小学数学讲义秋季四年级第3讲超常体系.pdf

1、第 3 讲1第 7 级下超常体系教师版漫画释义四年级暑假加乘原理初步四年级秋季体育比赛中的数学四年级秋季几何计数初步四年级寒假包含与排除四年级春季统筹与最优化结合加乘原理数图形知识站牌第三讲几何计数初步第 7 级下超常体系教师版2数学的发明是从计数开始的，那么是谁最早发明计数的呢？结绳计数的发明，相传是老祖先伏羲受到渔网启发而想到的.那时没有人知道什么叫数，也没有人能够计数.伏羲联想到结渔网时绳子上的结头可以分出很多，于是就取来一条软绳，在渔网的绳子上打结以计数.这样的方法很快就被流传开，粗粗细细打满结的绳子就成了一个记录本，不单可以用来记录打鱼的收成，也可以把其它收获的东西一一记录下来.后来

2、人们觉得结绳计数做起来太麻烦，就想到了新办法，在树枝上刻下痕迹.慢慢刻痕计数的方法逐步推广，就形成了今天的图形和文字.今天就让我们一起来学习数图形.1.认识几何中的计数问题，体会到按一定规律去数，可以做到不重复、不遗漏，发展有序思维2.引导学生在按一定规律数的基础上发现数图形的规律3.掌握分类的方法有规律地解答几何中的计数问题4.帮助学生养成按照一定顺序去观察、思考问题的良好习惯，逐步掌握通过观察、思考探寻事物规律的能力本讲我们重点练习各种类型的“数格子”、“数组合图形”，初步学习归纳递推在计数中的应用本讲也是杯赛热点和难点，学生在学习本讲时容易轻敌，错误率很高，因此应该注重通法的学习，强化模

3、型意识.1.在数组合图形时，可以先将其分成若干基本图形，先数基本图形；但注意在把基本图形组合起来的时候，并不是基本图形的简单相加，因为可能会有重复或有新的图形出现2.注意分类、排除法、容斥关系和递归思想在计数中的运用3.基本图形数法总结：数线段的方法一条线段上如果有 n 条基本线段，则线段总数为(1)(2)+nnn 1条.数正方形个数分类讨论，一般分成1 1,22,3 3,44,5 5 mn型（m 大于 n），正方形个数是：(1)(1)(2)(2)1(1)nmnmnmmn；nn方阵型，正方形个数是：(1)(1)(2)(2)221 1nnnnnn .长方形个数为：长边上的线段数短边上的线段数.课

4、堂引入经典精讲教学目标第 3 讲3第 7 级下超常体系教师版1.下图中共有几条线段？【分析】两点确定一条线段，则共有线段432110（条）2.下图中共有几个角？【分析】从一点出发的两条线段确定一个角，则共有角 432110（个）3.下图中共有几个三角形？【分析】三角形的个数与 AB 边上的线段数一样多，也与 C 点处角的个数一样多，所以可按数线段或数角的方法来数，共有432110（个）CBA4.图中共有个不同的三角形【分析】只由 1 个小三角形组成的有 6 个；由 2 个小三角形组成的有 3 个；由 3 个小三角形组成的有 6 个；还包括 1 个最大的三角形，共有 6+3+6+1=16 个知识

5、点回顾第 7 级下超常体系教师版4模块一：三角形计数（例 1例 3）模块二：长方形计数（例 4，例 5）模块三：正方形计数（例 6例 8）数一数，下图中各有多少个三角形？图5图4图3图2图1【分析】(1)图中共有 4321 10 个三角形.(2)图中共有(4321)220个三角形.(3)图中共有(4321)330个三角形.(4)图中共有 30434个三角形.（就在上题基础之上增加了四个以斜线和底边组合而成的三角形）(5)图中共有 34104149 个三角形.（在图 4 基础上增加了下面的 10个三角形和上下合起来看的 4 个，还有斜线与下面图形结合的 1 个）例 1例题思路第 3 讲5第 7

6、级下超常体系教师版数一数，下图中三角形共多少个？(学案对应：超常班学案 1、超常 123 班学案 1)【分析】（按形状分类）类似于ABH 的三角形共有 6 个；类似于AGH 的三角形共有 6 个；类似于ABJ 的三角形共有 12 个；类似于ABC 的三角形共有 6 个；类似于AEC 的三角形共有 2 个于是，图中共有三角形 6+6+12+6+2=32(个)将一个等边三角形各边七等分后再连接相应的线段得到下图，问图中共有多少个三角形？(学案对应：超常班学案 2、超常 123 班学案 2)【分析】正立的：边长是 1 有：12728边长是 2 有：12621边长是 3 有：12515边长是 7 有：

7、1 个倒立的：边长是 1 有：12621边长是 2 有：123410 边长是 3 有：123因此共有：2821 15 1063 121 103118 个三角形.例 3例 2第 7 级下超常体系教师版6数一数，下面各图中有多少个长方形？图 1图 2图 3【分析】图（1）中共有(54321)(21)45 个长方形.图（2）中共有(54321)(321)90 个长方形.图（3）中共有(7654321)(321)(321)(321)58个长方形.由 20 个边长为 1 的小正方形拼成的一个 45的大长方形中有一格有“”，则图中含有“”的所有长方形（含正方形）共有个.自然界中的几何蜜蜂蜂房是严格的六角柱

8、状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成.组成底盘的菱形的钝角为 109 度 28 分，所有的锐角为 70度 32 分，这样既坚固又省料.蜂房的巢壁厚 0.073 毫米，误差极小.丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形.“人”字形的角度是 110 度.更精确的计算还表明“人”字形夹角的一半即每边与鹤群前进方向的夹角为 54 度 44 分 8 秒，而金刚石结晶体的角度正好也是 54 度 44 分 8 秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案.冬天，

9、猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学.因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少.真正的数学“天才”是珊瑚虫.珊瑚虫在自己的身上记下“日历”.它们每年在自己的体壁上“刻画”出 365 条斑纹，显然是一天“画”一条.奇怪的是，古生物学家发现 3 亿 5 千万年前的珊瑚虫每年“画”出 400 幅“水彩画”.天文学家告诉我们，当时地球一天仅 21.9 小时，一年不是 365 天，而是 400 天.例 5例 4第 3 讲7第 7 级下超常体系教师版(学案对应：超常班学案 3、超常 123 班学案 4)【分析】根据鼠标法，左上角共有 6 个点，右下角有 8 个点，所以含有“”的长方形共有

10、6848（个）.在下面边长为 8 的大正方形中，(1)一共有多少个正方形？(2)有多少个田字形？(3)有多少个形？(4)有多少个形？(5)有多少个面积为 1.5 的直角三角形？(6)有多少个面积为 3 的直角三角形？【分析】(1)88+77+66+55+44+33+22+11=204（个）；(2)77=49（个）；(3)每个田字格里有 4 个 L 形，494=196（个）；(4)682=96（个）；(5)964=384（个）；(6)对应 23 的长方形或是 16 的长方形，23 的长方形共有 672=84（个），16 的长方形共有 382=48（个），而每个长方形中有 4 个面积为 3 的直角

11、三角形，（84+48）4=528（个）.例 6第 7 级下超常体系教师版8下图中共有_个正方形(学案对应：超常班学案 4)【分析】每个 44 正方形中有：边长为 1 的正方形有24 个；边长为 2 的正方形有23 个；边长为 3的正方形有22 个；边长为 4 的正方形有 21 个；总共有2222432130(个)正方形现有 5 个44的正方形，它们重叠部分是 4 个22的正方形因此，图中正方形的个数是30 55 4130 一块木板上有 13 枚钉子（如左下图）用一根橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形，等等（如右下图）请回答：可以构成多少个正方形？(学案对应：超常 123 班

12、学案 4)【分析】如下图所示，可以将正方形分为四类，分别有 5 个、1 个、4 个、1 个，共 11 个例 8例 7第 3 讲9第 7 级下超常体系教师版1.在 88 的表格中可以数出多少如图所示的“凸”字形图形?(“凸”字形图形可旋转)【分析】先考虑没有经过旋转的“凸”字形图形，在一个 38 的方格里，可以找到 7 个，而在一个 82的方格里，可以找到 6 个，而由于“凸”字形图形可以通过旋转形成四种图形，764168，所以一共可以数出 168 个2.下图中三角形共有个3 根火柴棒可以摆成一个小三角形，如图，用很多根火柴棒摆成一个中空的大三角形，已知大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，

13、摆成这个图形一共需要多少根火柴棒？空【分析】所有的火柴棒共有 3 种方向：“”、“”和“”大三角形最外面每条边都是 15 根火柴棒，最里面每条边都是 12 根火柴棒，中间的火柴棒就从 3 种方向分别计算个数：“”的有 27 根，“”的有 27 根，“”的有 27 根，所以这个图形共需要15 3 123273162根附加题第 7 级下超常体系教师版10【分析】不可分割的三角形有 7 个由2 个不可分割的三角形构成的三角形有6 个由3个不可分割的三角形构成的三角形有 4 个由5 个不可分割的三角形构成的三角形有2 个由7 个不可分割的三角形构成的三角形有1个一共有三角形 7642 120 个1.数

14、线段的方法：一条线段上如果有 n 条基本线段，则线段总数为(1)(2)+nnn 1条.2.数正方形个数分类讨论，一般分成1 1,22,3 3,44,5 5 mn型（m 大于 n），正方形个数是:(1)(1)(2)(2)1(1)nmnmnmmn.nn方阵型，正方形个数是:(1)(1)(2)(2)221 1nnnnnn .3.长方形个数为:长边上的线段数短边上的线段数.1.下图中共有个三角形【分析】20 个.2.下图中共有个三角形.【分析】一共有 10 个三角形五角星的每个角上分别有 1 个小三角形，总共有 5 个；另外还有 5 个较大的三角形，所以共有5510（个）三角形3.下图中共有个正方形家

15、庭作业知识点总结第 3 讲11第 7 级下超常体系教师版【分析】设最小正方形的边长为1，那么边长为1的正方形有 6 个，边长为 2 的正方形有 5 个，边长为4 的正方形有 2 个，边长为 6 的正方形有 1 个，边长为 8 的正方形有1个，所以总共有6+5+2+1+1=15（个）4.图中内部有阴影的正方形共有个【分析】面积为 1 的正方形有 8 个，面积为 4 的正方形有 8 个，面积为 9 的正方形有 8 个，面积为16 的正方形有 2 个，共计 26 个5.数一数，下图中共有_个长方形（不包括正方形）【分析】里面一共有 60 个图形，其中有 20 个正方形，所以有 40 个长方形6.如图

16、，18 个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.那么图中包含“”的各种大小的正三角形一共有多少个？【分析】按大小数，有 6 个.7.图中共有几个长方形？【分析】632+4=408.图中，不含“A”的正方形有个第 7 级下超常体系教师版12A【分析】面积为 1 的有 15 个，面积为 4 的有 7 个，面积为 3 的有 2 个，共 24 个【超常班学案 1】数出下图中三角形的个数.【分析】本图是由两个五边形内接五角星的图形叠加而成的，其中每一个单独来看都是由 35 个三角形组成的，当两图叠加时，又多出5 315个，共计 3521585个【超常班学案 2

17、】如图是半个正方形，它被分成小的等腰直角三角形，则图中正方形有个，三角形有个【分析】设图中最小的三角形的面积是 1，则面积是 2 的正方形有 6 个；面积是 4 的正方形有 3 个，面积为 8 的正方形有 1 个，所以图中共63110 个正方形面积是 1 的三角形有 18 个，面积是 2 的三角形有 15 个，面积是 4 的三角形有 8 个，面积是 8 的三角形有 3 个，面积是 9 的三角形有 2 个，面积是 18 的三角形有 1 个，所以图中共有1815832147 个【超常班学案 3】如图，其中同时包括两个的长方形有个【分析】先找出同时包括两个的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方

18、形都必须包括该最小长方形根据乘法原理 2223=24（个）不同的长方形【超常班学案 4】数一数，图中共有（）个正方形.超常班学案第 3 讲13第 7 级下超常体系教师版【分析】2222226543214(63)127【超常 123 班学案 1】用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵(如下图)如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于 1平方厘米的三角形有多少个？面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【分析】面积等于 1 平方厘米的三角形有 32 个 面积等于 2 平方厘米的三角形有 8 个(1)面积等于 1 平方厘米的分类统计如下：底为 2，

19、高为 1底为 2，高为 1底为 1，高为 232=6(个)32=6(个)32=6(个)底为 1，高为 2底为 2，高为 1底为 1，高为 232=6(个)22=4(个)22=4(个)所以，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)(2)面积等于 2 平方厘米的分类统计如下：32=6(个)12=2(个)所以，面积等于 2 平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)123 班学案第 7 级下超常体系教师版14【超常 123 班学案 2】数一数图中共有多少个三角形？CBA【分析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为 6 类

20、：（1）最大的三角形 1 个(即ABC)，（2）第二大的三角形有 3 个（3）第三大的三角形有 6 个（4）第四大的三角形有 10 个（5）第五大的三角形有 15 个（6）最小的三角形有 24 个所以尖向上的三角形共有 1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形 259=118（个）【超常 123 班学案 3】图中含有“”的长方形总共有_个【分析】根据本题特点，可采用分类的方法计数按长方形的宽分类，数出含号的长方形的个数含有左上号的长方形有：66618个，其中，宽为 1(即高度为一层)的含号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：6 个；宽为 3(即高度为三层

21、)的含号的长方形为：6 个；含有右下号的长方形有：662624个，其中，宽为 1(即高度为一层)的含号的长方形为：6 个；宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：62个；宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：6 个；同时含有两个号的重复计算了，应减去，同时含有两个号的长方形有：448个，其中，宽为 2(即高度为两层)的含号的长方形为：4 个；宽为 3(即高度为三层)的含号的长方形为：4 个；所以，含有号的长方形总共有：1824834个第 3 讲15第 7 级下超常体系教师版【超常 123 班学案 4】如下图在钉子板上有 16 个点，每相邻的两个点之间距离都相等，用一根绳子在上面围正方形，你可以得到个正方形图（1）图（2）图（3）【分析】先看横着的正方形如图，可以得到94114 个正方形，再看斜着的正方形如图可以得到 4 个正方形，如图可以得到 2 个正方形这样一共可以得到144220个正方形