圆 M 的半径为 a，且 AF1F2的重心 G 满足 MG=F1F2，则双曲线 C 的离心率为()A.3B.5C.2D.2 512.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1作斜率为22 的直线 l 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 A、B 两点，若 AF2=BF2，则双曲线的离心率

124、为()A.2B.2C.5D.313.已知 F1，F2分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左，右焦点，点 A 为双曲线 C 的右顶点，且直线l:y=b2a 与双曲线 C 的左、右两支分别交于 P，Q 两点，若 PAF1+QAF2 0,b 0)的左、右焦点分别为 F、F2，A、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点 O 对称的两点，且直线 AB 的斜率为 2 2，M、N 分别为 AF2、BF2的中点，若原点 O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为()A.6+3B.6C.2D.6-2第 66 页 共 158 页15.若双曲线 E：x2m-y2n=1(mn 0)绕其

125、对称中心旋转 3 后可得某一函数的图象，则 E 的离心率等于()A.2 33B.3C.2 或 2 33D.2 或316.已知 F 为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a b 0)的右焦点，A、B 是双曲线 C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，AF BF，且 AF 的中点在双曲线 C 上，则 C 的离心率为()A.5-1B.3+12C.5+12D.3+117.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右焦点为 F1,F2，一条渐近线方程为 l:y=-ba x，过点 F1且与 l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于 P,Q，满足 OP=12 OF1+12 OQ，则该双曲线的离心率为

126、()A.10B.3C.5D.218.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1的直线与 C 的左支交于 P，Q两点，若 PF2=F1F2，且 3 PF1=2 QF1，则 C 的离心率为()A.32B.75C.53D.219.设双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右顶点分别为 A，B，点 C 在双曲线上，ABC 的三个内角分别用 A，B，C 表示，若 tanA+tanB+2tanC=0，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.520.设双曲线 y2a2-x2b2=1 a 0，b 0的上焦点为 F，过点 F 作与 y 轴垂

127、直的直线交两渐近线于 A，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P，设 O 为坐标原点，若 OP=OA+OB，2+2=59，R，则双曲线的离心率 e 的值是()A.3B.3 55C.3 24D.3221.已知 x=1 是方程 x3+ax2+bx+c=0 的一个根，另两个实根可分别作为某椭圆，某双曲线的离心率，则 a2+b2的取值范围是()A.5,+B.5,+C.5,+D.5,+第 67 页 共 158 页二、填空题22.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左右顶点分别是 A,B，右焦点 F，过 F 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 M,N 两点，P 为直线 l 上的点，

128、当 APB 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好落在 M(或 N)处，则双曲线的离心率是23.已知 F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 PF1 PF2，线段 PF1的垂直平分线过 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 2e1+e22 的最小值为24.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的焦点为 F1,F2，P 是双曲线上一点，且 F1PF2=3.若 F1PF2的外接圆和内切圆的半径分别为 R,r，且 R=4r，则双曲线的离心率为25.如图，已知双曲线 C:x2a2-y2a+2=1 的左、右焦点分别为 F1，F2，M 是 C 上位于

129、第一象限内的一点，且直线 F2M 与 y 轴的正半轴交于 A 点，AMF1的内切圆在边 MF1上的切点为 N，若|MN|=4，则双曲线C 的离心率为26.双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0上一点 P，过双曲线中心 O 的直线交双曲线于 A、B 两不同(点 A，B 异于点 P)设直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、k2，当 6k1 1k2+lnk12+lnk22最小时，双曲线的离心率为27.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a b 0的右焦点为 F，过 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点，若 AF=4FB，则 C 的离心率为第 68 页 共 158 页专题 1

130、7：双曲线的定点问题1.已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点为 F，半焦距 c=2，点 F 到右准线 x=a2c 的距离为 12，过点 F 作双曲线 C 的两条互相垂直的弦 AB，CD，设 AB，CD 的中点分别为 M，N.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标.2.已知动圆 P 过点 F2 2,0，并且与圆 F1：x+22+y2=4 相外切，设动圆的圆心 P 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)过动点 P 作直线与曲线 3x2-y2=0 交于 A,B 两点，当 P 为 AB 的中点时，求 OA OB的值；(3)过

131、点 F2的直线 l1与曲线 C 交于 E,F 两点，设直线 l：x=12，点 D-1,0，直线 ED 交 l 于点 M，求证：直线 FM 经过定点，并求出该定点的坐标.3.已知离心率为 2 的双曲线 C 的一个焦点 F(c,0)到一条渐近线的距离为3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)设 A1，A2分别为 C 的左右顶点，P 为 C 异于 A1，A2一点，直线 A1P 与 A2P 分别交 y 轴于 M,N 两点，求证：以线段 MN 为直径的圆 D 经过两个定点.4.已知动圆 P 过点 F2 2,0并且与圆 F1:x+22+y2=4 相外切，动圆圆心 P 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的轨迹方

132、程；(2)过点 F2 2,0的直线 l1与轨迹 C 交于 A、B 两点，设直线 l:x=12，点 D-1,0，直线 AD 交 l 于 M,求证：直线 BM 经过定点 1,0.第 69 页 共 158 页5.已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e=52，虚轴长为 2(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)若直线 l:y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 均异于左、右顶点)，且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证：直线 l 过定点，并求出定点的坐标6.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，点 A(2 2,0)在曲线 C

133、上，曲线 C 的离心率为62，点 P、Q 为曲线 C 上易于点 A 的任意两点,O 为坐标原点(1)求曲线 C 上方程；(2)若 F1、F2为曲线的焦点，求 PF1+PF2|OP|最大值；(3)若以 PQ 为直径的圆过点 A，求证：直线 PQ 过定点，并求出定点坐标7.已知曲线 C:x23-y26=1，Q 为曲线 C 上一动点，过 Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是 P1和 P2.(1)当 Q 运动到(3,2 3)时，求 QP1 QP2的值；(2)设直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 M、N 两点，与 x 轴正半轴交于 T 点，与 y 轴交于 S 点，若 SM=MT，SN=NT，且

134、+=1，求证 T 为定点.8.双曲线 C:x2a2-y2b2=1 经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为 3，直线 l 交双曲线于 A、B.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A、B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率为 kPA、kPB，证明：kPA kPB为定值；(3)若 l 过双曲线的右焦点 F1，是否存在 x 轴上的点 M(m,0)，使得直线 l 绕点 F1无论怎样转动，都有 MA MB=0 成立？若存在，求出 M 的坐标，若不存在，请说明理由.二、填空题9.已知双曲线 C：x24-y2=1，直线 l：y=kx+m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，

135、B 均异于左、右顶点)，且以线段 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，则直线 l 所过定点为10.已知双曲线 x2-y22=1，点 A-1,0，在双曲线上任取两点 P、Q 满足 AP AQ，则直线 PQ 恒过定点第 70 页 共 158 页专题 18：双曲线的定值问题1.已知双曲线 C:x2a2-y2=1(a 0)的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在双曲线 C 上.当 BF AF 时，BF=5-22AF.(1)求双曲线 C 的方程.(2)设 P 为双曲线上一点，点 M，N 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，若 P 恰为线段 MN的中点，试判断 MON 的面积是否为定值?

136、若为定值，请求出这个定值；若不为定值，请说明理由.2.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的离心率为52，点 P 4,3在 C 上(1)求双曲线 C 的方程；(2)设过点 1,0的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，问在 x 轴上是否存在定点 Q，使得 QM QN为常数？若存在，求出 Q 点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由3.已知等轴双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)经过点52，12.(1)求双曲线 C 的标准方程；(2)已知点 B(0，1).过原点且斜率为 k 的直线与双曲线 C 交于 E，F 两点，求 EBF 最小时 k 的值；点 A 是 C 上一定点，过点

137、 B 的动直线与双曲线 C 交于 P，Q 两点，kAP+kAQ为定值，求点 A 的坐标及实数 的值.4.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 32，过点 F1的直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 A，B当 BF2 l 时，BF1F2的面积为 5(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线 l 与 y 轴交于点 M，且 MA=AF1，MB=BF1，求证：+为定值第 71 页 共 158 页5.已知双曲线 C:x24-y25=1 的左、右顶点分别为 A，B，过右焦点 F 的直线 l 与双曲线 C 的右支交于 P，Q 两点(点 P 在 x 轴上

138、方)(1)若 PF=3 FQ，求直线 l 的方程；(2)设直线 AP,BQ 的斜率分别为 k1,k2，证明：k1k2 为定值6.已知双曲线 C:x2-y22=1，过圆 O:x2+y2=2 上任意一点作圆的切线 l，若 l 交双曲线于 A，B 两点，证明：AOB 的大小为定值.7.已知点 F1、F2为双曲线 C:x2-y2b2=1(b 0)的左、右焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线，在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M，且 MF1F2=30，圆 O 的方程是 x2+y2=b2(1)求双曲线 C 的方程；(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1、P2，求证

139、：PP1 PP2为定值；(3)若过圆 O 上点 Q x0,y0作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点，求证：OA OB8.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0过点 2,3，两条渐近线的夹角为 60，直线 l 交双曲线于 A、B两点(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A、B 的一点，且直线 PA、PB 的斜率 kPA，kPB均存在，求证：kPA kPB为定值；第 72 页 共 158 页9.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)过点 A(-4,6)，且 b=3a(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 B(-1,0

140、)的直线 l 交双曲 C 于点 M,N，直线 MA,NA 分别交直线 x=-1 于点 P,Q试判断|PB|BQ|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由10.已知双曲线的方程 C:2x2-y2=1(1)求点 P(0,1)到双曲线 C 上的点的距离的最小值；(2)已知直线 l:y=kx+t 与圆 M:x2+y2=1 相切求 k 和 t 的关系若 l 与双曲线 C 交于 A、B 两点，那么 AOB 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由11.已知双曲线 x2a2-y2=1 的渐近线倾斜角分别为 30 和 150，F 为其左焦点，P 为双曲线右支上一个动点(1)求|PF|的取值范

141、围，并说明理由；(2)过点 P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为 Q,R，求证：|PQ|PR|为定值.12.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的焦距为 2 5，且过点 A 2 2,-1，直线 l 与曲线 C 右支相切(切点不为右顶点)，且 l 分别交双曲线 C 的两条渐近线与 M、N 两点，O 为坐标原点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)求证：MON 面积为定值，并求出该定值.第 73 页 共 158 页13.已知点 P 是圆 Q:(x+2)2+y2=32 上任意一点，定点 R(2,0)，线段 PR 的垂直平分线 l 与半径 PQ 相交于 M 点，P 在圆周上运动时，设点

142、 M 的运动轨迹为.(1)求点 M 的轨迹 的方程；(2)若点 N 在双曲线 x24-y22=1(顶点除外)上运动，过点 N，R 的直线与曲线 相交于 A,B，过点 N,Q 的直线与曲线相 交于 C,D，试探究|AB|+|CD|是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由.14.已知双曲线 x2-y2=1 的左、右顶点分别为 A1、A2，动直线 l:y=kx+m 与圆 x2+y2=1 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 P1(x1,y1),P2(x2,y2).(1)求 k 的取值范围，并求 x2-x1的最小值；(2)记直线 P1A1的斜率为 k1，直线 P2A2的斜率为 k2

143、，那么，k1 k2是定值吗？证明你的结论.第 74 页 共 158 页专题 19：双曲线的定直线问题1.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)实轴端点分别为 A1(-a,0)，A2(a,0)，右焦点为 F，离心率为 2，过 A1点且斜率 1 的直线 l 与双曲线 C 交于另一点 B，已知 A1BF 的面积为 92(1)求双曲线的方程；(2)若过 F 的直线与双曲线 C 交于 M，N 两点，试探究直线 A1M 与直线 A2N 的交点 Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由2.已知 A，B 分别是双曲线 E:x2-y24=1 的左，右顶点，直线 l(

144、不与坐标轴垂直)过点 N 2,0，且与双曲线 E 交于 C，D 两点.(1)若 CN=3ND，求直线 l 的方程；(2)若直线 AC 与 BD 相交于点 P，求证：点 P 在定直线上.3.已知双曲线 E:x2a2-y24=1 a 0的中心为原点 O，左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 3 55，点 P 是直线 x=a23 上任意一点，点 Q 在双曲线 E 上，且满足 PF2 QF2=0.(1)求实数 a 的值；(2)证明：直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值；(3)若点 P 的纵坐标为 1，过点 P 作动直线 l 与双曲线右支交于不同的两点 M、N，在线段 MN 上去异于点 M、N

145、的点 H，满足 PMPN=MHHN，证明点 H 恒在一条定直线上.4.设直线 l:y=kx+m(其中 k，m 为整数)与椭圆 x216+y212=1 交于不同两点 A，B，与双曲线 x24-y212=1 交于不同两点 C，D，问是否存在直线 l，使得向量 AC+BD=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由第 75 页 共 158 页专题 20：双曲线的范围问题1.已知椭圆 C1的方程为 x24+y2=1，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l:y=kx+2 与双曲线 C2恒有两

146、个不同的交点 A 和 B，且 OA OB 2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围2.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的离心率 e=2 33，其一条准线方程为 x=32()求双曲线 C 的方程；()如图，设双曲线 C 的左右焦点分别为 A,B，点 D 为该双曲线右支上一点，直线 AD 与其左支交于点 E，若 AE=ED，求实数 的取值范围3.已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a b 0和圆 O：x2+y2=b2(其中原点 O 为圆心)，过双曲线 C 上一点 P x0,y0引圆 O 的两条切线，切点分别为 A、B(1)若双曲线 C 上存在点 P，使得 APB=90，求双曲线离心率

147、 e 的取值范围；(2)求直线 AB 的方程；(3)求三角形 OAB 面积的最大值第 76 页 共 158 页4.如图，F1,F2是双曲线 x2-y2=1 的两个焦点，O 为坐标原点，圆 O 是以 F1F2为直径的圆，直线 l：y=kx+b 与圆 O 相切，并与双曲线交于 A、B 两点()根据条件求出 b 和 k 的关系式;()当 OA OB=k2+1 时，求直线 l 的方程；()当 OA OB=m k2+1，且满足 2 m 4 时，求 AOB 面积的取值范围5.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)，O 为坐标原点，离心率 e=2，点 M5，3在双曲线上(1)求双曲线的方程;(

148、2)如图，若直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 Q，P，且 OP OQ=0，求 OP|2+OQ|2的最小值第 77 页 共 158 页6.在平面直角坐标系 xOy 内，已知双曲线：x2-y2b2=1(b 0)，(1)若 的一条渐近线方程为 y=2x，求 的方程；(2)设 F1、F2是 的两个焦点，P 为 上一点，且 PF1 PF2，PF1F2的面积为 9，求 b 的值；(3)若直线 l:y=2x+1 与 交于 A、B 两点，且坐标原点 O 始终在以 AB 为直径的圆内，求 b 的取值范围.7.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知等轴双曲线 E:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的

149、左顶点 A，过右焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 E 交于 B，C 两点，若 ABC 的面积为2+1(1)求双曲线 E 的方程；(2)若直线 l:y=kx-1 与双曲线 E 的左，右两支分别交于 M，N 两点，与双曲线 E 的两条渐近线分别交于 P，Q 两点，求 MNPQ的取值范围8.若直线 l:y=3x3-2 33过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0，b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M，N，MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 与 y 轴上的截距的取值范围.第 78 页 共

150、 158 页9.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的离心率等于 32，且点(-2 2,5)在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若双曲线的左顶点为 A1，右焦点为 F2，P 为双曲线右支上任意一点，求 PA1 PF2的最小值.10.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的离心率为 2，左右焦点分别为 F1，F2，过右焦点 F2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，且 ABF1的周长为 16 3(1)求双曲线 C 的方程；(2)已知直线 l:3x-y+2=0，点 P 是双曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值11.已知双曲线 C

151、:x24-y23=1，直线 l:y=kx-11若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求 k 的取值范围；2P 为双曲线 C 右支上一动点，点 A 的坐标是72,0，求 PA的最小值12.已知点 P 是双曲线 C:x2-y24=1 上的点(1)记双曲线的两个焦点为 F1，F2，若 PF1 PF2，求点 P 到 x 轴的距离；(2)已知点 M 的坐标为 0，2，Q 是点 P 关于原点的对称点，记 =MP MQ，求 的取值范围第 79 页 共 158 页专题 21：双曲线的存在探索性问题1.已知双曲线 C 过点 4,3，且渐近线方程为 y=12 x，直线 l 与 C 交于 M、N 两点，(1)

152、求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l 过原点，点 P 是曲线 C 上任一点，直线 PM、PN 的斜率都存在，记为 kPM、kPN，求证：kPM kPN 为定值；(3)若直线 l 过点 1,0，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得 QM QN为常数？若存在，求出点 Q 坐标及此常数的值，若不存在，说明理由.2.已知双曲线 x2-y22=1.(1)倾斜角 45 且过双曲线右焦点的直线与此双曲线交于 M，N 两点，求 MN.(2)过点 A(2,1)的直线 l 与此双曲线交于 P1，P2两点，求线段 P1P2中点 P 的轨迹方程；(3)过点 B(1,1)能否作直线 m，使 m 与此双曲线交于 Q1，Q

153、2两点，且点 B 是线段 Q1Q2的中点?这样的直线 m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.3.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为 60，直线 l 交双曲线于 A B 两点.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若 l 过原点，P 为双曲线上异于 A B 的一点，且直线 PA PB 的斜率 kPA kPB均存在，求证：kPA kPB为定值；(3)若 l 过双曲线右焦点 F1，是否存在 x 轴上的点 M(m,0)，使得直线 l 绕点 F1无论怎样转动，都有 MA MB=0 成立？若存在，求出 M 的坐标；若不存在，请说明理由.第 80 页 共 1

154、58 页4.已知直线 y=2x 是双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的一条渐近线，点 A(1,0)在双曲线 C 上，设坐标原点为 O.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若过点 D(2,2)的直线 l 与双曲线 C 交于 R、S 两点，若 RD+SD=0，求直线 l 的方程；(3)设 M m,nm 1,n 0在双曲线上，且直线 AM 与 y 轴相交于点 P，点 M 关于 y 轴对称的点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在 x 轴上是否存在定点 T，使得 TP2+TQ2=PQ2？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由.5.已知圆 C1:x+52+y2=36，点 C 5,0，

155、点 M 是圆 C1上的动点，MC 的垂直平分线交直线 MC1于点 P.(1)求点 P 的轨迹方程 C2；(2)过点 N 4,0的直线 l 交曲线 C2于 A,B 两点，在 x 轴上是否存在点 G，使得直线 AG 和 BG 的倾斜角互补，若存在，求出点 G 的坐标，若不存在，请说明理由.6.已知 F1(-2,0),F2(2,0)，点 P 满足 PF1-PF2=2，记点 P 的轨迹为.斜率为 k 的直线 l 过点 F2，且与轨迹 相交于 A,B 两点.(1)求轨迹 的方程；(2)求斜率 k 的取值范围；(3)在 x 轴上是否存在定点 M，使得无论直线 l 绕点 F2怎样转动，总有 MA MB 成立

156、？如果存在，求出定点 M；如果不存在，请说明理由.第 81 页 共 158 页7.已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0，设 P 是双曲线 C 上任意一点，O 为坐标原点，F 为双曲线右焦点，A1，A2为双曲线的左右顶点.(1)已知：无论点 P 在右支的何处，总有 PO PF，求 ba 的取值范围；(2)设过右焦点 F 的直线 l 交双曲线于 M，N 两点，若存在直线 l，使得 OMN 为等边三角形，求 b2a2 的值；(3)若 a=2，b=3，动点 Q 在双曲线上，且与双曲线的顶点不重合，直线 QA1和直线 QA2与直线 l：x=1 分别相交于点 S 和 T，试问：是否存在定

157、点 E，使得 ES ET 恒成立？若存在，请求出定点 E 的坐标；若不存在，试说明理由.8.如图，椭圆 x2+y24=1 的左、右顶点分别为 A、B，双曲线 以 A、B 为顶点，焦距为 2 5，点 P 是 上在第一象限内的动点，直线 AP 与椭圆相交于另一点 Q，线段 AQ 的中点为 M，记直线 AP 的斜率为 k，O 为坐标原点.(1)求双曲线 的方程；(2)求点 M 的纵坐标 yM 的取值范围；(3)是否存在定直线 l，使得直线 BP 与直线 OM 关于直线 l 对称？若存在，求直线 l 的方程；若不存在,请说明理由.第 82 页 共 158 页9.已知 a=(x,0)，b=(1,y)，(

158、3a+b)(3a-b)(1)求点 P（x,y)的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l:y=kx-1 与曲线 C 交于 A、B 两点，并且 A、B 在 y 轴的同一侧，求实数 k 的取值范围.(3)设曲线 C 与 x 轴的交点为 M，若直线 l:y=kx-1 与曲线 C 交于 A、B 两点，是否存在实数 k，使得以 AB 为直径的圆恰好过点 M？若有，求出 k 的值；若没有，写出理由.10.ABC 的内切圆与三边 AB,BC,CA 的切点分别为 D,E,F,已知 B(-2,0),C(2,0)，内切圆圆心 I(1,t),t 0,设点 A 的轨迹为 R.(1)求 R 的方程；(2)过点 C 的动直线

159、m 交曲线 R 于不同的两点 M,N，问在 x 轴上是否存在一定点 Q(Q 不与 C 重合)，使 QM QCQM=QN QCQN恒成立，若求出 Q 点的坐标，若不存在，说明理由.第 83 页 共 158 页专题 22：双曲线的渐近线问题一、单选题1.已知 F1、F2分别为双曲线 y2a2-x2b2=1(a 0,b 0)的两个焦点，双曲线上的点 P 到原点的距离为 b，且sinPF2F1=3sinPF1F2，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=22 xB.y=32 xC.y=2xD.y=3x2.已知点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点，M-1,0，点 N 为抛物线上一动点，当 NFNM最小时，点

160、 N 恰好在以 M，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为()A.3+2 3B.2+2 2C.5+12D.2 2-143.如图，已知 F1,F2分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点，P 为第一象限内一点，且满足 F2P=a,(F1P+F1F2)F2P=0，线段 F2P 与双曲线 C 交于点 Q，若 F2P=5|F2Q|，则双曲线 C 的渐近线方程为()A.y=55 xB.y=12 xC.y=32 xD.y=33 x4.在直角坐标系 xOy 中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点

161、，位于第一象限上的点 P(x0,y0)是双曲线 C 上的一点，PF1F2的外心 M 的坐标为 0,33 c，PF1F2的面积为 2 3a2，则双曲线 C 的渐近线方程为()A.y=xB.y=22 xC.y=12 xD.y=2x5.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右顶点分别是 A，B，右焦点为 F，点 P 在过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为()A.y=33 xB.y=22 xC.y=xD.y=2x第 84 页 共 158 页6.设 F1,F2分别为双曲线 x2a2-y2b2=1(

162、a 0,b 0)的左、右焦点，过点 F1作圆 x2+y2=a2的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点 P,Q，若 QF2=|PQ|，则双曲线渐近线的斜率为()A.1B.3-1C.3+1D.57.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 M 在 C 的右支上，MF1与 y 轴交于点 A，MAF2的内切圆与边 AF2切于点 B.若 F1F2=4|AB|，则 C 的渐近线方程为()A.3x y=0B.x 3y=0C.2x y=0D.x 2y=08.P 是双曲线 x23-y2=1 上一点，过 P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，求 PA PB的

163、值()A.-38B.-38C.-316D.-3169.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 的两条渐近线分别为 l1与 l2，A 与 B 为 l1上关于原点对称的两点，M 为 l2上一点且 kAM kBM=e，则双曲线离心率 e 的值为()A.5B.5+12C.2D.210.已知点 P 是双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)右支上一点，F1、F2 分别是双曲线的左、右焦点，l 为PF1F2的内心，若 SIPF1=SIPF2+13 SIF1F2成立，则双曲线的渐近线方程为()A.2 2x y=0B.8x y=0C.2x y=0D.3x y=011.设双曲线 x2a2-y2b2=1(

164、a 0，b 0)的左、右顶点分别为 A、B，点 C 在双曲线上，ABC 的三内角分别用 A、B、C 表示，若 tanA+tanB+3tanC=0，则双曲线的渐近线的方程是()A.y=3xB.y=3xC.y=2xD.y=2x12.已知双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点为 F c,0,右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于B、C 分别作 AC、AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 a+c，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.-,-1 1,+B.-1,0 0,1C.-,-22,+D.-2,0 0,213.已知双曲线 x2a2-y2b2

165、=1 a 0,b 0的左焦点为 F-c,0，O 为坐标原点，P,Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形 PFQO 是面积为 c2的菱形，则该渐近线方程为()A.y=2xB.y=12 xC.y=4xD.y=14 x第 85 页 共 158 页14.已知双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1作圆：x2+y2=a24的切线 l，切点为 M，且直线 l 与双曲线 C 的一个交点 N 满足 NF1-NF2=2a，设 O 为坐标原点，若 ON+OF1=2OM，则双曲线 C 的渐近线方程为()A.y=32 xB.y=3xC.y=62 xD.y=6x15.

166、已知抛物线 x2=8y 与双曲线 y2a2-x2=1(a 0)的一个交点为 M,F 为抛物线的焦点，若 MF=5，则该双曲线的渐近线方程为()A.5x 3y=0B.3x 5y=0C.4x 5y=0D.5x 4y=016.双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1作圆 x2+y2=a2的切线交双曲线的左、右支分别于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为()A.y=3xB.y=2 2xC.y=1+3xD.y=3-1x二、填空题17.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左顶点为 A，右焦点为 F，离心率为 e.若动

167、点 B 在双曲线 C的右支上且不与右顶点重合，满足 BFABAF=e 恒成立，则双曲线 C 的渐近线的方程为18.设 P 是双曲线 E:x2a2-y2b2=1 上任意一点,过 P 作渐近线 l1:y=ba x 和 l2:y=-ba x 的平行线,分别交于点 R,Q.则 PR PQ=19.已知 O 为坐标原点，F1、F2是双曲线 C：x2a2-y2b2=1(a 0，b 0)的左、右焦点，双曲线 C 上一点 P 满足 OP+OF2 F2P=0，且 PF1PF2=2a2，则双曲线 C 的渐近线方程为20.已知 F1,F2为双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，过 F1的直线

168、 l 与双曲线 C 的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交 Q,P 两点，且 PQ-PF2=a，双曲线 C 的渐近线方程为第 86 页 共 158 页专题 23：双曲线向量结合问题一、单选题1.已知椭圆 C 与双曲线 x2-y2=1 有相同的左焦点 F1、右焦点 F2，点 P 是两曲线的一个交点，且 PF1 PF2=0.过 F2作倾斜角为 45 的直线交 C 于 A，B 两点(点 A 在 x 轴的上方)，且 AB=AF2，则 的值为()A.3+3B.3+2C.2+3D.2+22.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点为 F，直线 l:y=kx 与 C 交于 A，B

169、 两点，以 AB 为直径的圆过点 F，若 C 上存在点 P 满足 BP=4BF，则 C 的离心率为()A.3B.102C.5D.103.经过双曲线 x2-y23=1 的右焦点作倾斜角为 45 的直线 l，交双曲线于 A，B 两点，设 O 为坐标原点，则 OA OB等于()A.-1B.1C.2D.-24.若点 O 和点 F 分别为双曲线 x22-y2=1 的中心和左焦点，点 P 为该双曲线上的任意一点，则 OP FP的最小值为()A.2+6B.2-6C.12D.-325.已知点 A,B 在双曲线 x216-y24=1，且线段 AB 经过原点，点 M 为圆 x2+(y-2)2=1 上的动点，则 M

170、A MB的最大值为()A.-15B.-9C.-7D.-6二、解答题6.已知经过点 P 0,2且以 d=1,a为一个方向向量的直线 l 与双曲线 3x2-y2=1 相交于不同两点 A、B.(1)求实数 a 的取值范围；(2)若点 A、B 均在已知双曲线的右支上，且满足 OA OB=0，求实数 a 的值；(3)是否存在这样的实数 a，使得 A、B 两点关于直线 y=12 x-8 对称？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由.第 87 页 共 158 页7.已知点 F1、F2为双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左、右焦点，过 F2作垂直于 x 轴的直线在 x 轴上方交上双曲线于

171、点 M，且 MF1F2=30，MF1F2的面积为 4 3.(1)求双曲线的方程；(2)过双曲线实轴右端点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 P1、P2，求 PP1 PP2的值.8.如图，已知双曲线 C 的方程为 x2a2-y2b2=1(a b 0)，两条渐近线的夹角为 arccos 35，焦点到渐近线的距离为 1 M、N 两动点在双曲线 C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线 MN与双曲线右支的一个公共点，MP=PN.(1)求双曲线 C 的方程；(2)当 =1 时，求 PM PN的取值范围；(3)试用 表示 MON 的面积 S，设双曲线 C 上的点到其焦点的距离

172、的取值范围为集合，若 5 ，求S 的取值范围.9.已知双曲线 x2-y2=2 的左、右焦点分别为 F1,F2，过点 F2的动直线与双曲线相交于 A,B 两点.在 x 轴上是否存在定点 C，使 CA CB为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由10.已知双曲线 C 的中心在原点，抛物线 y2=2 5x 的焦点是双曲线 C 的一个焦点，且双曲线过点(1,3)()求双曲线的方程；()设直线 l:y=kx+1 与双曲线 C 交于 A，B 两点，试问：k 为何值时，OA OB第 88 页 共 158 页11.已知双曲线 C 的方程为 y2a2-x2b2=1 a 0,b 0，离心率 e=5

173、2,顶点到渐近线的距离为 2 55(1)求双曲线 C 的方程;(2)设 P 是双曲线 C 上的点,A,B 两点在双曲线 C 的渐近线上,且分别位于第一,二象限,若 AP=PB,13,2,求 AOB 面积的取值范围.12.直线 y=kx+m(k,m R)与双曲线 x2-y23=1 相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且 OA OB(1)求 k 与 m 满足的关系；(2)求证：点 O 到直线 AB 的距离是定值，并求 AB的最小值第 89 页 共 158 页专题 24：双曲线的应用问题一、单选题1.双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点 F2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过

174、左焦点 F1我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为 x2a2-y2b2=1,F1,F2为其左、右焦点，若从右焦点 F2发出的光线经双曲线上的点 A 和点 B 反射后，满足 BAD=90,tanABC=-34，则该双曲线的离心率为()A.52B.5C.102D.102.设函数 y=f x的图象由方程 x x4+y y2=1 确定，对于函数 f x给出下列命题：P1：x1,x2 R，x1 x2，恒有 f x1-f x2x1-x2 0 恒成立；则下列正确的是()A.P1 P2B.P1 P3C.P2 P3D.P1 P33

175、.如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面 5m，水面宽 AB=30m.若水面下降 5m，则水面宽是()(结果精确到 0.1m)(参考数值：2 1.41，5 2.24，7 2.65)A.43.8mB.44.8mC.52.3mD.53.0m第 90 页 共 158 页4.人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应(简称双耳效应)根据双耳的时差，可以确定声源 P 必在以双耳为左右焦点的一条双曲线上又若声源 P 所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源 P 对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定一般地，甲测听者的左右两耳相距约为 20cm，声源 P

176、的声波传及甲的左、右两耳的时间差为 3 10-5s，声速为 334m/s，则声源 P 对于甲的方向偏角 的正弦值约为()A.0.004B.0.04C.0.005D.0.055.双曲线定位法是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.我们来看一种简单的“特殊”状况；如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C 且刚好三点共线，已知 AB=34 海里，AC=20 海里，现以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x轴建系.现根据船 P 接收到 C 点与 A 点发

177、出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船 P 在双曲线x-27236-y264=1 的左支上，若船 P 上接到 A 台发射的电磁波比 B 台电磁波早 185.2s(已知电磁波在空气中的传播速度约为 0.3km/s，1 海里=1.852km)，则点 P 的坐标(单位：海里)为()A.907,32 117B.1357,32 27C.17,323D.45,16 26.如图，A，B 两点在双曲线 y=3x 上，分别经过 A，B 两点向坐标轴作垂线段，已知阴影部分的面积 S 为 1，则面积 S1+S2等于()A.6B.5C.4D.3第 91 页 共 158 页7.一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的

178、方程是 y2-x2=1,y 1,10,在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A.1B.2C.3D.2.58.在 xOy 平面上，将等轴双曲线 x2-y2=1 的右支和它的两条渐近线、以及两条直线 y=1 和 y=-1 围成的封闭图形记为 D，则 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体的体积为()(提示:祖暅原理)A.2B.C.43 D.34 9.直线 y=x+2 与曲线 y22-x x2=1 的交点个数为()A.0B.1C.2D.310.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听

179、到的时间比其它两观测点晚 4s.已知各观测点到该中心的距离是 1020m.则该巨响发生在接报中心的()处.(假定当时声音传播的速度为 340m/s，相关各点均在同一平面上)A.西偏北 45 方向，距离 680 10mB.东偏南 45 方向，距离 680 10mC.西偏北 45 方向，距离 680 5mD.东偏南 45 方向，距离 680 5m11.有一凸透镜其剖面图(如图)是由椭圆 x2a2+y2b2=1 和双曲线 x2m2-y2n2=1(a m 0)的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点 M、N；A、B 分别在左右两部分实线上运动，则 ANB 周长的最小值为()A.2(a-m)B.(a-m)C

180、.2(b-n)D.2(a+m)第 92 页 共 158 页二、填空题12.在 xOy 平面上，将双曲线的一支 x29-y216=1(x 0)及其渐近线 y=43 x 和直线 y=0、y=4 围成的封闭图形记为 D，如图中阴影部分，记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为，过(0,y)(0 y 4)作 的水平截面，计算截面面积，利用祖暅原理得出 体积为13.函数 y=f(x)的定义域为(-,-1)(1,+)，其图象上任一点 P(x,y)满足 x2-y2=1，则给出以下四个命题：函数 y=f(x)一定是偶函数；函数 y=f(x)可能是奇函数；函数 y=f(x)在(1,+)单调递增；若 y=f(x)

181、是偶函数，其值域为(0,+)其中正确的序号为.(把所有正确的序号都填上)三、双空题14.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 不与点 O 重合，称射线 OM 与圆 x2+y2=1 的交点 N 为点 M 的“中心投影点”.(1)点 M(1,3)的“中心投影点”为(2)曲线 x2-y23=1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线的长度是第 93 页 共 158 页专题 25：抛物线的定义与方程一、单选题1.已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，P 是抛物线上的一个动点，A 3,1，则 APF 周长的最小值为()A.2+2 5B.4+5C.3+5D.6+52.已知 A，B 分别为抛物线 C1:y2=

182、4x 与圆 C2:x2+y2-4 2y+7=0 上的动点，抛物线的焦点为 F，P，Q为平面两点，当 AF+AB取到最小值时，点 A 与 P 重合，当 AF-AB取到最大时，点 A 与 Q 重合，则直线的 PQ 的斜率为()A.23B.12C.1D.2 233.抛物线 y2=4x 的焦点为 F，点 P x,y为该抛物线上的动点，点 A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则 PAPF的最大值是()A.2B.2C.2 33D.324.抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，准线为 l，A，B 是抛物线上的两个动点，且满足 AFB=3，设线段AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则 MNAB的最大值

183、是()A.1B.32C.33D.25.已知点 P 是曲线 y2=4x 上任意一点，过点 P 向 y 轴引垂线，垂足为 H，点 Q 是曲线 y=ex上任意一点，则 PH+PQ的最小值为()A.3+1B.2+1C.3-1D.2-16.抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F，点 P、Q、R 在 C 上，且 PQR 的重心为 F，则 PF+QF的取值范围为()A.3,9292,5B.4,9292,5C.3,4 4,92D.3,5第 94 页 共 158 页7.如图，已知抛物线 C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点(2，4)，圆 C2:x2+y2-4x+3=0，过圆心C2的直线 l 与抛物线和圆

184、分别交于 P，Q，M，N，则 PN+9 QM的最小值为()A.36B.42C.49D.50二、多选题8.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅已知点 M 1，0，直线 l：x=-2，若某直线上存在点 P，使得点 P 到点 M 的距离比到直线 l 的距离小 1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是()A.点 P 的轨迹曲线是一条线段B.点 P 的轨迹与直线 l：x=-1 是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C.y=2x+6 不是“最远距离直线”D.y=12

185、 x+1 是“最远距离直线”三、填空题9.已知抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 到准线的距离为 2，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，且 AF=3 FB，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为10.已知抛物线 y2=4x，圆 F:(x-1)2+y2=1，直线 y=k(x-1)(k 0)自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D，则 AB CD的值是11.F 为抛物线 y2=4x 的焦点，点 P 在抛物线上，Q 是圆(x-2)2+(y-1)2=1 上的点，则 PQ+PF最小值是12.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=2px(p 0)上任意一点，Q 是线段

186、 PF 上的点，且 2 PQ=QF，则直线 OQ 的斜率的最大值为第 95 页 共 158 页13.如图，过抛物线 y=14 x2的焦点的直线交抛物线与圆 x2+y-12=1 于 A,B,C,D 四点，则 AB CD=14.如图，过抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点 F 作直线交 C 于 A，B 两点，过 A，B 分别向 C 的准线 l 作垂线，垂足为 A1，B1，已知 AAF 与 BBF 的面积分别为 9 和 1，则 ABF 的面积为15.抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,设过点 F 的直线 l 交抛物线与 A,B 两点，且 AF=43,则 BF=16.已知抛物线 y2=2px 的

187、准线方程为 x=-1，焦点为 F,A,B,C 为抛物线上不同的三点，FA,FB,FC成等差数列，且点 B 在 x 轴下方，若 FA+FB+FC=0，则直线 AC 的方程为四、双空题17.己知圆 C:x+12+y2=16,P 是圆 C 上任意点，若 A 1,0，线段 AP 的垂直平分线与直线 CP 相交于点Q，则点 Q 的轨迹方程是若 A 是圆 C 所在平面内的一定点，线段 AP 的垂直平分线与直线 CP 相交于点 Q，则点 Q 的轨迹是:一个点圆椭圆双曲线抛物线，其中可能的结果有18.希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点 A，B 的距离之比为定值(1)的

188、点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系 xOy 中，A(-2，1)，B(-2，4)，点 P 是满足 =12 的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点 Q 为抛物线 E：y2=4x 上的动点，Q 在直线 x=-1 上的射影为 H，则 12 PB+PQ+QH的最小值为第 96 页 共 158 页专题 26：抛物线的对称性问题一、单选题1.抛物线 y=2x2上两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线 y=x+m 对称，且 x1x2=-12，则 m 等于()A.32B.2C.52D.32.有一个正三角形的两个顶点在抛物线 y2=

189、2px(p 0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是()A.2 3pB.4 3pC.6 3pD.8 3p3.已知正 ABC 的顶点 A，B 在抛物线 y2=4x 上，另一个顶点 C 4,0，则这样的正三角形有个？()A.1B.2C.3D.44.已知抛物线 y=x2 上有一定点 A-1,1和两动点 P、Q，当 PA PQ 时，点 Q 的横坐标取值范围是()A.-,-3B.1,+C.-3,1D.-,-3 1,+5.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在 y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是 x2=4y，圆的半径为 r，若圆的大小变化时，圆上的点无

190、法触及抛物线的顶点 O，则圆的半径 r 的取值范围是()A.2,+B.1,+C.2,+D.1,+6.长度为 4 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y=x2上移动，试求线段 AB 的中点 M 到 x 轴距离的最小值为()A.3B.72C.154D.747.已知曲线 C 的抛物线 y2=2x 及抛物线 y2=-2x 组成，A 1,2，B-1,2，M,N 是曲线 C 上关于 y 轴对称的两点(A,B,M,N 四点不共线，且点 M 在第一象限)，则四边形 ABNM 周长的最小值为()A.2+17B.1+17C.3D.4第 97 页 共 158 页8.已知抛物线 y2=2px p 0与圆 x2+y2=5

191、 交于 A，B 两点，且 AB=4，则 p=()A.2B.1C.2D.49.抛物线 E:x2=4y 与圆 M:x2+(y-1)2=16 交于 A、B 两点，圆心 M(0,1)，点 P 为劣弧 AB上不同于 A、B 的一个动点，平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线于点 N，则 PMN 的周长的取值范围是()A.(6,12)B.(8,10)C.(6,10)D.(8,12)二、多选题10.已知 O 为坐标原点，过点 P(a,-1)作两条直线分别与抛物线 C：x2=4y 相切于点 A、B，AB 的中点为M，则下列结论正确的是()A.直线 AB 过定点(0,2)；B.PM 的斜率不存在；C.y 轴上存在

192、一点 N，使得直线 NA 与直线 NB 关于 y 轴对称；D.A、B 两点到抛物线准线的距离的倒数和为定值.三、解答题11.如图，已知抛物线 C1：y2=x 与圆 C2：x-12+y2=r2 r 0有四个不同的公共点 A，B，C，D.()求 r 的取值范围；()求四边形 ABCD 面积的最大值.12.已知直线 l:2x-y+2=0 与抛物线 C:y2=2px p 0有一个公共点.(1)求抛物线方程；(2)斜率不为 0 的直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F，交抛物线于两点 A，B.抛物线 C 上是否存在两点 D，E关于直线 l 对称？若存在，求出 l 的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.第

193、 98 页 共 158 页四、填空题13.已知抛物线 y2=2px p 0，F 为其焦点，l 为其准线，过 F 任作一条直线交抛物线于 A，B 两点，A,B分别为 A，B 在 l 上的射影，M 为 AB 的中点，给出下列命题：AF BF；AM BM；AF BM；AF 与 AM 的交点在 y 轴上；AB 与 AB 交于原点.其中真命题是(写出所有真命题的序号)14.曲线 C 是平面内到定点 F32,0和定直线 l：x=-32 的距离之和等于 5 的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线 C 关于 y 轴对称；若点 P(x,y)在曲线 C 上，则 y 满足|y|4；若点 P(x,y)在曲线 C 上，则

194、1|PF|5.其中，正确结论的序号是15.以抛物线 C：y2=2px(p 0)的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点，交 C 的准线于 D,E 两点.已知|AB|=2 6，|DE|=2 10，则 p 等于16.已知抛物线的方程为 y2=2px(p 0)，O 为坐标原点，A，B 为抛物线上的点，若 OAB 为等边三角形，且面积为 48 3，则 p 的值为第 99 页 共 158 页专题 27：抛物线的定点问题1.已知抛物线 C:y2=2px p 0的焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A，B 两点，AOB(点 O 为坐标原点)的面积为 2.(1)求抛物线 C 的方程；(2

195、)设不经过原点 O 的直线 l 与抛物线交于 P Q 两点，设直线 OP OQ 的倾斜角分别为 和，证明：当 +=4 时，直线 l 恒过定点.2.已知点 A 0,-1，B 0,1，动点 P 满足 PBAB=PA BA记点 P 的轨迹为曲线 C(1)求 C 的方程；(2)设 D 为直线 y=-2 上的动点，过 D 作 C 的两条切线，切点分别是 E，F证明：直线 EF 过定点3.设抛物线 y2=2px p 0的焦点为 F，已知直线 l1：mx-y-2m=0，圆 E：x2+y2-2x-4y-4=0.(1)设直线 l1与圆 E 的交点分别为 P，Q，求当 PQ取得最小值时，直线 l1的方程；(2)若

196、抛物线过圆 E 的圆心，直线 l1，l2过同一定点且与抛物线相交于 A，B 和 C，D 点，l1 l2，设 M 是AB 的中点，N 是 CD 的中点，证明：直线 MN 恒过定点.4.已知抛物线 C1:y2=2px p 0的焦点 F 是椭圆 C2:x2+2y2=1 的一个顶点.(1)求抛物线 C1的方程；(2)若点 P 1,2，M、N 为抛物线 C1上的不同两点，且 PM PN，问：直线 MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.5.在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y=x 被抛物线 C:y2=2px(p 0)截得的弦长为 4 2，直线 l 与抛物线 C 相交于点

197、 M，N，点 A 1,2，且直线 AM，AN 的斜率之和为 4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)求证：直线 l 过定点，并求出定点坐标.第 100 页 共 158 页6.已知抛物线 E:x2=2py p 0的焦点为 F，A 2,y0是 E 上一点，且 AF=2.(1)求抛物线 E 的方程；(2)设点 B 是 E 上异于点 A 的一点，直线 AB 与直线 y=x-3 交于点 P，过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线 E 于点 M，证明：直线 BM 过定点，并求出该定点坐标.7.在平面直角坐标系 xOy 中，M 为直线 y=x-3 上的动点，过点 M 作抛物线 C:x2=2y 的两条切线 MA,M

198、B，切点分别为 A,B,N 为 AB 的中点.(1)证明 MN x 轴；(2)直线 AB 是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由.8.已知点 A 1,0，E，F 为直线 x=-1 上的两个动点，且 AE AF，动点 P 满足 EP OA，FO OP(其中 O 为坐标原点).(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 相交于两不同点 M、N，如果 OM ON=-4，证明:直线 l 必过一定点，并求出该定点的坐标.9.平面上动点 M 到定点 F 1,0的距离比 M 到直线 x=-2 的距离小 1(1)求动点 M 满足的轨迹方程 C(2)若 A，B 是(1

199、)中方程 C 表示的曲线上的两点，且 OA OB(O 为坐标原点)试问直线 AB 是否经过定点，并说明理由第 101 页 共 158 页10.设抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点为 F，点 P 4,m是抛物线 C 上一点，且 PF=5(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 AF+BF=6，求证：线段 AB 的垂直平分线过定点11.已知 F 是抛物线 C:y2=2px p 0的焦点，M 1,t是抛物线上一点，且 MF=32.(1)求抛物线 C 的方程；(2)已知斜率存在的直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若直线 AF，BF 的倾斜角互补

200、，则直线 l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由.12.在直角坐标系 xOy 中，已知一动圆经过点 3,0，且在 y 轴上截得的弦长为 6，设动圆圆心的轨迹为曲线 C(1)求曲线 C 的方程；(2)过点32,0作相互垂直的两条直线 l1，l2，直线 l1与曲线 C 相交于 A，B 两点，直线 l2与曲线 C 相交于 E，F 两点，线段 AB，EF 的中点分别为 M、N，求证：直线 MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.第 102 页 共 158 页专题 28：抛物线的定值问题一、单选题1.如图，已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，过点 P 4,0的直线交抛物线 A x1,

201、y1,B x2,y2两点，直线 AF,BF 分别与抛物线交于 M,N 点，记直线 MN 的斜率为 k1，直线 AB 的斜率为 k2，则 k1k2=()A.1B.2C.3D.4二、解答题2.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的点均在 C2:x-52+y2=9 外，且对 C1上任意一点 M，M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值(1)求曲线 C1的方程；(2)设 P x0,y0y0 3为圆 C2外一点，过 P 作圆 C2的两条切线，分别与曲线 C1相交于点 A、B 和 C、D证明：当 P 在直线 x=-4 上运动时，四点 A、B、C、D 的纵坐标之积为定值3.已知抛物线

202、 C：y2=2px(p 0)的焦点是 F，若过焦点的直线与 C 相交于 P，Q 两点，所得弦长|PQ|的最小值为 4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设 A，B 是抛物线 C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若 OA OB，OM AB，M 为垂足，证明：存在定点 N，使得|MN|为定值.第 103 页 共 158 页4.如图，已知过拋物线 C:y2=4x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于点 A,B(点 A 在第一象限)，线段 AB 的中点为 M,拋物线 C 在点 A 处的切线与以 AM 为直径的圆交于另一点 P.(1)若 AF=4FB，求直线 AB 的方程；(2)试问|AP|2AB AF

203、是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出它的最大值.5.动圆 C 过定点 Fp2,0，且与直线 x=-p2 相切，其中 p 0，设圆心 C 的轨迹为(1)求轨迹 的方程；(2)设直线 l 交轨迹 于不同的两个点 A x1,y1、B x2,y2，当 y1y2=-p 时，直线 l 过定点，请求出定点坐标；(3)设轨迹 上的两个定点 P0 x0,y0、Q0 x0,y0，分别过点 P0、Q0作倾斜角互补的两条直线 P0M、Q0N分别与轨迹 交于 M、N 两点，求证：直线 MN 的斜率为定值6.已知抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点 F 与椭圆 x24+y23=1 的右焦点重合，点 M 是抛

204、物线 C 的准线上任意一点，直线 MA，MB 分别与抛物线 C 相切于点 A，B.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1 k2为定值；(3)求 AB的最小值.第 104 页 共 158 页7.如图，已知 M94,3是抛物线 C:y2=2px p 0上一点，直线 AM，BM 的斜率互为相反数，与抛物线 C 分别交于 A，B 两点，且均在 M 点的下方(1)证明：直线 AB 的斜率为定值；(2)求 MAB 面积的最大值8.己知过点 M 0,mm 0的直线 l 与抛物线 C:x2=4y 交于 A，B 两点(1)分别以 A，B 为切点作抛物线的两

205、条切线 PA，PB，交点为 P，当 m=1 时，求点 P 的轨迹方程；(2)若1AM2+1BM2 为定值，求 m 的值9.如图，抛物线 y2=4x 的焦点为 F，AB 为过点 F 的弦，设直线 AB 的斜率为 k(k 0).AB 的中垂线与 x 轴交于点 P，抛物线在 A，B 两点处切线交于点 Q.(1)当 AB=6 时，求 PAB 的面积；(2)判断 SPABSQAB 是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.第 105 页 共 158 页10.已知抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 到准线 l 的距离为 2，直线 x-y+m=0 m R与抛物线交于不同的两点 A，B.(1)求抛

206、物线的方程；(2)是否存在与 m 的取值无关的定点 T，使得直线 AT，BT 的斜率之和恒为定值？若存在，求出所有点 T 的坐标；若不存在，请说明理由.11.已知抛物线 E:y2=4x，过点 Q 2,0作直线与抛物线 E 交于 A,B 两点，点 P 是抛物线上异于 A,B 两点的一动点，直线 PA,PB 与直线 x=-2 交于 M,N 两点.(1)证明：M,N 两点的纵坐标之积为定值；(2)求 MNQ 面积的最小值.第 106 页 共 158 页12.如图，已知抛物线 y2=2px p 0，在 x 轴正半轴上有一点 M t,0t 0，过点 M 作直线 l1，l2分别交抛物线于点 A,B,C,D

207、，过点 M 作 l3垂直于 x 轴分别交 AD,BC 于点 P,Q.当 t=12 p，直线 l1的斜率为 1 时，AB=4.(1)求抛物线的方程；(2)判断 MPMQ 是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由.13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知焦点为 F 的抛物线 x2=4y 上有两个动点 A、B，且满足 AF=FB，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为 M.(1)求：OA OB的值；(2)证明：FM AB为定值.14.已知抛物线 C:x2=2py(p 0)经过点 P(2,1)，过点 Q(1,0)的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B，且直线 PA 交

208、 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N(1)求直线 l 的斜率的取值范围；(2)设 O 为原点，QM=QO，QN=QO，求证:1+1 为定值第 107 页 共 158 页15.设 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，M，P，Q 是抛物线上三个不同的动点，直线 PM 过点 F，MQ OP，直线 QP 与 MO 交于点 N记点 M，P，Q 的纵坐标分别为 y0，y1，y2(1)证明：y0=y1-y2；(2)证明：点 N 的横坐标为定值第 108 页 共 158 页专题 29：抛物线的定直线问题1.已知抛物线 C：x2=2py(p 0)与圆 O：x2+y2=12 相交于 A，B 两点，且点

209、A 的横坐标为 2 2.F 是抛物线 C 的焦点，过焦点的直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 M，N.(1)求抛物线 C 的方程.(2)过点 M，N 作抛物线 C 的切线 l1，l2，P x0,y0是 l1，l2的交点，求证：点 P 在定直线上.2.如图，已知抛物线 C：y2=2px p 0的焦点 F，过 x 轴上一点 T 2,0作两条直线分别交抛物线于 A，B和 C，D，设 AC 和 BD 所在直线交于点 P设 M 为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：M 点坐标可以为 4,4；MF x 轴时，MF=3；MF比 M 到 y 轴距离大 1(1)抛物线 C 同时满足的条件是哪两个？并求抛

210、物线方程；(2)判断并证明点 P 是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由3.如图，已知点 F 1,0，A、B 为抛物线上 y2=4x 不同的两点(B 在 A 的右上方，F 在直线 AB 的下方)，满足 BAF=AFO+45.(1)证明：AB 的中点 C 位于某定直线上；(2)记 ABF 内切圆、外接圆的半径分别为 r、R，求 Rr 的最小值.第 109 页 共 158 页4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2=2px p 0及点 M 2,0，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB=4.(1)求 p 的值；(2)若 l

211、与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上.5.已知圆 E:x2+2x+y2-1=0，抛物线 F:y=x22p p 0，倾斜角为 4 的直线 l1过 F 的焦点且与 E 相切(1)求 p 的值；(2)点 M 在 F 的准线上，动点 A 在 F 上，F 在 A 点处的切线 l2交 y 轴于点 B，设四边形 BMAN 为平行四边形，求证：点 N 在直线 y=3 上.6.已知圆 M 经过点 0,1与直线 y=-1 相切，圆心 M 的轨迹为曲线 C，过点 N 0,2做直

212、线与曲线 C 交于不同两点 A,B，三角形 OAB 的垂心为点 H.(1)求曲线 C 的方程；(2)求证：点 H 在一条定直线上，并求出这条直线的方程.7.已知抛物线 L：y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 M 5,0的动直线 l 与抛物线 L 交于 A，B 两点，直线 AF 交抛物线 L 于另一点 C，直线 AC 的最小值为 4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 A 作 y 轴的垂线 m，则 x 轴上是否存在一点 P x0,0，使得直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.第 110 页 共 158 页8.平面直角

213、坐标系 xOy 中，已知抛物线 y2=2px(p 0)及点 M(2，0)，动直线 l 过点 M 交抛物线于 A，B 两点，当 l 垂直于 x 轴时，AB=4.(1)求 p 的值；(2)若 l 与 x 轴不垂直，设线段 AB 中点为 C，直线 l1经过点 C 且垂直于 y 轴，直线 l2经过点 M 且垂直于直线 l，记 l1，l2相交于点 P，求证：点 P 在定直线上.9.已知椭圆 C1：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，且经过点-22,32.()求椭圆 C1的标准方程；()已知抛物线 C2的焦点与椭圆 C1的右焦点重合，过点 P 0,-2的动直线与抛物线 C2相交于 A，B两

214、个不同的点，在线段 AB 上取点 Q，满足 AP QB=AQ PB，证明：点 Q 总在定直线上10.曲线 C 上任一点到定点(0，18)的距离等于它到定直线 y=-18 的距离(1)求曲线 C 的方程；(2)经过 P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线 l1、l2分别交曲线 C 于 A、B 两点，且 l1 l2，设 M 是 AB 中点，问是否存在一定点和一定直线，使得 M 到这个定点的距离与它到定直线的距离相等若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程若不存在，说明理由第 111 页 共 158 页11.如图，已知抛物线 C:y=12 x2直线 y=kx+2 交抛物线 C 于 A，B 两点，O

215、 为坐标原点.(1)证明：OA OB；(2)设抛物线 C 在点 A 处的切线为 l1，在点 B 处的切线为 l2，证明：l1与 l2的交点 M 在一定直线上.12.已知抛物线 C:y2=2px p 0，圆 B:x2+y2-6x+1=0，直线 m:x-y+b=0 b 0与抛物线 C 和圆 B 同时相切.(1)求 p 和 b 的值；(2)若点 A 的坐标为-2,0，过点 A 且斜率为 23 的直线 l1与抛物线 C 分别相交于 P、Q 两点(点 Q 在点 P 的右边)，过点 A 的直线 l2与抛物线 C 分别相交于 M、N 两点，直线 l1与 l2不重合，直线 PM 与直线 QN 相交于点 T，求

216、证：点 T 在定直线上.第 112 页 共 158 页专题 30：抛物线的范围问题一、单选题1.抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，准线为 l，A、B 是抛物线上两个动点，且满足 AFB=3，设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N，则|MN|AB|的最大值是()A.1B.2C.2D.4二、解答题2.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 y 轴的正半轴上，直线 l:mx+y-32=0 经过抛物线 C 的焦点(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，过 A、B 两点分别作抛物线 C 的切线，两条切线相交于点 P，求 ABP 面积的最小值

217、.3.已知直线 l1，l2分别于抛物线 y2=x 相切于 A，B 两点(1)若点 A 的坐标为(1，-1)，求直线 l1的方程；(2)若直线 l1与 l2的交点为 P，且点 P 在圆(x+2)2+y2=1 上，设直线 l1，l2与 y 轴分别交于点 M，N，求|MN|AB|的取值范围4.已知抛物线 H:x2=2py(p 0)的焦点为 F，经过点(0,1)作倾斜角为 45 的直线交 H 于 A，B 两点，且弦 AB 的长|AB|=8 3(1)求抛物线 H 的方程；(2)设直线 l 的方程为 y=12 x+t(t 0)，且 l 与 H 相交于 C，D 两点，若 E 是 F 关于原点 O 的对称点，

218、记直线 CE，DE 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2的取值范围第 113 页 共 158 页5.如图，椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左顶点为 A，离心率为 12，长轴长为 4，椭圆 C 和抛物线 F:y2=2px p 0有相同的焦点，直线 l:x-y+m=0 与椭圆交于 M，N 两点，与抛物线交于 P，Q 两点(1)求抛物线 F 的方程；(2)若点 D，E 满足 AD=AM+AN，AE=AP+AQ，求 AD AE的取值范围6.已知抛物线 C:y=12 x2，过不在 y 轴上的点 P 作 C 的两条切线 PA,PB，切点分别为 A,B直线 AB 与 y 轴交于点 M，直线

219、PO(O 为坐标原点)与 AB 交于点 N，且 PN AB(1)证明 M 是一个定点；(2)求|PN|MN|的最小值7.已知抛物线 C:y2=2px 的焦点为 F(1,0)，且点 M x0,y0y0 1是抛物线 C 上的动点，过 M 作圆 Q:(x-a)2+y2=1 的两条切线，分别交抛物线 C 于 A，B 两点()求抛物线 C 的方程；()当直线 MQ 垂直于直线 AB 时，求实数 a 的取值范围第 114 页 共 158 页8.若抛物线 y2=4x 上存在关于直线 y=kx+3(k 0)对称的两点，求 k 的取值范围.9.如图，设抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，抛物线上的点 A

220、 到 y 轴的距离等于|AF|-1.()求 p 的值；()若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，求 N 的横坐标的取值范围10.如图，椭圆 C1：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右焦点分别为 F1,F2，离心率为32，过抛物线 C2：x2=4by焦点 F 的直线交抛物线于 M,N 两点，当|MF|=74 时，M 点在 x 轴上的射影为 F1，连接 NO,MO并延长分别交 C1于 A,B 两点，连接 AB，OMN 与 OAB 的面积分别记为 SOMN，SOAB，设 =SOMNSOAB.(1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方

221、程；(2)求 的取值范围.第 115 页 共 158 页11.如图，已知抛物线 C1：y2=x 与圆 C2：x-12+y2=r2 r 0有四个不同的公共点 A，B，C，D.()求 r 的取值范围；()求四边形 ABCD 面积的最大值.12.已知抛物线 E：y2=2px p 0和直线 l：x-y+4=0，P 是抛物线 E 上的点，且点 P 到 y 轴的距离与到直线 l 的距离之和的最小值 5 22-1(1)求抛物线 E 的方程；(2)设 Q l，过点 Q 作抛物线 E 的两条切线，切点分别记为 A，B，抛物线 E 在点 P 处的切线与 QA，QB 分别交于 M，N 两点，求 QMN 外接圆面积的

222、最小值.13.已知：抛物线 C1:y=x2+2，过 C1外点 P 作 C1的两条切线，切点分别为 A、B.()若 P 2,0，求两条切线的方程；()点 P 是椭圆 C2:x24+y2=1 上的动点，求 PAB 面积的取值范围.第 116 页 共 158 页专题 31：抛物线的存在探索性问题1.已知点 P 到直线 y=-3 的距离比点 P 到点 A(0，1)的距离多 2.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)经过点 Q(0，2)的动直线 l 与点 P 的轨迹交于 M，N 两点，是否存在定点 R 使得 MRQ=NRQ？若存在，求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，已知抛物线 M:x2=2

223、py(p 0)的焦点为 F(0,1)，过焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，在 A，B 两点处的切线相交于 N，再分别过 A，B 两点作准线的垂线，垂足分别为 C，D.(1)求证：点 N 在定直线上；(2)是否存在点 N，使得 BDN 的面积是 ACN 的面积和 ABN 的面积的等差中项，若存在，请求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.3.已知抛物线 C:y2=2px(p 0)的焦点为 F，过 F 作一条直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两点(1)若直线 l 的倾斜角为 4，请用 p 表示 A、B 两点之间的距离；(2)若点 A 在抛物线 C 的准线上的射影为点 D，求证：B、O

224、、D 在同一条直线上；(3)在 x 轴上是否存在点 Q，使得点 Q 关于直线 y=2x 的对称点在抛物线 C 上？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由第 117 页 共 158 页4.已知抛物线 C:y2=2px p 0，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线 C 于 A,B 两点，若线段 AB 的中点的纵坐标为 2(1)求抛物线 C 的方程；(2)若点 P(-4,0)，问 x 轴上是否存在点 T，使得过点 T 的任一条直线与抛物线 C 交于点 M,N 两点，且点 T 到直线 MP,NP 的距离相等？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，说明理由5.从抛物线 y2=

225、36x 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是线段 PQ 上的一点，且满足 PM=2MQ.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设直线 x=my+1(m R)与轨迹 C 交于 A，B 两点，T 为 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AT，BT 分别与直线 x=-1 交于 D，E 两点，以 DE 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由.6.如图，点 F 为抛物线 C1：x2=2y 的焦点，点 M 是抛物线 C1在第二象限上的一点，过点 M 作圆 C2：x-22+y2=1 的两条切线，交 C1于 A，B 两点，抛物

226、线 C1在点 M 处的切线分别交 x 轴，y 轴于点 P，Q(1)求证：|MQ|2|QO|QF|为定值；(2)是否存在点 M，使得 A，B，P 三点共线，若存在，求 M 点坐标，不存在，说明理由第 118 页 共 158 页7.已知抛物线 C1:y2=4x 与圆 C2:x2+y2=r2一个交点的横坐标 x0=5-2，C1的一条切线过点 P 1,2，与 C2交于 A，B 两点，且 A 点在 B 点的右侧，O 为坐标原点.(1)证明：OA OB；(2)若过点 A 的直线 l 与 C1交于不同的两点 M，N.求直线 l 的斜率 k 的取值范围；是否存在一定点 Q，使得 QM QN为定值？若存在，求出

227、定点 Q 和定值；若不存在.请说明理由.8.已知抛物线 C:y2=2px 0 p 5，与圆 M:x-52+y2=16 有且只有两个公共点(1)求抛物线 C 的方程；(2)经过 R 2,0的动直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点，试问在直线 y=2 上是否存在定点 Q，使得直线AQ,BQ 的斜率之和为直线 RQ 斜率的 2 倍？若存在，求出定点 Q；若不存在，请说明理由9.已知抛物线 C 的顶点在原点 O，对称轴是 x 轴，并且经过点 P(3,6).(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 交抛物线 C 于异于点 P 的 A，B 两点，且 PA PB，PQ AB，Q 为垂足.是否存在定

228、点 M，使得|MQ|为定值？若存在，求出定点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.10.已知三点 O(0,0)，A(-2,1)，B(2,1)，曲线 C 上任意一点 M(x,y)满足|MA+MB|=OM(OA+OB)+2.(1)求曲线 C 的方程；(2)动点 Q(x0,y0)(-2 x0 2)在曲线 C 上，曲线 C 在点 Q 处的切线为 l.问：是否存在定点 P(0,t)(t 0)经过点(2,-2 2).(1)求抛物线 C 的方程及其相应准线方程；(2)过点 E(2,0)作斜率为 k1,k2的两条直线分别交抛物线于 M,N 和 P,Q 四点，其中 k1+k2=1.设线段 MN 和 PQ 的中点分

229、别为 A,B,过点 E 作 ED AB,垂足为 D.证明：存在定点 T,使得线段 TD 长度为定值.12.已知抛物线 C：y2=2px p 0经过点 1,-2，过点 M 8,-4的直线与抛物线 C 交于 A，B 两点.(1)求抛物线 C 的方程；(2)在抛物线 C 上是否存在定点 N，使得 NA NB=0？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由.13.已知抛物线 y2=4x 的弦 AB 过焦点 F.1若 AB x 轴，M 为抛物线准线与 x 轴交点，求 AMB 的大小；2若焦点弦 AB 斜率为 k(常数 k 0)，则能否在抛物线准线上找到一点 M 使 1中 AMB 大小不变.第 12

230、0 页 共 158 页14.动圆 P 过定点 A(2,0)，且在 y 轴上截得的弦 GH 的长为 4.(1)若动圆圆心 P 的轨迹为曲线 C，求曲线 C 的方程；(2)在曲线 C 的对称轴上是否存在点 Q，使过点 Q 的直线 l 与曲线 C 的交点 S、T满足1|QS|2+1|QT|2 为定值？若存在，求出点 Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.15.已知抛物线 L：y2=2px(p 0)的焦点为 F，过点 M 5,0的动直线 l 与抛物线 L 交于 A，B 两点，直线 AF 交抛物线 L 于另一点 C，直线 AC 的最小值为 4.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若过点 A 作 y 轴的垂

231、线 m，则 x 轴上是否存在一点 P x0,0，使得直线 PB 与直线 m 的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.第 121 页 共 158 页专题 32：抛物线向量结合问题一、单选题1.已知过抛物线 y2=2px p 0的焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点，且 AF=3FB，抛物线的准线 l与 x 轴交于点 C，AA1 l 于点 A1，若四边形 AA1CF 的面积为 12 3，则准线 l 的方程为()A.x=-2B.x=-2 2C.x=-2D.x=-12.过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点 F 作渐近线的垂线，设垂

232、足为 P(P 为第一象限的点)，延长FP 交抛物线 y2=2px(p 0)于点 Q，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若 OP=12(OF+OQ)，则双曲线的离心率的平方为()A.5B.52C.5+1D.5+123.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点 F，直线 l 与 C 交于 A、B 两点，且 2BF=FA，则直线 l 的斜率可能为()A.2 2B.2C.1D.24二、解答题4.设抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点为 F，经过点 F 的动直线 l 交抛物线 C 于 A x1,y1，B x2,y2两点，且 y1y2=-4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若 OE=2 OA+OB(O

233、 为坐标原点)，且点 E 在抛物线 C 上，求直线 l 的倾斜角；(3)若点 M 是抛物线 C 的准线上的一点，直线 MF，MA，MB 斜率分别为 k0，k1，k2，求证：当 k0为定值时，k1+k2也为定值.5.已知抛物线 C:x2=2py p 0的焦点为 F，点 Q 在抛物线 C 上，点 P 的坐标为 1,12，且满足 OF+2FP=FQ(O 为坐标原点).(1)求抛物线 C 的方程；(2)若直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，且弦 AB 的中点 M 在直线 y=2 上，试求 OAB 的面积的最大值.第 122 页 共 158 页6.已知抛物线 y2=2px(p 0)的焦点为 F，过

234、 H-p2,0引直线 l 交此抛物线于 A，B 两点.()若直线 AF 的斜率为 2，求直线 BF 的斜率；()若 p=2，点 M 在抛物线上，且 FA+FB=tFM，求 t 的取值范围.7.抛物线 C 的方程为 y=ax2(a 0，M 为直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B()设线段 AB 的中点为 N；()求证：MN 平行于 y 轴；()已知当 M 点的坐标为 2，-2p时，AB=4 10，求此时抛物线的方程；()是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x2=2py p 0上，其中，点 C 满足 OC=OA+OB(O 为坐标原

235、点)若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由第 123 页 共 158 页9.已知圆：N:(x+1)2+y2=2 和抛物线 C:y2=x,圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 A,B.(1)当切线 l 斜率为-1 时，求线段 AB 的长；(2)设点 M 和点 N 关于直线 y=x 对称，且 MA MB=0,求直线 l 的方程.10.(本小题 12 分)已知如图，圆 N:(x+2)2+y2=8 和抛物线 C:y2=2x，圆的切线 l 与抛物线 C 交于不同的点 A，B.(1)当直线 l 的斜率为 1 时，求线段 AB 的长；(2)设点 M 和点 N 关于直线 y

236、=x 对称，问是否存在圆的切线 l:x=my+a 使得 MA MB？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.11.在圆 x2+y2=4 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P 在圆上运动时，点 M 在线段 PD 上，且 DM=12 DP，点 M 的轨迹为曲线 C1.(1)求曲线 C1的方程；(2)过抛物线 C2：y2=8x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，过 F 且与直线 l 垂直的直线交曲线 C1于另一点 C，求 ABC 面积的最小值，以及取得最小值时直线 l 的方程.第 124 页 共 158 页专题 33：抛物线的应用问题一

237、、单选题1.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F，一条平行于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则ABM 的周长为()A.9+10B.9+26C.7112+26D.8312+262.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 y2=2px(p 0)，弦 AB

238、过焦点，ABQ 为阿基米德三角形，则 ABQ 为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随 Q 位置变化前三种情况都有可能关系3.设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y2=4x 上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D.14.若抛物线 y2=2px 的焦点为 F，点 A、B 在抛物线上，且 AFB=23，弦 AB 的中点 M 在准线 l 上的射影为 M，则 MMAB的最大值为()A.4 33B.2 33C.33D.35.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线(光线不同过抛物线对称轴上任意两点)

239、经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于 x轴的光线从 M 3,1射出，经过抛物线 y2=4x 上过的点 A 反射后，再经抛物线上的另一点 B 反射出，则直线 AB 的斜率为()A.-43B.43C.43D.-169第 125 页 共 158 页二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米，若水面下降 0.42 米，则水面宽为米.7.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线 y2=2x，平行于 x 轴的光线在抛物线上点 P

240、处反射后经过抛物线的焦点 F，在抛物线上点 Q处再次反射，又沿平行于 x 轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为8.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的 4 个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系 xoy，根据图上尺寸，溢流孔 ABC 所在抛物线的方程为；溢流孔与桥拱交点 A 的横坐标为9.已知抛物线 C:y2=2px p 0，有如下性质：由抛物线焦点 F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为 120，过抛物线 C 的焦点

241、F，经反射后，反射光线与 x 轴的距离为3，则抛物线 C 的方程为10.已知点 M 4,0，点 P 在曲线 y2=8x 上运动，点 Q 在曲线 x-22+y2=1 上运动，则 PM2PQ的最小值是第 126 页 共 158 页三、解答题11.设抛物线 C:y2=2px p 0的焦点为 F，准线为 l，AB 为抛物线 C 过焦点 F 的弦，已知以 AB 为直径的圆与 l 相切于点-1,0.(1)求 p 的值及圆的方程；(2)设 M 为 l 上任意一点，过点 M 作 C 的切线，切点为 N，证明：MF NF.12.抛物线有光学性质，即由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出

242、，反之亦然.如图所示，今有抛物线 C:y2=2x，一光源在点 M 处，由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点 P，反射后，又射向抛物线上的点 Q，再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出，途中遇到直线 l 上的 N 点，再反射后又射回点 M.设 P，Q 两点的坐标分别是 x1,y1，x2,y2.(1)证明：y1y2=-1；(2)若四边形 MPQN 是平行四边形，且点 M 的坐标为(4,2).求直线 l 的方程.13.有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米.若

243、行车道总宽度 AB 为 8 米.(1)计算车辆通过隧道时的限制高度；(2)现有一辆载重汽车宽 3.5 米，高 4.2 米，试判断该车能否安全通过隧道？第 127 页 共 158 页专题 34：圆锥曲线中点弦问题一、单选题1.若椭圆 x216+y28=1 的弦被点(2,1)平分，则此弦所在的直线方程是()A.x+y-3=0B.x+2y-4=0C.2x+10y-14=0D.x+3y-5=02.已知抛物线 E:y2=x，直线 y=kx-2 交抛物线 E 于 A,B 两点，M 是 AB 的中点，过 M 作 y 轴的垂线交抛物线 E 于点 N，且 NA NB=0，若 k 1，则 k 为()A.2B.32

244、C.3D.23.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左焦点为 F，过点 F 的直线 x-y+3=0 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、B，若 P 为线段 AB 的中点，O 为坐标原点，直线 OP 的斜率为-12，则椭圆 C 的方程为()A.x23+y22=1B.x24+y23=1C.x25+y22=1D.x26+y23=14.已知双曲线 x2a2-y2b2=1 a 0,b 0，斜率为 12 的直线 l 交双曲线于 M、N，O 为坐标原点，P 为 MN 的中点，若 OP 的斜率为 2，则双曲线的离心率为()A.2B.5C.2 3D.45.已知直线 l:(a+1)x+(a+2)y-

245、2a-3=0 经过定点 P，与抛物线 x2=4y 交于 A,B 两点，且点 P 为弦 AB 的中点，则直线 l 的方程为()A.x+2y-3=0B.x-2y+1=0C.2x-y+1=0D.x+y-2=06.已知双曲线 x2-y22=1 上存在两点 M，N 关于直线 y=-x+b 对称，且 MN 的中点在抛物线 y2=3x 上，则实数 b 的值为()A.0 或 94B.0C.94D.-8二、填空题7.已知过抛物线 y2=8x 的焦点 F 且倾斜角为 60的直线交抛物线于 A、B 两点，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是8.双曲线 C 的一个焦点为 F(3,0)，中心为原点，过 F 的直线 l

246、 与 C 交于 A，B 两点，若 AB 的中点为 E(-12,-15)，则此双曲线的渐近线方程为第 128 页 共 158 页三、解答题9.已知椭圆 x22+y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2，过 F1的直线 l 不垂直坐标轴，与椭圆交于 A,B 两点，M 是 AB 的中点(1)若点 M 的横坐标为-12，求点 M 的纵坐标；(2)记 F2A,F2B,F2M 的斜率分别为 k1,k2,k3，是否存在直线 l 使得 k1,2k3,k2成等差数列，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由10.已知椭圆 E:x24+y22=1，经过点 M m,1且斜率为 k 的直线 l 与 E 相交

247、于 C,D 两点，与 x 轴相交于点 P.(1)若 m 0，且 M 恰为线段 CD 的中点，求证：线段 CD 的垂直平分线经过定点；(2)若 m=0，设 A,B 分别为 E 的左、右顶点，直线 AC、BD 相交于点 Q.当点 P 异于 A,B 时，OP OQ是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.11.已知椭圆方程为 x23+y22=1，左右焦点分别为 F1,F2，直线 l 过椭圆右焦点 F2且与椭圆交于 A、B 两点，(1)若 P 为椭圆上任一点，求 PF1 PF2的最大值，(2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程，第 129 页 共 158 页12.如图，F1、F2是离心率为22 的

248、椭圆 C：x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点，过 F1作 x 轴的垂线交椭圆C 所得弦长为 2 2，设 A、B 是椭圆 C 上的两个动点，线段 AB 的中垂线与椭圆 C 交于 P、Q 两点，线段AB 的中点 M 的横坐标为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 F2P F2Q的取值范围.13.如图，设椭圆 y2a2+x2b2=1(a b 0)两顶点 A(-b,0),B(b,0)，短轴长为 4，焦距为 2，过点 P(4,0)的直线 l 与椭圆交于 C,D 两点设直线 AC 与直线 BD 交于点 Q1.(1)求椭圆的方程；(2)求线段 C,D 中点 Q 的轨迹方程；(3)求证：点 Q

249、1的横坐标为定值.第 130 页 共 158 页14.已知抛物线 y2=2px(p 0)过点 P(m,2)，且 P 到抛物线焦点的距离为 2 直线 l 过点 Q(2,-2)，且与抛物线相交于 A，B 两点.()求抛物线的方程；()若点 Q 恰为线段 AB 的中点，求直线 l 的方程；()过点 M(-1,0)作直线 MA，MB 分别交抛物线于 C，D 两点，请问 C，D，Q 三点能否共线？若能，求出直线 l 的斜率 k；若不能，请说明理由.15.设 A、B 是椭圆 3x2+y2=15 上的两点，点 N 1,3是线段 AB 的中点，线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点(1)求直线 A

250、B 的方程；(2)判断 A、B、C、D 四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由16.过椭圆 x216+y24=1 内一点 M(2，1)引一条弦，使弦被 M 点平分(1)求此弦所在的直线方程；(2)求此弦长第 131 页 共 158 页专题 35：圆锥曲线的弦长问题1.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为63，且过点(3,1).(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)过椭圆 E 右焦点的直线 l1、l2相互垂直，且分别交椭圆 E 于 A、B 和 C、D 四点，求 AB+CD的最小值.2.已知椭圆 x2a2+y24=1 上一点到椭圆两焦点的距离之和为 4 2(1

251、)求 a 的值及椭圆的离心率；(2)顺次连结椭圆的顶点得到菱形 A1B1A2B2，求该菱形的内切圆方程；(3)直线 l 与(2)中的圆相切并交椭圆于 A，B 两点，求|AB|的取值范围3.如图，点 P x0,y0在抛物线 C:y=x2外，过点 P 作抛物线 C 的两切线，设两切点分别为A x1,x21、B x2,x22，记线段 AB 的中点为 M(1)证明：线段 PM 的中点 N 在抛物线 C 上；(2)设点 P 为圆 D:x2+y+22=1 上的点，当 ABPM取最大值时，求点 P 的纵坐标第 132 页 共 158 页4.如图所示，已知点 F1、F2是椭圆 C1:x22+y2=1 的两个焦

252、点，椭圆 C2:x22+y2=经过点 F1、F2，点 P 是椭圆 C2上异于 F1、F2的任意一点，直线 PF1和 PF2与椭圆 C1的交点分别是 A、B 和 C、D.设 AB、CD 的斜率分别为 k1、k2.(1)求证：k1 k2为定值；(2)求 AB CD的最大值.5.已知椭圆 C:x2a2+y23=1 a 3的离心率为 12，过点 0,1的直线 l 与 C 有两个不同的交点 A，B，线段 AB 的中点为 D，O 为坐标原点，直线 l 与直线 OD 分别交直线 x=4 于点 M，N.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)求线段 MN的最小值.6.已知椭圆 C:x2a2+y23=1 a 3的左

253、、右顶点分别为 A1，A2，点 P 为椭圆 C 上异于 A1，A2的一点，且直线 PA1，PA2的斜率之积为-34.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 l 过右焦点 F2与椭圆 C 交于 M，N 两点(M，N 与 A1不重合)，l 不与 x 轴垂直，若 kA1M+kA1N=-kMN，求 MN.第 133 页 共 158 页7.已知抛物线 C：y2=2px(p 0)的焦点 F 与椭圆 x24+y23=1 的右焦点重合，点 M 是抛物线 C 的准线上任意一点，直线 MA，MB 分别与抛物线 C 相切于点 A，B.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k

254、2，证明：k1 k2为定值；(3)求 AB的最小值.8.设椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a，b 0)过 M(2，2)，N(6，1)两点，O 为坐标原点，(1)求椭圆 E 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，B，且 OA OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由.9.已知 F1(-1,0)，F2(1,0)椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，点 P 是 C 的上顶点，且直线 PF2的斜率为-3(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F2作两条互相垂直的直线 l1，l2若 l1与 C 交于

255、A，B 两点，l2与 C 交于 D，E 两点，求|AB|+|DE|的最大值第 134 页 共 158 页10.已知椭圆 E：x2a2+y2b2=1 a b 0四个顶点中的三个是边长为 2 3 的等边三角形的顶点.(1)求椭圆 E 的方程：(2)设直线 y=kx+m 与圆 O：x2+y2=2b23 相切且交椭圆 E 于两点 M，N，求线段 MN的最大值.11.已知椭圆 C:x26+y25=1 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F2的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点.(1)若 F1AB 的面积为 20 311，求直线 l 的方程；(2)若 BF2=2F2A，求 AB.12.已知椭圆 C1

256、:x2a2+y2b2=1(a b 0)的一焦点 F 与抛物线 C2:y2=4x 的焦点重合，且离心率为22(1)求椭圆 C1的标准方程；(2)过焦点 F 的直线 l 与抛物线 C2交于 A、B 两点，与椭圆 C1交于 C、D 两点，求|CD|AB|的最大值第 135 页 共 158 页专题 36：圆锥曲线的面积问题1.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的长轴长为 4，离心率为32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，O 为坐标原点，OA+OB=2OM，若 OM=1，求 AOB 面积的最大值.2.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0

257、)的焦距为 8，且点 M5 32,-12在 C 上.(1)求 C 的方程；(2)若直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，且线段 AB 被直线 OM 平分，求 AOB(O 为坐标原点)面积的最大值.3.已知抛物线 C：y2=2px p 0的焦点为 F，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线 C 于 D E 两点，且 DE=4.(1)求抛物线 C 的方程；(2)设直线 l 过点 A 2,0且与抛物线 C 交于 P,Q 两点，点 R 在抛物线 C 上，点 N 在 x 轴上，NP+NQ+NR=0，直线 PR 交 x 轴于点 B，且点 B 在点 A 的右侧，记 APN 的面积为 S1，RNB 的面积

258、为 S2，求 S1S2 的最小值.第 136 页 共 158 页4.如图所示，F1 F2分别是椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上.当 F1PF2最大时，cosF1PF2=35 且 PF2 F1F2=2.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)直线 PF2与椭圆 C 的另一交点为 Q，过 F1作直线 PQ 的垂线 l，l 与圆 x2+y2=b2交于 A B 两点，求四边形 APBQ 面积的最大值.5.已知点 F 1,0，圆 E：x+12+y2=8，点 P 是圆 E 上任意一点，线段 PF 的垂直平分线和半径 PE 相交于 Q 点.(1)求动点 Q 的轨

259、迹 的方程；(2)若直线 l：y=kx+t 与圆 O：x2+y2=1 相切，并与轨迹 交于不同的两点 A,B，OA OB=，且 35 1，求 AOB 面积的最大值.6.如图，过椭圆 x22+y2=1 的左右焦点 F1,F2分别做直线 AB,CD，交椭圆于 A,B,C,D 四点，设直线 AB 的斜率为 k(k 0)(1)求|AB|(用 k 表示)；(2)若直线 AB,CD 的斜率之积为-12，求四边形 ACBD 面积的取值范围第 137 页 共 158 页7.已知椭圆 C1:y22+x2=1，拋物线 C2:y2=2px(p 0)，点 A-1,0，斜率为 k 的直线 l1交拋物线于 B、C 两点，

260、且 AC=12 CB，经过点 C 的斜率为-12 k 的直线 l2与椭圆相交于 P、Q 两点.(1)若拋物线的准线经过点 A，求拋物线的标准方程和焦点坐标：(2)是否存在 p，使得四边形 APBQ 的面积取得最大值？若存在，请求出这个最大值及 p 的值；若不存在，请说明理由.8.已知直线 l 与圆 O:x2+y2=8 相切，动点 P 到 F1(-2,0)与 F2(2,0)两点距离之和等于 F1，F2两点到直线 l 的距离之和.(1)设动点 P 的轨迹为 C，求轨迹 C 的方程；(2)对于椭圆 x2a2+y2b2=1，上一点 A x0,y0，以 A 为切点的切线方程为 xx0a2+yy0b2=1

261、.设 G 为 x=4 上任意一点，过点 G 作轨迹 C 的两条切线 GM，GN，M，N 为切点.求证直线 MN 过定点；求 F1MN 面积的最大值.第 138 页 共 158 页9.如图，设椭圆 C1:x2a2+y2b2=1(a b 0)，长轴的右端点与抛物线 C2:y2=8x 的焦点 F 重合，且椭圆 C1的离心率为32.(1)求椭圆 C1的标准方程；(2)过 F 作直线 l 交抛物线 C2于 A B 两点，过 F 且与直线 l 垂直的直线交椭圆 C1于另一个点 C，求ABC 面积的最小值时直线 l 的方程.10.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为22，其长轴长为 2

262、 2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)直线 l1:y=k1x 交 E 于 A、C 两点，直线 l2:y=k2x 交 E 于 B、D 两点，若 k1 k2=-12.求四边形 ABCD 的面积.11.已知圆 C 的方程为 x2+(y-5)2=16，直线 l 的方程为 y=3，点 P 为平面内一动点，PQ 是圆 C 的一条切线(Q 为切点)，并且点 P 到直线 l 的距离恰好等于切线 PQ 长()求点 P 的轨迹方程；()已知直线 m 的方程为 y=x-2，过直线 m 上一点 R 作()中轨迹的两条切线，切点分别是 A，B 两点，求 ABR 面积的最小值第 139 页 共 158 页12.如图，已知

263、抛物线 C:y2=2x，过点 M(2,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，点 P 是直线 x=-23 上的动点，且 PO AB(其中 O 为坐标原点)(1)若直线 l 的倾斜角为 4，求点 P 到直线 l 的距离；(2)求 ABP 面积的最小值及取得最小值时直线 l 的方程13.已知 A、B 分别为椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右顶点，点 G 0,1为椭圆 C 的上顶点，直线 GA 与 GB 的斜率之积为-13(1)求椭圆 C 的方程；(2)设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 M、N 为椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，且 MF1 NF2，求四边形

264、 F1MNF2面积的取值范围14.已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率是22，两条准线间的距离为 4.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若 T t,0是椭圆 E 的长轴上(不包含端点)的动点，过 T 作互相垂直的两条直线分别交椭圆 E 于A、C 和 B、D，求四边形 ABCD 的面积的最大值.15.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为22，且经过点 1,22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)设 A、B、C、D 是椭圆 E 上互异的四点(点 A 在第一象限)，其中 A、B 关于原点对称，A、C 关于 x 轴对称，且 AB

265、 CD，求四边形 ABCD 面积的最大值.第 140 页 共 158 页专题 37：圆锥曲线的统一定义一、单选题1.已知动点 P(x,y)满足 10(x-1)2+(y-2)2=|3x+4y+2|，则动点 P 的轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.无法确定2.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的右焦点为 F，过 F 且斜率为3 的直线交 C 于 A、B 两点，若 AF=4FB，则 C 的离心率为()A.58B.65C.75D.953.已知实数 x，y 满足条件x-12+y-32=x+y+12 2，则点 P x,y的运动轨迹是()A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆4.已知

266、 P x0,y0是椭圆 x216+y212=1 与抛物线 y2=8x 的一个交点，定义 f(x)=2 2x,0 x x0.设定点 N(2,0)，若直线 y=a 与曲线 y=f(x)恰有两个交点 A 与 B，则 ABN 周长的取值范围是()A.(2 3,4)B.4,203C.203,8D.(8,4+4 2)5.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在椭圆上，且 PF1=4 PF2，则此椭圆的离心率 e 的最小值为()A.35B.45C.14D.346.P 是椭圆 x29+y25=1 上一动点，则点 P 到椭圆左焦点的最远距离是()A.4B.5C.6D

267、.17.直线过抛物线 y2=ax(a 0)的焦点 F 且与抛物线交于 A,B 两点，则AF BFAF+BF()A.a2B.a4C.2aD.4a8.已知动点 P 到点 M-2,0和到直线 x=-2 的距离相等，则动点 P 的轨迹是()A.抛物线B.双曲线左支C.一条直线D.圆9.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点为 F1，F2，若点 在椭圆上，且满足 2=F1 F2(其中 为坐标原点)，则称点 为“”点，则椭圆上的“”点有个()A.0B.2C.4D.8第 141 页 共 158 页二、填空题10.设 F 为椭圆 C:x24+y23=1 的右焦点，不垂直于 x 轴且不过点 F

268、 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点，在 MFN 中，若 MFN 的外角平分线与直线 MN 交于点 P，则 P 的横坐标为11.已知点 A 4,4在抛物线 y2=4x 上，该抛物线的焦点为 F，过点 A 作该抛物线准线的垂线，垂足为 E，则 EAF 的角平分线所在直线方程为(用一般式表示).12.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 23，过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于A，B 两点，若 AF=2FB，则 k=第 142 页 共 158 页专题 38：圆锥曲线的新定义一、单选题1.若椭圆或双曲线上存在点 P，使得点 P 到两个焦点 F1,F2的距离之比

269、为 2:1，且存在 PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“点”，下列曲线中存在“点”的是()A.x236+y232=1B.x216+y215=1C.x25-y24=1D.x2-y215=12.已知椭圆 C:x24+y2=1 的焦点为 F1、F2，若点 P 在椭圆上，且满足 PO2=PF1 PF2(其中 O 为坐标原点)，则称点 P 为“”点.下列结论正确的是()A.椭圆 C 上的所有点都是“”点B.椭圆 C 上仅有有限个点是“”点C.椭圆 C 上的所有点都不是“”点D.椭圆 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“”点3.在平面直角坐标系中，定义 x+y称为点 P(x,y)的“和”，其中 O 为

270、坐标原点，对于下列结论：(1)“和”为 1 的点 P(x,y)的轨迹围成的图形面积为 2；(2)设 P 是直线 2x-y-4=0 上任意一点，则点 P(x,y)的“和”的最小值为 2；(3)设 P 是直线 ax-y+b=0 上任意一点，则使得“和”最小的点有无数个”的充要条件是 a=1；(4)设 P 是椭圆 x2+y22=1 上任意一点，则“和”的最大值为3.其中正确的结论序号为()A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)4.已知两定点 M-1,0，N 1,0，若直线上存在点 P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A 型直线”，给出下列直线，

271、y=x+1；y=2；y=-x+3；y=-2x+3其中是“A 型直线”的是()A.B.C.D.第 143 页 共 158 页二、多选题5.曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线 x2a2+y2b2=1 a 0,b 0上点 P x0,y0处的曲率半径公式为 R=a2b2 x20a4+y20b432，则下列说法正确的是()A.对于半径为 R 的圆，其圆上任一点的曲率半径均为 RB.椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上一点处的曲率半径的最大值为 aC.椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上一点处的曲率半径的最小值为 b2aD.对于椭圆 x2a2+y2=1 a 1上点

272、12,y0处的曲率半径随着 a 的增大而减小6.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数.已知：曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1，0)和 F2(1，0)的距离的积等于常数 a2(a 1)的点的轨迹，则下列命题中正确的是()A.曲线 C 过坐标原点B.曲线 C 关于坐标原点对称C.曲线 C 关于坐标轴对称D.若点在曲线 C 上，则 F1PF2 的面积不大于 12 a27.双纽线像数字“8”，不仅体

273、现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素曲线 C：x2+y22=4 x2-y2是双纽线，则下列结论正确的是()A.曲线 C 经过 5 个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2C.曲线 C 关于直线 y=x 对称的曲线方程为 x2+y22=4 y2-x2D.若直线 y=kx 与曲线 C 只有一个交点，则实数 k 的取值范围为-,-1 1,+第 144 页 共 158 页三、填空题8.在平面直角坐标系 xOy 中，点 M 不与原点重合，称射线 OM

274、 与 x2+y2=4 的交点 N 为点 M 的“中心投影点”，曲线 y2-x23=1 上所有点的“中心投影点”构成的曲线长度是9.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点定义点 P x,y的“友好点”为：Pxx2+y2,yx2+y2，现有下列命题：若点 A 的“友好点”是点 A，则点 A 的“友好点”一定是点 A单位圆上的点的“友好点”一定在单位圆上若点 A 的“友好点”还是点 A，则点 A 一定在单位圆上对任意点 A，它的“友好点”是点 A，则 OA的取值集合是 0,1 其中的真命题是四、解答题10.以椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的中心 O 为圆心，a2+b2 为半径的圆称为该椭

275、圆的“准圆”已知椭圆 C 的长轴长是短轴长的2 倍，且经过点(2,1)，椭圆 C 的“准圆”的一条弦 AB 所在的直线与椭圆 C 交于 M、N 两点(1)求椭圆 C 的标准方程及其“准圆”的方程；(2)当 OM ON=0 时，证明:弦 AB 的长为定值11.定义：已知椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)，把圆 x2+y2=a2b2a2+b2 称为该椭圆的协同圆.设椭圆 C:x24+y22=1 的协同圆为圆 O(O 为坐标系原点)，试解决下列问题：(1)写出协同圆圆 O 的方程；(2)设直线 l 是圆 O 的任意一条切线，且交椭圆 C 于 A,B 两点，求 OA OB的值；(3)设 M,N

276、 是椭圆 C 上的两个动点，且 OM ON，过点 O 作 OH MN，交直线 MN 于 H 点，求证：点H 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.第 145 页 共 158 页12.给定椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)，称圆心在原点 O，半径为a2+b2 的圆为椭圆 C 的“准圆”若椭圆 C 的一个焦点为 F(2，0)，其短轴上的一个端点到 F 的距离为3.(1)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程；(2)若点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆的切线 l1，l2交“准圆”于点 M，N.证明：l1 l2，且线段 MN 的长为定值13.我们称点 P 到图形 C 上任意

277、一点距离的最小值为点 P 到图形 C 的距离，记作 d P,C.(1)求点 P 3,0到抛物线 C:y2=4x 的距离 d P,C；(2)设 l 是长为 2 的线段，求点集 D=P d P,l 1所表示图形的面积.14.给定椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0，称圆心在原点 O、半径为a2+b2 的圆是椭圆 C 的“卫星圆”，若椭圆 C 的离心率为22，点 2,2在 C 上.(1)求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程；(2)点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点，过点 P 作直线 l1、l2使得 l1 l2，与椭圆 C 都只有一个交点，且 l1、l2分别交其“卫星圆”于点 M、N

278、，证明：弦长 MN为定值.15.已知抛物线 P 的焦点为 F 1,0，准线 l 的方程为 x=-1.若三角形 ABC 的三个顶点都在抛物线 P 上，且 FA+FB+FC=0，则称该三角形为“向心三角形”.(1)是否存在“向心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为 0,0和 1,2？说明理由；(2)设“向心三角形”ABC 的一边 AB 所在直线的斜率为 4，求直线 AB 的方程；(3)已知三角形 ABC 是“向心三角形”，证明：点 A 的横坐标小于 2.第 146 页 共 158 页16.若给定椭圆 C：ax2+by2=1(a 0，b 0，a b)和点 N(x0，y0)，则称直线 l：ax0 x+b

279、y0y=1为椭圆 C 的“伴随直线”(1)若 N(x0，y0)在椭圆 C 上，判断椭圆 C 与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的交点个数为 0 个、1 个、2 个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交)，并说明理由；(2)命题：“若点 N(x0，y0)在椭圆 C 的外部，则直线 l 与椭圆 C 必相交”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；(3)若 N(x0，y0)在椭圆 C 的内部，过 N 点任意作一条直线，交椭圆 C 于 A、B，交 l 于 M 点(异于 A、B)，设 MA=1AN,MB=2BN，问 1+2是否为定值？说明理由17.已知椭圆 :x2a2+y2b2=1(a

280、 b 0)，点 A 为椭圆短轴的上端点，P 为椭圆上异于 A 点的任一点，若 P 点到 A 点距离的最大值仅在 P 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 b=2.(1)若 a=5，判断椭圆 是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆 是“圆椭圆”，求 a 的取值范围；(3)若椭圆 是“圆椭圆”，且 a 取最大值，Q 为 P 关于原点 O 的对称点，Q 也异于 A 点，直线 AP、AQ 分别与 x 轴交于 M、N 两点，试问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论.第 147 页 共 158 页专题 39：圆锥曲线的综合题一、单选题1.等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上

281、，C 与抛物线 y2=16x 的准线交于 A,B 两点，AB=4 3；则 C 的实轴长为()A.2B.2 2C.4D.82.已知圆(x-2)2+y2=9 与 x 轴的交点分别为双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的顶点和焦点，设 F1，F2分别为双曲线 C 的左右焦点，P 为 C 右支上任意一点，则PF12PF22+4 的取值范围为()A.1,95B.0,95C.2,+D.1,2二、填空题3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y2a2-x2b2=1(a 0,b 0)的上支与焦点为 F 的抛物线 y2=2px(p 0)交于 A,B 两点若 AF+BF=4 OF，则该双曲线的渐

282、近线方程为4.已知椭圆 M:x2a2+y2b2=1(a b 0)与双曲线 T:x2-y22=1 有相同的焦点，设 M 和 T 的离心率分别为 e1和 e2，且 e1e2=32；若斜率为 2 的直线 l 与 M 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为三、解答题5.已知 F1，F2分别是椭圆 E：x2a2+y2b2=1(a b 0)的左，右焦点，点 P-1,22在椭圆 E 上，且抛物线 y2=4x 的焦点是椭圆 E 的一个焦点(1)求 a,b 的值：(2)过点 F2作不与 x 轴重合的直线 l，设 l 与圆 x2+y2=a2+b2相交于 A，B 两点，且与椭圆 E 相交于 C，D 两点，当 F

283、1A F1B=1 时，求 F1CD 的面积6.已知抛物线 E:y2=2px(p 0)的准线与 x 轴交于点 k，过点 k 做圆 C:(x-5)2+y2=9 的两条切线，切点为 M,N,MN=3 3.(1)求抛物线 E 的方程；(2)若直线 AB 是讲过定点 Q(2,0)的一条直线，且与抛物线 E 交于 A,B 两点，过定点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G,D 两点，求四边形 AGBD 面积的最小值.第 148 页 共 158 页7.已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 l：x-y+2=0 与以原点为圆心，以椭圆 C 的短半轴长为

284、半径的圆相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 M 是椭圆的上顶点，过点 M 分别作直线 MA，MB 交椭圆于 A，B 两点，设两直线的斜率分别为 k1，k2，且 k1+k2=4，证明：直线 AB 过定点-12,-1.8.已知抛物线 C1:y=x2,椭圆 C2:x2+y24=1.(1)设 l1,l2是 C1的任意两条互相垂直的切线，并设 l1 l2=M，证明：点 M 的纵坐标为定值；(2)在 C1上是否存在点 P，使得 C1在点 P 处切线与 C2相交于两点 A、B，且 AB 的中垂线恰为 C1的切线？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由9.如图，圆 O 与直线 x+3y+2=0 相

285、切于点 P，与 x 正半轴交于点 A，与直线 y=3x 在第一象限的交点为 B.点 C 为圆 O 上任一点，且满足 OC=xOA+yOB，动点 D x,y的轨迹记为曲线(1)求圆 O 的方程及曲线 的方程；(2)若两条直线 l1:y=kx 和 l2:y=-1k x 分别交曲线 于点 E、F 和 M、N，求四边形 EMFN 面积的最大值，并求此时的 k 的值(3)证明：曲线 为椭圆，并求椭圆 的焦点坐标第 149 页 共 158 页10.已知圆 C：x-12+y2=16，点 F-1,0，P 是圆 C 上一动点，若线段 PF 的垂直平分线和 CP 相交于点 M.(1)求点 M 的轨迹方程 E.(2

286、)A，B 是 M 的轨迹方程与 x 轴的交点(点 A 在点 B 左边)，直线 GH 过点 T 4,0与轨迹 E 交于 G，H 两点，直线 AG 与 x=1 交于点 N，求证：动直线 NH 过定点 B.11.已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的右焦点 F 恰为抛物线 E:y2=4x 的焦点，P x0,2 63是椭圆 C 与抛物线 E 的一个公共点(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 F 且不与 x 轴平行的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，线段 AB 的中垂线分别交 x、y 轴于 M、N 两点，求|AB|MN|的取值范围12.已知直线 l1，l2分别于抛物线 y2=x 相切

287、于 A，B 两点(1)若点 A 的坐标为(1，-1)，求直线 l1的方程；(2)若直线 l1与 l2的交点为 P，且点 P 在圆(x+2)2+y2=1 上，设直线 l1，l2与 y 轴分别交于点 M，N，求|MN|AB|的取值范围第 150 页 共 158 页13.已知点 N 为圆 C1：x+12+y2=16 上一动点，圆心 C1关于 y 轴的对称点为 C2，点 M P 分别是线段 C1N，C2N 上的点，且 MP C2N=0，C2N=2C2P.(1)求点 M 的轨迹方程；(2)过点 A-2,0且斜率为 k k 0的直线与点 M 的轨迹交于 A，G 两点，点 H 在点 M 的轨迹上，GA HA

288、，当 2 AG=AH时，证明：3 k b 0上一点，其中 F1,F2是椭圆的左右焦点，F1PF2=，则 SF1PF2=b2tan 2.CF1PF2=2a+2c.5.P 为椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上一点，其中 F1,F2是椭圆的左右焦点，则 P 为短轴端点时 F1PF2最大.6.P 为椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上一点，其中 A1,A2是椭圆的左右顶点，则 P 为短轴端点时 A1PA2最大.7.已知椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0，若点 A,B 是椭圆上关于原点对称的两点，M 是椭圆上异于 A,B 的一点.若 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2，则 k1 k

289、2=-b2a2.8.若 AB 是椭圆 x2a2+y2b2=1 的不垂直于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM kAB=-b2a2.9.若 l 是椭圆 x2a2+y2b2=1 不垂直于对称轴的切线，M 为切点，则 kl kOM=-b2a2.10.过圆 x2+y2=a2+b2上任意点 P 作椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的两条切线，则两条切线垂直.11.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)上任意不同两点 A,B 作椭圆的切线，如果切线垂直且相交于 P，则动点 P 的轨迹为圆 x2+y2=a2+b2.12.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相离.13.以焦半径 PF1为直径的

290、圆与以长轴为直径的圆内切.第 152 页 共 158 页14.设 A1,A2为椭圆的左、右顶点，则 F1PF2在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于 A2(或 A1).15.椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0的两个顶点为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1,P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 x2a2-y2b2=1.16.若 P(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 上，则过 P 的椭圆的切线方程是 x0 xa2+y0yb2=1.17.若 P(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 外，则过 P 作椭圆的两条

291、切线切点为 P1,P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 x0 xa2+y0yb2=1.18.若点 M x0,y0在椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)内，过点 M 作椭圆的弦 AB(不过椭圆中心)，分别过 A,B 作椭圆的切线，则两条切线的交点 P 的轨迹方程为直线 x0 xa2+y0yb2=1.19.若 P(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 内，则被 P 所平分的中点弦的方程是 x0 xa2+y0yb2=x02a2+y02b2.20.若 P(x0,y0)在椭圆 x2a2+y2b2=1 内，则过 P 的弦中点的轨迹方程是 x2a2+y2b2=x0 xa2+y0yb2.21.若

292、PQ 是椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上对中心张直角的弦，则1|OP|2+1|OQ|2=1a2+1b2.22.过椭圆焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值 2ab2.23.过椭圆焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值 a2+b22ab2.24.过椭圆焦点互相垂直的直线与椭圆相交构成四边形面积的取值范围是8a2b4(a2+b2)2,2b2.25.过椭圆焦点互相垂直的直线被椭圆截得弦长之和的取值范围是8ab2a2+b2,2(a2+b2)a26.设 P0 x0,y0为椭圆 x2a2+y2b2=1 a b 0上的一个定点，P1P2是动弦，则 P1P2为直角弦的充要条件是 P1P2过定点 Ma2

293、 b2a2+b2 x0,a2 b2a2+b2 y0.27.若 AB 是过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点 F 的一条弦(非通径)，弦 AB 的中垂线交 x 轴于 N，则 ABNF=2e.28.若 A,B 是椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左右顶点，点 P 是直线 x=t t a,t 0上的一个动点(P 不在椭圆上)，直线 PA 及 PB 分别与椭圆相交于 M,N，则直线 MN 必与 x 轴相交于定点 Q a2t,0.第 153 页 共 158 页29.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M,N，与 y 轴相交于 P，若 P

294、M=MF，PN=NF，则 +为定值，且 +=-2a2b2.30.过椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M,N，与相应准线相交于 P，若 PM=MF，PN=NF，则 +为定值，且 +=0.31.若 MN 是垂直椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F，若 PE=EM，PF=FN，则 +为定值，且 +=0.32.若 MN 是垂直椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)长轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F，A 为长轴顶点，若 O

295、E=EA，OF=FA，则 +为定值，且 +=-1.33.若 M,P 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)上任意两点，点 M 关于 x 轴对称点为 N，若直线 PM,PN 与 x 轴分别相交于点 A m,0,B n,0，则 mn 为定值，且 mn=a2.34.若 A,B 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，点 P m,0是 x 轴上的定点，直线 PB 交椭圆 C 于另一点 E，则直线 AE 恒过 x 轴上的定点，且定点为 Q a2m,0.35.过椭圆准线上一点 M 作椭圆的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 的直线必过相应的

296、焦点 F，且 MF 垂直切点弦 AB.36.AB 为椭圆的焦点弦，则过 A,B 的切线的交点 M 必在相应的准线上.注：本文以焦点在 x 轴上的椭圆为例，焦点在 y 轴时上述结论未必完全一致，请慎用.第 154 页 共 158 页双曲线常用的二级结论1.P 为双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)左上一点，若 F 是左焦点，则 PF 的取值范围是 c-a,+)，若 F 是右焦点，则 PF 的取值范围是 c+a,+).2.P 是双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上的任意一点，F1、PF1 PF2是双曲线的左右焦点，则 PF1 PF2的取值范围是 b2,+).3.P 是双曲

297、线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上的任意一点，F1、PF1 PF2是双曲线的左右焦点，则 PF1 PF2的取值范围是-b2,+).4.P 为双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上一点，其中 F1,F2是双曲线的左右焦点，F1PF2=，则 SFP1F2=b2tan 2.5.已知双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)，若点 A,B 是双曲线上关于原点对称的两点，M 是双曲线上异于 A,B 的一点.若 MA,MB 的斜率分别为 k1,k2，则 k1 k2=b2a2.6.AB 是双曲线 x2a2-y2b2=1 的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则 kOM k

298、AB=b2a2.7.以焦点弦为直径的圆必与对应准线相交.8.以焦半径 PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切.9.设 P 为双曲线上一点，则 F1PF2的内切圆必切于与 P 在同侧的顶点.10.双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)的两个顶点为 A1(-a,0),A2(a,0)，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1,P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 x2a2+y2b2=1.11.若 P(x0,y0)在双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上，则过 P 的双曲线的切线方程是 x0 xa2-y0yb2=1.12.若 P(x0,y0)在双曲线 x2a2 y2b2=1

299、(a 0,b 0)外，则过 P 作双曲线的两条切线切点为 P1,P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 x0 xa2-y0yb2=1.13.若 P(x0,y0)在双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)内，则被 P 所平分的中点弦的方程是 x0 xa2-y0yb2=x02a2-y02b2.14.若 P(x0,y0)在双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)内，则过 P 的弦中点的轨迹方程是 x2a2-y2b2=x0 xa2-y0yb2.第 155 页 共 158 页15.设 P0 x0,y0为双曲线 x2a2 y2b2=1 a b 0上的一个定点，P1P2是动弦，则 P1P2为直

300、角弦的充要条件是 P1P2过定点 Ma2+b2a2 b2 x0,a2+b2a2 b2 y0.16.P 为双曲线 x2a2 y2b2=1(a 0,b 0)上一点，若 F 是一个焦点，以 PF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2的位置关系是外切或内切.17.过双曲线焦点的弦被焦点分得两个焦半径倒数和是定值 2ab2.18.过双曲线焦点且互相垂直的弦长倒数之和是定值 a2+b22ab2.19.过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M,N，与相应准线相交于 P，若 PM=MF，PN=NF，则 +为定值，且 +=0.20.若 MN 是垂直双曲线 x2a2-y

301、2b2=1(a 0,b 0)实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F，若 PE=EM，PF=FN，则 +为定值，且 +=0.21.若 MN 是垂直双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)实轴的动弦，P 是双曲线上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F，A 为长轴顶点，若 OE=EA，OF=FA，则 +为定值，且 +=-1.22.若 M,P 是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上任意两点，点 M 关于 x 轴对称点为 N，若直线 PM,PN 与 x 轴分别相交于点 A m,0,B n,0，则 mn 为定值，

302、且 mn=a2.23.若 A,B 是双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)上关于 x 轴对称的任意两个不同的点，点 P m,0是 x 轴上的定点，直线 PB 交双曲线 C 一点 E，则直线 AE 恒过 x 轴上的定点，且定点为 Q a2m,0.24.从双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的右焦点向双曲线的动切线引垂线，则垂足的轨迹为圆：x2+y2=a2.25.双曲线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与相应的焦点 F 的连线交双曲线于 Q，则 MQ 必与该双曲线相切，且 MF PQ.26.若 AB 是过双曲线 x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)的焦点 F 的

303、一条弦(非通径，且为单支弦)，弦 AB 的中垂线交 x 轴于 M，则 ABMF=2e.第 156 页 共 158 页抛物线常用的二级结论1.以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切2.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切.3.以抛物线焦半径为直径的圆与 y 轴相切.4.过抛物线焦点弦的抛物线上端点向 y 轴作垂线，垂足为 M，则以 OM 为直径的圆与焦半径相切.5.若线段 AB 为抛物线 C:y2=2px(p 0)的一条焦点弦，则1AF+1BF=2p.6.设抛物线方程为 y2=2px(p 0)，过焦点的弦 AB 的倾斜角为，则焦点弦 AB=2psin2，S

304、AOB=p22sin.7.若 AB 是抛物线 y2=2px(p 0)的焦点弦，且 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 x1x2=p24，y1y2=-p2.8.抛物线方程为 y2=2px(p 0)，过(2p,0)的直线与之交于 A、B 两点，则 OA OB.反之也成立.9.抛物线 y2=2px 上一点(x0,y0)处的切线方程为 y0y=p(x0+x).10.过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在抛物线的准线上.11.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.12.切线交点与弦中点连线平行于对称轴.13.过抛物线焦点且互相垂直的直线被抛物线截得弦长倒数之和是定值

305、 12p.14.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线相交构成四边形面积的取值范围是 8p2,+)，15.过抛物线焦点互相垂直的直线与抛物线截得弦长之和的取值范围是 8p,+).16.过直线 x=m(m 0)上但在抛物线 y2=2px(p 0)外(即抛物线准线所在区域)一点 M 向抛物线引两条切线，切点分别为 A,B，则直线 AB 必过定点 N-m,0，且有 kABkMN=p2m.17.过抛物线 y2=2px(p 0)的对称轴上任意一点 M-m,0(m 0)作抛物线的两条切线，切点分别为 A,B，则切点弦 AB 所在的直线必过点 N m,0.18.若 MN 是垂直抛物线 y2=2px(p 0)对称

306、轴的动弦，P 是椭圆上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交 x 轴于 E,F，若 PE=EM，PF=FN，则 +为定值，且 +=0.19.过抛物线 y2=2px(p 0)的焦点 F 作一条直线与椭圆相交于 M,N，与相应准线相交于 P，若 PM=MF，PN=NF，则 +为定值，且 +=0.第 157 页 共 158 页20.MN 是垂直抛物线 y2=2px(p 0)对称轴的动弦，P 是抛物线上异于顶点的动点，直线 MP,NP 分别交x 轴于 E,F，A 为长轴顶点，若 OE=EA，OF=FA，则 +为定值，且 1+1=2.21.若 A,B 是抛物线 C:y2=2px(p 0)上关于 x 轴

307、对称的任意两个不同的点，点 P m,0是 x 轴上的定点，直线 PB 交抛物线一点 E，则直线 AE 恒过 x 轴上的定点，且定点为 Q-m,0.22.抛物线的准线上任一点 M 处的切点弦 PQ 过其焦点 F，且 MF PQ.23.抛物线上任一点 P 处的切线交准线于 M，P 与焦点 F 的连线交抛物线于 Q，则 MQ 必与该抛物线相切，且 MF PQ.24.若 AB 是过抛物线 y2=2px(p 0)的焦点 F 的一条弦(非通径)，弦 AB 的中垂线交 x 轴于 M，则 ABMF=2.25.设 N x0,y0为抛物线 y2=2px 上的一个定点，AB 是动弦，则 AB 为直角弦的充要条件是

308、AB 过定点 x0+2p,-y0.26.若 A,B 是抛物线 y2=2px(p 0)上异于顶点 O 的两个动点，若 OA OB，过 O 作 OM AB，则动点 M 的轨迹方程为 x2+y2-2px=0(x 0).27.若 A,B 是抛物线 y2=2px(p 0)上异于顶点 O 的两个动点，若 OA OB，则 SAOBmin=4p2.28.过抛物线 y2=2px(p 0)上任一点 M x0,y0作两条弦 MA,MB，则 kMAkMB=(0)的充要条件是直线 AB 过定点 N x0-2p,-y0.29.在抛物线 y2=2px(p 0)的对称轴上存在一个定点 M p,0，使得过该点的任意弦 AB恒有1MA2+1MB2=1p2.30.抛物线 y2=2px(p 0)上两点 A、B 连线斜率若存在即为 k=2pyA+yB.31.抛物线 y2=2px(p 0)上一点 A 处切线的斜率若存在即为 k=pyA.注：本文以 y2=2px 为例，其他情况上述结论未必完全一致，请慎用.第 158 页 共 158 页