小学数学讲义暑假五年级第4讲枚举法进阶优秀A版.pdf

1、1第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲四年级寒假几何计数初步四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶用枚举法计算较复杂的几何，数论等问题漫画释义知识站牌第四讲 枚举法进阶2第 9 级上优秀 A 版 教师版枚举法虽然是一种最简单，最基本的计数方法，但在生活中有很多的应用例如，破译电脑密码.破译密码最简单的原理，就是尝试所有可能的密码组合，直到得到正确的密码只要有足够的时间和存储空间，枚举密码原则上是可行的.1.掌握枚举法不重不漏的方法：分类，有序2.灵活运用枚举法解决各种计数问题枚举常用的方法有列表法、树形图、标数法、找规律及公式法（1）列表法

2、例：有一张伍拾元，4 张贰拾元，8 张拾元要拿出 80 元，可以有多少种不同的拿法？取的张数4376548伍拾元1100000贰拾元0112340拾元3164208（2）树形图例：暑假里，一个学生在 A、B、C 三个城市游览他今天在这个城市，明天就到另一个城市假如他第一天在 A 市，第五天又回到 A 市，问他有几种不同的游览方案？经典精讲教学目标课堂引入3第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲BAACABACBAABAACACABBA 第一天第二天第三天第四天 第五天（3）标数法例：如图，从 A 到 B 的最短路线有多少条？BA（4）找规律:适用于规律性强，情形较多的题例：从 1 到 10

3、0 的自然数中，每次取出两个数，要使它们的和大于 100，共有多少种取法？（5）公式法:此法比较适合于题目涉及的对象比较富有规律性，且情形繁多，数目很大，不宜用逐一列举来解但通过适当的分类，逐一分析后，可利用公式解答模块 1：例 1-2，树形图，标数法；模块 2：例 3-4，分类，定序枚举；模块 3：例 5，较复杂的枚举.如图,从起点走到终点,要求取出每个站点上的旗子,并且每个站点只允许通过一次,有种不同的走法。例题思路例 14第 9 级上优秀 A 版 教师版终点起点【分析】给这些点依次标上字母（如左图）,然后采用枚举法（如右图）：acbedfbdefedfdeffeccdcba共 4 种不同

4、的走法。如图为一幅街道图，从 A 出发经过十字路口 B，但不经过C 走到 D 的不同的最短路线有条.ACBD1118126666633211DBCA【分析】到各点的走法数如右图所示.所以最短路径有18 条.想想练练：一只兔子沿着方格的边从 A 到 B,规定上只能往上或往右走，但是必须经过一座独木桥MN,这只兔子有_种不同的走法.BANM18612666633211111【分析】标数法，如右图例 25第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲【铺垫】如图所示，沿线段从 A 到 B 有多少条最短路线？GFEDCBA111064332111AB【分析】图中 B 在 A 的右上方，因此从 A 出发，只

5、能向上或者向右才能使路线最短，那么反过来想，如果到达了某一个点，也只有两种可能：要么是从这个点左边的点来的，要么是从这个点下边的点来的那么，如果最后到达了 B，只有两种可能：或者经过 C 来到 B 点，或者经 D来到 B 点，因此，到达 B 的走法数目就应该是到达 C 点的走法数和到达 D 点的走法数之和，而对于到达 C 的走法，又等于到达 E 和到达F 的走法之和，到达 D 的走法也等于到达 F 和到达 G 的走法之和，这样我们就归纳出：到达任何一点的走法都等于到它左侧点走法数与到它下侧点走法数之和，根据加法原理，我们可以从 A 点开始，向右向上逐步求出到达各点的走法数如图所示，使用标数法得

6、到从 A 到B 共有 10 种不同的走法【铺垫】如图，从 A 点到 B 点的最近路线有多少条？BA10204111111B6243310A【分析】使用标数法得出到 B 点的最近路线有 20 条【拓展】小强从 A 点出发，到达 B 点的最短路线有_条BA132429042144828145201495265432111111AB【分析】标数法，如右图，132 条6第 9 级上优秀 A 版 教师版数一数图中共有多少个正方形？【分析】按照面积大小分类枚举，设最小的正方形面积为 1，则面积为 1 的正方形有 4 个；面积为 2的正方形有 4 个；面积为 4 的正方形有 5 个；面积为 8 的正方形有

7、1 个；面积为 16 的正方形有 1 个；综上，图中共有 4451 115 个正方形想想练练：数一数图中共有多少个三角形？【分析】把图中最小三角形作为基数，然后按含有几个基数的三角形分类进行枚举含一个基数的三角形共有 8 个；含两个基数的三角形共有 4 个；含四个基数的三角形共有4 个；综上，整个图形中共有三角形84416个穷举法与密码破译穷举法是一种针对于密码的破译方法。这种方法很像数学上的“完全归纳法”，并在密码破译方面得到了广泛的应用。简单来说就是将密码进行逐个推算，直到找出真正的密码为止。比如一个全部由数字组成的四位密码共有 10000 种组合，也就是说最多我们会尝试 9999 次才能

8、找到真正的密码。利用这种方法我们可以运用计算机来进行逐个推算，也就是说我们破解任何一个密码也都只是一个时间问题。当然如果破译一个有 8 位而且可能拥有大小写字母、数字以及符号的密码用普通的家用电脑可能会用掉几个月甚至更多的时间去计算，其组合方法可能有几千万亿种组合。这样长的时间显然是不能接受的。其解决办法就是运用字典，所谓“字典”就是给密码锁定某个范围，比如英文单词以及生日的数字组合等，所有的英文单词不过 10 万个左右，这样可以大大缩小密码范围，很大程度上缩短了破译时间。例 37第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲三条边的边长均为整数,且最长边的边长是 8 厘米,这样的三角形共有多少种

9、？(提示：三角形两边边长之和大于第三边)【分析】由三角形两边之和大于第三边（由于是整数,至少是 9）,两边之差小于第三边（至多是 7）,其余两条边长至少是 1,至多是 8,枚举得满足要求的另外两条边之长的组合可以是：（1,8）（2,7）（2,8）（3,6）（3,7）（3,8）（4,5）（4,6）（4,7）（4,8）（5,5）（5,6）（5,7）（5,8）（6,6）（6,7）（6,8）（7,7）（7,8）（8,8）共 1+2+3+4+4+3+2+1=20 种.(学生版中仅有 1-4)(1)从 110 中每次取两个不同的整数相加,和大于 10 的共有多少种取法？(2)从 1100 中每次取两个不同

10、的整数相加,和大于 100 的共有多少种取法？(3)从 110 中每次取两个不同的整数相加,和大于 11 的共有多少种取法？(4)从 1100 中每次取两个不同的整数相加,和大于 101 的共有多少种取法？(5)从 1100 中每次取两个不同的偶数相加,和大于 101 的共有多少种取法？(6)从 1100 中每次取两个不同的奇数相加,和大于 101 的共有多少种取法？(7)从 1100 中每次取两个不同的整数相加,和不超过 150 的共有多少种取法？【分析】(1)设第一个数较小,将和大于 10 的取法分为 9 类,枚举如下：因此,根据加法原理,共有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 种

11、取法使和大于 10通过枚举也要能发现其中的规律,可以看出来此题的取法成等差数列,并在中间“拐弯”(2)由(1)题的规律可知：“拐弯”的地方为第一个数为 50,第二个数为 51100,共 50 种选择因此此题答案为 1+2+3+49+50+49+3+2+1=2500.例 5例 48第 9 级上优秀 A 版 教师版(3)同(1)题的方法,枚举如下：第一个数第二个数有几种第 1 类2101第 2 类39,102第 3 类48,9,103第 4 类57,8,9,104第 5 类67,8,9,104第 6 类78,9,103第 7 类89,102第 8 类9101共有 1+2+3+4+4+3+2+1=2

12、0 种取法此题中间的“拐弯”数有两个,需要注意(4)同(3)题,答案为 1+2+3+49+49+3+2+1=2450.(5)枚举找规律第一个数第二个数有几种第 1 类21001第 2 类498,1002第 3 类696,98,1003第类第 24 类4854,56,10024第 25 类5052,54,10025第 26 类5254,10024第类第 49 类981001因此答案为 1+2+3+24+25+24+3+2+1=625(6)枚举找规律第一个数第二个数有几种第 1 类3991第 2 类597,992第 3 类795,97,993第类第 24 类4953,55,9924第 25 类51

13、53,55,9924第类第 48 类97991因此答案为 1+2+3+24+24+3+2+1=600(7)枚举找规律第一个数第二个数有几种第 1 类12-10099第 2 类23-10098第 3 类34-10097第类第 49 类4950-100519第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲第 50 类5051-10050第 51 类5152-9948第 52 类5253-9846第 53 类5354-9744第类第 74 类7475,762因此答案为(99+98+97+51)+(50+48+4+2)=3675+650=4325想想练练：从 110 中每次取两个不同的整数相加,和小于 12

14、 的共有多少种取法？【分析】设第一个数小于第二个数枚举如下：第一个数第二个数有几种第 1 类12-109第 2 类23-97第 3 类34-85第 4 类45-73第 5 类561共 9+7+5+3+1=25 种Q 先生和 S 先生、P 先生在一起做游戏.Q 先生用两张小纸片，各写一个数.这两个数都是正整数，差数是 1.他把一张纸片贴在 S 先生额头上，另一张贴在 P 先生额头上.于是，两个人只能看见对方额头上的数.Q 先生不断地问：你们谁能猜到自己头上的数吗?S 先生说：“我猜不到.”P 先生说：“我也猜不到.”S 先生又说：“我还是猜不到.”P 先生又说：“我也猜不到.”S 先生仍然猜不到

15、；P 先生也猜不到.S 先生和 P 先生都已经三次猜不到了.可是，到了第四次，S 先生喊起来：“我知道了!”P 先生也喊道：“我也知道了!”问：S 先生和 P 先生头上各是什么数?答案：S 头上是 8，P 头上是 7知识点总结10第 9 级上优秀 A 版 教师版枚举法的核心是：分类，有序；枚举常用的方法：列表法、树形图、标数法、找规律、公式法有长度分别为 2,3,4,5,6,7,8,9 的线段各一条,从中选出三条来组成三角形那么有多少种不同的选法？(提示：三角形两边边长之和大于第三边)【分析】三角形两边之和大于第三边分类如下：(2，3，4)，(2，4，5)，(2，5，6)，(2，6，7)，(2

16、，7，8)，(2，8，9)；(3，4，5)，(3，4，6)，(3，5，6)，(3，5，7)，(3，6，7)，(3，6，8)，(3，7，8)，(3，7，9)；(4，5，6)，(4，5，7)，(4，5，8)，(4，6，7)，(4，6，8)，(4，6，9)，(4，7，8)，(4，7，9)，(4，8，9)(5，6，7)，(5，6，8)，(5，6，9)，(5，7，8)，(5，7，9)，(5，8，9)；(6，7，8)，(6，7，9)，(6，8，9)(7，8，9)共计：6+8+9+6+3+1=33 种1.1995 的数字和是 1995=24，问：小于 2000 的四位数中数字和等于 26 的数共有多少个?【

17、分析】小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 26，只需其余三位数字和是 25因为十位、个位数字和最多为 99=18，因此，百位数字至少是 7于是百位为 7 时，只有 1799，一个；百位为 8 时，只有 1889，1898，二个；百位为 9 时，只有 1979，1997，1988，三个；总计共 123=6 个2.1995 的数字和是 1995=24，问：小于 2000 的四位数中数字和等于 24 的数共有多少个?【分析】小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 24，只需其余三位数字和是 23因为十位、个位数字和最多为 9918，因此，百位数字至少是 5于是百位为

18、5 时，只有 1599 一个；百位为 6 时，只有 1689，1698 两个；百位为 7 时，只有 1779，1788，1797 三个；百位为 8 时，只有 1869，1878，1887，1896 四个；百位为 9 时，只有 1959，1968，1977，1986，1995 五个；根据加法原理，总计共1234515 个3.小明用 25 元钱买了甲、乙、丙、丁 4 种书,共 10 册已知甲、乙、丙、丁这 4 种书每本价格分附加题杯赛提高11第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲别为 1 元、2 元、3 元、4 元,而且每种书至少买了一本那么,共有多少种不同的购买方法？【分析】先从 25 元中

19、各买四种书 1 册，这样还剩下 25-1-2-3-4=15 元钱，用 15 元钱买 6 本书，可以有书不买列表如下：1 元/本2 元/本3 元/本4 元/本332112132231122141111433共有 8 种购买方式4.小明用 24 元钱买了甲、乙、丙 3 种书,共 8 册已知甲、乙、丙这 3 种书每本价格分别为 1 元、3 元、4 元,而且每种书至少买了一本那么,共有多少种不同的购买方法？【分析】先每种书各买一本，这样还剩下 24-1-3-4=16 元，5 本书共 16 元，可以有书不买列表如下：1 元本3 元本4 元本11341共 2 种5.明明带 8 元钱去商店买冰激凌有三种冰激

20、凌,售价分别是 5 元一支、2 元一支和 1 元一支如果这 8 元钱全部用于买这三种冰激凌,共有多少种不同的买法？【分析】有顺序地思考买法,如下表：5 元支2 元支1 元支总价 8 元1 支1 支1 支5218(元)1 支/3 支51 38 (元)/4 支/248(元)/3 支2 支231 28 (元)/2 支4 支221 48(元)/1 支6 支21 68 (元)/8 支1 88(元)所以,共有 7 种不同的买法6.巍巍给他的四个小伙伴每人写了一张贺卡，并且装在信封里，结果粗心的巍巍把每一封信都装错了信封，问一共有多少种错装信封的可能？【分析】设巍巍的四个小伙伴分别为 A,B,C,D，他们得

21、到的贺卡编号分别为 1,2,3,412第 9 级上优秀 A 版 教师版1231223132122141443141431432DCBA所以，共有 9 种可能注：也可只分析 A 拿到 2 号的情况，共 3 种，由地位的对等性，A 拿到 3，4 号也都是 3 种情况，因此共有 33=9 种可能7.在下图中，用水平或者垂直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？A|APA|APPPA|APPLPPA|APPLELPPA1|13 1|127 21|12415421|1248318421【分析】要想拼出英语“APPLE”的单词，必须按照“APPLE”的次序拼写

22、在图中的每一种拼写方式都对应着一条最短路径如右图所示，用标数法得出共有 31 种不同的路径8.把等边三角形的每一条边都 5 等分，过各分点作边的平行线，然后再擦掉一条线段，得到如下图形数一数图中共有多少个三角形？【分析】法 1：分类枚举按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为 1，则边长为 1 的三角形有12335122423 个（按照尖朝上与尖朝下分类）；边长为 2 的三角形有122319 个；边长为 3 的三角形有1225个；边长为 4 的三角形有123个；边长为 5 的三角形有1个；综上，共有 23953141 个13第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲法 2：排除法如果把

23、这条线段补上，共有 48 个三角形；擦掉线段后，三角形减少241007 个，所以图中共有 48741个三角形9.有长度分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的线段各一条,从中选出若干条来组成正方形那么有多少种不同的选法？【分析】设每边长度为 n,123941234nnn 解得711.25n,如下分类：边长为 11：2+9=3+8=4+7=5+6 共 1 种；边长为 10：1+9=2+8=3+7=4+6 共 1 种；边长为 9：9=1+8=2+7=3+6=4+5,从 5 个中去掉 1 个,共有 5 种选择；边长为 8：8=1+7=2+6=3+5,共 1 种；边长为 7：7=1+6=2+5=

24、3+4,共 1 种；共 1+1+5+1+1=9 种选法1.一个学生假期往 A、B、C 三个城市游览他今天在这个城市，明天就到另一个城市假如他第一天在 A 市，第五天又回到 A 市问他的游览路线共有几种不同的方案？【分析】BBBBAAAAAAAAACCCCACBA第五天第四天第三天第二天第一天可见他第五天回到 A 市的不同游览路线共有 6 种.2.在下图的街道示意图中，C 处因施工不能通行，从 A 到 B 的最短路线有多少条？CBA6033311122221111CBA【分析】因为 B 在 A 的右上方，由标数法可知，从 A 到 B 的最短路径上，到达任何一点的走法数都等于到它左侧点的走法数与到

25、它下侧点的走法数之和而C 是一个特殊的点，因为不能通行，所以不可能有路线经过 C，可以认为到达C 点的走法数是 0接下来，可以从左下角开始，按照加法原理，依次向上向右填上到各点的走法数如图，从 A 到B 的最短路线有6 条家庭作业14第 9 级上优秀 A 版 教师版3.把等边三角形的每一条边都 4 等分，过各分点作边的平行线，得到如下图形数一数图中共有多少个三角形？【分析】按三角形的边长分类枚举，设最小的等边三角形边长为 1，则边长为 1 的三角形有123412316 个（按照尖朝上与尖朝下分类）；边长为 2 的三角形有12317 个；边长为 3 的三角形有123个；边长为 4 的三角形有 1

26、 个；综上，共有1673127 个4.有长度分别为 2,3,4,5,6 的线段各一条,从中选出三条来组成三角形那么有多少种不同的选法？【分析】三角形两边之和大于第三边分类如下：(2,3,4)(2,4,5)(2,5,6);(3,4,5)(3,4,6)(3,5,6);(4,5,6).共有 7 种不同的选法5.从 18 中每次取两个不同的数相加，和大于 10 的共有多少种取法？【分析】两个数和为 11 的一共有 3 种取法；两个数和为 12 的一共有 2 种取法；两个数和为 13 的一共有 2 种取法；两个数和为 14 的一共有 1 种取法；两个数和为 15 的一共有 1 种取法；一共有 3+2+2

27、+1+1=9 种取法6.袋中有 3 个红球，4 个黄球和 5 个白球，小明从中任意拿出 6 个球，他拿出球的情况共有_种可能【分析】白球的数最多，红球的数最少，可以通过红球分类，最后用白球的数来补充剩下的枚举如下(注：当其他球确定后，白球也就定下来了此表中白球并未写出)：红球(不超过 3)黄球(不超过 4)白球(不超过 5)共几种01，2，3，4410，1，2，3，4520，1，2，3，4530，1，2，3415第 9 级上 优秀 A 版教师版第 4 讲可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18（种）【学案 1】A、B、C 三个小朋友互相传球，先从 A 开始发球(作为第一次传球)，这样经过了

28、 5 次传球后，球恰巧又回到 A 手中，那么不同的传球方式共多少种？【分析】如图，A 第一次传给 B，到第五次传回 A 有 5 种不同方式同理，A 第一次传给C，也有5 种不同方式所以，不同的传球方式共有55=10种CBCCBAABABCCBA【学案 2】小君家到学校的道路如图所示。从小君家到学校有_种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走）学校小君家10743322221111111学校小君家【分析】如右图，标数法共 10 种【学案3】把等边三角形的每一条边都4等分，过各分点作边的平行线，然后再擦掉一条线段，得到如下图形数一数图中共有多少个三角形？【分析】法 1：分类枚举按三角形的边长分类

29、枚举，设最小的等边三角形边长为 1，则边长为 1 的三角形有12241 1314 个（按照尖朝上与尖朝下分类）；边长为 2 的三角形有1 1215 个；A 版学案16第 9 级上优秀 A 版 教师版边长为 3 的三角形有1 12 个；边长为 4 的三角形有1个；综上，共有1452122 个法 2：排除法如果把这条线段补上，共有 27 个三角形；擦掉线段后，三角形减少22105 个，所以图中共有 27522个三角形【学案 4】有一批长度分别为 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 与 11 厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边,可围成一个三角形如果规定其中一边

30、是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?(提示：三角形两边边长之和大于第三边,两边边长之差小于第三边.)【分析】一个三角形,任何两条边的长度之和,比余下的一条边长在本题中,设底边是 11 厘米的三角形其余二边分别是 a 及 b,则必有 11a+b此外,为确切起见,可设 ab,于是(a,b)的可能的值便有：(11,11)；(10,10),(10,11)；(9,9),(9,10),(9,11)；(8,8),(8,9),(8,10),(8,11)；(7,7),(7,8),(7,9),(7,10),(7,11)；(6,6),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(6,11)；(5,7),(5,8),(5,9),(5,10)(5,11)；(4,8),(4,9),(4,10),(4,11)；(3,9),(3,10),(3,11)；(2,10),(2,11)；(1,11)共 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36 种.