河北省邢台市六校联考2022-2023学年高二数学上学期期中考试试卷（PDF版有答案）.pdf

1、学年第一学期期中考试高二数学试题考试范围:选择性必修一 说明:本试卷共页,考试时间分钟,满分分.请将所有答案填写在答题卡上,答在试卷上无效.一、选择题:本题共小题,每小题分,共分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的已知圆xyxy,则该圆的圆心和半径分别是()A(,),B(,),C(,),D(,),如果方程kxy表示焦点在x 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是()A,()B,()C(,)D,()若 a,b,c为空间的一组基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是()Aac,ab,bcBc,ab,abCa,ab,abDab,abc,c航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是

2、一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点,若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为 m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,试用 m,n,r 表示出地球同步转移轨道的短轴长为()A(mr)(nr)B(mr)(nr)C mn D mn一束光线从点P(,)出发,经x 轴反射到圆C:xyxy上的最短距离为()A B C D 已知F 是椭圆E:xayb(ab)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E 交于 M、N 两点,若|MF|NF|,且MFN,则椭圆E 的离心率为()A B C D 已知中心在原点,焦点在x 轴上,焦距为的椭圆被直线l:yx截得的弦的中

3、点的横坐标为,则此椭圆的方程为()Ax yBx yCx yDxy曲线y x 与直线y xb 有两个不同的交点,则实数b 的取值范围是()A(,B,)C(,)D(,二、选择题:本题共小题,每小题分,共分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得分,部分选对的得分,有选错的得分设椭圆C:x y的左右焦点分别为F,F,点 P 为椭圆C上一动点,过点F 的直线与椭圆交于 A、B 两点,则下列说法中正确的是()APF 的取值范围是,B存在点P,使PFPFC弦长|AB|的最小值为DPFF 面积的最大值为 ABECFGB1D1C1A1D如 图,在 正 方 体 ABCD ABCD中,E、F 分别为B

4、C、CC 的中点,G为棱BB 上的动点,则下列选项正确的是()ABBAFB点 D 在平面 AEF 内C三棱锥GAEF 的体积为定值D若G 为BB 中点,则 AG平面 AEF已知圆C:xyx,则下列说法正确的有()A圆C 关于直线xy对称的圆的方程为x(y)B直线xy与圆C 的相交弦长为 C若点P(x,y)是圆C 上的动点,则xy 的最大值为 D若圆C 上有且仅有三个 点 到 直 线xym 的 距 离 等 于,则 m或泰戈尔说过一句话:世界上最远的距离,不是树枝无法相依,而是相互了望的星星,却没有交汇的轨迹;世界上最远的距离,不是星星之间的轨迹,而是纵然轨迹交汇,却在转瞬间无处寻觅已知点F(,)

5、,直线l:x,动点 P 到点F 的距离是点P到直线l的距离的一半若某直线上存在这样的点 P,则称该直线为“最远距离直线”,则下列结论中正确的是()A点P 的轨迹方程是xyB直线xy是“最远距离直线”C平面上有一点 A(,),则 PA PF 的最小值为D点P 的轨迹到直线xy距离的最大值为 三、填空题:本题共小题,每小题分,共分若椭圆xym 的一个焦点坐标为(,),则长轴长为若过点P(,)作圆xy的切线,则切线方程为PACDEB如图,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD是 平 行 四 边 形,PA 平 面 ABCD,PAAD,AB ,PC,点 E是棱PB 的中点,则异面直线 EC 与PD所成角

6、的余弦值是设P 是椭圆xy上的任一点,EF 为圆C:(x)y的任一条直径,则PEPF的最小值为 四、解答题:本题共小题,共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(分)()已知点 A(,)在圆 C:xyxym 外,求实数 m 的取值范围()已知椭圆xny的离心率为,求实数n 的取值)页共(页第 题试学数二高)页共(页第 题试学数二高)页共(页第 题试学数二高(分)已知圆C 经过原点,与直线xy相切,且圆心C 在直线xy上()求圆C 的方程;()已知直线l经过点(,),并且被圆C 截得的弦长为,求直线l的方程(分)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为,且过点P(,)()求椭圆的标准方

7、程;()倾斜角为的直线l 过椭圆的右焦点F 交椭圆于A、B 两点,求OAB 的面积(分)在直角 梯 形 ABCD 中,ABC,BC AD,AD ,ABBC,M 为线段AD 中点,将 ABC 沿AC 折起,使ABCD,得到几何体BACD()求证:平面 ABC平面 ACD;()求二面角 M BCD 的余弦值AMDBCAMDBC(分)已知圆C:xy()过点 M(,),作圆 C 的两条切线,切点分 别为 A、B,求直线 AB 的方程;()若点G 是圆C 上的任意一点,N(,),是否存在定点P,使得GNGP 恒成立,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由(分)已知椭圆C:xa yb ab()的

8、左右焦点分别为 F、F,且焦距为,点P 为椭圆C 上的动点(异于椭圆的左、右顶点),FPF()证明:SFPFbsincos;()当FPF,SFPF,过椭圆 C 左焦点F 的直线l与椭圆交于两点A、B,在x 轴上是否存在点 M,使得MAMB为定值?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由)页共(页第 题试学数二高 )页共(页第 题试学数二高 )页共(页第 题试学数二高学科网（北京）股份有限公司试卷第 1 页，共 12 页高二数学试题答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1【答案】C解：将圆的一般式方程04222yx

9、yx化为标准方程得5)2()1(22yx，所以圆心为)2,1(，半径为 5 故选：C2【答案】D解：由方程222 ykx，可得22222 yxk，因为方程222 ykx表示焦点在 x 轴上的椭圆，可得 22k，解得01k.所以实数k 的取值范围是()0,1 故选：D3【答案】B解：A：因为cbbaca)()(，所以向量cbbaca,是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为,a b c 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,c a b a b 不构成一组基底，则有()()()()cx a by a bcxy axy b，所以向量,a b c 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故

10、假设不正确，因此,c a b a b 能构成一组基底；C：因为ababa2)()(，所以向量babaa,是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；D：因为cbacba)()(，所以向量ccbaba,是共面向量，因此这三个向量不能构成一组基底故选：B4【答案】B解：设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则由题意可知：rmca，rnca，故短半轴长为)(22rnrmcab，所以短轴长为)(2rnrm学科网（北京）股份有限公司试卷第 2 页，共 12 页故选：B 5【答案】A解：由题意，圆 C 的标准方程为2)3()4(:22yxC，所以圆 C 的圆心坐标为)3,4(，半径2r，又点)2,1(P

11、关于 x 轴的对称点为)2,1(Q，所以25)23()14(|22CQ，所以，所求最短距离为5 224 2故选：A.6【答案】C解：取椭圆的右焦点1F，连接1MF、1NF 由椭圆的对称性以及直线 MN 经过原点，所以ONOM，且1OFOF，所以四边形MFNF1为平行四边形，故MFFN1，又因为|3|NFMF，则|3|1MFMF，而aMFMF2|1，因此2|1aMF，23|aMF，由于090MFN，则0190FMF，在1FMF中结合勾股定理可得21221|MFMFFF，故449)2(222aac，即221016ac，所以ac410，因此410e故选：C7【答案】C解：由题设，若椭圆方程为2222

12、1xyab)0(ba，令直线l 与椭圆交点分别为 1122,A x yB x y，则有2211221xyab，2222221xyab，两式作差可得：2222122122xxyyab，即2212122121yyyybxxxxa，易知，弦的中点)1,2(，所以221 yy，421 xx故2221abkAB，所以2122ab，又2c，422ba，解得42 b，82 a，故 E 的方程为14822 yx故选：C8【答案】B解：由)1(112yxy，化简得：1)1(22 yx，故图象为圆心为)1,0(，半径为 1 的圆的位于直线1y下半部分，学科网（北京）股份有限公司试卷第 3 页，共 12 页当直线过

13、点）（1,1时，恰有两个交点，此时b131，31b，即13 b直线bxy3与圆相切时，可得113|1|b，解得：3b（舍去）或 1，所以1b 故113b 故选：B二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9【答案】AC解：当 P 点在椭圆左顶点时，12 1 1 PF最小，当 P 点在椭圆右顶点时，12+13PF最大，所以 A 正确；当 P 点在椭圆上顶点时，1232F PF，所以不存在点 P，使得12PFPF，所以 B 不正确；当 AB 垂直于 x 轴时，弦长|AB|取得最小值

14、 3，所有 C 正确；当 P 点在椭圆上顶点时，21FPF的面积取得最大值为 3，所以 D 不正确.故选：AC10【答案】BD解：对 A，在正方体1111ABCDA B C D中，1BB 平面 ABCD，而 AF 与平面 ABCD斜交，1BB 与 AF 不垂直，故 A 错误；对 B，如图所示：连接111,BC D F AD，,E F 分别为1,BC CC 的中点，1/EFBC，又11/ADBC，1/EFAD，学科网（北京）股份有限公司试卷第 4 页，共 12 页1,A D E F在同一平面内，点1D 在平面 AEF 内，故 B 正确；对 C，1BB 与平面 AEF 相交，故点G 到平面 AEF

15、 的距离是变化的，故 C 不正确；对 D，当G 为1BB 中点，易知FDFDGA111,/平面 AEF,所以1/AG平面 AEF，故 D 正确故 选：BC11【答案】AD解：圆C 标准方程是2)2(22yx，)0,2(C，半径为2r，易得C 点关于直线0 yx对称的点为)2,0(，故圆的方程为2)2(22 yx，A 正确；点C 到直线01 yx的距离为2211|12|d，弦长为64222222drl，B 错；点C 到原点的距离为 2，22yx 表示圆上点到原点的距离，故22yx 的最大值为22，则22xy的最大值是246，C 错；当圆C 上有且仅有三个点到直线0myx的距离等于22 时，圆心)

16、0,2(C到直线的距离2222 rd，即2211|2|md，解得31或m，D 正确故选：AD12【答案】BCD解：设点 P 为,x y，点 P 到l 的距离为d，因为动点 P 到点 F 的距离是点 P 到直线l 的距离的一半，则22214xyx，化简得22143xy，故 A 错误；联立直线042 yx和椭圆方程22143xy，可得：0)1(2 x，故存在)23,1(P，直线042 yx是“最远距离直线”，B 正确；由 2 PFd可知，2PAPFPAd,当点 P 与点 A 纵坐标相等时，最小距离为：5)1(4，C 正确；由 B 选项可知，直线042 yx与椭圆切，直线062 yx与直线042 y

17、x平行，由椭圆的对称性易知与直线042 yx平行的另一条切线为042 yx，故直线学科网（北京）股份有限公司试卷第 5 页，共 12 页062 yx与直线042 yx的距离即为所求，5241|46|d，故 D 正确故选：BCD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13【答案】10解：因为椭圆22116xym的一个焦点坐标为(0,3)，所以169m ，解得25m，所以长轴长为10 故答案为：10 14【答案】043yx解：由题意可知，43122，故 P 在圆上，则过点 P 做圆O 的切线有一条，设切线斜率为k，则113k，33k，故切线方程为)1(333xy，整理得043yx

18、 故答案为：043yx 15【答案】14143解：PA平面 ABCD,ACPA，已知1PA，2PC，则222PAACPC，3 AC，222ACBCAB，BCAB 又因为底面 ABCD是平行四边形，所以底面 ABCD是矩形，以 A 为原点，AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系.学科网（北京）股份有限公司试卷第 6 页，共 12 页则 0,0,0A，2,0,0B，2,1,0C，0,1,0D，)1,0,0(P因为 E 是棱 PB的中点，所以)21,0,22(E，所以)21,1,22(EC，)1,1,0(PD，141431141121|211|,cosPDEC，所以异面直线 EC

19、 与 PD 所成角的余弦值是14143 故答案为：1414316【答案】35解：由题设，)0,31(C，且,E F 关于C 对称，因 P 是椭圆13422 yx上的任一点，设),(yxP，则满足13422 yx，即22433xy1|)()()()(222PCCEPCCEPCCEPCCFPCCEPCPFPE学科网（北京）股份有限公司试卷第 7 页，共 12 页2,2,38)34(414339132)31(|222222xxxxxyxPC当34x时，2|PC取到最小值 38，此时35 PFPE故答案为：35四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17【答案

20、】(1)26m；（2）34n或 43解：（1）若方程22220 xyxym表示圆，则 4440m，解得2m，.2 分根据点)1,1(A在圆外，可得02211m，则6m，.4 分所以26m.5 分（2）由椭圆方程122 nyx，得11122nyx，若焦点在 x 轴上，则1n，即12 a，nb12，nbac11222，41111222nace，即34n.7 分若焦点在 y 轴上，则10 n，即na12，12 b，11222nbac，得到41111222nnace，即43n.9 分学科网（北京）股份有限公司试卷第 8 页，共 12 页故34n或 43.10 分18【答案】(1)（x1）2+（y+1）

21、22(2)x2 或 3x4y20解：(1)因为圆心 C 在直线0 yx上，可设圆心为 C（a，a）则点 C 到直线04 yx的距离2|42|ad.1 分22)(|aaOC.2 分据题意，d|OC|，则22)(2|42|aaa，解得 a1.4 分所以圆心为 C（1，1），半径 rd2，则所求圆的方程是（x1）2+（y+1）22.6 分(2)当弦长为 2，圆心到直线的距离为112r.7 分k 不存在时，x2 符合题意；.9 分k 存在时，设直线方程为 kxy2k+10，圆心到直线的距离11|2|2kk，43k，直线方程为 3x4y20.11 分综上所述，直线方程为 x2 或 3x4y20 .12

22、分19【答案】(1)13422 yx；(2)726.解：（1）因为椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，所以设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab，因为椭圆的离心率为 21，且过点)23,1(P，学科网（北京）股份有限公司试卷第 9 页，共 12 页所以13421149122222222cbacbaacba，所以椭圆的标准方程为：13422 yx；.4 分（2）由（1）可知：)0,1(F，所以直线l 的方程为：01)1(10yxxy，.5 分代入椭圆方程中，得088713)1(4222xxxx，设1122(,),(,)A x yB xy，所以78,782121xxxx，.7 分因此72

23、4732496424)(11|21221xxxxAB，.9 分原点到直线距离22111d，.10 分7262272421|21ABdS OAB.11 分所以 OAB的面积为726.12 分20【答案】(1)证明见解析；(2)36解：（1）证明：在直角梯形 ABCD中，90ABC，22AD，2 BCAB，2 CDAC，222ADCDAC，从而CDAC.2 分又CDAB，AACABCD 平面 ABC，.4 分ACDCD平面，平面ABC平面 ACD.5 分（2）取 AC 的中点 O，连接OB，学科网（北京）股份有限公司试卷第 10 页，共 12 页由题设知 ABC为等腰直角三角形，OBAC又平面 A

24、BC 平面 ACD，且平面 ABC平面 ACDAC，OB 平面 ACM.7 分连接OM，因为 M，O 分别为 AD 和 AC 的中点，/OMCD由（1）可知OMAC，以,OM OC OB 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则)0,1,2(D，)1,0,0(B，)0,1,0(C，)0,0,1(M，)1,1,0(CB，)0,1,1(CM，)0,0,2(CD设平面 BCM 的法向量为,nx y z，则00yxnCMzynCB，令1x，则1,1,1n.9 分同理可求平面 BCD 的法向量为)1,1,0(m.10 分3623|11|,cosmn.11 分易知二面角DBCM为锐角，故二面角

25、DBCM的余弦值为36.12 分21【答案】(1)022 yx(2)存在，定点)0,4(P解：(1)由题意得，圆C 的圆心为)0,0(C，CAMA，CBMB，则 A，B，C，M 四点共圆，且以CM 为直径，.1 分所以该圆的圆心坐标为)1,2(，故该圆的半径514r，所以该圆的方程为5)1()2(22yx，.3 分联立5)1()2(42222yxyx，两式相减得022 yx，所以直线 AB 方程为：022 yx.5 分(2)假设存在定点 P，使得21GPGN，学科网（北京）股份有限公司试卷第 11 页，共 12 页设(,)P m n，0(G x，0)y，因为21GPGN，所以21)()()1(

26、20202020nymxyx，.6 分整理得04228)(3220002020nmnymxxyx，343232822002020nmynxmyx）（1）.8 分由0(G x，0)y 为圆C 上任意一点，则G 满足42020 yx（2）因为G 同时满足（1）（2），可得434032032822nmnm，.10 分解得04nm，.11 分所以存在定点)0,4(P，满足21GPGN.12 分22【答案】(1)证明见解析；（2）存在点)0,45(M，使得 MA MB为定值.解：（1)证明：由椭圆定义可得aPFPF2|21由余弦定理得cos|2|212221221PFPFPFPFFF.2 分)1(cos

27、|2|)|(|21221221PFPFPFPFFF，即)1(cos|2442122PFPFac整理得cos12|221bPFPF.4 分则cos1sinsincos1221sin|21222121bbPFPFSPFF.5 分（2）当02130 PFF，3221PFFS，可得12 b，.6 分又因为焦距为 2，所以1c，22 a，学科网（北京）股份有限公司试卷第 12 页，共 12 页故椭圆C 的方程为1222 yx.7 分假设存在点)0,(nM,使得 MA MB 为定值,设 1122,A x yB x y,设直线l 的方程为1 myx,联立11222myxyx,得012)2(22myym,22221mmyy,21221 myy,.8 分),1(),(1111ynmyynxMA,),1(),(2222ynmyynxMB2212122211)1()(1()1(),1)(,1(nyynmyymynmyynmyMBMA1)1(21)1(2)1(22)1(212222222nmmnnmmnmmm.10 分要使上式为定值,即与m 无关,应有211)1(2n,解得45n,此时167MBMA.11 分当直线l 与 x 轴重合时，167)0,452)(0,452(MBMA成立存在点)0,45(M,使得 MA MB 为定值716恒成立.12 分