【八年级上册】14.30 用完全平方公式进行因式分解（知识讲解）-（人教版）.docx

1、专题14.30 用完全平方公式进行因式分解（知识讲解）【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4

2、）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止【典型例题】类型一、直接用完全平方公式进行因式分解1、把下列各式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【分析】分别将各式整理成完全平方公式的形式

3、，然后利用完全平方公式分解因式即可解：（1），；（2），；（3），；（4），；（5），；（6），【点拨】本题考查了运用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式a22ab+b2（ab）2是解决本题的关键举一反三：【变式1】下列多项式中，哪几个是完全平方式？请把是完全平方式的多项式因式分解：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）是，；（2）不是；（3）是，；（4）不是【分析】先运用完全平方式的定义判断，再运用完全平方公式因式分解解：（1）是完全平方式，因式分解如下：；（2）不是完全平方式；（3）是完全平方式，因式分解如下：；（4）不是完全平方式【点拨】本题考查了完全平方式的定义和完全平方公

4、式，理解完全平方式的定义，能够运用完全平方公式因式分解是解题的关键【变式2】把下列完全平方式因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用完全平方公式因式分解得出答案；（2）将看作整体，之后利用完全平方公式因式分解得出答案解：（1），；（2），【点拨】此题主要考查了公式法因式分解，正确应用完全平方公式是解题关键类型二、完全平方公式与平方差公式进行因式分解2、因式分解：【答案】【分析】先利用完全平方公式进行分解，然后再利用平方差公式进行分解即可解：=【点拨】本题考查了利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式及平方差公式的结构特征是解题的关键举一反三：【变式1】运用公式法因式

5、分解：(1) ； (2) ；(2) ； (4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)首先提取公因式,再利用完全平方公式进行二次分解; (2)直接利用完全平方公式进行分解即可.(3) 先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式分解为 ，然后再用完全平方公式继续分解.(4)先提取公因式，再对余下的多项式用完全平方公式继续分解，对公因式利用平方差公式分解因式.;（3）.【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在分解因式时，首先考虑提取公因式，然后考虑公式法，注意分解一定要彻底.【变式2】分解因式：(1) (a22a2)(a22a4)9；(2) (b2b1)(b2b3)1.【答案】(

6、1)(a1)4(2)(b2b2)2试题分析：(1) 设a22am,原式转化为: (m2)(m4)9,然后先利用整式乘法法则展开可得: m24m2m89,即m22m1,利用完全平方公式因式分解可得(m1)2,最后将m替换为a22a即可,(2)设b2bn,原式转化为: (n1)(n3)1,然后先利用整式乘法法则展开可得: n23nn31,即n24n4,利用完全平方公式因式分解可得(n2)2,最后将n替换为b2b即可.解：(1)设a22am,则原式(m2)(m4)9,m24m2m89,m22m1,(m1)2,(a22a1)2,(a1)4.(2)设b2bn,则原式(n1)(n3)1,n23nn31,n

7、24n4,(n2)2,(b2b2)2.类型三、完全平方公式因式分解的应用3、计算：(1) ； (2) .【答案】(1)10000;(2)16.【分析】（1）根据式子中有两个平方，并且有三项，所以验证满足完全平方公式，然后转化成完全平方公式再进行计算；（2）根据式子中有两个平方，然后验证中间项是否满足完全平方公式，最后转化成完全平方公式再进行计算.解：（1）（2）【点拨】本题考查利用完全平方公式进行简便运算，当看到计算的式子中有三项，并且其中两项是平方项，第三项满足2倍乘积的关系，都可以先化成完全平方公式再进行计算.举一反三：【变式】利用因式分解计算:(1) 2019-2019+20192; (

8、2) 2072-414297+2972.【答案】（1）2019； （2）8100.【分析】(1)提取公因式2019即可得；(2)根据完全平方公式，可得答案；解：（1）原式=2019=2019.（2）原式=2072-2207297+2972=(207-297)2=(-90)2=8100.【点拨】本题考查了因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止4、已知：a，b，c是三角形的三边，且满足求证：这个三角形是等边三角形【答案】见分析【分析】根据完全平方式将原式变形为，结合平方的非负性即可计算得到正确答案解：=原式可变形为：=，即这个

9、三角形是等边三角形【点拨】本题考查完全平方式的应用，平方非负性的应用，根据相关知识点灵活应用是解题关键举一反三：【变式】（1）已知、满足，求的值；（2）若一个三角形的三边、满足，试说明该三角形是等边三角形【答案】（1）1；（2）说明见分析【分析】（1）先把原等式化为：，再利用非负数的性质求解 从而可得答案；（2）先把条件化为：，再利用非负数的性质可得： 从而可得结论.解：（1） 解得： （2） 为等边三角形【点拨】本题考查的是完全平方式的灵活运用，因式分解的应用，非负数的性质，等边三角形的判定，熟练确定一个代数式是完全平方式是解题的关键.5、对于任意两个数、的大小比较，有下面的方法：当时，一定

10、有；当时，一定有；当时，一定有反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”请根据以上材料完成下面的题目：（1）已知：，且，试判断的符号；（2）已知：、为三角形的三边，比较和的大小【答案】（1）y0；（2）【分析】（1）根据题意得到，因式分解得到，进而得到y的符号即可；（2）将和作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求解：（1）因为AB，所以A-B0，即，因为，y0（2）因为a2b2c22aca2c22acb2（ac）2b2（acb）（acb），abc，abc，所以（acb）（acb）0，所以a2b2c22ac的符号为负【点拨】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分

11、解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法举一反三：【变式】请阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值，0，当时，有最小值请根据上述方法，解答下列问题：（1），则的值是_；（2）求证：无论x取何值，代数式的值都是正数；（3）若代数式的最小值为2，求k的值【答案】（1）-10；（2）见分析；（3）k=2【分析】（1）根据所作的变形确定出a、b的值即可得；（2）根据材料中的方法进行变形后，利用平方数的特性即可得证；（3）根据材料中的方法进行变形后即可进行确定解：（1），所以a=2，b=-5，所以的值是-10，故答案为-10；（2）x2+2x+7=x2+2x+()2-()2+7=（x+）2+1，（x+）20，x2+2x+7最小值为1，无论x取何值，x2+2x+7的值都是正数；（3）2x2+kx+7=（x）2+2xk+（k）2-（k）2+7=（x+k）2-k2+7，（x+k）20，（x+k）2-k2+7的最小值是-k2+7，-k2+7=2，k=2