小学数学讲义秋季四年级第11讲超常体系.pdf

1、第 11 讲1第 7 级下超常体系教师版四年级暑假追及问题四年级秋季环形跑道四年级秋季火车过桥四年级春季相遇与追及综合四年级春季流水行船掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法漫画释义知识站牌第十一讲火车过桥第 7 级下超常体系教师版2同学们出门旅游的时候坐过火车吗？你们了解车次前的“T”、“D”、“K”、“L”、“Z”该怎么念，代表什么意思吗？1.掌握火车过桥问题的几个基本类型及各个类型的解题方法；2.学会分析行程问题中不同物体之间的运动关系.火车过桥问题实际上是很简单的相遇与追及问题.通过火车过桥看尾巴,可以把火车过桥问题转化成人的简单行程问题及人与人之间的相遇与追及问题.一、火

2、车过桥完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长加一个火车长完全在桥上：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长减一个火车长一般我们所说的火车过桥是指完全过桥的这种情况二、铁路旁的人与火车问题1人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长2人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长3人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过

3、程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长4人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程这个过程实质还是人和火车的相遇、追及问题此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的速度，长度为零的桥课堂引入经典精讲教学目标第 11 讲3第 7 级下超常体系教师版三、超车、错车问题1超车问题：是指同向行驶的两列火车从快车的车头与慢车的车尾对齐到快车的车尾与慢车的车头对齐的过程这个过程我们可以把慢车看成是可以运动有长度的桥，是追及问题所以追及的路程差为快车车长加一个慢车车长2错车问题：是指相向行驶的两列火车从车头对齐到车尾对齐的过程，这个过程我们可以把其中一辆车

4、看成是可以运动有长度的桥，是相遇问题所以相遇的路程和为快车车长加一个慢车车长3齐头问题：是指两列火车快车的车头与慢车的车头对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程这个过程中追及的路程差为快车车长.4齐尾问题：是指两列火车快车的车尾与慢车的车尾对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程这个过程中追及的路程差为慢车车长.四、单位换算问题1 千米/时(1 3.6)米/秒，1米/秒(1 3.6)千米/时1.浩浩从家到学校，每分钟行 60 米，一共走了 10 分钟，请问浩浩家到学校一共有多少米？【分析】600 米2.小明距电线杆 200 米，他以每秒 2 米的速度走到电线杆处需要多少秒？【

5、分析】2002100（秒）3.小白和小黑这两名铁道工人相距 20 米，且分别以每秒 2 米的速度和每秒 3 米的速度同时出发，相向而行，两人相遇时用了多少秒？【分析】20(23)4（秒）4.小白和小黑这两名铁道工人相距 20 米，且分别以每秒 2 米的速度和每秒 3 米的速度同时同向而行，小白在前，小黑在后，小黑多长时间追上小白？【分析】20(32)20（秒）5.甲乙两车分别从相距 200 千米的 A、B 两地同时出发，相向而行，2 小时相遇，已知甲车比乙车每小时多走 20 千米，求甲乙两车的速度各是多少？【分析】乙车速度：（2002-20）2=40 千米/时，甲车速度：60 千米/时知识点回

6、顾例题思路第 7 级下超常体系教师版4模块一：火车与人（例1）模块二：火车与桥（例2、例3、例4）模块三：火车与火车（例5、例6、例7、例8）小新以每秒10 米的速度沿铁道边小路骑车行进，身后一辆火车以每秒100 米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时 4 秒，那么车长多少米？过了一会，另一辆火车以每秒100米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时 3秒那么车长是多少？【分析】（1）这是一个追及过程，把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车根据追及问题的基本关系式：(A 的车长B的车长)(A 的车速 B的车速)=从车头追上到车尾离开的时间，在这里，B 的车长(也就是小新)为

7、0，所以车长为：100104360（）(米)；（2）这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车根据相遇问题的基本关系式，(A 的车+B 的车长)(A 的车速+B 的车速)=两车从车头相遇到车尾离开的时间，车长为：100103330（）(米)1、已知某铁路桥长 1000 米，一列火车从桥上通过，火车速度每秒 40 米，车长 200 米，（1）火车完全在桥时间是多少？（2）火车从开始上桥到完全下桥所用时间是多少？【分析】（1）10002004020（）（秒）；（2）1000+2004030（）（秒）.2、已知一列长 200 米的火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进

8、入隧道到完全出来共用60 秒，整列火车完全在隧道里面的时间为40 秒，求火车的速度？【分析】建议教师画图帮助学生分析解决从火车进隧道到完全出来用 60秒走的路程 隧道长 火车长，完全在隧道中的时间40 秒走的路程 隧道长 火车长，可知 60秒比 40 秒多 20 秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时为 20210(秒)车长为 200 米，所以车速：2001020(米/秒)一个车队以 6 米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用 152 秒已知每辆车长 6 米，两车间隔 10 米问：这个车队共有多少辆车？（学案对应:超常班学案 1、超常 123 学案 1）【分析】由“路程 时间 速

9、度”可求出车队 152 秒行的路程为 6152=912（米），故车队长度为912250662(米)再由植树问题可得车队共有车(6626)(610)142(辆)例 3例 2例 1第 11 讲5第 7 级下超常体系教师版小胖用两个秒表测一列火车的车速.他发现这列火车通过一座 660米的大桥需要 40秒，以同样速度从他身边开过需要10 秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是多少米？（学案对应:超常班学案 2，超常 123 学案 2）【分析】火车 40秒走过的路程是 660米 车身长，火车10 秒走过一个车身长，则火车30 秒走 660米，所以火车车长为6603220（米）.一列快车全长 250

10、 米，每秒行15 米；一列慢车全长 263米，每秒行12 米 两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾超过慢车车头，需要几秒钟？例 4例 5火车的历史火车曾在人类交通历史上占据了一百多年的霸主地位它的存在使人类的移动速度第一次超过马，从而改变了人类的生活方式，甚至促进了世界旅游业的兴起1804 年，一个名叫德里维斯克的英国矿山技师，首先利用瓦特的蒸汽机造出了世界上第一台蒸汽机车因为这种车使用煤炭或木柴做燃料，所以人们叫它“火车”，这个名称也一直沿用至今但是使用燃煤蒸汽动力的蒸汽机车有一个很大的缺点，就是必须在铁路沿线设置加煤、水的设施

11、，还要在运营中耗费大量时间为机车添加煤和水这些都很不方便，于是在 19 世纪末，许多科学家转向研究电力和燃油机车1879 年，德国西门子电气公司研制了第一台电力机车，重约 954 公斤，但它只在一次柏林贸易展览会上做了表演1903 年 10 月 27 日，西门子与通用电气公司研制的第一台实用电力机车才正式投入使用1894 年，德国研制成功了第一台汽油内燃机车，并将它应用于铁路运输，开创了内燃机车的新纪元但这种机车烧汽油，耗费太高，不易推广1924 年，德、美、法等国成功研制了柴油内燃机车，并在世界上得到广泛使用随着科技的飞速发展，世界各国并不满足于内燃机车，而是大力投入发展高速列车例如法国巴黎

12、至里昂的高速列车，时速达 300 公里；日本东京至大阪的高速列车时速也达到 300公里以上但是人们对这样的高速列车仍不满足，法国、日本等国率先开发了磁悬浮列车；我国也在上海修建了世界第一条商用磁悬浮列车线这种列车悬浮于轨道之上，时速可达 700800 公里在可以预见的将来，火车必然还会在人们的生活中继续扮演重要的角色，把源源不断的旅客送到世界各地第 7 级下超常体系教师版6【分析】这是一个相遇错车的过程，两列车共走的路程是两车车长之和：250263513(米)，两列车的速度和为151227(米/秒)，5132719(秒)，所以从车头相遇到车尾离开要19 秒(2)这是一个超车过程，也就是一个追及

13、过程，路程差为两车车长和所以超车时间为：25026315 12171（）（）(秒)现有两列火车同时同方向齐头行进,行 12秒后快车超过慢车.快车每秒行18 米,慢车每秒行10 米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则 9 秒后快车超过慢车,求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间.（学案对应:超常班学案 3）【分析】快车车长为(18 10)1296（米），慢车车长为(18 10)972（米），所以超车时间为(9672)(18 10)21（秒）两列火车相向而行，甲车每小时行36 千米，乙车每小时行54 千米两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他

14、的车窗共用了14 秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？（学案对应:超常班学案 4，超常 123 学案 3）【分析】首先统一单位：甲车的速度是每秒钟 36000360010(米)，乙车的速度是每秒钟54000360015(米)此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇更具体的说是和乙车的车尾相遇路程和就是乙车的车长这样理解后其实就是一个简单的相遇问题 101514350（）(米)，所以乙车的车长为 350 米同理甲车车长为(10 15)11275米，所以两列火车的错

15、车时间为(350275)(1015)25秒.马路上有一辆车身长为 15 米的公共汽车由东向西行驶，车速为每秒 5 米马路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了 2 秒钟汽车离开了乙问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？（学案对应，超常 123 学案 4）乙走2秒甲走32秒车走6秒车走30秒甲走 6秒甲乙二人的间隔距离甲乙【分析】由“某一时刻，汽车追上了甲，6 秒钟后汽车离开了甲”，可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度：5 6 1562.5（）(米/秒)；而汽车

16、与乙是一个相遇的过例 8例 7例 6第 11 讲7第 7 级下超常体系教师版程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度：155 222.5（）(米/秒)汽车离开乙时，甲、乙 两 人 之 间 相 距：52.50.5 60280（）（）(米)，甲、乙 相 遇 时 间：802.52.516（）(秒)火车过桥问题实际上是很简单的相遇与追及问题.通过火车过桥看尾巴,可以把火车过桥问题转化成人的简单行程问题及人与人之间的相遇与追及问题.一、火车过桥完全过桥：是指从车头上桥，到车尾离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长加一个火车长完全在桥上：是指从车尾上桥，到车头开始离开桥的过程，此过程火车走过的路程为桥长

17、减一个火车长一般我们所说的火车过桥是指完全过桥的这种情况二、铁路旁的人与火车问题1人站在铁路旁不动从开始看到车头驶过到车尾离开的过程（火车与树或电线杆问题）这个过程把人看成是长度为零的桥，因此火车走过路程为一个车长2人在铁路旁和火车同向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的追及问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，追及的路程差为一个车长3人在铁路旁和火车相向行走从开始看到车头驶过到车尾离开的过程这个过程实质是人和火车的相遇问题，此时把人看成是可以运动长度为零的桥，相遇的路程和为一个车长4人坐在火车上从车窗看到外面火车车头到车尾离开的过程这个过程实质还是人和火车的相遇

18、、追及问题此时只是把人看成运动的速度为所坐火车的速度，长度为零的桥一只瓢虫在一把长 12 厘米的直尺上匀速爬行它从尺子一端的 12 厘米刻度线爬到尺子正中的 6 厘米刻度线花了 12 秒钟然而它用同样的速度从中点的 6 厘米刻度线爬到尺子另一端的 1 厘米刻度线却只用了 10 秒钟，这是为什么呢？【答案】6 厘米刻度线到 1 厘米刻度线之间只有 5 厘米知识点总结第 7 级下超常体系教师版8三、超车、错车问题1超车问题：是指同向行驶的两列火车从快车的车头与慢车的车尾对齐到快车的车尾与慢车的车头对齐的过程这个过程我们可以把慢车看成是可以运动有长度的桥，是追及问题所以追及的路程差为快车车长加一个慢

19、车车长2错车问题：是指相向行驶两列火车从车头对齐到车尾对齐的过程，这个过程我们可以把其中一辆车看成是可以运动有长度的桥，是相遇问题所以相遇的路程和为快车车长加一个慢车车长3齐头问题：是指两列火车快车的车头与慢车的车头对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程这个过程中追及的路程差为快车车长.4齐尾问题：是指两列火车快车的车尾与慢车的车尾对齐同时同向行驶直到快车车尾与慢车车头平行的过程这个过程中追及的路程差为慢车车长.四、单位换算问题1 千米/时(1 3.6)米/秒，1米/秒(1 3.6)千米/时1.小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2 米/秒，这时迎面开来一列火车，从车

20、头遇到小新到车尾经过他身旁共用18 秒，已知火车全长 342米，请大家算一算火车速度.【分析】本题相当于小新和火车的相遇问题，相遇路程为火车长度 342米，相遇时间为18 秒，则速度和为：3421819(米/秒)，火车速度：19217(米/秒)2.小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2 米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头遇到小新到车尾经过他身旁共用了 21秒已知火车全长 336米，求火车的速度【分析】火车从小新身边经过的相对速度等于火车速度与小新速度之差：3362116(米/秒)，火车速度为：16218(米/秒)3.一列火车长160 米，全车通过一座桥需要30 秒钟，这

21、列火车每秒行 20 米，求这座桥的长度火车火车桥火车行驶路程【分析】由图知，全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车 30 秒钟走过:2030600(米)，桥的长度为：600160440(米)4.一列火车长 450 米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔3 米，这列火车从车头到第1棵树到车尾离开第101棵树用了 0.5 分钟这列火车每分钟行多少米？【分析】第 1 棵 树 到 第 101 棵 树 之 间 共 有 100 个 间 隔，所 以 第 1 棵 树 与 第 101 棵 树 相 距3 100300(米)，火

22、车经过的总路程为：450300750(米)，这列火车每分钟行7500.51500(米)家庭作业第 11 讲9第 7 级下超常体系教师版5.快车 A 车长120米，车速是20 米/秒，慢车 B 车长140米，车速是16 米/秒.慢车 B 在前面行驶，快车 A 从后面追上到完全超过慢车 B 需要多少时间？【分析】从“追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头，“追上”时 A 落后 B 的车身长，“超过”时 A 领先 A 的车身长，也就是说从“追上”到“超过”，A 的车头比 B 的车头多走的路程是：B 的车长A的车长，因此追及所需时间是：(A 的车长 B的车长)(A 的车速 B的车速)由此可

23、得追及时间为：1201402016（）（）65(秒)6.甲乙两列火车,甲车每秒行22 米,乙车每秒行16 米,若两车齐头并进,则甲车行 30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行 26 秒超过乙车.求两车各长多少米?【分析】两车齐头并进：甲车超过乙车,那么甲车要比乙车多行一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行 22-16=6 米,30 秒超过说明甲车长 630=180 米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于 626=156 米.7.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒，那么

24、坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析】这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长,相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度.所以可先求出两车的速度和3511385（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间835280（秒）8.某列火车通过 342 米的隧道用了 23 秒，接着通过 234 米的隧道用了17 秒，这列火车与另一列长88 米，速度为每秒22 米的列车错车

25、而过，问需要几秒钟？【分析】通 过 前 两 个 已 知 条 件，我 们 可 以 求 出 火 车 的 车 速 和 火 车 的 车 身 长 车 速 为：34223423 1718（）（）(米/秒)，车长：182334272(米)，两车错车是从车头相遇开始，直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，根据“路程和 速度和 相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间为728818224（）（）(秒)，所以两车错车而过，需要4 秒钟【超常班学案 1】一个车队以5 米/秒的速度缓缓通过一座长 200 米的大桥，共用 145 秒.已知每辆车长 5 米，两车间隔 8 米.问

26、：这个车队共有多少辆车？【分析】由“路程=时间速度”可求出车队 145 秒行的路程为 5145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）（5+8）1=41（辆）.【超常班学案 2】某列火车通过 360 米的第一个隧道用了24 秒钟，接着以两倍的速度通过第二个长216 米的隧道用了8 秒钟，求这列火车的长度？【分析】如果通过第二个隧道时速度没有提高，那么将需要8216秒，所以火车原来的速度为360216241618(米/秒)火车的长度为182436072(米)超常班学案第 7 级下超常体系教师版10【超常班学案 3】甲乙两列火车,甲车每秒行

27、 25 米,乙车每秒行 15 米,若两车齐头并进,则甲车行 30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行 26 秒超过乙车.（1）求两车各长多少米?（2）两列火车相向行驶，从两车的车头相遇到车尾离开共需多少秒？【分析】（1）两车齐头并进：甲车超过乙车,那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行 25-15=10 米,30 秒超过说明甲车长 1030=300 米.两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于 1026=260 米.（2）（300+260）（25+15）=14 秒【超常班学案 4】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 294 米，慢车的车

28、长是 357 米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 17 秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少秒？【分析】先求出两车的速度和 3571721（米/秒），然后再求另一过程的相遇时间 2942114（秒）.【超常 123 学案 1】一列火车长 500 米，铁路沿线的每根电线杆之间相隔 5 米，这列火车从车头遇到第1根电线杆到车尾离开第 201 根电线杆用了 2.5 分钟这列火车每分钟行多少米？【分析】第1根电线杆到第 201根电线杆之间共有 200 个间隔，所以第1根电线杆到第 201根电线杆相距 52001000(米)，火车经过的总路程为：10005001500(米)，这列火车每分钟

29、行15002.5600(米)【超常 123 学案 2】小英和小敏用两块秒表测量飞驶而过的火车的速度和车身长.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是 15 秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是 20 秒.已知两电线杆之间的距离是 100 米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【分析】火车的时速是:100(20-15)6060=72000(米/小时)，车身长是:2015=300(米)【超常 123 学案 3】两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长 225米，每秒行驶 25 米，乙列车每秒行驶20 米，甲、乙两列火车错车时

30、间是 9 秒，求：（1）乙列车长多少米？（2）甲列车通过这个道口用多少秒？（3）坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？【分析】（1）这是一个典型的相遇问题，已知两车的速度和相遇的时间，可以求出两车的长度和，25209405（）(米)，那么乙列车的长度为：405225180(米)（2）把道口看作是没有速度没有长度的火车，那么甲车通过道口的路程也就是甲列车的长，所以甲列车通过道口的时间为：225259(秒)（3）小明坐在甲车上，实际上是以甲车的速度和乙车相遇，路程和是乙车的车长，所以小明看到乙列车通过用了：18025204（）(秒)123 班学案第 11 讲11第 7 级下超常体系教师版【超

31、常 123 学案 4】甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了 8 秒钟，离开甲后 5 分钟又遇乙，从乙身边开过，只用了 7 秒钟，问从乙与火车相遇开始再过多长时间甲乙二人相遇？【分析】火车开过甲身边用 8 秒钟，这个过程为追及问题：火车长（V 车-V 人）8；火车开过乙身边用 7 秒钟，这个过程为相遇问题火车长=（V 车+V 人）7.可得 8（V 车-V 人）7（V 车+V 人），所以 V 车=15V 人.甲乙二人的间隔是：车走 308 秒的路人走 308 秒的路，由车速是人速的 15 倍，所以甲乙二人间隔 1530830814308 秒人走的路.两人相遇再除以 2 倍的人速，所以得到 73082156 秒